北京市中国人民大学附属中学2019届高三数学下第三次调研考试试题文 13页

北京市中国人民大学附属中学2019届高三下第三次调研考试文科数学试题本试卷共5页。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知为虚数单位，则等于()A.B.1C.D.-12.已知集合，则A中元素的个数为A．1B．5C．6D．无数个3.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）n第4题4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出的值为A.B.C.D.5.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案;点满足不等式组，向圆内均匀撒粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是，则圆周率为（）A.B.C.D.6.如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：①AD∥平面SBC；②；③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④与平面SCD所成的角为45°．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.47．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是()A．B．C．D．n8．在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数(数列)和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为A.64B.C.36D.16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为;10.若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为11.已知分别是锐角△的角所对的边，且，若，则________12.数列的前项和为，且，则数列的最小值为.13.已知抛物线上有三个不同的点，抛物线的焦点为，且满足，若边所在直线的方程为，则．14．若侧面积为的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为___.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。n15.（本小题满分13分）如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF＝90°，∠BDE＝θ(0°<θ<90°).(1)当tan∠DEF＝时，求θ的大小；(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.16.（本小题满分13分）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项.(1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.17．（本小题满分13分）某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量(单位：吨)，将数据按照[0,2)，[2,4)，…，[14,16](全市居民月用水量均不超过16吨)分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.n(1)求频率分布直方图中字母a的值，并求该组的频率；(2)通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m的值(保留两位小数)；(3)如图2是该市居民张某2018年1～6月份的月水费y(元)与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是＝2x＋33.若张某2018年1～7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.18.（本小题满分13分）已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1＝4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点.(1)求证：AB1⊥平面PBC；(2)在BC边上找一点Q，使PQ∥平面A1ABB1，并求三棱锥Q－PBB1的体积.19.（本小题满分14分）已知f(x)＝ex－alnx－a，其中常数a>0.(1)当a＝e时，求函数f(x)的极值；(2)若函数y＝f(x)有两个零点x1，x2(00)的焦点为F，以A(x1，y1)(x1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线C上.(1)过Q(0，－3)作抛物线C的切线l，切点为R，点F到切线l的距离为2，求抛物线C的方程；(2)求△ABC面积的最小值.文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题题号123[Z&X&X&K]45678答案DDCBDCACn二．填空题9.10.11.12.13.814.6三．解答题15.（本小题满分13分）解　(1)在△BDE中，由正弦定理得DE＝＝，在△ADF中，由正弦定理得DF＝＝.由tan∠DEF＝，得＝，整理得tanθ＝，所以θ＝60°.(2)S＝DE·DF＝＝＝＝.当θ＝45°时，S取最小值＝.16.（本小题满分13分）解　(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋，n∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝(n∈N*).(2)由(1)得＝＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝(n∈N*).17．（本小题满分14分）解　(1)∵(0.02＋0.04＋0.08＋a＋0.13＋0.08＋0.03＋0.02)×2＝1，∴a＝0.10.第四组的频率为0.1×2＝0.2.(2)∵0.02×2＋0.04×2＋0.08×2＋0.10×2＋(m－8)×0.13＝0.5,[]∴m＝8＋≈8.15.(3)∵＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝，且＝2x＋33，∴＝2×＋33＝40.∴张某7月份的水费为312－6×40＝72.设张某7月份的用水吨数为x，∵12×4＝48<72，[]∴12×4＋(x－12)×8＝72，解得x＝15.即张某7月份的用水吨数为15.18.（本小题满分13分）n(1)证明　取AA1的中点M，连接BM，PM，∴PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面PBC.∵AA1⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴AA1⊥BC，∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1.∵AB＝AA1＝4，∠BAM＝∠B1A1A＝90°，AM＝B1A1＝2，∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA＝∠B1AA1，∵∠BAA1＝∠B1A1A＝90°，∴∠MBA＋∠BAB1＝90°，∴BM⊥AB1，∵BM⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，BM∩BC＝B，∴AB1⊥平面PBC.(2)解　在BC边上取一点Q，使BQ＝3，∵PM为梯形ADD1A1的中位线，A1D1＝2，AD＝4，[]∴PM＝3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，∴PM∥BQ，且PM＝BQ，∴四边形PMBQ是平行四边形，n∴PQ∥BM，又BM⊂平面A1ABB1，PQ⊄平面A1ABB1，∴PQ∥平面A1ABB1.∵BC⊥平面ABB1A1，BM⊂平面ABB1A1，∴BQ⊥BM，∵AB＝AA1＝4，AM＝A1B1＝2，`∴BM＝AB1＝2.设AB1∩BM＝N，则AN＝＝.∴B1N＝AB1－AN＝.∴＝＝S△BPQ·B1N＝××3×2×＝6.19.（本小题满分13分）(1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，[当a＝e时，f(x)＝ex－elnx－e，f′(x)＝ex－，而f′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，又f′(1)＝0，当01时，f′(x)>f′(1)＝0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有极小值f(1)＝0，没有极大值.(2)证明　当f(x)≥0恒成立时，有00显然成立；若x>，由f(x)≥0，得a≤，n令φ(x)＝，则φ′(x)＝，令g(x)＝lnx＋1－，由g′(x)＝＋>0，得g(x)在上单调递增，又因为g(1)＝0，所以当x∈时，φ′(x)<0；x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0；所以φ(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(x)min＝φ(1)＝e，从而0e，所以f(1)＝e－a<0，f(a)＝ea－alna－a，令F(a)＝ea－alna－a，则F′(a)＝ea－lna－2，令G(a)＝ea－lna－2，则G′(a)＝ea－>ea－>e－>0，所以F′(a)＝ea－lna－2在(e，＋∞)上单调递增.所以F′(a)>F′(e)＝ee－3>e2－3>0，所以F(a)＝ea－alna－a在(e，＋∞)上单调递增，所以F(a)>F(e)＝ee－2e>e2－2e>0，所以f(a)>0，则f(1)f(a)<0，n所以1e，得f ＝－aln－a＝＋alna－a>＋alne－a＝>0，则f(1)f <0，所以0)，得x2－2pkx＋6p＝0，Δ＝4p2k2－4×6p＝0，即pk2＝6.∵F，F到切线l的距离为d＝＝2，化简得(p＋6)2＝16(k2＋1)，∴(p＋6)2＝16＝，∵p>0，∴p＋6>0，得p2＋6p－16＝(p＋8)(p－2)＝0，∴p＝2.∴抛物线方程为x2＝4y.(2)已知直线AB不会与坐标轴平行，设直线AB：y－y1＝t(x－x1)(t>0)，联立抛物线方程，得x2－2ptx＋2p(tx1－y1)＝0，则x1＋xB＝2pt，则xB＝2pt－x1，同理可得xC＝－－x1.n∵|AB|＝|AC|，即|xB－x1|＝|xC－x1|，∴t(xB－x1)＝x1－xC，即x1＝.∴|AB|＝|xB－x1|＝(2pt－2x1)＝2p.∵≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，＝≥＝(当且仅当t＝1时等号成立)，故|AB|≥2p，△ABC面积的最小值为4p2.