福建省2019届高三数学适应性练习（二）文 18页

福建省2019届高三数学适应性练习（二）文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2.已知实数满足（为虚数单位），则A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，则：，解得：或，计算可得：.本题选择D选项.3.下列四种说法中，正确的个数有①命题均有的否定是：使得；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；n③，使是幂函数，且在上是单调递增；④不过原点的直线方程都可以表示成；A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】B【解析】【分析】①根据全称命题的否定进行判断，②根据命题为真时皆为真，以及命题为真时至少一个为真，进行判断，③根据幂函数定义求再根据幂函数单调性进行判断，④根据截距可以为零进行判断.【详解】①中，由全称命题的否定为特称命题，知原命题的否定为使得，故①不正确；②中，命题为真，能推出命题为真，但命题为真，不能推出命题为真，故②正确；③中，当时，满足题意，故③正确；④中，当直线平行坐标轴时，，不能表示成，故④不正确．【点睛】本题考查全称命题的否定、复合命题真假、幂函数定义以及单调性、直线截距式方程条件，考查基本分析判断能力，属基本题.4.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且都垂直于轴（其中分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，n则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据三视图还原几何体，再根据几何体的性质求结果.【详解】因为根据三视图得出，几何体如图所示，AD，AB，AG两两相互垂直，平面AEFG⊥面平ABCED，BC∥AE，AB＝AD＝AG＝3，DE＝1，根据几何体的性质得出：AC＝，GC=，nGE=BE，BG，AD＝4，，，故最长的为GC＝.【点睛】本题考查三视图，考查基本分析求解能力，属基本题.6.已知函数，且，则以下结论正确的是A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以函数的单调递减函数，又因为，即，所以由函数的单调性可得：，应选答案D。7.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A.是奇数？；B.是偶数？；C.是奇数？；D.是偶数？；【答案】C【解析】【分析】n根据条件确定判断是奇数还是偶数，再根据流程图确定输出结果.【详解】阅读考拉兹提出的猜想，结合程序框图可得，①处应填写的条件为：是奇数？；执行循环得结束循环输出的结果7.选C.【点睛】本题考查补充流程图条件以及确定流程图输出结果，考查基本分析与判断求解能力，属基本题.8.四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A.④①②③B.①④②③C.③④②①D.①④③②【答案】B【解析】【分析】先分析四个函数奇偶性，再讨论函数对应区间上函数值正负，即可进行判断选择.【详解】①为偶函数，所以对应第一个图；②为奇函数，且时函数值为负，所以对应第三个图；③为奇函数，且时函数值恒非负，所以对应第四个图；④为非奇非偶函数，所以对应第二个图.【点睛】本题考查函数奇偶性以及函数数值，考查基本分析与判断求解能力，属基本题.9.已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为A.B.C.D.【答案】C【解析】依题意，；n,由,可得：；∵，故，故符合题意,故,故，，因为，故，故实数的取值范围为故选：C10.已知实数满足若恒成立，那么的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据的图象是过点，斜率为的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数满足，即，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数的图象是过点，斜率为的直线，要使得不等式恒成立，即恒成立，结合图象可知，当直线过点时，斜率取得最小值，所以实数的取值范围是，故选D.【点睛】n本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11.已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数为A.B.C.D.【答案】C【解析】把点，代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线的方程为，则．设，则，．由，得，解得或（舍去），故选C．点睛：求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．12.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【详解】∵f'（x）=e﹣x（2x+3）﹣f（x），∴ex[f（′x）+f（x）]=2x+3，∴exf（x）=x2+3x+c，∵f（0）=1，∴1=0+0+c，解得c=1∴f（x）=（x2+3x+1）e﹣x，∴f′（x）=﹣（x2+x﹣2）e﹣x=﹣（x﹣1）（x+2）e﹣x．n令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣2，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减增，可得：x=1时，函数f（x）取得极大值，x=﹣2时，函数f（x）取得极小值，∵f（1）=，f（﹣2）=﹣e2＜0，f（﹣1）=﹣e，f（0）=1＞0，f（﹣3）=e3＞0∴﹣e＜m≤0时，f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数恰有两个整数﹣1，﹣2．故m的取值范围是（﹣e，0]，故选：A．【考点】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是两个不共线的向量，，，若三点共线，则＝______．【答案】【解析】【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出的坐标，把A、B、C三点共线转化为，即解方程求得k的值．【详解】由题意可得．∵A、B、C三点共线，∴，∴故有-λ=-2，，解得nλ=2，k=．故答案为：．【点睛】本题主要考查证明三点共线的方法，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量共线的性质，体现了转化的数学思想，把A、B、C三点共线转化为．14.若利用计算机在区间内产生的两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为______.【答案】【解析】方程可化为，由题设判别式，即，画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知，故由几何概型的计算公式可得所求事件的概率是，应填答案。15.在中，内角所对边分别为，若，且，则的最小值为_____．【答案】4【解析】由条件知，根据三角函数的正弦定理得到：故得到：，又因为三角形中，故得到，故得到角C=n，由正弦定理得到，又因为，得到，根据余弦定理得到：，最终得到故答案为4。16.如图所示，三棱锥中，是边长为3的等边三角形，是线段的中点，，且，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____．