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- 2022-04-12 发布
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课下层级训练(三十五) 直接证明与间接证明[A级 基础强化训练]1．若实数a，b满足a＋b<0，则( )A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于0D [假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.]2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0C [由题意知0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]3．在△ABC中，sinAsinC0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，从而B>，故△ABC必是钝角三角形．]4．(2019·山西太原月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负A [由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)0，则三个数＋，＋，＋( )A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2nC [因为＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，故＋，＋，＋中至少有一个不小于2.]6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________.x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]7．(2019·山东烟台月考)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________.m⇐a0，显然成立．]8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为__________.cn＋1＜cn [由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1＜cn.]9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝>，①－1＝＝>，②－1＝＝>，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得>8.[B级 能力提升训练]10．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是( )A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误nD．①的假设错误；②的假设正确D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．]11．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于( )A．10 B．9 C．8 D．7B [∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.∴不等式可化为m≤(2a＋b)＝5＋2.∵5＋2≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m≤9，即m的最大值等于9.]12．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是__________. [若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，则解得p≤－3或p≥，故满足题干要求的p的取值范围为.]13．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是__________.①③ [①⇒l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确；②⇒l∥β或l⊂β，∴l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；③⇒m⊥α，又m⊂β，∴β⊥α，故③正确；④⇒m⊂α或m∥α.又m⊂β，∴α，β可能相交或平行，故④错误．]14．(2019·安徽阜阳质检)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b；(2)证明：f(x)≤g(x)．(1)解 f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得解得a＝0，b＝1.(2)证明 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．nh′(x)＝－x2＋x－1＝.h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．15．(2019·海南海口调研)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．(1)证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10.∵a>1，∴ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴－＝＝>0.于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－.∵a>1，∴0
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