江苏省苏州市2018_2019学年高二数学上学期学业质量阳光指标调研卷试题（含解析） 17页

苏州市2018—2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2019.1一、填空题：本大题14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.命题“”的否定是_______________.【答案】【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.2.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标为_________．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的标准方程，可得p,进而可求解焦点坐标．【详解】抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.在平面直角坐标系中，三点，，共线，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．【详解】由题意得：，解得：a，n故答案为：．【点睛】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，属于基础题．4.在平面直角坐标系中，方程表示的曲线是双曲线，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，解之可得k的范围．【详解】若方程表示的曲线为双曲线，则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，解得k＜1或k＞2，故答案为：k＜1或k＞2．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的应用，得出（2﹣k）（k﹣1）＜0是解决问题的关键，属于基础题．5.在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离．【详解】∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：d2．故答案为：2．【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在平面直角坐标系中，，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】n【分析】求出线段AB的中点为圆心，半径为|AB|，再写出圆的标准方程．【详解】A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r|AB|，∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．【点睛】本题考查了圆的标准方程与应用问题，考查了两点间的距离公式，是基础题．7.函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．【详解】函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）．【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8.已知直线，及平面，，，则“”是“”的______条件.（请用“充分不必要”，“必要不充分”、“充要”，“既不充分也不必要”填空）【答案】必要不充分【解析】【分析】由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥又m⊂，得：“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，得“l⊥m”时，可能直线l，所以不充分.【详解】由“l⊥“则直线l垂直平面中的任意直线，又m⊂，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥”的必要条件，反之，当l时，内仍有直线与l垂直，即“l⊥m”可能有l成立，所以“l⊥m”是“l⊥”的不充分条件，n即“l⊥m”是“l⊥”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属于简单题.9.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱：“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“堑堵”中，，若“阳马”的体积为，则“堑堵”的体积为______.【答案】30【解析】【分析】连接A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，则可求解．【详解】如图，连接A1C，根据等底等高，易得：，∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．【点睛】本题考查了三棱柱的结构及体积的求法，将其分割成三个三棱n锥是解题的关键，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题．10.如图，在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆（）的右顶点和右焦点，点，分别是椭圆的上、下顶点.若，则该椭圆离心率为______.【答案】【解析】【分析】利用已知条件AB⊥CF，利用斜率之积为-1，列出方程，求出椭圆的离心率即可．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，可得：•1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意垂直条件的合理转化，考查转化思想以及计算能力．11.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列命题中，正确命题的序号是______.①若，，则；②若，，则；n③若，，则.【答案】③【解析】【分析】在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，由面面平行的性质定理得m∥α．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．故答案为：③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知是函数的切线，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k1，b＝lnm﹣1，则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，n设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13.在平面直角坐标系中，已知圆和点，，若在圆上存在点，使得，则半径的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】点A（0，），B（0，），求出点P的轨迹方程，使得∠APB＝60°，通过两个圆的位置关系转化成求解半径r的取值范围．【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线即x轴上，半径为：2，由垂径定理可得圆心到y轴的距离为1，所以圆心坐标为（-1，0）或（1，0）则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，或：（x+1）2+y2＝22，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，就是两个圆有公共点，可得：r+2，并且解得r∈[2，42]．故答案为：[2，42]．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】n求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．【详解】f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）令f′（x）＝0，解得x＝a或x，∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，∴f（a）f（）＜0，即（﹣a+1）[（1）（a）2﹣a+1]＜0，整理可得（a﹣1）2（）＞0，即4（a﹣1）2﹣27＞0且a,解得a＜1或a＞1故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题、解决问题的能力．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在平面直角坐标系中，已知等腰梯形，，，，.