福建省莆田市2019届高三数学下学期教学质量检测试题文 18页

福建省莆田市2019届高三数学下学期教学质量检测试题文（含解析）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出集合M,N,结合集合的交集运算性质,即可.【详解】解得,所以为,故选A.【点睛】考查了集合交集运算性质,关键对M,N两个集合分别化简,计算交集,即可,难度较容易.2.已知复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合复数的四则运算,化简计算z，即可。【详解】,故选B.【点睛】考查了复数的四则运算，关键将z表示成的形式，即可，难度中等。3.函数在的图象大致为（）A.B.C.D.n【答案】A【解析】【分析】结合奇偶函数的判定，得出为奇函数，排除BD，计算，排除C选项，即可。【详解】，故为奇函数，排除B,D选项，，所以，故，故选A。【点睛】考查了奇偶性的判定，同时计算特殊点的符号，即可，难度偏难。4.已知各项都为正数的等比数列满足：，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合等比中项的性质，计算公比q，结合公比，计算，即可。【详解】，所以，因为该数列各项都是正数，所以所以，故选B。【点睛】考查了等比中项的性质，关键计算出公比q，即可，难度中等。5.直线与圆相交于两点。若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】n计算出当，此时圆心到该直线的距离，建立不等式，计算m的范围，即可。【详解】当，此时圆心到MN的距离要使得，则要求，故，解得，故选A。【点睛】考查了点到直线距离公式，关键知道的意义，难度中等。6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算该几何体的底面积，结合体积计算公式，即可。【详解】结合题意，绘制图像，如图所示平面DEF的面积为，故该几何体的体积，故选B。【点睛】考查了三视图还原直观图，关键绘制出该几何体的图形，结合体积计算公式，即可，n难度中等。7.若函数没有极小值点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分类讨论，结合函数没有极小值点，此时导函数应该满足的条件，计算参数范围，即可。【详解】，要使得没有极小值，则要求恒大于等于0，或者恒小于等于0，或者该导函数为一次函数，当为一次函数的时候，，满足条件，当恒大于等于0的时候，则，解得，当恒小于等于0的时候，则，此时a不存在，故，故选C。【点睛】考查了利用导函数判断原函数的单调性和极值，关键结合没有极小值点，判断参数范围，即可，难度中等。8.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为正三角形，则下列结论中错误的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递减C.的值域为D.的图象上所有的点向右平移个单位长度后，图象关于轴对称n【答案】D【解析】【分析】结合三角函数的平移性质，得到平移后的三角函数的解析式，结合正弦型三角函数的性质，判定周期，单调区间，值域，即可。【详解】，故A点纵坐标为，结合三角形ABC为等边三角形，可知，所以周期，解得，故，A选项正确；值域为，故C选项正确；结合题意可知在单调递减，则在该区间内，故正确；新函数，结合奇偶函数的判定可知，故关于原点对称，故错误，故选D。【点睛】考查了三角函数平移后解析式的计算方法，考查了正弦型三角函数的性质，难度中等。9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边。若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】n结合题意，得出阴影部分总和为一个圆，结合圆的半径和正方形边长的关系，利用几何概型计算公式，计算概率，即可。【详解】分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，则对于正方形的对角线而言，可以分为三个部分，第一个部分为正方形的对角线上的顶点到圆心的距离，两圆的圆心距，对角线上顶点到圆心的距离，故，解得，故概率,故选A。【点睛】考查了几何概型计算公式，关键得出正方形的边长和圆半径的关系，计算概率，即可，难度偏难。10.已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合题意，绘制出函数图像，结合数形结合的思想，计算a的范围，即可。【详解】结合题意,绘制出的函数图像,如图所示要使得有四个不同的解,则要求介于m,n两条直线之间，m,n对应的直线方程分别为，故a的范围为，故选C。【点睛】考查了数形结合的思想，考查了分段函数的图像绘制，关键结合图像，判断a的范围，即可，难度中等。11.已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点。若n，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合题意，绘制图形，利用抛物线的性质，建立方程，计算p值，即可。【详解】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F的坐标为，则A的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B。【点睛】考查了抛物线的性质，考查了解三角形，关键用p表示A的坐标，代入抛物线方程，即可，难度偏难。12.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，结合直线与平面垂直的判定和性质，得到两个直角三角形，取斜边的一半，即为外接球的半径，结合球表面积计算公式，计算，即可。n【详解】过P点作，结合平面ABC平面PAC可知，，故，结合可知，，所以，结合所以,所以，故该外接球的半径等于，所以球的表面积为，故选D。【点睛】考查了平面与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定和性质，难度偏难。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知，，，若，则的值为_____。【答案】【解析】【分析】结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，计算参数，即可。【详解】,，解得【点睛】考查了向量垂直的判定，考查了向量坐标运算，属于基础题.14.若满足约束条件，则的取值范围是______。【答案】【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。n【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到平移目标函数，可知该目标函数在A点取到最大值，在C点取到最小值，，则，所以【点睛】考查了线性规划问题，关键绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可，难度中等。15.已知数列满足：，。若，则的最大值为_______。【答案】1009【解析】【分析】结合题意，计算等差数列通项，利用裂项相消法，求和，计算n的范围，即可【详解】结合题意可知该数列为等差数列，公差为2，所以所以，解得，故n的最大值为1009【点睛】考查了等差数列的通项计算，考查了裂项相消法，难度中等。16.已知三个月球探测器共发回三张月球照片，每个探测器仅发回一张照片。甲说：照片是发回的；乙说：发回的照片不是就是；丙说：照片不是发回的。若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片是探测器_______发回的。