高考数学复习复数、算法初步、统计与统计案例课下层级训练58变量间的相关关系与统计案例 6页

课下层级训练五十八变量间的相关关系与统计案例[A级　基础强化训练]1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25A　[相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好．]2．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其线性回归方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是(　　)A．　　B．　　C．　　D．B　[依题意可知样本点的中心为，则＝×＋，解得＝.]3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3A　[由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.]4．(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为＝x＋.已知i＝225，i＝1600，n＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)A．160B．163C．166D．170C　[∵i＝225，∴＝i＝22.5．∵i＝1600，∴＝i＝160．又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70．∴回归直线方程为＝4x＋70．将x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166.]5．(2019·山东济南检测)某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动，得到如下的列联表．由K2＝并参照附表，得到的下列结论中，正确结论的序号是__________.男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110附表：P(K2≥k)0.0500.0100.11k3.8416.63510.828①在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”②在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”③有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”④有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”①　[因为K2＝≈7.8＞6.635，所以有99%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”．]6．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810n识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为__________．9．5　[由表中数据得＝＝7，＝＝，由(，)在直线＝x＋上，得＝－，即线性回归方程为＝x－.当x＝12时，y＝×12－＝9.5，即他的识图能力为9.5.]7．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14]频数12638618292614乙厂：分组[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14]频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635解　(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为×100%＝72%；乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为×100%＝64%．(2)完成的2×2列联表如下：n甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计5005001000由表中数据计算得K2的观测值k＝≈7.353>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．[B级　能力提升训练]8．下表数据为某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)及对应销售价格y(单位：千元/吨).x12345y7065553822(1)若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；(2)若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？参考公式：解　(1)∵＝＝3，＝＝50，iyi＝1×70＋2×65＋3×55＋4×38＋5×22＝627，＝1＋4＋9＋16＋25＝55，根据公式解得＝－12.3，＝50＋12.3×3＝86.9，∴＝－12.3x＋86.9．(2)∵年利润Z＝x(86.9－12.3x)－13.1x＝－12.3x2＋73.8x＝－12.3(x－3)2＋110.7，∴当x＝3时，年利润Z最大．9．如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018．n(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量；(3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：＝54，(ti－)(yi－)＝21，≈3.74，(yi－i)2＝．参考公式：相关系数r＝，线性回归方程＝＋t，＝，＝－t＋．反映回归效果的公式为：R2＝1－，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．解　(1)由折线图中的数据得，＝4，(ti－)2＝28，(yi－)2＝18，所以r＝≈0.935．因为y与t的相关系数近似为0.935，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系．n(2)因为＝54，＝＝＝，所以＝－＋＝54－×4＝51，所以y关于t的线性回归方程为＝t＋＝t＋51．将2019年对应的t＝8代入得＝×8＋51＝57，所以预测2019年该企业污水净化量约为57吨．(3)因为R2＝1－＝1－×＝1－＝＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．