高考数学复习第三章三角函数、解三角形课下层级训练23应用举例文新人教a版 7页

课下层级训练(二十三)　应用举例[A级　基础强化训练]1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°　　　　　B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2．(2019·湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)A．10kmB．10kmC．10kmD．10kmD　[如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10.]3.(2019·河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A．5B．15C．5D．15D　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.]4．一艘海轮从A处出发，以每小时40nmile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10nmileB．10nmileC．20nmileD．20nmileA　[画出示意图如图所示，n易知，在△ABC中，AB＝20nmile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10nmile.]5.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75°B　[依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]6．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是__________nmile.70　[设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.]7．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为__________km.30　[如图所示，依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．]8．(2018·福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为n__________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.22．6　[由题意可得AB＝200，AC＝100，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，则BC＝100≈141.4×2.236，又历时14s，所以速度为≈22.6m/s.]9．(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解　(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB．又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，∴由＝得AD＝＝＝≈5.在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100m和BN＝200m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．n解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，∴BQ＝100，cosθ＝.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100)2，∴BA＝100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100m.[B级　能力提升训练]11．(2019·广东广州调研)如图所示长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．A　[由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.]12.(2019·湖北武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)A．14hB．15hC．16hD．17hB　[记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×n，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．]13.(2018·福建泉州模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为__________m.50　[如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50.]14．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为__________m.(取＝1.4，＝1.7)2650　[如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，＝，∴BC＝×sin15°＝10500(－)．∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(－)×＝10500(－1)＝7350.n故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．]15.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20km和50km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．解　(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝.同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.因为cos∠PAB＝cos∠PAC，所以＝，解得x＝31.(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，由cos∠PAD＝，得sin∠PAD＝＝，所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4(km)．故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4km.16．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100m的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80km/h，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解　(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100m，则BC＝100m.n在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100m，则BD＝100m.在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝＝200m，所以客车的速度v＝＝20m/s＝72km/h，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知＝，所以EB＝＝50m，即此时客车距楼房50m.