2020版高考数学复习专题8立体几何第65练立体几何中的易错题理 7页

第65练立体几何中的易错题1．四个平面最多可将空间分割成________个部分．2．已知直线a，b与平面α，β，γ，有下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥b，a⊥α，则b⊥α；③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中，正确的命题是________．(填序号)3．球O是正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，若正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为S1，球O的表面积为S2，则＝________.4．(2019·南通调研)点D为△ABC所在平面外一点，E，F分别为DA和DC上的点，G，H分别为BA和BC上的点，且EF和GH相交于点M，则点M一定在直线________上．5.在体积为9的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，S是C1C上的一点，S－ABC的体积为2，则三棱锥S－A1B1C1的体积为________．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．7．(2019·江苏镇江期末)如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．8．已知三棱锥A－BCD的四个顶点都在同一个球的球面上，AB＝，BC＝3，AC＝2，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则此球的表面积为________．9．(2019·溧阳期末)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为________．n10．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为________．11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2AD，E是DD1的中点，BF＝C1K＝AB，设过点E，F，K的平面与平面AC的交线为l，则直线l与直线A1D1所成角的正切值为________．12.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1－ABM的体积为________．13．在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．15．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．16.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1(包括两个端点)上的动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为时，则线段BD的长为________．n答案精析1．15　2.②③　3.　4.AC　5.16.解析　以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0，0,2)，E(0,2,1)，则＝(2,0，－2)，＝(0,2，－1)．设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，则则即令y＝1，得n＝(2,1,2)．易知平面ABCD的法向量为m＝(0,0,1)，设平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈n，m〉|＝＝.7.解析　如图所示，取AC的中点G，连结SG，BG.n易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG⊂平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得到HF∥AC且HF＝AC，DE∥AC且DE＝AC，所以HF∥DE且HF＝DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝.8．16π解析　因为AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，设球的半径为R，球心为O，AC的中点为M，则OM⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，故OM⊥AC.三棱锥D－ABC的最大体积为×××3×(R＋)＝，解得R＝2，故球的表面积为16π.9．2a解析　设AA1＝h，AE＝x，A1E＝h－x，x∈[0，h]，则BE2＝a2＋x2，C1E2＝(a)2＋(h－x)2，BC＝a2＋h2.又∠C1EB＝90°，n所以BE2＋C1E2＝BC，即a2＋x2＋(a)2＋(h－x)2＝a2＋h2，即关于x的方程x2－hx＋a2＝0，x∈[0，h]有解，当x＝0时，a2＝0，不合题意，当x>0时，h＝＋x≥2a，当且仅当x＝a时取等号．即侧棱AA1的最小值为2a.10．6π解析　设两两垂直的三条侧棱的长度分别为a，b，c，可以得到ab＝，bc＝，ac＝，解得a＝，b＝1，c＝.所以2R＝＝，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π.11．4解析　延长KE，CD交于M点(图略)，又＝，∴＝，同样延长KF，CB交于N点，又＝，∴＝，MN即为过点E，F，K的平面与平面AC的交线l，又CN平行于A1D1，即MN与CN所成角为所求，记所成角为θ，则tanθ＝＝＝4.12.解析　∵棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1－ABM的体积为VA1－ABM＝VM－ABA1＝×S△ABA1×BC＝××1×1×1＝.n13．8解析　过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连结MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.14．30°解析　连结BC1，交B1C于点O，再连结A1O(图略)，因为是在正方体ABCD－A1B1C1D1中，所以BO⊥平面A1B1CD，所以∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，所以在△A1BO中，A1B＝，OB＝，所以sin∠BA1O＝，因为直线与平面所成角的范围是[0°，90°]，所以直线A1B与平面A1B1CD所成角的大小为30°.15.解析　设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，设棱台高为h，则tan60°＝，∴h＝，n∴A(0，－，0)，D1，B1，C(0，，0)，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝.故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.16．2解析　以E为原点，EA，EC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图．E(0,0,0)，F，B(0，－1,0)，D(0，t,2)(－1≤t≤1)，＝，＝(0，t＋1,2)，设直线BD与EF所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，解得t＝1，所以BD＝2.