2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一） 27页

2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.复数（为虚数单位）的虚部为（）A.B.C.D.3.双曲线的焦点坐标为（）A.B.C.D.4.记为等差数列的前项和，若，，则（）A.4B.5C.6D.75.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)nA.2B.4C.6D.87.设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（　　）A.S＝2，这5个数据的方差B.S＝2，这5个数据的平均数C.S＝10，这5个数据的方差D.S＝10，这5个数据的平均数8.已知，，三点不共线，且点满足，则（）A.B.C.D.9.在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝（　　）A.（n﹣2）•2nB.1﹣C.（1﹣）D.（1﹣）10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（　　）（参考数据：2.236）A.0.236B.0.382C.0.472D.0.61811.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+（ω≥0，|φ|＜π）的图象与直线y＝c（＜c＜n）的三个相邻交点的横坐标为2，6，18，若a＝f（lg），b＝f（lg2），则以下关系式正确的是（　　）A.a+b＝0B.a﹣b＝0C.a+b＝1D.a﹣b＝112.已知函数f（x）＝（kx+）ex﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为（　　）A.[，）B.（，]C.[）D.[）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数为__________．14.设满足约束条件则最大值为__________．15.已知三棱锥P﹣ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心,以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于_____16.已知为抛物线：的焦点，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线与曲线，从左至右依次相交于，则___．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；n（2）若在边上，且，，，求.18.已知五面体中，四边形为矩形，，，且二面角的大小为.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.已知点，都在椭圆：上.（1）求椭圆方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（异于顶点），记椭圆与轴的两个交点分别为，，若直线与交于点，证明：点恒在直线上.20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾n校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.21.已知函数.（1）讨论单调性；（2）当时，，记函数在上最大值为，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＞4．（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．n2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集即可．【详解】在集合A中，得x＜3，即A＝（，3），在集合B中y＝2x在（，3）递增，所以0＜y＜8，即B＝（0，8），则A∩B＝（0，3）．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的值域，属于基础题．2.复数（为虚数单位）的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】=，所以z的虚部为．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．n3.双曲线的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．4.记为等差数列的前项和，若，，则（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，首项为运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可．【详解】设等差数列{an}的公差为d，首项为，由，，得2a1+8d＝34，4a1+×4×3d＝38，解得d＝3，故选：B．n【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想以及运算能力，属于基础题．5.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】当时，由=，得，由函数单调性的性质，即可得的解集.【详解】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)nA.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7.设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（　　）A.S＝2，这5个数据的方差B.S＝2，这5个数据的平均数C.S＝10，这5个数据的方差D.S＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5n个数据的方差，因为，∴由方差的公式S＝．故选：A．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题．8.已知，，三点不共线，且点满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量换为表示，整理后可求结果。【详解】已知，，三点不共线，且点满足，所以=+=）（）+=，所以,故选：A【点睛】本题考查了向量减法的运算，也考查了向量的线性表示，属于中档题．9.在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝（　　）A.（n﹣2）•2nB.1﹣C.（1﹣）D.（1﹣）【答案】A【解析】【分析】n利用累加法和错位相减法求数列的通项公式．【详解】∵an+1＝an+n•2n，∴an+1﹣an＝n•2n，且a1＝﹣2∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）•2n﹣1+…+2•22+1•21，①∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）•2n+（n﹣2）•2n﹣1+…+2•23+1•22，②①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2＝﹣（n﹣1）•2n+﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n，∴an﹣a1＝（n﹣1）•2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）•2n故选：A．【点睛】本题考查了数列递推式求通项公式，利用了累加法和错位相减法，属于中档题．10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（　　）（参考数据：2.236）A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可得：AC＝，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约为＝0.236．【详解】由勾股定理可得：AC＝，由图可知：BC＝CD＝1，AD＝AE＝n≈1.236，BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为＝=0.236，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题．11.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+（ω≥0，|φ|＜π）的图象与直线y＝c（＜c＜）的三个相邻交点的横坐标为2，6，18，若a＝f（lg），b＝f（lg2），则以下关系式正确的是（　　）A.a+b＝0B.a﹣b＝0C.a+b＝1D.a﹣b＝1【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的性质得出函数f（x）的周期及对称轴，解出f（x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性，结合lg与lg2的关系即可判断．【详解】由正弦函数的性质可知f（x）的周期T＝18﹣2＝16，∴ω＝，f（x）的对称轴为x＝＝4．且f（4）＝，因为|φ|＜π，φ＝0．∴f（x）＝sin+．∵lg＝﹣lg2．∴a＝sin（）+，b＝sin（﹣）+＝﹣sin（）+，∴a+b＝1．故选：C．【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质，对数的运算性质，函数奇偶性的应用，属于中档题．n12.已知函数f（x）＝（kx+）ex﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为（　　）A.[，）B.（，]C.[）D.[）【答案】A【解析】【分析】把f（x）＜0转化为（kx+）ex＜2x，即kx+＜，令g（x）＝，利用导数研究g（x）的单调性，数形结合得答案．