黑龙江省哈尔滨市第六中学2018_2019学年高二数学下学期4月月考试题文（含解析） 15页

哈尔滨市第六中学2020届4月份阶段性测试高二（文科）数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的圆心极坐标是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出圆的直角坐标方程，得圆心坐标，即可得圆心极坐标．【详解】，即，可化为，圆心坐标为,由于圆心在第四象限，所以=，即圆心的极坐标是．故选：A．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．2.下列在曲线为参数上的点是()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：,因为,所以曲线的普通方程为．显然B正确．考点：参数方程与普通方程间的互化．3.设分别为直线（t为参数）和曲线C：（为参数）上的点，则的最小值为（）A.B.C.D.n【答案】B【解析】【分析】先将直线和曲线分别化简成普通方程，得到直线和圆，再利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离得出结果.【详解】因为直线（t为参数）的普通方程为2x+y-15=0曲线C：（为参数）的普通方程所以曲线C是以C(1,-2)为圆心，半径的圆，圆心C（1，-2）到直线距离为所以的最小值为故选B.【点睛】本题主要考查了参数方程和普通方程的互化，还有直线与圆的位置关系，能否将参数方程化简为普通方程是解题的关键，属于较为基础的题.4.极坐标系中，点之间的距离是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理进行计算即可.【详解】由题意得,由余弦定理得,故选：C．【点睛】本题考查极坐标、余弦定理的应用,属于基础题．5.若函数则()A.0B.1C.-3D.3【答案】Cn【解析】【分析】对函数f(x)求导，即可求的值.【详解】函数,则故选：C【点睛】本题考查导数的求法，熟记常见函数的导数公式是解题的关键.6.已知椭圆的离心率为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的离心率求出a，然后设出P点坐标，利用两点间距离公式，转为求解最值即可．【详解】椭圆的离心率，可得：，解得a=，椭圆方程为设P，则P与定点连线距离为，当时，取得最大值3．故选：D．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆简单的几何性质，考查含的二次函数求最值问题,属于基础题.7.在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程变换为椭圆方程，此伸缩变换公式是()A.B.C.D.【答案】Bn【解析】【分析】通过对比曲线方程中横纵坐标之间的关系即可得到伸缩变换公式.【详解】在曲线即上任意取一点P(x,y)，在伸缩变换后，得到椭圆上对应的点，可得,即伸缩变换公式为，故选：B．【点睛】本题考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.8.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】把直线l的方程化为直角坐标方程为x+y-1=0，点的直角坐标为，故点A到直线l的距离为，故选：A．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9.设曲线的参数方程为为参数，直线l的方程为，则曲线上到直线l的距离为的点的个数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】n【分析】将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与的关系即可得到满足条件的点的个数．【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，故选：C【点睛】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．10.与直线平行的抛物线的切线方程是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切点坐标，由点斜式写出切线方程即可．【详解】对函数求导得，设切点坐标为（x,y）,因为切线与直线平行得斜率k=2x=2,即x=1,则切点坐标为（1,1），与直线平行的抛物线的切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，属于基础题．11.若正实数满足，则的最小值为　　A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】n将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】，，，，当且仅当，取等号，故选D．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.12.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.【详解】不等式去掉绝对值符号得，即对任意恒成立，变量分离得，只需，即所以a的取值范围是故选：B【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若实数满足，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知条件可令代入2x-y中，利用余弦函数的性质即可得到答案.n【详解】实数满足，令则，其中，由余弦函数的性质可知最小值为，故答案为：【点睛】本题考查圆的参数方程的应用，考查辅助角公式和余弦函数性质的应用，属于基础题.14.在极坐标系中，已知两点的极坐标为,则（其中为极点）的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知条件得到，然后由三角形的面积公式计算即可得到答案.【详解】由题意得,由三角形的面积公式可得，故答案为：3【点睛】本题考查极坐标的应用、三角形面积的计算公式，属于基础题．15.若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___．【答案】或【解析】【分析】利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，于是解不等式a2﹣3a≥4即可求得答案．【详解】∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，对任意实数x恒成立，∴a2﹣3a≥4，即（a﹣4）（a+1）≥0，解得：或，∴实数a的取值范围为或，故答案为：或．n【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．16.已知点,若圆上存在点,使得线段的中点也在圆上,则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：A点在圆上，可设，通过PA中点也在圆上的条件，可以建立P与圆的相关性。