福建省2019届高三数学备考关键问题指导系列适应性练习试题（一）理 18页

福建省2019届高三数学备考关键问题指导系列适应性练习试题（一）理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则A.B.C.D.【答案】A【解析】,所以，选A.2.已知为虚数单位，若，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据复数相等得，再代入求结果.【详解】由，得，所以.故选B.【点睛】本题考查复数相等以及指数运算，考查基本分析求解能力，属基本题.3.已知，，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化解，再根据同角三角函数关系求结果.【详解】由，得，又由，得，所以.故选D.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基本题.n4.的展开式中的系数为A.B.C.D.【答案】C【解析】=所以的展开式中的系数=故选C.5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。详解：设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以，故选C。点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得n概率，属于较易题型。6.已知，，与的夹角为，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求，再分别根据向量数量积定义以及数量积运算律求，即得结果.【详解】因为，，又，所以.故选B.【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基本题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再根据正方体以及三棱锥体积公式求结果.【详解】本题的多面体是从长为2的正方体中，在上底的四个角处，分别切割四个相同的三棱锥余下的部分.正方体体积为，割去部分的体积为，故该多面体的体n积为.选C.【点睛】本题考查三视图以及三棱锥体积公式，考查基本分析求解能力，属基本题.8.函数的图像大致为A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以排除A,C,当函数在轴右侧靠近原点的一个较小区间时，，函数单调递增，故选D.考点：函数图象与函数性质．9.已知，分别是图象上的最高点和最低点，若点横坐标为,且，则下列判断正确的是A.由可得B.的图像关于点对称C.存在，使得为偶函数D.存在，使得【答案】D【解析】【分析】根据根据周期确定零点间距离；根据最值确定，再代入验证是否为对称中心；根据偶函数性质求，再判断是否在上有解；设坐标，再根据，解得A，即可作出判断.【详解】因周期，故由可得，排除A；由是图象的最高点，横坐标为，又周期，所以是最靠近轴的最高点，n，得，满足，所以.由于，排除B.若为偶函数，可得，，在找不到合适的值，排除C，故选D.事实上，；由，，，可得.所以存在，使得.【点睛】本题考查三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.10.已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，∵，∴为直角，即过△ABC的小圆面的圆心为BC的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径R=2，球的表面积为，故选C．11.已知双曲线：的左焦点恰好在抛物线的准线上，过点作两直线分别与抛物线交于两点，若直线的倾斜角互补，则点的纵坐标之和为A.B.C.D.【答案】C【解析】n【分析】先根据条件解得，再去特殊情况探求结果，由于为单选题，则不需进行验证.【详解】的左焦点，的准线，故.运用极端化思想处理，当两直线重合时，的坐标均为，点的纵坐标之和为.故选C.一般性证明：设，则【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析化简求解能力，属中档题.12.如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）A.个B.个C.个D.个【答案】B【解析】【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则..n令，解得，故可制作完整的正方形的个数最多为个.应选B.【点睛】本题考查等比数列求和公式以及解指数不等式，考查基本分析化简求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足不等式组，则的最小值为__________．【答案】-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线经过点A(0，3)时，直线的纵截距最大，z最小.所以故填-6.14.设直线过双曲线的一个焦点，且与的实轴所在直线垂直，与交于,两点，若为的虚轴长的倍，则的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得为通径长，列方程解得离心率.【详解】通径即.【点睛】本题考查双曲线通径长以及离心率，考查基本分析求解能力，属基本题.n15.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，五个团队获得了前五名.发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二；团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五；团队说：第一，第四.如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队.【答案】【解析】【分析】根据条件先假设第五名为C，再合情推理，推出矛盾舍去，即得结果.【详解】将五个团队的猜测整理成下表：第一名C,A第二名B第三名A,B第四名D,E,E第五名D,C由于实际上每个名次都有人猜对，若第五名为C，则第一名为A，第三名B，从而第二名没有人猜对，不合题意要求.故获得第五名的是D团队.【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析推理能力，属基本题.16.已知定义在上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】n先根据构造差函数，再根据条件化为一元函数，利用导数确定其单调性，最后根据单调性解不等式，解得结果.【详解】由，可得，即.因为，所以问题可转化为恒成立，记，所以在上单调递增.又，所以当时，恒成立，即实数的取值范围为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.的内角的对边分别为，且．（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）见解析（2）或【解析】【分析】（1）先根据余弦定理得，再根据正弦定理化边为角，最后化弦为切，解得结果，（2）先根据余弦定理得或者，再根据的面积解得结果.