上海市华东师范大学第二附属中学2018_2019学年高二数学3月月考试题 15页

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二数学3月月考试题（含解析）一、填空题：1.设，则__________________；【答案】1【解析】【分析】通过运算，将复数转化为形式,即可得解.【详解】解：,所以Imz=1【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的虚部的定义，其中正确进行复数的除法运算是解题的关键，是基础题.2.设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则【答案】-2【解析】．【考点定位】考查复数的定义及运算，属容易题。3.若复数满足，则_______________；【答案】【解析】【分析】设出，代入，求出，根据得到结论【详解】解设代入得：n根据复数相等定义得：，解得解得：，故【点睛】本题考查复数相等的定义、复数模的定义，待定系数法的使用是本题解题的主要方法。4.若是实系数方程的一个虚根，且，则_____________；【答案】4【解析】【分析】是实系数方程的一个虚根，解出方程的根为，根据复数模的定义，解得的值【详解】解：实系数方程的一个虚根所以，解得：【点睛】在复数范围内求解实系数方程的根，在时，两根互相共轭，共轭复数的模相等，根据模的值求出参数的值.5.已知空间四边形中，，点分别是边和的中点，且，则异面直线和所成角的大小是_________________________；【答案】【解析】【分析】要求异面直线和所成角，先找出与异面直线和平行的两条相交的直线，探寻出异面直线和所成角，进而在三角形中解决角的大小问题【详解】解：取的中点，连接因为，为中点所以，同理：所以，异面直线和所成角即为所成角n异面直线和所成角即为或其补角在中，由余弦定理得异面直线和所成角为60°【点睛】异面直线所成角问题，要借助平行关系，找出具体角，然后在三角形中，求出角的大小。6.已知在长方体中，，则直线与平面所成的角的大小为_______________________；【答案】【解析】【分析】线面角是线在平面内的射影与线的夹角，先要求出直线在平面内的射影，由于平面与平面是垂直的，故过点作垂线交于点，根据面面垂直的性质定理即可得到平面，所以，即为直线在平面内的射影，所以即为直线与平面所成角，在求解角的大小。【详解】解：过点作垂线交于点因为平面垂直平面所以，直线在平面内的射影为所以，即为直线与平面所成角在中，所以，直线与平面所成角的大小为【点睛】线面所成角常见解法是通过找出斜线在平面上的射影，射影与其直线所成角即为线面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。7.已知点是边长为1的等边三角形所在平面外一点，且，则点到平面的距离是_________________________；【答案】【解析】【分析】n由于，所以点在平面的射影为底面等边三角形的重心，设重心为点，所以，，在三角形求解。【详解】解：设等边三角形的重心为点，连接因为且，所以，平面所以，在等边中，在中，。【点睛】点到面的距离常见解决方法是：1.找出点到面的距离对应线段；2.等体积法求解。8.已知直线与平面，下列命题：①若平行内的一条直线，则；②若垂直内的两条直线，则；③若，且，则；④若且，则；⑤若且，则；⑥若，则；其中正确的命题为______________（填写所有正确命题的编号）；【答案】⑤⑥【解析】【分析】如果命题找到反例就说明错误性，找不到反例可试着证明命题的正确性【详解】解：①若平行内的一条直线，则，还有可能在平面内，所以错误；②若垂直内的两条直线，则，这两条直线必须是垂直的，所以错误；③若，且，则，缺少与相交的条件，所以错误；④若且，则，要垂直于平面才能得到，所以错误；⑤若且，则，由线面平行的性质定理可证得；⑥若，则，由面面平行的性质定理可证得；故选⑤⑥【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明。n9.设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合___________________；【答案】或【解析】【分析】根据若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，分两种情况讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析。【详解】解：集合中任意两数之积仍是中的元素所以会出现两者相乘等于自身的情况，也有可能均不等于自身情况即其中有一项为或者（1）当时，或若，则或所以，或又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素所以，剩下的一个数必为-1，所以集合当时，则必须又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素则，解得，或，，所以，集合。（2）当时，三个等式相乘则得到所以得到或若，则三者必有一个为0，同（1）可得集合。若，则得到，当时，则可以得到且，则不成立；当时，则，不成立。故集合M为或【点睛】求解这类问题时，要注意逻辑严谨分析，对每一个条件，每一种情况都要力求准确n到位，在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充。10.已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是______________________；【答案】【解析】【分析】当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。与在二面角的两个面内，此时可将在两个不同平面上的量通过对平面翻折，转化到同一平面上求解。【详解】解：当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。与在二面角的两个面内，为此将绕旋转90°，使得平面与平面在同一平面内，由，故当共线且与垂直时，取得最小。在平面内，因为所以，，又，所以与都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值为。【点睛】空间中的最短（长）距离常见方法是通过射影等方法转化为平面上的最值问题。二、选择题：11.对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则且C.一定有D.一定有【答案】D【解析】【分析】n实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。12.