小学奥数总复习(上)课件x 208页

（上）小学奥数总复习\n分数百分数应用题——单位“1”转换\n知识点梳理基本步骤：1、确定单位“1”，2、准确找出“量”与“率”之间的对应关系，3、确定乘除法，4、统一单位“1”。在题目中常常出现几个不同的单位“1”，这时需要将它们转化为统一的单位“1”，以便于比较和发现数量关系。\n典型例题精讲例1.妈妈买来一桶油，第一次倒出全部的，第二次倒出余下的，还剩下6千克，求这桶油原来共有多少千克？\n解析整体对应式：6千克+第一次倒的+余下的→“1”第一次倒出，单位“1”是这桶油第二次倒出余下的，单位“1”是(1-)=的即是全部的×=解：6÷[1－－（1－）×]=12（千克）答：这桶油原来12千克。\n例2.甲校人数是乙校人数的，乙校人数是丙校人数的，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？\n解析统一单位“1”，抓住中间量“乙”。甲校人数是乙校人数的，单位“1”是“乙”，乙校人数是丙校人数的，单位“1”是“丙”，可以转化为，丙是乙的。乙：450÷（－）=750（人）甲：750×=600（人）丙：750×=1050（人）\n例3.商店运来白菜和土豆共630千克，运来白菜的与土豆的一样多，商店运来白菜、土豆各多少千克？\n解析方法一：按比分配解决白菜×=土豆×白菜××=土豆××白菜:土豆=11:10白菜：630÷（11+10)×11=330（千克）土豆：630-330=300（千克）\n方法二：统一单位“1”以白菜为单位“1”，土豆是白菜的÷=630÷（1+）=330（千克）630-330=300（千克）答：运来白菜330千克，土豆300千克。\n例4.新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班的，美术班人数相当于另外两个班的，体育班有58人，音乐和美术各有多少人？\n解析2+5=73+7=10解答：58÷（1--）=140（人）140×=40（人）140×=42（人）答：音乐班40人，美术班42人。\n例5.甲乙两户共养鸡2700只，如果甲卖出所养鸡的，乙卖出300只，则两户余下的只数相等，两户各养鸡多少只？\n解析看图分析\n解答2700-300=2400（只）1-=2400÷（1+）=1500（只)2700-1500=1200（只)答：甲户养鸡1500只，乙户养鸡1200只。甲户养鸡:乙户养鸡:\n例6.兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的，老三修了另外三人总数的，老四修了91米，问这条路长多少米？\n解析统一单位：以总路程为单位“1”老大修了总路程的老二修了总路程的老三修了总路程的=420（千米）答：这条路长420米。\n例7.哥哥和弟弟共有人民币10．8元，哥哥用去自己钱数的75％，弟弟用去自己钱数的80％，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？\n解析哥哥的钱×（1-75%）=弟弟的钱×（1-80%）哥哥的钱×25%=弟弟的钱×20%哥哥的钱：弟弟的钱=4:5哥哥：10.8÷（4+5）×4=4.8（元）弟弟：10.8-4.8=6（元）答：哥哥原来有4.8元钱。\n分数百分数应用题——抓不变量\n解决分数百分数应用题的基本步骤1.要找准单位“1”2.是要看所给“量”3.要决定乘除法4.是乘法知道“1”5.要除法求出“1”6.是“量”“率”要对应特别提示：画线段图是解题的关键，画图时，要先画单位“1”\n典型例题精讲例1.小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书多少本？\n解析小强借给小明20本之前；小强和两人图书的本数比是:60%=3:5小强借给小明20本之后；小强和两人图书的本数比是:2+3=52:520÷（3-2）=20（本）共有书：20×5=100（本）\n例2.一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为98%，这时葡萄的质量是多少千克？\n解析刚进来时，100千克葡萄含水量99%，葡萄干的含量是1-99%=1%，100×1%=1（千克）过一段时间后，测得含水量为98%，葡萄干的含量是1-98%=2%，葡萄干的质量不变，1÷2%=50（千克）答：这时葡萄的质量是50千克。\n例3.某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的48％。现在有男生多少人？\n解析方法一：男生人数和女生人数都在变，只有六年级的总人数不变，本学期转进3名女生，转走3名男生之前，男生占总人数的54%，转走之后男生占总人数的1-48%=52%总人数：3÷（54%-52%）=150（人）现在男生：150×52%=78（人）\n解析方法二：用比例解决解设：六年级有学生X人，男生54%X,女生46%X.(54%X-3）：（46%X+3）=52%：48%200X=30000X=150现在有男生：150×52%=78（人）\n行程问题——相遇问题\n知识点梳理解答行程问题的基础，在于正确理解并掌握速度、时间、路程三种量之间的如下关系：路程=速度×时间S=VT时间=路程÷速度T=S÷V速度=路程÷时间V=S÷T相遇问题是行程问题中的一种类型，解答相遇问题要紧紧抓住“速度和”这个关键条件。相遇问题的基本关系是：速度和×相遇时间=路程路程÷速度和=相遇时间路程÷相遇时间=速度和速度和一甲速度=乙速度\n典型例题精讲例1.甲、乙两列火车从相距824千米的两城相向出发，6小时以后还相差200千米没相遇，甲车每小时行48千米，求乙车每小时行多少千米？\n解析解：824-200=624（千米）624÷6=104（千米）104-48=56（千米）答：乙车每小时行56千米。