【详解】解：（1）根据余弦定理，得，把代入可得，根据正弦定理，得，n故有，又因为，所以，又有题意中，得都不是直角，故两边同除以，得．（2）根据余弦定理得，，所以，即，故或者．又有，故的面积为．情况1：当时，，得．情况2：当时，，得【点睛】本小题主要考查三角恒等变换、解三角形等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力.属中档题.18.如图，等腰梯形中,,为的三等分点，以为折痕把△折起，使点到达点的位置，且与平面所成角的正切值为．（1）证明:平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】n（1）根据折叠前后关系可得再根据线面垂直判定定理可得，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）作，垂足为，则易得平面，过作，交于.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积解得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）证明：依题意得，所以，因为，所以平面平面．（2）假设，由（1）过作，垂足为，则平面，过作，交于.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则即令，得为平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量为，，所以二面角的余弦值为．n【点睛】本题考查空间直线、平面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想．19.已知椭圆，过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；（2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，的斜率分别为，，求证为定值.【答案】（1）（2）为定值.【解析】【分析】（1）先确定直线方程，再与椭圆方程联立方程组解得，,最后根据三角形面积公式求结果，（2）设：，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理化简求解，再根据椭圆性质求得，作商即得结果.【详解】解：(1)椭圆上顶点为，所以直线：，联立消去整理得,解得，,所以的面积.（2）由题知，，，设，，直线的斜率为.由题还可知，直线的斜率不为0，故可设：.由，消去，得,所以所以,n又因为点在椭圆上，所以，所以为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质、直线与圆和椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．20.为了响应年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示：组别频数（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（Ⅰ）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；（ii）每次赠送的随机话费和对应的概率为：赠送的随机话费（单位：元）2040概率现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．附：①；n②若，则，，．【答案】（Ⅰ）P（36＜Z≤79．5）＝0．8186；（Ⅱ）X的分布列为X20406080PX的数学期望为．【解析】【分析】（1）根据题中所给的统计表，利用公式求得其平均数，即正态分布对应的，再利用数据之间的关系，，利用题中所给的数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求得对应的概率；（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各占一半，再结合得20、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而列出分布列，之后应用离散型随机变量的分布列求得其期望.【详解】（Ⅰ）根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得,又,,所以P（36＜Z≤79．5）;（Ⅱ）根据题意,可以得出所得话费的可能值有元,得20元的情况为低于平均值,概率,得40分的情况有一次机会获40元,2次机会2个20元,概率,得60分的情况为两次机会,一次40元一次20元,概率,n得80分的其概况为两次机会,都是40元,概率为,所以变量X的分布列为:X20406080P所以其期望为.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有平均数的求法，正态分布的性质，离散型随机变量的分布列，属于中档题目.21.设函数，其中.（1）讨论的极值点的个数；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）求函数的导数，再换元，令，对与分类讨论①②③④，即可得出函数的极值的情况.（2）由（1）可知：当时，函数在为增函数，又所以满足条件；当时，因换元满足题意需在此区间，即；最后得到的取值范围.详解：（Ⅰ），设，则，当时，，函数在为增函数，无极值点.当时，，若时，，函数在为增函数，无极值点.若时，设的两个不相等的正实数根，，且，则所以当，，单调递增；当，单调递减；n当，，单调递增.因此此时函数有两个极值点；同理当时的两个不相等的实数根，，且，当，，单调递减，当，，单调递增；所以函数只有一个极值点.综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.（Ⅱ）对于，由（Ⅰ）知当时函数在上为增函数，由，所以成立.若，设的两个不相等的正实数根，，且，，∴.则若，成立，则要求，即解得.此时在为增函数，，成立若当时令，显然不恒成立.综上所述，的取值范围是.点睛：函数的导数或换元后的导数为二次函数题型，求函数的单调性或极值点个数的解题步骤为：（1）确定定义域；（2）二次项系数；（3）；（4），再讨论，两个根的大小关系。22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离n当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数．若，，求的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果，（2）根据绝对值三角不等式解得最小值，再根据绝对值定义化简不等式，即得结果.【详解】解：（1）当时，．不等式即，等价于，解得或．因此的解集为或（2）n，所以当时，等价于．当时，不符合题意．当时，等价于，解得．综上得，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想．