高考数学复习第八章解析几何课下层级训练41直线的倾斜角与斜率、直线的方程文新人教a版 5页

课下层级训练(四十一)　直线的倾斜角与斜率、直线的方程[A级　基础强化训练]1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于(　　)A．－1　　　B．－3　　　C．0　　　　D．2B　[由k＝＝tan＝－1,得－4－2y＝2，所以y＝－3.]2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1D　[由题意得a＋2＝，解得a＝－2或a＝1.]3．(2018·湖南衡阳期末)已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为(　　)A．B．－C．0D．1＋A　[直线PQ的斜率为－，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝.]4．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)D　[因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1).]5．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)A．B．－C．－D．B　[依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.]6．与直线x＋y＋2＝0垂直的直线的倾斜角为__________.n　[直线x＋y＋2＝0的斜率为－，所求直线与直线x＋y＋2＝0垂直，故所求直线斜率为，故倾斜角为.]7．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________.3x＋2y＝0或x－y－5＝0　[若直线过原点，则直线方程为3x＋2y＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y＋3＝x－2，即为x－y－5＝0，故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.]8．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点__________.(2，－2)　[直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2)．]9．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为－3.解　(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.(2)方法一　令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.方法二　直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.解　(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，n解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.[B级　能力提升训练]11．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(　　)A．2x＋y－7＝0B．x＋y－5＝0C．2y－x－4＝0D．2x－y－1＝0B　[由条件得点A的坐标为(－1,0)，点P的坐标为(2,3)，因为|PA|＝|PB|，根据对称性可知，点B的坐标为(5,0)，从而直线PB的方程为＝，整理得x＋y－5＝0.]12．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)C　[令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|||－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．]13．若直线l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0不经过第二象限，则实数a的取值范围是__________.(－∞，－1]　[将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴或∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.]14．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是__________.(－∞，－1)∪　[由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，直线l在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得k>或k<－1.]15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．n(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．(1)证明　直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．(2)解　直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.(3)解　依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.16．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．解　由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA∶y＝x，lOB∶y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，n所以AB的中点C，由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得解得m＝，所以A(，)．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.