\n例2.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点32千米处相遇,求A、B两地间的距离是多少千米？\n解析甲、乙两车的速度差：56-48=8（千米）甲、乙两车的路程差：32×2=64（千米）甲、乙两车的相遇时间：64÷8=8（小时）A、B两地间的距离：（56+48）×8=832（千米）答：A、B两地间的距离是832千米。\n例3.甲村，乙村相距6千米，小张和小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一个村后马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇，问小王和小张的速度各是多少？\n看图解析\n解答二次相遇，小张和小王一共行了三个全程：6×3=18千米行驶一个全程用40分钟，行驶三个全程共40×3=120分=2小时小王行驶的路程是6+2=8千米，用2小时，小王速度是：8÷2=4千米小张2小时行驶18-8=10千米，小张的速度是：10÷2=5千米。答：小王速度的速度是每小时行驶4千米，小张的速度是每小时5千米。\n例4.甲、乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距B地150米处再次相遇，求A、B两地之间的距离。\n看图解析甲、乙二人两次相遇一共走了三个全程。第一次相遇距离A地120米，说明甲乙走一个全程时，甲走120米，速度不变，走三个全程，甲共走120×3=360米。走一个全程多150米。360-150=210米答:求A、B两地之间的距离是210米。\n例5.A、B是圆的直径的两端点，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点有80米，在D点第二次相遇，D点离B点有60米，求这个圆的周长?\n看图解析甲、乙二人走半个圆时，第一次相遇，甲走80米，相遇后，又走一个圆，二次相遇，共走3个半圆，甲走80×3=240米，走了一个半圆多60米，所以半圆长240-60=180米，圆周长180×2=360米\n例6.小张与小王分别从甲乙两地同时出发，在两地之间往返行驶（到达另一地后就立即返回），他们在离甲地3.5千米处第一次相遇，在离乙地2千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙地多远？（相遇指迎面相遇）\n看图解析\n解答二次相遇时，小张行了:3.5×3=10.5千米相距:10.5-2=8.5千米两人第四次相遇,共行2×4-1=7个全程小张行了:3.5×7=24.5千米24.5÷8.5=2个全程余7.5千米即第四次相遇时,小张行了两个全程多7.5千米，第四次相遇点与乙的距离:8.5-7.5=1千米\n例7.甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是多少米？\n看图解析甲、丙的路程差：（60+75）×4=540米甲、丙速度差：90-60=30米甲乙相遇时间：540÷30=18分全长：（90+75）×18=2970米\n练习：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是5:4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么A、B两地相距多少千米？\n行程问题——追及问题\n知识点梳理运动的物体或人同向而不同时出发，或不同地点出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题。追及问题的三要素：“追及路程”、“速度差”和追及时间。　　　　　　　　　　　　　追及问题的基本关系是：追及路程÷速度差＝追及时间速度差×追及时间＝追及路程追及路程÷追及时间＝速度差\n典型例题精讲例1.妹妹以每分钟40米的速度从家步行去学校，哥哥比她晚8分钟骑自行车从家出发去追妹妹，哥哥每分钟骑行200米，哥哥几分钟可以追上妹妹？\n解析路程差：40×8＝320（米）速度差：200-40=160（米/分钟）解：320÷（200-40）＝2（分钟）答：哥哥2分钟可以追上妹妹。\n例2.A、B两地相距1200米。甲、乙两个人分别从两地同时出发。若相向而行，8分钟相遇；若同向行走，60分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多长时间？（和+差）÷2=大数（和-差）÷2=小数\n解析\n例3.两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南1350米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。同时出发10分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。\n解析速度和：1350÷10=135（米）速度差：1350÷90=15（米）甲的速度：（135+15）÷2=75（米）乙的速度：135-75=60（米）答：甲、乙二人的速度分别是每分钟走75米和60米。\n例4.上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几时几分？\n解析——解法1小明8:08从家出发爸爸8:16从家出发爸爸的速度是小明的几倍：（4＋8）÷4＝3爸爸走4千米所需的时间：8÷（3-1）＝4（分钟）爸爸的速度：4÷4＝1（千米/时）解：爸爸所用的时间：（4＋4＋8）÷1＝16（分钟）16＋16＝32（分钟）答：这时是8时32分。