以，为焦点的双曲线（，）过，两点.（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程.【答案】（1）（2）离心率,渐近线方程为n【解析】【分析】（1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A，B，C，D的坐标，可得CA，CB的距离，由双曲线的定义可得a，再由a，b，c的关系可得b，即可得到双曲线的方程；（2）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．【详解】（1）因为等腰梯形，，，，.所以，，，.所以，.因为，所以.又因为，为双曲线（，）的焦点，所以，所以.所以.所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，所以双曲线的离心率.又双曲线的渐近线方程为.【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16.如图，，分别为正方形和正方形的对角线，，分别是线段，上的点，且，.（1）证明：平面；（2）证明：.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】n【分析】（1）取DC的三等分点P，通过平面MNP∥平面FCB可得线面平行；（2）利用DC垂直平面FBC，得到CD⊥平面MNP，易证．【详解】(1)取DC的三等分点P，使DP，∵，∴MP∥AD，∴MP∥BC，∴MP∥平面FBC，∵，∴NP∥FC，∴NP∥平面FBC，∴平面MNP∥平面FBC，∴MN∥平面FBC；（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，考查了面面平行及线面垂直的性质定理，属于基础题．17.在平面直角坐标系中，已知圆.（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求切线的方程；（2）已知点为直线上一点，由点向圆引一条切线，切点为，若n，求点的坐标.【答案】（1）或；（2）点的坐标为或.【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得PM2＝PC2﹣MC2，又由PMPO，则2PO2＝PC2﹣MC2，代入点的坐标变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，又由点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，则y1＝2x1﹣6，②，联立①②，解可得x1的值，进而计算可得y1的值，即可得答案．【详解】（1）将圆化标准方程为，所以圆心，半径.又因为圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，所以设切线的方程为.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即.解得：或.所以切线的方程为或.（2）因为为切线且为切点，所以.又因为，所以.又因为，，所以，化简可得：①；因为点在直线上，所以②.联立①②可得：，消去可得：，解得或.将代入②可得：，所以点的坐标为.n将代入②可得，所以点的坐标为.综上可知，点的坐标为或.【点睛】本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题．18.光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为，与光源距离的平方成反比，比例系数为（，均为正常数）.如图，强度分别为8，1的两个光源，之间的距离为10，物体在连结两光源的线段上（不含，）.若物体到光源的距离为.（1）试将物体受到，两光源的总照度表示为的函数，并指明其定义域；（2）当物体在线段上何处时，可使物体受到，两光源的总照度最小？【答案】（1），；（2）在连接两光源的线段上，距光源为处.【解析】【分析】（1）求出P点受A光源的照度，P点受B光源的照度，求和即可；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【详解】（1）因为物体到光源的距离为，所以物体到光源的距离为.因为在线段上且不与，重合，所以.因为光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比.所以点受光源的照度为：，点受光源的照度为：，所以物体受到，两光源的总照度，.（2）因为，.n所以.令，解得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.因此，当时，取得极小值，且是最小值.所以在连接两光源的线段上，距光源为处，物体受到光源，的总照度最小.【点睛】本题考查了函数模型中求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．19.在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，右准线方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，且点在第三象限内.为椭圆的上顶点，记直线，的斜率分别为，.①若直线经过原点，且，求点的坐标；②若直线过点试探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）①；②为定值1.【解析】【分析】（1）由已知列关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆C的标准方程可求；（2）①设A（x1，y1），M（0，1），由椭圆对称性可知B（﹣x1，﹣y1），由点A（x1，y1）在椭圆上，得到，求出k1•k2，结合k1﹣k2，可得k1＝1，则直线MA的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A的坐标；n②直线l过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到k1+k2是定值．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，右准线方程为，所以，解得.又因为.所以椭圆的标准方程为.（2）设，，为椭圆的上顶点，则.①因为直线经过原点，由椭圆对称性可知.因为点在椭圆上，所以，即.因为，.所以.所以，解得或.因为点在第三象限内，所以，所以，则直线的方程为.联结方程组，解得或，所以.（解出，，也可根据，，求出点的坐标）②直线过点，设其方程为.n联列方程组，消去可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．当时，由韦达定理可知，.又因为.所以为定值1.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，其中第二问关键是体现椭圆的对称性并能用坐标表示，考查计算能力，是中档题．20.已知函数，其中，.（1）当时，若在处取得极小值，求的值；（2）当时.①若函数在区间上单调递增，求的取值范围；②若存在实数，使得，求的取值范围.【答案】（1）-2；（2）①；②.【解析】【分析】(1）代入b的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a的值即可；（2）代入a的值，①求出函数的导数，通过讨论b的范围求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可；②通过讨论b的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b的范围即可．【详解】（1）当时，因为，所以.因为在处取得极小值，所以，解得：.此时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以在处取得极小值.n所以符合题意.（2）当时，因为，所以.令.①因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.当时，则，满足题意.当时，因为的对称轴为，所以，解得或.综上，实数的取值范围为.②当时，，与题意不符.当时，取，则.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即.所以，所以符合题意.当时，因为在递增且所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以恒成立，与题意不符.当时，因为，，由零点存在性原理可知，存在，使得，所以当时，，单调递减，n取，则，符合题意.综上可知，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查了不等式有解问题，关键是转化为求解最小值，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，属于较难题型.