【答案】【解析】n【分析】结合题意,分别论证,即可.【详解】如果甲对，则发回的照片是C，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片是发回的，得到照片A是由发回，照片B是由发回，符合逻辑，故照片B是由发回；如果丙对，则照片C是由发出,甲错误,可以推出发出照片B,发出照片A,故照片B是由发出.【点睛】考查了合情推理,难度中等.三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。17.在中，，，。（1）求的长；（2）若，，求四边形的面积。【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理，建立方程，计算AC的长度，即可。（2）利用三角值，计算CD的长度，结合三角形面积计算公式，计算四边形ABCD的面积，即可。【详解】在△ABC中，由余弦定理得即整理得解得或（舍去）所以的长为3.（2）在△ADC中，AD=CD，过点D作DM⊥AC与M,则M为AC中点，则.n因为AB∥CD,所以∠ACD=∠BAC.又，所以.在Rt△MCD中，所以四边形ABCD的面积为所以四边形ABCD的面积为.【点睛】考查了余弦定理，考查了三角形面积计算公式，难度中等。18.如图，边长为的菱形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点。（1）求证：；（2）若平面平面，求三棱锥的体积。【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定，得到，利用直线与平面垂直的性质，证明结论，即可。（2）利用勾股定理，解三角形，得到OF的长度，结合三棱锥体积计算公式，计算，即可。【详解】（1）在菱形ABCD中，连接BD交EF于点O，因为E,F分别是AB,BC中点，所以BD⊥EF,即EF⊥OD,EF⊥PO,又PO,OD平面POD,PO∩OD=O,n所以EF⊥平面POD.因为PD平面POD,所以PD⊥EF.（2）因为平面PEF⊥平面DEF，平面PEF∩平面DEF=EF，PO⊥EF，PO平面PEF，所以PO⊥平面DEF.又OD平面DEF，所以PO⊥OD.在菱形ABCD中，连接AC，交BD于点M，则BO=OM=,从而PO=.在Rt△POD中,所以在Rt△POF中，，所以所以△DEF得面积为.所以三棱锥P-DEF体积为【点睛】考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面垂直的性质，考查了三棱锥体积计算，难度偏难。19.为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月。试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为分）。最后该公司共收回有效评分表份，现从中随机抽取份（其中男、女的评分表各份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：n（1）求个样本数据的中位数；（2）已知个样本数据的平均数，记与的最大值为。该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”。①请以个样本数据的频率分布来估计收回的份评分表中，评分小于的份数；②请根据个样本数据，完成下面列联表：根据列联表判断能否有99％的把握认为“认定类型”与性别有关？【答案】（1）81；（2）见解析【解析】【分析】（1）取位于中间两个数，计算平均数，即可。（2）结合茎叶图，完善列联表，计算卡方值，判断，即可。【详解】（1）由茎叶图知（2）因为m=81，a=80，所以M=81。n①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，所以在40个样本数据中，评分不小于81的频率为可以估计收回的600份评分表中，评分不小于81的份数为600×0.5=300；②根据题意得2×2列联表：满意型需改进型合计女性15520男性51520合计202040由于，查表得，所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关。【点睛】考查了中位数的计算，考查了卡方计算，关键结合茎叶图，完善列联表，套用卡方公式，即可，难度中等。20.已知椭圆：的左，右焦点分别为，离心率为，是上的一个动点。当为的上顶点时，的面积为。（1）求的方程；（2）设斜率存在的直线与的另一个交点为。若存在点，使得，求的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）结合椭圆性质，计算a,b的值，得到椭圆方程，即可。（2）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式，用k表示t，结合函数的性质，计算范围，即可。【详解】（1）设椭圆的半焦距为c。n因为，所以，，又，所以.所以C得方程为（2）设直线PQ的方程为，PQ的中点为.当k=0时，t=0符合题意.当k≠0时，由得则所以即因为，所以TN⊥PQ,则KTN·k=-1，所以因为，所以.综上，t的取值范围为.【点睛】考查了椭圆方程求解，考查了直线与椭圆的位置关系，难度一般。21.已知函数，曲线在点处的切线的斜率为。（1）求的值及切线的方程；（2）证明：。【答案】（1）a=2;；（2）见解析【解析】n【分析】（1）结合导函数，计算切线斜率，建立等式，计算参数，即可。利用点斜式，计算直线方程，即可。（2）结合导函数，判定原函数的单调性，计算最值，证明不等式，即可。【详解】（1）由，得，因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线l的斜率为3e-2，所以，解得a=2，所以，故切线l的方程为：，即.所以a=2，切线l的方程为.（2）由（1），可得，所以当。令，则所以当时，单调递增，即单调递增又因为所以当时，＜0，当时，＞0，所以在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增.所以.证毕.【点睛】考查了利用导函数计算原函数切点直线方程，考查了利用导函数判定原函数的单调性，难度偏难。22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，与的交点为，与异于极点的交点为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将参数方程转化为直角方程，转化为极坐标方程，计算直线l的方程，即可。结合，得到的直角方程，即可。（2）分别计算极径，结合n，计算结果，即可。【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），所以直线l的普通方程为，又故直线l的极坐标方程为.由曲线C1的极坐标方程为，得，所以曲线C1的直角坐标方程为.（2）则，解得.又所以.【点睛】考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了参数方程转化为直角坐标方程，考查了极坐标下弦长计算公式，难度中等。23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）结合x取不同范围，计算的解析式，解不等式，计算x的范围，即可。（2）代入的解析式，将不等式问题转化为函数计算最值问题，计算a的范围，即可。【详解】（1）由题意知，因为所以，或，或.解得所以不等式的解集为.（2）由（1）知，当时，，n由，得，即在上恒成立，又，当且仅当x=3时，等号成立，故a＜7,所以a得取值范围（-∞，7）.【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了函数计算最值问题，难度偏难。