\n解析——解法2图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上：小明走了：8-4＝4（千米）爸爸骑的距离：4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.8分钟少骑行24-16＝8（千米），可以得到摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。\n例5.从时针指向4点开始，在经过多少分钟时针正好与分针重合？看图分析解析：指向4点时,时针和分针角度差：4×30-0=120度可以当做行程问题分针每分走360÷12÷5=6度,时针每分走30÷60=0.5度速度差为6-0.5=5.5度120÷5.5=240/11分钟再经过240/11分重合\n例6.马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为18千米/小时。马路边的人行道上有甲、乙两个人在练长跑、甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一刻，汽车追上了甲，6秒后汽车离开了甲。半分钟后，汽车遇上了迎面跑来的乙，又过了2秒，汽车离开了乙，问，再多少秒后，甲乙两个人相遇。\n看图解析\n解析先把“车速”化为每秒18×1000÷3600=5（米）甲的速度为每秒：5-15÷6=2.5（米）乙的速度为每秒：15÷2-5=2.5（米）汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（5-2.5）×（0.5×60＋2）=80（米）甲、乙相遇时间：80÷（2.5＋2.5）=16（秒）\n例7.如图,一个圆周长为90厘米，3个点把这个圆周三等分，3只爬虫A、B、C分别在这3个点上，它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？\n解析A第一次和B相遇时间：30÷(10-5)=6秒，以后每次相遇时间间隔为：90÷(10-5)=18秒，所以A、B相遇的时间6,24,42,60,78,96,114,132,…。B第一次和C相遇时间：30÷(5-3)=15秒,以后每次相遇时间为90÷(5-3)=45秒,所以B、C相遇的时间为15,60,105…。所以3只爬虫出发后60秒第一次到达同一位置。\n例8.快、中、慢三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每分钟行400米，中车每分钟行320米，那么，慢车每分钟行多少米？\n看图分析24003200骑车人4分钟800米\n行程问题--流水行船\n知识点梳理（一）基本概念船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。古语：“逆水行舟不进则退”船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程。水速：是指水在单位时间里流过的路程。顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。\n(二）计算公式流水行船问题，是行程问题中的一种。三个量（速度、时间、路程）流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（1）逆水速度=船速-水速.（2）由公式（1）得：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2）得到：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。\n典型题例1.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。\n解析顺水速度：208÷8=26（千米/小时）逆水速度：208÷13=16（千米/小时）船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度和水流速度。\n例2.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/时），甲乙两地路程：18×8=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。答：从乙地返回甲地需要12小时。\n例3.甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？解：轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时）顺流航行的时间：（35—5）÷2=15（小时）轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时）顺流速度：360÷15=24（千米/小时）水速：（24—18）÷2=3（千米/小时）帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时）帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小时）帆船往返两港所用时间：360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。\n河流中相遇问题车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。路程=时间×速度和在河流中甲、乙两船速度和。推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。