福建省宁德市同心顺联盟2017_2018学年高二数学下学期期中试题理 9页

宁德市高中同心顺联盟2017-2018学年第二学期期中检测高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.若复数是纯虚数，则的值为()A.-2B.0C.2D.0或22.一物体运动时的速度（单位：米/秒）与时间（单位：秒）满足，那么物体在2秒时的加速度是（）米/秒2A．12B．14C．22D．243.函数的图象上一点处的切线方程为（）A．B．C．D．4.在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积之比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为2:3，则它们的体积之比为（）A.1:8B.2:3C.4:9D.8:275.已知函数，则的极大值为（）A．B．C．D．6.若，则()A.1B.C.D.57.若是函数的极值点，则的极大值为（）A．B．C．D．58.由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．6B．C．D．9.已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是()A．B．C．D．10.已知函数，则（）A．B．C．D．n11.用数学归纳法证明：时，由不等式成立，推证时，左边增加的代数式是（）A．B．C．D．12.已知关于的不等式有唯一整数解，则实数的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则=__________。14．若曲线的一条切线的斜率为2，则切点横坐标为。15．已知复数的共轭复数在复平面内所对应的点在第三象限，则的取值范围是。16．已知，记，，…，()，则。三、解答题：本大题共6小题，共70分。17.（10分）若为正实数，请用分析法证明18.（12分）已知（），其中是虚数单位。(Ⅰ)求的值；n（Ⅱ）设在复平面内对应的点关于虚轴对称，，求的值。19.（12分）已知为实数，。(Ⅰ)求导数；（Ⅱ）若，求在上的最大值和最小值；(Ⅲ)若在上是递减的，求的取值范围。n20.（12分）数列的前项和为，且（）。（Ⅰ）计算出、、的值；（Ⅱ）猜测出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。21.（12分n）某企业筹集了200万元资金全部投入生产甲、乙两种产品。根据市场调查与预测，甲种产品的利润与投入资金（万元）的算术平方根成正比，比例系数为；乙种产品的利润与投入资金成正比，比例系数为；企业获得的总利润（万元）为甲、乙两种产品利润之和。若该企业投资甲、乙两产品各100万元时，企业获得的总利润为55万元。(Ⅰ)将表示成的函数；(Ⅱ)怎样分配这200万元资金才能使该企业获得的总利润达到最大？22.（12分）设函数（为常数，为自然对数的底数）。（I）当时，求函数的单调区间；（II）求证：存在，使得函数在内有三个零点。n宁德市高中同心顺联盟2017-2018学年第二学期期中检测高二数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.B2.C3.A4.D5.B6.C7.D8.A9.C10.B11.D12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．16．1三、解答题：本大题共6小题，共70分。17.（10分）若为正实数，请用分析法证明证明：要证，只要证………………………………2分只要证（由为正实数）…………………………4分只要证只要证只要证，显然成立，故原结论成立。…………………10分18.（12分）已知（），其中是虚数单位。(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）设在复平面内对应的点关于虚轴对称，，求的值。解:(Ⅰ)由得…………………………………………1分得…………………………………………………………………3分由两复数相等得:………………………………………………………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知:………………………………………………………6分在复平面内对应的点关于虚轴对称，…………………8分……………………………………12分19.（12分）已知为实数，。(Ⅰ)求导数；（Ⅱ）若，求在上的最大值和最小值；(Ⅲ)若在上是递减的，求的取值范围。解：（I）由原式得，∴………………2分（II）由，此时有，n………………………………………………………5分所以在上的最大值为，最小值为…………………………8分（III）的图象为开口向上且过点的抛物线，由条件得，……………………………………………………10分，所以的取值范围为。……………………12分20.（12分）数列的前项和为，且（）。（Ⅰ）计算出、、的值；（Ⅱ）猜测出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。解：(Ⅰ)由及，有由及，得由及，得……4分（Ⅱ）由(Ⅰ)可猜测出数列的通项公式为…………………………………5分用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；…………………………………………………6分②假设当时，猜想成立，即，……………………………………7分则当时，由由有，猜想成立，……………………………………………………11分综合①②可知，数列的通项公式为…………………………………12分21.（12分）某企业筹集了200万元资金全部投入生产甲、乙两种产品。根据市场调查与预测，甲种产品的利润与投入资金（万元）的算术平方根成正比，比例系数为；乙种产品的利润与投入资金成正比，比例系数为；企业获得的总利润（万元）为甲、乙两种产品利润之和。若该企业投资甲、乙两产品各100万元时，企业获得的总利润为55万元。(Ⅰ)将表示成的函数；(Ⅱ)怎样分配这200万元资金才能使该企业获得的总利润达到最大？n解：(Ⅰ)依题意生产甲种产品的利润为万元，生产乙种产品的利润为万元，故该企业总利润为(万元)…………………………………2分根据题意得：当时，解得……………4分（）…………………………………………………6分(注:定义域不写扣1分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得.…………………………………………7分令，解得，易知…………………………………………8分随的变化情况如下表：36……………10分极大值由表知，函数在上单调递增，在上单调递减，故该企业应投资甲产品36万元，乙产品164万元时所获得的利润最大，最大利润为59万元。…………………………12分22.（12分）设函数（为常数，为自然对数的底数）。（I）当时，求函数的单调区间；（II）求证：存在，使得函数在内有三个零点。解：（I）函数的定义域为，，……………………………………2分由可得，所以当时，；当时，，…………………4分故的单调递减区间为，单调递增区间为；………………………5分（II）由（I）知，（1）当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故与在内最多2个交点，即函数在内最多2零点；…………………………………………6分（2）当时，令，令，（i）当时，有，易知当或时，；当时，故在内有极大值，极小值，……………7分n又当时，，且，故要使函数在内有三个零点，只需存在，使得………………………………9分而，设，有，故存在，使得，即存在，使得又易知当时，有，故存在满足，使得函数在内有三个零点；……11分（ii）当时，有，有，函数在内最多1零点；（iii）当时，有，易知函数在内最多1零点；综上所述，存在，使得函数在内有三个零点。（）……………………12分(注:（ii）（iii）没写不扣分)