高考数学复习第八章解析几何课下层级训练45椭圆的概念及其性质文新人教a版 6页

课下层级训练(四十五)　椭圆的概念及其性质[A级　基础强化训练]1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A．＋＝1　　　　　B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1A　[由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1.]2．(2018·广东惠州调研)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C　[把椭圆方程化成＋＝1.若m＞n＞0，则＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．]3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．5A　[由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2B．3C．6D．8nC　[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)A．B．C．D．A　[∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为，即|OC|＝，∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∴5e2＋2e－3＝0，又0b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为__________．(－5,0)　[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________．7　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]8．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，n依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1．(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12．9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0．∵m－＝>0，∴m>，∴a2＝m，b2＝，c＝＝．由e＝，得＝，∴m＝1．∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝．∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2．[B级　能力提升训练]10．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　)A．2B．3C．4D．5B　[b2＝2，c＝，故|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2n|＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3.]11．(2019·山东临沂月考)过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是(　　)A．14B．16C．18D．20C　[如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝18.]12．(2019·河北石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是__________．　[设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<.解得－b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·n的最小值为，求椭圆的方程．解　(1)设椭圆半焦距为C．由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝(x－)，于是圆心坐标为(，)．所以p＋q＝＋≤0，整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2．所以e2＝≥，即≤e<1．(2)当e＝时，a＝b＝c，此时椭圆的方程为＋＝1，设M(x，y)，则－c≤x≤c，所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－．当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；当0