利用参数方程设出圆上A点的坐标，再用迭代法得到关于的方程，根据方程成立的条件即可求出的取值范围。详解：根据圆，可设，PA中点M的坐标即为，因为M也在圆上，所以化简可得根据辅助角公式，化简等式左边，可得根据，所以若存在的值使上式成立，则两边同时平方，因式分解得因为，所以只需，可解得所以的取值范围为点睛：本题主要是根据条件，利用参数方程和存在性成立的条件，得到关于的不等式。考查了相关点的轨迹方程、参数方程、存在性成立和不等式解的问题，综合性较强。三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线，曲线为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线分别交于两点，求的最大值.n【答案】（1）：，：；（2）.【解析】试题分析：（1）根据转化即可；（2）首先设出点的极坐标，然后利用参数的几何意义求解即可．试题解析：（1）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ．…4分（2）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜，则ρ1＝，ρ2＝2cosα，…6分＝＝×2cosα(cosα＋sinα)＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]，…8分当α＝时，取得最大值(＋1)．…10分考点：1、直线与圆的极坐标方程；2、两差的余弦公式．18.已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．1求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；2设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【答案】（1）圆的普通方程为.直线直角坐标方程(2)【解析】【分析】（1）结合，消去参数，得到圆C的普通方程；结合，代入，得到直线l的直角坐标方程。（2）计算，圆心C到该直线的距离，计算四边形AMBC的面积，计算最小值，即可。【详解】（1）由得，即圆的普通方程为.由得，即，由得直线直角坐标方程n（2）圆心到直线:的距离为是直线上任意一点，则，四边形面积……9分四边形面积的最小值为【点睛】本道题考查了参数方程、极坐标方程向普通方程的转化，难度中等。19.如图，四边形是直角梯形，，，又，，直线与直线所成的角为.（1）求证：；（2）求点B到平面ACM的距离。【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明平面，然后证明；（2）先证明平面，通过解三角形求出点到平面的距离，利用点是线段的中点，推出点到平面的距离是点到平面的距离的两倍．【详解】（1）∵，∴平面，∵平面，∴.(2)取的中点，连；作，交的延长线于，连接．作于．n由题设，易知MN//PC，又平面，MN平面,,平面，，平面，点到平面的距离为．点是线段的中点，点到平面的距离是点到平面的距离的两倍为．【点睛】本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，点到平面的距离的求法，属于中档题．20.已知(1)求不等式的解集；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）求出f(x)的最小值，得到关于的不等式，解出即可．【详解】（1）由，得①当时，不等式化为，即．所以，不等式的解为．②当时，不等式化为，即．所以，不等式无解．②当时，不等式化为，即．所以，不等式的解为．综上，原不等式的解集为或．（2）不等式在上恒成立，只需，由可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在时取到最小值为，n即，解得，即的取值范围为．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，属于基础题．21.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率.参考公式：，其中.临界值表0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635n【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意，得出抽取男女生人数，列出所有的基本事件，找出满足条件的基本事件，利用古典概型概率公式求得结果.【详解】（1）锻炼不达标锻炼达标合计男603090女9020110合计15050200由列联表中数据，计算得到的观测值为.所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为，故用分层抽样方法从中抽取5人，有3人是男生，记为，有2人是女生，记为，则从这5人中选出2人，选法有共10种，设事件表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，则事件发生的情况为，共7种.所以所求概率为.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有独立性检验，分层抽样，古典概型，属于简单题目.n22.已知曲线（为参数），曲线，将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线.（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；（2）若点为曲线上的任意一点，为曲线上的任意一点，求线段的最小值，并求此时的的坐标；（3）过（2）中求出的点做一直线，交曲线于两点，求面积的最大值（为直角坐标系的坐标原点），并求出此时直线的方程.【答案】（1）曲线：，曲线：；（2）最小值为，此时；（3）最大值为，此时.【解析】【分析】（1）通过变换求出曲线的参数方程然后化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系，求解曲线的直角坐标方程；（2）由题意线段的最小值，转为圆的圆心到直线的距离减去半径，利用直线的垂直关系，即可求此时的P的坐标．（3）写出三角形的面积公式即可得到最大值，并得到圆心O到直线l的距离，设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离公式进行计算即可得到答案.【详解】（1）曲线（为参数），将的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线，化为普通方程为，曲线，即，可得直角坐标方程为.(2)设，则线段的最小值为点P到直线的距离．转为圆心到直线的距离减去半径，，直线的斜率为-1，所以直线PQ的斜率为1，直线PQ方程为y=x,联立解得Q(1,1).(3)由题意可得，n当，即时取到面积的最大值，此时可知圆心O到直线l的距离为，由题意可得直线l的斜率肯定存在并设为k,则直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,圆心到直线l的距离,解得,所以直线l的方程为：【点睛】本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．