结论：两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。\n水上追及问题车辆同向：路程差=速度差×时间两船同向：路程差=船速差×时间推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。如果两船逆向追赶时，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。\n例4小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？\n解析速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度解：路程差÷船速=追及时间2÷4=0.5（小时）答：他们二人追回水壶需用0.5小时。\n例5.甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？\n解析解：①相遇时用的时间336÷（24+32）=336÷56=6（小时）。②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336÷（32—24）＝42（小时）。\n例6.一只小船从A地到B地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米，求AB两地间的距离。\n看图解析\n解析\n例7.一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？\n解析平时：T逆:T顺=2：1，所以,V逆:V顺=1：2，设平时水流速度为V水，所以平时逆水航行速度为8-V水，平时顺水航行速度为8+V水，（8-V水）：（8+V水）＝1：2，所以V水＝8/3km/h，暴雨时：水流速度为：2V水=16/3km，所以逆水航行速度为：8-2V水=8/3km/h，顺水航行速度为：8+2V=40/3km/h，V逆:V顺=1：5，T逆:T顺=5：1，T逆=9÷（1+5）×5=7.5小时，8/3×7.5=20千米答：甲乙两港相距20km。\n例8.有甲、乙两船，甲船和漂流物同时从河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？\n看图解析\n解析因为漂流物的速度就是水流的速度，甲船顺水航行，速度=船速+水流的速度，4小时相距100千米，就是船在静水中的速度，就是船速。而乙船12小时与漂流物相遇，乙船是逆水行驶，与漂流物的速度和就是乙船的速度。乙船在静水中行驶的路程就是河长。解：船速：100÷4=25(千米)河长：25×12=300(千米)答：河长是300千米。\n工程问题——一般工程问题\n知识点梳理1、计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。2、工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。3、分数工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1”表示。4、工程问题的基本数量关系式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率\n典型例题精讲例1.生产一批零件，甲单独做需要15天，乙单独做需要12天，丙单独做需要10天，如果甲、乙、丙三人合做，多少天可以完成？\n解析把一批零件看成单位“1”甲工作效率：乙工作效率：丙工作效率：三人合做需要的天数：答：甲、乙、丙三人合做4天可以完成。\n例2.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。乙需要做几天可以完成全部工作？\n解析甲工作效率：乙工作效率：甲做3天完成的工作量：余下的由乙做需要的天数：（天）答：乙需要做4天可以完成全部工作。\n例3.一房屋由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成，现由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，共盖了这间房屋的，如果这间房屋由甲队单独盖，需要多少天完成？\n解析工效和：1÷24=合盖2天：×2=甲队的工作效率：（-）÷（6-2）=甲队单独盖所用的天数：1÷=60天\n例4.某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天就可以完成。现在甲乙合作35天就完成了，如果先由甲单独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？\n解析甲乙工作效率和：甲的工作效率：乙的工作效率：甲做30天完成的工作量：剩下由乙做需要的天数：答：乙还要工作42天才能完成。\n例5.一项工程甲单干50天完成，乙单干75天完成，两人一起合作，中间乙休息了几天，这样从开工到完成共用了40天，求乙休息了几天？\n解析甲的工作效率：乙的工作效率：甲40天完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天数：乙休息的天数：40-15=25（天）\n例6.一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成，两队合作期间甲队休息了3天，乙队也休息了若干天（两个队不能同时休息），结果用16天完成任务，乙队休息了多少天？\n解析甲的工作效率：乙的工作效率：甲工作的天数：16-3=13（天）甲13天完成的工作量：乙完成的工作量：乙工作的天数：乙休息的天数：\n例7.有甲乙两项工作，张明单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李亮单独完成甲工作要用8天，单独完成乙工作要用20天。