2018_2019学年高中数学第三章导数应用11.2函数的极值教案（含解析）北师大版 11页

1．2　函数的极值极值点与极值1．在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮．问题1：李阳最高说明了什么？提示：李阳是这10人中最高的．问题2：在你们班中，李阳一定还最高吗？提示：不一定．2．已知y＝f(x)，y＝g(x)的图像．问题1：观察y＝f(x)的图像，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？提示：f(x0)在(a，b)内最大．问题2：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？提示：不一定．问题3：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？提示：f(x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零．问题4：函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？提示：与y＝f(x)在(a，b)上结论相反．1．函数极值的概念(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．函数的单调性与极值(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0n是极小值点，f(x0)是极小值.求函数极值点的步骤求函数极值点的步骤(1)求出导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点．①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点．③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可．(3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．(4)在区间上单调的函数没有极值．求函数的极值[例1]　求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝.[思路点拨]　首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．[精解详析]　(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增加极大值减少极小值增加n因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)增加极大值减少因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值点．[一点通]　求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．1．设函数f(x)＝xex，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D　求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．2.已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是(　　)A．－2a＋cB．－4a＋cC．－3aD．c解析：选B　由导函数f′(x)的图像知当00；当x>2时，f′(x)<0；当x＝2时，f′(x)＝0.又f′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f(x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f(x)的极大值为f(2)＝－4a＋c，故选B.n3．求下列函数的极值：(1)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1(00，得x<－1或x>1；令f′(x)<0，得－11时，f′(x)>0，当－10，即a>－1或a<－－1时，由f′(x)＝0得x1＝－a－，x2＝－a＋，显然x0＝x2，则由题设知1<－a＋<3.当a>－1时，不等式1<－a＋<3无解；当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3，得－时，f′(x)>0；当00D．b<解析：选A　f′(x)＝3x2－3b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴00，即f′(x)<0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．n5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．答案：36．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：由图像可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；(2)f(x)＝x3ex.解：(1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，∴f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化，如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5.n(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：x(－∞，－3)－3(－3,0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)极小值无极值由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．8．已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．解：∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝时，函数取得极大值f＝；当x＝时，函数取得极小值f＝0.(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝时，函数取得极大值f＝0；当x＝时，函数取得极小值f()＝.n综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝，在x＝处取得极小值f＝0；当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝0，在x＝处取得极小值f＝.