【答案】【解析】三棱锥中，是边长为3的等边三角形，设的外心为，外接圆的半径，在中，，满足，为直角三角形，的外接圆的圆心为，由于，为二面角的平面角，分别过两个三角形的外心作两个半平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接球的球心，在中，，则，连接，设，则，.【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.n【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据和项与通项公式求数列通项公式，再根据等比数列定义求的通项公式；（2）根据错位相减法求数列的前n项和.【详解】（1）因为数列的前n项和，所以当时，；当时，；所以因为，所以公比,(2)设数列的前n项和为，则，相减得：，即【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.如图，在四棱锥中，，，平面，.设分别为的中点.（1）求证：平面∥平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）三棱锥的体积n【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得∥∥平面.再证得∥∥平面平面∥平面；（2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离.试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，则∥.又∵平面，平面，∴∥平面.在中，，∴.又∵，∴∥.∵平面，平面，∴∥平面.又∵，∴平面∥平面.（2）由（1）知，平面∥平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离.由已知，，，，∴，∴三棱锥的体积.19.某中学在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.如图是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。n（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率.附：0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)表格见解析，有99%的把握认为“读书迷”与性别有关;(2)【解析】试题分析：（1）根据题意完成列联表即可，再利用所给公式和临界值表进行判定；（2）先利用分层抽样确定人数，再利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：（1）2×2列联表如下：非读书迷读书迷”合计n男401555女202545合计6040100易知的观测值因为，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.（2）利用分层抽样抽取的8名“读书迷”中有男生3名，女生5名，分别设男生和女生为、，设从8名“读书迷”中选派2名，至少选派一名男生参加比赛的事件为则基本事件共有28种，其中至少选派一名男生参加比赛的事件有18种，所以，所以，至少有一名男生参加比赛的概率为20.已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．【答案】（Ⅰ）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据题目所给的条件得到解出参数值即可；（2）分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.【详解】（Ⅰ）由已知可得：解得：；n所以椭圆C的方程为：．（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，．设，则，即．则直线BM的方程为：，令，得；同理：直线AM的方程为：，令，得．所以．即四边形ABCD的面积为定值2．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.21.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的最大整数值．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.(2)2.【解析】分析：（1）先确定函数的定义域，再求出函数的导数，，分类讨论，确定和时函数的单调性.（2）根据题意，转化为时，条件下求参数问题.由（1）可知：①当时在上单调递增，且，即成立；②时，即，分析情况同①；③时，即，，构造关于的新函数，判断函数的单调性，确定函数零点位置，而；综上得的最大整数值为.详解：解：（1）函数的定义域为．n，当时，，在上单调递增，当时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时在上单调递增，又，所以当时，，满足题意.由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.若，即，在上单调递增，所以当时，，满足题意.若，即，在上单调递减，在上单调递增.即令，，在上单调递减，又，，在上存在唯一零点，综上所述，的取值范围为，故的最大整数值为.点睛：本题考查利用导数分析含参函数单调性，应用函数的单调性求恒成立问题的参数，考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数法，是一道综合题.导函数为二次函数的含参函数的单调性分类讨论步骤：（1）求定义域.（2）讨论导数的最高项系数，若最高项系数含有参数则需分等于零和不等于零进行讨论；若最高项系数不含参数则此步略.（3），再结合二次项系数的正负，确定函数单调性;n（4），即有两个零点和，讨论两个零点的大小及其与函数定义域的关系，再结合二次项系数分解出各单调区间，明确单调性.（5）将分类讨论的情况进行总结.22.在直角坐标系中，曲线：（为参数，常数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若曲线与有公共点，求的取值范围；（2）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切点为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数同角三角函数关系消元得曲线的普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后根据两圆位置关系列不等式，解得的取值范围；（2）先根据切线长公式得，再根据三角函数有界性得最大值.【详解】解：（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为若与有公共点，则，所以.（2）设，由，得.当且仅当时取最大值，故的最大值为.【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及两圆位置关系、切线长公式等，考查基本分析求解能力，属基本题.23.设函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式的解集为R，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值几何意义化为求三个不等式组解集的并集，（2）根据绝对值几何意义化为分段函数，根据分段函数性质求最值，最后解不等式得结果.n【详解】解：（1）由得，即，得.则原不等式的解集为(2)不等式【点睛】本题考查含绝对值不等式解法以及分段函数性质，考查基本分析转化与求解能力，属基本题.