如果每项工作都可以由两人合做，那么这两项工作都完成最少要多少天？\n解析张明完成甲的工作效率：张明完成乙的工作效率：李亮完成甲的工作效率：李亮完成乙的工作效率：共同完成甲工作效率和：共同完成乙工作效率和：张明和李亮完成甲工作：张明和李亮完成乙工作：共需要的天数：李亮完成甲工作，张明完成乙工作张明8天完成的工作量：剩下的工作共同完成：需要的天数：8+4=12（天）方案一方案二\n例8.一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的，乙只能完成原来的。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？\n解析甲的工作效率：乙的工作效率：合做时甲的工效：合做时乙的工效：甲乙合做时的工效：解设：甲乙合做X天。答：甲乙合做5天。\n例9.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？\n解析甲的工作效率：乙的工作效率：丙的工作效率：把整个工作量看做“2”完成需要的时间：甲8小时完成的工作量：丙帮助甲用的时间：丙帮乙所用的时间：8-3=5（小时）答：丙帮助甲3小时，帮助乙5小时。\n速算与巧算---分数拆分\n识点梳理一、简便计算方法：\n二、裂项求和的规律：\n典型例题精讲例1.\n解析\n例2.\n解析\n例3.\n解析\n例4.\n解析\n例5.\n解析\n例6.\n解析\n例7.\n解析\n例8.\n找规律\n例1.的积中有多少个奇数字，多少个偶数字？思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘，一定存在着某些规律，使问题得到简化。我们可以从“简单”入手去寻找规律：\n不难发现：积中有数字1、0、8、9，其中1和8的个数相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。所以积中有700个奇数字，有700个偶数字。\n例2.一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5……，那么1997第1次出现在第几项？思路分析：这个数列中1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，……，1996就有1996个。1~1996这些自然数中一共的个数是：\n利用等差数列求和公式：可得说明1996这个自然数结束后，这个数列中已有1993006个数，1997第1次出现在它后面，所以1997第1次出现在第1993007项。\n例3.计算思路分析：……\n根据这个规律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法进行简算。\n例4.已知最简分数可以表示成：试说明分子m是1993的倍数。\n思路分析：此题所有加数的分母是个自然数列，调整一下写，可以是\n从这个结果看，无论括号中的结果是一个什么样的分数，根据分数乘以整数的计算法则，知道积的分子m一定是质数1993的倍数。\n例5.在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上和，如图（1）。第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点所标两数的和，如图（2），。第三次把4段圆弧再二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图（3），。如此继续下去，当第八次标完数之后，圆周上所有已标的数的总和是多少？\n思路分析：第一次等分和是第二次等分和是第三次等分后，和是第四次等分，……\n各次总和分别是每一次总和都是上一次的3倍，因此和是一个公比是3的等比数列。\n例6.如下图虚线框中的9个数的和恰好是162，请你像这样用一个长方形框出9个数，其和恰好是1998，其中最大的数是多少？\n思路分析：\n作业：1.把自然数中的偶数2，4，6，8……依次排成5列（如下面所示），把最左边的一列叫做第一列。第1列第2列第3列第4列第5列2468161412101820222432302826问：数“1986”出现在第几列？\n所以1986出现在第2列。\n数论问题\n知识点梳理我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是——分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。\n一、整除的特征：（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（3）5的倍数特征：末位数是0或5.（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.\n二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。唯一分解定理：那么N的因数个数n=（1+p1）×(1+p2)×…(1+pn)三、辗转相除法辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2…以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。\n典型例题精讲例1.9600共有多少个因数？\n解析9600=因数个数=（7+1）×（1+1）×（2+1）=48（个）\n例2.七位数A1994BC能被9,5和8整除，试确定数字A、B、C的值。\n解析（1）此七位数可被5整除,则个位必须为0或5;此七位数又可被8整除,则个位数"C"一定是0.