高考数学复习平面解析几何第78练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题练习 8页

第78练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题[基础保分练]1.(2019·嘉兴模拟)点P(1,1)为抛物线y2＝x上一定点，斜率为－的直线与抛物线交于A，B两点.(1)求弦AB中点M的纵坐标；(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点)，过Q作PA的平行线交抛物线于E，F两点，求证：|QE|·|QF|－|QP|·|QB|为定值.n2.(2019·金华十校联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P为椭圆E上一点.点A，B为椭圆E的上、下顶点，动点M在第一象限内且坐标为(m,2)，过点M作直线MA，MB分别交椭圆E于C，D两点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.n3.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.n[能力提升练]4.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.n答案精析基础保分练1．(1)解　(1)kAB＝＝＝－，(*)∴yA＋yB＝－2，∴M点纵坐标为－1.(2)证明　设Q(x0，y0)，直线EF：x－x0＝t1(y－y0)，直线PB：x－x0＝t2(y－y0)，联立方程组得y2－t1y＋t1y0－x0＝0，所以yE＋yF＝t1，yE·yF＝t1y0－x0，|QE|·|QF|＝|yE－y0|·|yF－y0|＝(1＋t)|y－x0|.同理|QP|·|QB|＝(1＋t)|y－x0|.由(*)可知，t1＝＝＝yA＋yP，t2＝＝yB＋yP，所以t1＋t2＝(yA＋yB)＋2yP＝－2＋2＝0，即t1＝－t2，即t＝t，所以|QE|·|QF|＝|QP|·|QB|，即|QE|·|QF|－|QP|·|QB|＝0为定值．2．解　(1)由e＝＝，可得a＝2b，将代入椭圆E的方程，得＋＝1，解得b＝1，a＝2，∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意，得A(0,1)，B(0，－1)，则直线MA的方程为y＝＋1，直线MB的方程为y＝－1，联立∴xC＝，xD＝.∴C，D，∴kCD＝＝，n则直线CD的方程为y＝x＋，∴直线CD过定点.3．解　(1)由e＝，得＝，即a＝2c，∴b＝c.由右焦点到直线＋＝1的距离d＝，得＝，解得a＝2，b＝.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，x2＝x1，y1＝－y2，∴y＝x.又＋＝1，解得|x1|＝＝，即点O到直线AB的距离d＝；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆的方程＋＝1联立并消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，∴(k2＋1)－＋m2＝0，整理得7m2＝12(k2＋1)，∴点O到直线AB的距离d＝＝＝.∴点O到直线AB的距离为定值.∵OA⊥OB，∴OA2＋OB2＝AB2≥2OA·OB，当且仅当OA＝OB时取“＝”．n由d·AB＝OA·OB，得d·AB＝OA·OB≤，∴AB≥2d＝，即弦AB长度的最小值是.能力提升练4．(1)解　由题意知＝，可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点为F，所以b＝，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)①证明　设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，即y＝mx－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．联立方程得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ>0，得0