教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A.平行B.垂直C.相交D.异面【答案】B【解析】【分析】直线与平面三种位置关系，对每个选项举反例排除或证明。【详解】解：选项A，当直尺所在直线与地面只有一个公共点时，若地面上能找出一条直线与此相平行，则直尺所在直线与地面是平行的，线面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，与条件矛盾，选项A错误选项B：直线与地面共有三种位置关系，1.直线在地面内，可以找到一条直线与已知直线垂直；2.直线与地面有一共公共点，即相交时，可以找到一条直线与已知直线垂直；3.直线与地面平行时，可以找到一条直线与已知直线异面垂直，所以选项B正确。选项C：当直尺所在直线与地面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交，选项C错误选项D：当直尺所在直线在地面内时，直尺所在直线与地面上所有直线都是共面的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面，选项D错误【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明。直线与平面的位置共有三种，对每一种情况进行具体分析求解。13.若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A.1B.2C.3D.4【答案】Bn【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。【详解】解：在复数范围内，存在使，命题①错误；②在复数范围内，复数满足，根据运算性质可得到，故成立；③在复数范围内表示的是复数与的模长，模长相等，复数可以不相等。④在复数范围内，由于是非零复数，所以在得两边同时除以可得，故成立。故选B【点睛】实数运算成立的等式，在复数范围内未必成立，不同范围成立条件不一样，注意合理使用。14.（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（　　）A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°【答案】A【解析】设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直n故选：A三、解答题：15.在正方体中，分别是的中点.（1）求证：四边形是棱形；（2）作出直线与平面的交点（写出作图步骤）.【答案】（1）详见解析；（2）略.【解析】【分析】（1）在空间中证明四边形为菱形，则必须从相等、平行两个角度进行证明（2）要作直线与平面的交点，在平面上，作出直线与直线的交点。【详解】（1）证明：取中点，连接，可得，四边形为平行四边形，则，由为正方体，且分别为的中点，可得为平行四边形，∴，则，且，四边形为平行四边形，由，可得，四边形是菱形.n（2）作图：步骤1：连接步骤2：取与的交点，记作为，即为所求。【点睛】证明空间四边形为平行四边形，不能仅仅用两组对边分别相等来证明，必须要出现一组对边平行的条件；作直线与平面的交点常见办法是在同一平面内作直线与平面内某条直线的交点。16.如图：在长方体中，分别是棱的中点，，求：（1）与所成的角；（2）与平面所成的角.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求直线与所成的角，通过可转化为直线与所成的角，然后在中利用余弦定理解可得；（2）直线与平面所成的角，首先要求出在平面上射影，由长方体可得在平面上射影即为，所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角，在中解得线面角的大小。【详解】解：因为，分别是棱的中点n所以，所以，直线与所成的角即为直线与所成的角所以，直线与所成的角为或其补角连接在中，，，由余弦定理解得所以，直线与所成的角（2）因为长方体所以，平面连接所以直线与平面所成角的平面角即为或其补角，在中，，，所以所以直线与平面所成角的平面角即为。【点睛】异面直线所成角常见解法是通过平行找出异面直线所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小；线面所成角常见解法是通过找出斜线在平面上的射影，射影与其直线所成角即为线面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。17.如图，在空间四边形中，平面，，且，.（1）若，求证：平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】n（1）要证平面，即要证垂直于平面内的两条相交直线即可，显然垂直于；（2）要求二面角的大小，首先要找出二面角的平面角，由（1）可知即为所求二面角的平面角，然后在求解角的大小。【详解】（1）证明：因为平面，所以，又因为，所以平面，所以，又因为，则平面，得证；（2）因为平面，所以即为所求二面角，根据等面积法，，再根据相似，，则，所以二面角的大小为：；【点睛】证明线面垂直时，应注意线面垂直判定定理的条件，缺一不可；二面角常见解法是通过线面垂直找出二面角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。18.复数所对应的点在点及为端点的线段上运动，复数满足，求：（1）复数模的取值范围；（2）复数对应的点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据条件可设，由此可表示出的模形式，进而得出模的范围；（2）复数对应的点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，将用（1）中的形式进行表示，转化为参数方程，即可解决轨迹方程。【详解】（1）设，则；（2）；n【点睛】复数形式不确定时，可利用待定系数法，将复数表示出来，然后进行分析解题；求点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，常见方法有常见曲线的定义、参数方程等方法。19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.n从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.n由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由得设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.考点：线线平行、线面平行、向量法.