（2）七位数可被8整除,则后三位数"4B0"可被8整除,故B只能为0、4或8。（3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除.故当B=0时,A=4;当B=4时,A=9;当B=8时,A=5.所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。原数：A1994BC\n例3.求2821和1519的最大公因数。\n解析辗转相除法求最大公因数2821÷1519=1……13021519÷1302=1……2171302÷217=6（2821,1519）=217\n例4.有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？\n解析设这个数为X,X÷4=A……1X÷5=B……4X÷7=C……2每个算式中，每次商减一，余数就增加一个除数，这样可以得到同余是“9”，再求4、5、7的最小公倍数是140，再加9等于149。\n例5.要使185×84×135×52×（）乘积的末五位数都是0，（）中应填入的自然数最小值是多少？\n解析要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。解:185=5×37共有4个2和2个5135=5×27缺少3个5和1个284=2×2×215×5×5×2=25052=2×2×13答：括号里填250。\n例6.有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？\n解析把三个数加起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。70+110+160-50=290290=29×10这个整数就是29。\n例7.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?\n解析每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。8+9+10+11+12+13=63（千克），63÷3=21（千克），21=19+2，所以油重19千克，四只瓶子共重2千克，每只瓶重2÷5=0.5千克，最重的是13-0.5×2=12千克。\n例8.商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？\n解析因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。15+16+18+19+20+31=119千克1+1+9=1111不是3的倍数，11-2=9，9是3的倍数。答：剩下的是20千克。\n例9.两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，求这两个数。\n解析两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。5766÷31÷31=66=2×3=1×61×31=31,6×31=186;2×31=62,3×31=93答案有两组：31,186和62,93，\n例10.某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？\n解析设2012有学生人，2013年有学生人，（y+x)×(y-x)=101101=101×1y=51x+y=101x=50y-x=151×51=2601（人）\n最值问题\n知识点梳理一、积最大的规律（一）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是：如果a1+a2+…+an=b（b为一常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。\n由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论（1）：所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。结论（2）：在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。（二）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大，而且不要出现1。\n例如：当和是14时（1）14=2+2+2+2+2+2+22×2×2×2×2×2×2=128（2）14=3+3+3+53×3×3×5=135（3）14=3+3+3+3+23×3×3×3×2=162（4）14=5+5+2+25×5×2×2=100\n二、和最小的规律几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达就是：如果a1×a2×…×an=c（c为常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an，有最小值。例如：面积为64的长方形和正方形8×8=6432×2=6416×4=64推论：由“和最小规律”可以推出，在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。\n典型例题精讲例1.外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警\n解析现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。\n例2.如图所示，在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？