辽宁省沈阳铁路实验中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理 14页

沈阳铁路实验中学2018-2019学年度下学期期中试题高二数学（理）时间：120分钟分数：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数满足，则（）A．B．C．D．2．已知是虚数单位，若复数为纯虚数（，），则（）A．B．C．D．3．设为可导函数，，则在点（1，）处的切线斜率为A．2B．–1C．1D．–24．①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（）A．①的假设正确，②的假设错误B．①的假设错误，②的假设正确C．①与②的假设都错误D．①与②的假设都正确5．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(2)的值为(　　)A．3B．1C．0D．－16．下列积分值最大的是（）A．B．C．D．7．设,则()A．B．C．D．n8．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A．8种B．12种C．16种D．20种9．已知点A（l，2）在函数f（x）=ax3的图象上，则过点A的曲线C：y=f（x）的切线方程是（　　）A．6x﹣y﹣4=0B．x﹣4y+7=0C．6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0D．6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=010．对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．思考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为(　　)A．(－3，－1)∪(1,2)B．C．(－1,2)D．(－3,2)11．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数，若曲线上存在两点，这两点关于直线的对称点都在曲线上，则实数的取值范围是()A．B．C．D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．曲线与曲线所围成的区域的面积为__________．n14．已知，一元二次方程的一个根z是纯虚数，则|z+m|=___．15．对于三次函数，定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，计算=____16．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，若数字195在第m行从左至右算第n个数字，则m+n为_______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．其中第17题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数（其中），且曲线在点处的切线垂直于直线.（1）求的值及此时的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.18．已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为.（1）求的解析式；n（2）若常数，求函数在区间上的最大值.19．（1）a、b、c、d∈R+,求证:(2)．已知a、b、c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥.20．已知函数，.（1）当时，讨论的单调区间；（2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.21．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在，上的最大值；（Ⅱ）讨论函数的零点的个数．22．已知函数（为常数）．（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．n沈阳铁路实验中学2018-2019学年度下学期期中试题高二数学（理）答案1．B2．A3．C4．B5【答案】A6．A7．C8．C9．D10．A11．D12．D13．4.514.1.515．201216．17．（Ⅰ）a=,；（Ⅱ）减区间为，增区间为；极小值为，无极大值..【解析】【分析】（Ⅰ）先求导函数，根据切线与直线垂直可得切线的斜率为k=-2.由导函数的意义代入即可求得a的值；代入函数后可求得，进而利用点斜式可求得切线方程。（Ⅱ）将a代入导函数中，令，结合定义域求得x的值；列出表格，根据表格即可判断单调区间和极值。n【详解】（Ⅰ）由于，所以，由于在点处的切线垂直于直线，则，解得.此时，切点为，所以切线方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则,令，解得或（舍），则的变化情况如下表， 50递减极小值递增所以函数的减区间为，增区间为.函数的极小值为，无极大值.【点睛】本题考查了函数图像上点切线方程的求法，利用导函数研究函数的单调性与极值，属于基础题。18．（1）；（2）当时,；当时,.n【解析】试题分析：（1）由条件知，，，代入可得、.再用定积分表示出所围成的区域(阴影)面积，由面积为解得，从而得到的解析式；（2）由（1）知，再列出，的取值变化情况，又，结合图像即可得当时,；当时,.试题解析：(1)由得，2分.由得，4分∴，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为从而得，∴.8分（2）由（1）知.的取值变化情况如下：2单调递增极大值单调递减极小值单调递增又,①当时,；11分②当时,综上可知当时,；当时,考点：1.求导法则；2.定积分求面积；3.利用导数研究函数单调性.19．见解析n【解析】试题分析：运用分析法证明，要证原不等式成立，可考虑两边平方，化简整理，再由柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，即可得证．解析：要证不等式成立,只需证()2≥(a+c)2+(b+d)2成立.即a2+b2+c2+d2+2≥a2+b2+c2+d2+2ac+2bd.即证≥ac+bd成立.∵a、b、c、d∈R+,只需证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.即a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2.即证a2d2+b2c2≥2abcd成立.∵a、b、c、d∈R+,∴a2d2+b2c2≥2abcd成立.∴.点睛：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，以及不等式的性质的运用，考查推理能力，属于中档题．对于不等式的证明，常用方法有分析法，从结果入手，反证法用于不太好证的题或者显而易见的证明题。20．证明见解析.【解析】【分析】应用重要不等式，之后将所列的式子相加即可得到结果.【详解】证明:∵a2＋b2≥2ab，①b2＋c2≥2bc，②c2＋a2≥2ac，③a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋c2，④由①＋②＋③＋④得：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥.【点睛】n这个题目考查了基本不等式的应用，以及不等式的证明，常见的方法有：做差法，分析法，综合法，反证法等.21．（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性；（2）存在，使得对任意的都有恒成立，等价于，分别利用导数研究函数的单调性，并求出的最小值，解不等式即可得结果.【详解】（1）因为的定义域为，.①当时，因为，，所以在上为增函数②当时，在上为减函数，在上为增函数，③当时，在上为减函数，（2）当时，若存在，使得对任意的都有恒成立，则.由（1）知，当时，.因为，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上单调递增.n所以，则，解得，又，，所以，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值，以及转化思想与分类讨论思想的应用，属于综合题.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.22．（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用导数研究函数的单调性即可得出最值．（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，即转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数．画出函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象大致如图．对a分类讨论即可得出a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点，当a<0时，对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.【详解】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，所以f（x）在[﹣2，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，n所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1所以f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由单调性可得：g（x）图象大致如右图：所以当a=0时，y＝a（x﹣1）2=0与g（x）＝（2﹣x）ex图象只有一个交点，a＞0时，y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex有两个交点，当a<0时，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），当a=-时，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）递增，又f（1）=-e<0,f（3）=-e3=-e3>0，此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.当a-时，f′（x）＝0的两根为1，ln(-2a),当10,此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.当1>ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，ln(-2a)）递增；在（ln(-2a),1）上递减，在（1，+∞）递增，又f(ln(-2a))=a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,n又f（1）=-e<0,同样有f（）>0,所以此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.综上当a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点a≤0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据在定义域上恒成立并结合二次函数的图象求解即可．（2）由（1）得极值点满足，且在上是减函数，去掉绝对值后可得，分别求出后进行化简可得，然后利用换元法可求得所求的最大值．【详解】（1）∵，，∴．设，，∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，∴在定义域上恒成立，即在上恒成立．又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，∴，或，n解得.∴实数的取值范围为．（2）由（1）知函数的两个极值点满足，∴．不妨设，则在上是减函数，故，∴．令，则，又，即，解得，故，∴．设，则，∴在上为增函数．n∴，即．所以的最大值为．