高考数学复习第十一章选考系列课下层级训练60参数方程文新人教a版 4页

课下层级训练(六十)　参数方程[A级　基础强化训练]1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．解　将消去参数t得直线x＋y－1＝0；将消去参数α，得圆x2＋y2＝9．又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＜3．因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为．(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．解　(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为．(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．故直线AM的参数方程为(t为参数)．3．(2018·湖北武汉二模)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解　　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|．则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝．n当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0．联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和．(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π．因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4|sin(α－)|．当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4．[B级　能力提升训练]5．(2019·江西南昌模拟)以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为(t为参数)．(1)若曲线C在点(1,1)处的切线为l，求l的极坐标方程；(2)若点A的极坐标为(2，)，且当参数t∈[0，π]时，过点A的直线m与曲线C有两个不同的交点，试求直线m的斜率的取值范围．解　(1)∵∴x2＋y2＝2，点(1,1)在圆上，故切线方程为x＋y＝2，∴ρsinθ＋ρcosθ＝2，l的极坐标方程为ρsin＝．(2)点A的直角坐标为(2,2)，设m：y＝k(x－2)＋2，m与半圆x2＋y2＝2(y≥0)相切时＝，n∴k2－4k＋1＝0，∴k＝2－或k＝2＋(舍去)．设点B(－，0)，则kAB＝＝2－，由图可知直线m的斜率的取值范围为(2－，2－]．6．(2019·黑龙江牡丹江模拟)在直角坐标系xOy中，过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N．(1)写出直线l的参数方程；(2)求＋的取值范围．解　(1)∵直线l过点P且倾斜角为α，∴直线l的参数方程为(t为参数)；(2)把(t为参数)代入x2＋y2＝1，得t2＋(cosα＋3sinα)t＋2＝0，∵直线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N，∴Δ＝(cosα＋3sinα)2－8>0，化为sin＞．又t1＋t2＝－(cosα＋3sinα)，t1t2＝2．∴＋＝－＝－＝＝sin，∵sin＞，∴＜sin≤．∴＋的取值范围是(，]．7．(2019·贵州六校联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；n(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．解　(1)把代入ρsin2θ＝2acosθ，得y2＝2ax(a>0)，由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0．(2)将(t为参数)代入y2＝2ax，整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0．设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a＝1．