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- 2022-04-12 发布
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福建省永春县第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题理考试时间：120分钟试卷总分：150分本试卷分第I卷和第II卷两部分第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（ ）A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i2．已知f(x)＝x2＋，则等于（）A．0B．1C．－2D．－43．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C0，则x∈(2π＋2kπ，3π＋2kπ)，k∈Z.所以当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得极小值，其极小值为f(2π＋2kπ)＝e2kπ＋2π·[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e2kπ＋2π×(0－1)＝－e2kπ＋2π，k∈Z.因为0≤x≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k∈[0，1004]，所以函数f(x)的各极小值构成以－e2π为首项，以e2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f(x)的各极小值之和为S1005＝－e2π－e4π－…－e2010π＝－.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13．-114．15．122516．215．【解析】 由图可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*)．所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时，an能被5整除，即b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，n所以b2k＝a5k(k∈N*)．则b2k－1＝a5k－1＝×5k(5k－1)＝.b19＝122516．【解析】，令，综上所述，，即的最大值为2。三、解答题：本大题共6小题，共70分，17．（本小题满分12分）解：（1）对应的复数为z2－z1，n则z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i∵z2－z1是纯虚数，∴解得a=－1.（2）=18．（本小题满分12分）（1）证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于0………6分（2）证明：i)当n=1时，左式=，右式=，∴左式=右式，等式成立．ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，即，则当n=k+1时，n即n=k+1时，等式也成立，由i)ii)可知，等式对n∈N*均成立．………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）……………………3分则不等式解得………………………………………………5分故不等式的解集为……………………………6分（Ⅱ）作出函数的图象，如图.若的图象与直线围成的图形是三角形，则当时，△ABC的面积取得最大值，的图象与直线围成图形的面积不小于14，该图形一定是四边形，即………………………………………………………………………9分△ABC的面积是6，的面积不小于8.…………………10分……………………………11分又n故实数的取值范围是………………………………………12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）当时，，定义域故令，得故的单调递增区间为5分（Ⅱ）方法1：令，定义域则∴函数在为减函数，由，∴当时，，所以解得故的值为12分（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为.，令，得.所以函数为增函数，故的最大值为，即.12分21．（本小题满分12分）n解：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为（0，），因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，∴即∴……………………………4分（Ⅱ）因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即……………6分因为…………8分令，则，由题意知，不等式上恒成立.令如果所以上单调递增，又上恒成立，符合题意.………………………………………10分如果时，上单调递增，在n上单调递减，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式恒成立，只须.……12分22．（本小题满分10分）n
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