高考数学复习第四章平面向量课下层级训练24平面向量的概念及其线性运算文新人教a版 5页

课下层级训练(二十四)　平面向量的概念及其线性运算[A级　基础强化训练]1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)A．①　　　B．③　　　C．①③　　　　D．①②A　[根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．]2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)A．B．C．D．A　[由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.]3．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是(　　)A．a＝bB．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b|D．a∥b且方向相同D　[表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向即可．]4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|A　[方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.方法二　利用向量加法的平行四边形法则．在□ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.]n5．(2019·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC．若＝a，＝b，则＝(　　)A．a＋bB．－a＋bC．a－bD．－a－bA　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.]6．(2019·河北邯郸月考)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__________.　[由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.]7．(2019·辽宁大连双基测试)在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y，则＝__________.3　[由题设可得＋＝3(－)，即4＝3＋，亦即＝＋，则x＝，y＝，故＝3.]8．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是__________.　[由题意可求得AD＝1，CD＝，∴＝2，∵点E在线段CD上，∴＝λ(0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值范围是.]9．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GEn，设＝a，＝b，试用a，b表示，.解　＝(＋)＝a＋b.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.10．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．(1)证明　由已知得，＝－＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，＝－＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故＝－2，又与有公共点B，所以A，B，C三点共线．(2)解　＝＋＝3a－2b，＝2a－kb.因为A，C，D三点共线，所以＝λ，即3a－2b＝2λa－kλb，所以所以综上，k的值为.[B级　能力提升训练]11．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)nA．B．C．1D．A　[＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.]12．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　)A．B．C．D．B　[如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.]13．(2018·福建泉州模拟)已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足＝－，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为__________.4　[由＝－，得5＝＋4，所以－＝4(－)，即＝4.所以点D在边BC上，且||＝4||，所以S△ABD＝4S△ACD＝4.]14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是__________.(1，＋∞)　[设＝m，则m>1，因为＝λ＋μ，所以m＝λ＋μ，即＝＋，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.]n15．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R).(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明　(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线．又∵与有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．又＝m＋n.故有m＋(n－1)＝λ－λ，即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.∵O，A，B不共线，∴，不共线，∴∴m＋n＝1.