【详解】由f（x）＜0，得（kx+）ex＜2x，即kx+＜，令g（x）＝，则g′（x）＝，当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．作出函数g（x）与y＝kx+的图象如图：y＝kx+的图象过定点P（0，），A（1，），B（2，），∵，．∴实数k的取值范围为[，）．故选：A．【点睛】本题考查函数零点的判定，利用导数研究其单调性与最值，考查转化思想和数形结合的方法，属于中档题．n二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数为__________．【答案】60【解析】【分析】利用二项式展开式通项确定满足条件的系数．详解】二项式（2x+y）6的展开式中，展开式的含x2y4的项为，所以含x2y4的项的系数是60.故答案为：60．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，属于基础题．14.设满足约束条件则的最大值为__________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，由目标函数变型得y＝﹣2x+z，根据可行域找出最大值即可．【详解】作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z＝2x+y得y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，截距最大，即z最大．n解方程组得x＝3，y＝1，即B（3，1）．∴z的最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合思想，属于中档题．15.已知三棱锥P﹣ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心,以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于_____【答案】【解析】【分析】根据数形结合和弧长公式求解即可.【详解】如图所示，，为等腰直角三角形，且＝.以顶点P为球心,以2为半径作一个球与的分别交于,得AN＝1，=，所以，∴×，同理，.是以顶点P为圆心,以2为半径的圆周长的,所以，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于．故答案为：．n【点睛】本题考查球面距离及相关计算、正方体的几何性质，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题．16.已知为抛物线：的焦点，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线与曲线，从左至右依次相交于，则___．【答案】【解析】分析】由直线过焦点F，得|RS|＝|SF|﹣＝+﹣＝+，|PQ|＝|PF|﹣＝+﹣＝+，求出S，P的纵坐标代入即可.【详解】，因为直线与曲线，从左至右依次相交于，所以，.由直线过抛物线：的焦点F，所以|RS|＝|SF|﹣＝+﹣＝+，|PQ|＝|PF|﹣＝+﹣＝+，=.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.n（一）必考题：60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若在边上，且，，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式化简求解即可；（2）由正弦定理和三角形的面积求得的a，b，c，在中，由余弦定理得.【详解】（1）在中，因为，所以.又，所以，所以，则，即.因为，所以，即.因为，所以.（2）因为，所以，所以.n所以，不妨设，，.因为，所以，解得，即，，，因为，所以，.在中，由余弦定理得，所以.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式和辅助角公式的化简，属于中档题.18.已知五面体中，四边形为矩形，，，且二面角的大小为.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证平面，由线面平行的性质定理得，所以由线面垂直的判定定理得平面，从而得A平面；（2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，过平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，【详解】（1）在五面体中，四边形为矩形，所以，.因为平面，平面，所以平面，n因为平面，平面平面，所以，又，故.因为，，，所以，因，所以平面，又，所以平面.（2）过点作，垂足为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，过平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面，平面的法向量，利用向量法求解即可.则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则即，不妨令，则.设平面的一个法向量为，则即不妨令，则，则.由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和线面垂直的判定定理，利用向量法解二面角的问题，属于中档题.n19.已知点，都在椭圆：上.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（异于顶点），记椭圆与轴的两个交点分别为，，若直线与交于点，证明：点恒在直线上.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）把点，代入椭圆方程，得即可；（2）设，，联立得，，联立直线和直线的方程，得，把韦达定理代入化简即可.【详解】（1）由题意得，得，故椭圆的方程为.（2）由题意可设直线的方程为，，.联立整理得.所以，，则.①由题意不妨设，，则直线的方程为，n直线的方程为.联立整理得，所以.把①代入上式，得，当时，可得，当时，易求，即不符合题意.综上，故点恒在直线上.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，也考查了韦达定理的应用，属于中档题.20.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200n若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应概率，进而可求X的数学期望．【详解】事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费..（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.，，，n，.则的分布列为：40060080010001200故(元).【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增，，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以n，令，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.【详解】（1）因为，所以，当时，；当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，，则，当时，，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即.故当时，，此时；当时，，此时.即在上单调递增，在上单调递减.则.令，，则.所以在上单调递增，所以，.故成立.n【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，，且，由M为的中点，得x=，y=，整理得，化为极坐标即可；（2）把直线：化成极坐标方程为，设，，因为，得，即，联立，得，代入即可.【详解】（1）设，.且点，由点为的中点，所以整理得.即，化为极坐标方程为.n（2）设直线：的极坐标方程为.设，，因为，所以，即.联立整理得.则解得.所以，则.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题.23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＞4．（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．【答案】（1）{x|x＜﹣，或x＞0}；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）由题意可得，x＝2是方程f（x）＝3x+4的解，即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或a＝﹣2．检验可得结论．【详解】（1）当a＝2时，不等式f（x）＞4，即|x﹣2|+2|x+1|＞4，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣，解②求得x＞0，解③求得x≥2，故原不等式的解集为{x|x＜﹣，或x＞0}．（2）不等式f（x）＜3x+4，即|x﹣a|+2|x+1|＜3x+4，∵不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，故x＝2是方程f（x）＝3x+4的解，n即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或a＝﹣2．当a＝6时，求得f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，满足题意；当a＝﹣2时，求得f（x）＜3x+4的解集不是{x|x＞2}，不满足题意，故a＝﹣2应该舍去．综上可得，a＝6．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．