《小学教育概统》ppt课件 44页

第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望9/4/20211\n§4.1.1数学期望的定义例：某自动化车床一天内加工的零件中，出现次品的数量X是一个随机变量。由多日统计，得X分布律如下:X012340.150.270.440.100.04问车床平均一天出几个次品？解：设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为9/4/20212\n数学期望的定义若级数不绝对收敛，我们称X的数学期望不存在。定义4.1设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk,k=1,2,…,如果级数绝对收敛，则称此级数为X的数学期望（也称期望或均值），记为9/4/20213\n泊松分布的期望例4.3设X，则E(X)=.9/4/20214\n连续型随机变量的数学期望定义4.2设连续型随机变量X的密度函数为f(x),如果广义积分则称此积分为随机变量X的数学期望,记为绝对收敛，9/4/20215\n例4.4Γ分布的数学期望X的密度函数:解:9/4/20216\n例：随机变量不存在的例子设随机变量X服从Cauchy分布，其密度函数为：这表明积分不绝对收敛,因而EX不存在.9/4/20217\n§4.1.2随机变量函数的期望定理4.1设X为随机变量，Y=g(X)是X的连续函数或单调函数，则(1)若离散型随机变量X～P{X=xk}=pk,k=1,2,…，且级数绝对收敛，则9/4/20218\nXPg(x)Px1x2…xnp1p2…png(x1)g(x2)…g(xn)p1p2…pn…………9/4/20219\n(2)若连续型随机变量X～f(x)，如果广义积分绝对收敛，则§4.1.2随机变量函数的期望9/4/202110\n例4.6某车站开往甲地的班车每小时10分,40分发车,一乘客因不知车站发车的时间,在每小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客的平均等待时间.解：设乘客到达车站的时间为X,等车时间为Y,则X~U[0,60],且9/4/202111\n于是,乘客的平均等待时间E(Y)为:例4.69/4/202112\n定理4.2设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)是(X,Y)的连续函数.二维随机变量函数的期望(1)设离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P{X=xiY=yj)}=pij,i,j=1,2,…,绝对收敛,则如果级数9/4/202113\n(2)若连续型随机变量(X,Y)～f(x,y)，如果广义积分绝对收敛，则二维随机变量函数的期望9/4/202114\n例4.7两元件并联构成系统，由元件寿命X与Y独立同分布于e(0.5),求系统的平均寿命.解：写出(X,Y)的联合密度函数令Z表示系统寿命,则9/4/202115\n例4.79/4/202116\n§4.1.3数学期望的性质证:设X有密度f(x)，则9/4/202117\n证§4.1.3数学期望的性质9/4/202118\n(4)设Xi(i=1,2,…,n)是n个随机变量，Ci(i=1,2,…,n)是n个常数，则---线性性质(5)若X与Y独立，则E(XY)=E(X).E(Y)(独立时，乘积的期望等于期望的乘积)§4.1.3数学期望的性质9/4/202119\n例4.8设随机变量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X与Y独立，求E(XY).9/4/202120\n例4.9设XBn,p,则EX=np解：设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，则而故9/4/202121\n§4.2方差4.2.1方差的定义及计算定义4.3设X是随机变量，若E(X-EX)2存在，称为X的方差，记为D(X)=E(X-EX)2（或Var(X)），称为标准差。(方差本质是随机变量函数的期望)度量随机变量与均值的偏离程度9/4/202122\n方差的计算式(实数)9/4/202123\n例4.11例4.129/4/202124\n§4.2.2方差的性质(常数的方差等于0)（1）（2）a,b为常数，（3）若X与Y独立，9/4/202125\n例4.13例4.14随机变量且X，Y，Z相互独立，9/4/202126\n(4)设随机变量Xi(i=1,2,…,n)相互独立，ci(i=1,2,…,n)是n个常数，则(5)D(X)=0存在常数C，使得P{X=C}=1，且C=EX.§4.2.2方差的性质9/4/202127\n§4.2.3变异系数，矩定义4.4若随机变量X的期望、方差均存在，且，则变异系数为定义4.5若随机变量X对非负整数k有下列期望存在，X的k阶原点矩X的k阶中心矩9/4/202128\n例4.15随机变量求X的变异系数，k阶原点矩及3阶中心矩。9/4/202129\n随机变量的标准化设随机变量X的数学期望E(X)，方差D(X)均存在，且D(X)>0，定义一个新的随机变量则EX*=0，DX*=1，称X*是随机变量X的标准化随机变量。9/4/202130\n定义4.6：对二维随机变量(X,Y)，Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为X与Y的协方差。§4.3.1协方差Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).协方差的计算式为：特别地，Cov(X,X)=DX.9/4/202131\n协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,a)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(6)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.9/4/202132\n二维向量的数字特征对二维随机变量(X,Y),称向量为(X,Y)的协方差阵。（可推广到n维）称矩阵为(X,Y)的数学期望(均值向量).9/4/202133\n例4.16(X,Y)有二维分布律X\Y012011/61/121/61/121/31/6求(X,Y)的数学期望和协方差矩阵.解：(1)先求X,Y的边缘分布律;9/4/202134\n例4.16(2)计算X,Y的期望和方差,得：(3)为计算Cov(X,Y)，须计算二维随机变量函数Z=XY的期望：(4)余下的代入公式计算，见P123.9/4/202135\n例4.17随机变量且X,Y独立,求D(3X-2Y+Z).解：本题主要利用协方差的性质,D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ+2Cov(3X-2Y,Z)D(3X-2Y)=?=D(3X)+D(2Y)2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z)Cov(3X-2Y,Z)=?9/4/202136\n标准化随机变量的协方差常数§4.3.2相关系数9/4/202137\n定义4.4若随机变量X，Y的期望和方差均存在，且DX>0,DY>0，则称为X与Y的相关系数。9/4/202138\n相关系数的性质定理4.4(1)R(X,Y)=R(Y,X)(2)|R(X,Y)|≤1(3)|R(X,Y)|=1的充要条件为：存在常数a,b,且a≠0,使得P(Y=aX+b)=1.特别地，若a>0,可得R(X,Y)=1,称为正线性相关；反之,称为负线性相关。9/4/202139\n关于t的一元二次方程f(t)对任意t都有证明：(2)|R(X,Y)|≤19/4/202140\n独立与不相关X,Y独立时，可以推出Cov(X,Y)=0,因而可以推出R(X,Y)=0,即不相关；反之不一定成立，即：X,Y不相关不能说明X,Y独立。例4.19设X~U(-1,1),Y=X2,则X,Y不相关.解:9/4/202141\n例4.20设二维随机变量(X,Y)在G上均匀分布，其中求X,Y的期望与方差；证明：X与Y不相关，不独立。解：写出(X,Y)的联合密度函数x+y=1x-y=19/4/202142\n例4.20分别求出X,Y的边缘密度函数同理:从而:同理:x+y=1x-y=19/4/202143\nx+y=1x-y=1可见，X,Y不相关。但是在G中，例4.20可见，X,Y不独立。9/4/202144