高考数学复习第八章解析几何课下层级训练49范围与最值问题文新人教a版 5页

课下层级训练(四十九)　范围与最值问题[A级　基础强化训练]1．(2018·甘肃天水二模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，椭圆的一个焦点为(，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过点M(0，)且与椭圆E交于A，B两点．求|AB|的最大值．解　(1)依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)．则|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝，∴b2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1．(2)当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0．由Δ＞0得4k2＞1．由x1＋x2＝－，x1x2＝得|AB|＝＝2．设t＝，则0＜t＜．∴|AB|＝2＝2≤．当直线l的斜率不存在时，，|AB|＝2＜，∴|AB|的最大值．2．(2018·四川内江模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(，1)，且焦距为2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k(x＋1)(k＞－2)与椭圆C相交于不同的两点A、B，线段AB的中点M到直线2x＋y＋t＝0的距离为，求t(t＞2)的取值范围．n解　(1)由2c＝2，c＝，则a2－b2＝2，将点(，1)代入椭圆方程＋＝1，解得a2＝4，b2＝2，∴椭圆的标准方程＋＝1．(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，则x1＋x2＝－，则x0＝＝－，y0＝k(x0＋1)＝，由M到直线2x＋y＋t＝0的距离，即＝，则|＋t－2|＝3，由k＞－2及t＞2，则t＝5－＝5－，由≥6，∴5－≤t＜5，即4－≤t＜5，∴t(t＞2)的取值范围．3．(2019·广西南宁模拟)已知点P(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．(1)求E的方程；(2)设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．解　(1)由题意△ABP是等腰直角三角形，a＝2，B(2,0)，设Q(x0，y0)，由＝n，则代入椭圆方程，解得b2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1．(2)由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y＝kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，由直线l与E有两个不同的交点，则Δ＞0，即(－16k)2－4×12×(1＋4k2)＞0，解得k2＞，由韦达定理可知x1＋x2＝，x1x2＝，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k×(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)－2k×＋4＞0，解得k2＜4，综上可知＜k2＜4，解得＜k＜2或－2＜k＜－，直线l斜率的取值范围∪．[B级　能力提升训练]4．已知椭圆的焦点坐标是F1(－1,0)，F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3．(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解　(1)设椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，由交点的坐标得c＝1，由|PQ|＝3，可得＝3，解得a＝2，b＝，故椭圆的方程是＋＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＞0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a＝8，S△F1MN最大，R就最大，nS△F1MN＝|F1F2||y1－y2|＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋1，由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，解得y1＝，y2＝，则S△F1MN＝，令t＝，则t≥1，则S△F1MN＝，令f(t)＝3t＋，f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)≥0，f′(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，即当t＝1，m＝0时，S△F1MN≤＝3，S△F1MN＝4R，所以Rmax＝，此时所求内切圆面积的最大值是，故直线l：x＝1，△F1MN内切圆的面积最大值是．5．(2019·辽宁沈阳检测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．解　(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5．结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16．所以椭圆的方程为＋＝1．(2)法一：由得x2－a2b2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．n所以x1＋x2＝0，x1x2＝，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0．即x1x2＝－8，所以有＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12(a2＝6舍去)，所以离心率e＝.(若设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)相应给分)法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以x＋y＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：由前两个方程解得x＝8，y＝1，将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，解得a2＝12，故e＝．(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，又＝＝－，即k2＝－，由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜．即直线PB的斜率k2的取值范围是．