高考数学复习第五章数列课下层级训练28等差数列及其前n项和文新人教a版 6页

课下层级训练(二十八)等差数列及其前n项和[A级基础强化训练]*1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N)，则此数列的通项an等于()2A．n＋1B．n＋1C．1－nD．3－nD[由题意可得，an＋1－an＝－1，此数列是以2为首项，以－1为公差的等差数列，则此数列的通项an＝2＋(n－1)d＝3－n.]2．(2019·济南外国语学校月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝39，则a3＋a4＝()A．31B．12C．13D．526a1＋a6C[由等差数列{an}的性质及其S6＝39，可得＝3(a3＋a4)＝39，则a3＋a42＝13.]3．(2019·陕西西安质检)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝()A．21B．22C．23D．242472C[由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.333472452－k－k4547∵ak·ak＋1＜0，∴3333＜0，∴＜k＜，22*又∵k∈N，∴k＝23.]54．(2019·四川成都模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝，S10＝15，则a72＝()1A．B．123C．D．22A[方法一设等差数列{an}的公差为d，则5a4＝a1＋3d＝，2由题设得10×9S10＝10a1＋d＝15，2n9a1＝，229－1解得2所以a7＝a1＋6d＝＋6×3＝.d＝－.22310a1＋a105方法二因为S10＝＝15，所以a1＋a10＝3，又a4＋a7＝a1＋a10，a4＝，所2251以＋a7＝3，解得a7＝.]2211*15．(2019·辽宁沈阳统考)数列{an}满足＝＋1(n∈N)，数列{bn}满足bn＝，且b1an＋1anan＋b2＋…＋b9＝45，则b4b6()A．最大值为100B．最大值为25C．为定值24D．最大值为5011*111C[由＝＋1(n∈N)，得－＝1，∵bn＝，∴bn＋1－bn＝1，则数列{bn}是公差an＋1anan＋1anan9×8为1的等差数列，∵b1＋b2＋…＋b9＝45，∴9b1＋＝45，即b1＝1，则bn＝1＋(n－1)×12＝n，则b4b6＝4×6＝24.]6．(2019·云南检测)已知等差数列{an}中，a1＝11，a5＝－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是__________.126[设数列{an}的公差为d，则d＝(a5－a1)＝－3，所以an＝11－3(n－1)＝14－3n，4144×3令an＝14－3n≥0，解得n≤，所以Sn的最大值为S4＝4×11＋×(－3)＝26.]327．《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是__________.15斤[由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a1＝4，a5＝2，则S5＝5a1＋a5＝15，故金箠重15斤．]2*8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝__________.*130[由an＝2n－10(n∈N)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.]9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.n(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，n[1＋3－2n]2所以Sn＝＝2n－n.22由Sk＝－35，可得2k－k＝－35，2即k－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.*又k∈N，故k＝7.10．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn;*(2)求m，k(m，k∈N)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d>0，所以d＝2.2*从而an＝2n－1，Sn＝n(n∈N)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.*由m，k∈N知2m＋k－1≥k＋1>1，2m＋k－1＝13，m＝5，故解得k＋1＝5，k＝4.即所求m的值为5，k的值为4.[B级能力提升训练]an＋1an11．若数列{an}满足－＝1，且a1＝5，则数列{an}的前200项中，能被5整2n＋52n＋3除的项数为()A．90B．80C．60D．40an＋1anan＋1ana1B[数列{an}满足－＝1，即－＝1，又＝1，∴2n＋52n＋32n＋1＋32n＋32×1＋3nan数列2n＋3是以1为首项，1为公差的等差数列，an2∴＝n，∴an＝2n＋3n，列表如下：2n＋3项12345678910an的个位数5474509290∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{an}的前200项中，能被5整除的项数为80.]Sn12．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等S2n差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为()A．bn＝n－1B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1D．bn＝2n＋1Sn1B[设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，＝k，因为b1＝1，则n＋n(n－1)d＝S2n212n＋×2n2n－1dk2，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意的正整数n上式均成立，1所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝，4所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.]13．设数列{an}满足：a1＝1,a2＝3,且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是__________.24[∵2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，∴数列{nan}是以a1＝1为首项，2a2－a1＝5为公59624差的等差数列，∴20a20＝1＋5×19＝96，解得a20＝＝.]20514．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织__________尺布．21[由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其305＋a30中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织221尺布．]n15．(2018·广东中山期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.(1)求{an}的通项公式；n(2)若不等式2Sn＋8n＋27＞(－1)k(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．解(1)设公差为d，则5×45a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，2∴a1＝－1，d＝3.∴{an}的通项公式为an＝3n－4.3nn－12(2)Sn＝－n＋，2Sn＋8n＋27＝3n＋3n＋27，2n9an＋4＝3n，则原不等式等价于(－1)k＜n＋1＋对所有的正整数n都成立．n9n＋1＋∴当n为奇数时，k＞－n；9当n为偶数时，k＜n＋1＋恒成立．n9又∵n＋1＋≥7，当且仅当n＝3时取等号，n9∴当n为奇数时，n＋1＋的最小值为7，n929当n为偶数时，n＝4时，n＋1＋的最小值为，n429∴不等式对所有的正整数n都成立，实数k的取值范围是－7＜k＜.416．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．(1)证明由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；n{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．