(小学数学奥林匹克预赛试题）\n解析我们可将正方体表面展开，如图，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。\n例3.有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？\n解析三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。故图（3）的面积最大。\n例4.某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。\n解析卖价110时，利润为110-90=20元，售出500-10×10=400个，盈利20×400=8000元；卖价120时，利润为120-90=30元，售出500-20×10=300个，盈利30×300=9000元；卖价130时，利润为130-90=40元，售出500-30×10=200个，盈利40×200=8000元；卖价150时，利润为150-90=60元，售出500-50×10=0，可以盈利60×0=0；综上所述得，当售价为120时，获得最大利润9000元。\n例5.有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？\n解析第一个人接水时，包括他本人在内，共有10个人等候，第二个人接水时，有9个人等候；第三个人接水时有8个人等候…第10个人接水时，只有他1个人等候。可见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少。因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水。每人水桶注满时间从少到多排序：1分，2分，3分，4分，5分，6分，7分，8分，9分，10分。1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2=220（分）\n例6.自行车的前轮胎行驶9000千米后报废，后轮胎行驶7000千米后报废，前后轮胎可在适当时候交换位置，一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？\n例7.8个互不相等的非零自然数的和为56，如果去掉最大的数和最小的数，那么剩下的数的和为44。问剩下的数中，最小的数是多少？\n解析8个不相同的非零自然数之和为56，平均数是56÷8=7，2个数和为14。去掉最大数和最小数的和44，大数和小数之和是56-44=12，所有自然数在1-12之间,即可能是:1234567891011以上11个数中，8个数加起来和为56,并且和为12，小数和大数{只能是1和11}，44÷6=7……2,就是说其它的6个数平均为7点多,2个数和为14的有：10和4，9和5，8和6，它们的和是42，比44少2，把5换7即可，这8个数是：1467891011。\n例8.A、B两人在沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，问：其中一人最远可深入沙漠多少千米后返回出发地？\n解析24÷3=8（天)24+8=32(天）32÷2=16（天）16×20=320（千米）两人共同走8天后，一人将8天的水和食物给另一人并携带8天的水和食物返回。则另一人共用24+8=32天的水和食物去探险。最远走16天后返回，所以最远可以深入沙漠320千米。\n课后作业一种货物有六个货站，4辆汽车先后经过这6个货站进行循环运输，每个货站所需装卸工人数如图所示，分别有4人、6人、4人、8人、5人、3人。为节省人力，装卸工可随车到各货站，有些工人固定在各站，有些随车流动，怎样安排使工人总数最少？最少多少人？\n比和比例——按比分配应用题\n知识点梳理（1）比的意义（2）比的性质（3）求比值的方法（4）化简比的方法认识比\n典型例题精讲例1.希望小学参加植树活动，把任务按2:3:4分配给四、五、六三个年级，已知六年级比四年级多植树84棵，这次任务三个年级共植树多少棵？\n解析方法一：按整数份数来计算。总份数：2+3+4=9六年级比四年级多的份数：4-2=2每份棵数：84÷2=42（棵）一共植树：42×9=378（棵）方法二：用分数“量率”对应来计算六年级占总棵数的，四年级占总棵数的（棵）\n例2.一个长方形的周长是24厘米，长与宽的比是2:1，这个长方形的面积是多少平方厘米？\n解析长方形的长和宽的比是2:1，总份数是3份，每组长和宽的和是24÷2=12厘米，每份长12÷3=4厘米，长占总份数的两份2×4=8厘米，宽占一份是1×4=4厘米，面积是长×宽=8×4=32平方厘米解：2+1=324÷2=12厘米12×=8厘米12×=4厘米8×4=32厘米答：长方形的面积是32平方厘米。\n例3.某校原有科技书及文艺书共630本，其中科技书与文艺书的比是1:4。后来又买进一些科技书，这时科技书与文艺书的比是3:7，买进科技书多少本？\n解析进来科技书之前：科技书：630÷(1+4)=126(本）文艺书：126×4=504(本）进来科技书之后：每份文艺书的本数：504÷7=72(本）科技书的本数：72×3=216(本）新近科技书：216-126=90(本）抓不变量解题\n例4.六年级数学兴趣小组活动时，参加的同学和未参加的比是3:7，后来又有30人参加，这时参加的同学和未参加的比是2:3，六年级一共有多少人？\n解析这本书的总页数不变:30人参加之前，参加的人数是总人数的30人参加之后，参加的人数是总人数的30人所对应的“率”是30÷=300（人）抓不变量解题\n例5.大池有水890立方米，小池有水170立方米，若往两池中注入同样多的水后，小池水和大池水的比是1:3，求往两池中共注了多少水？\n解析两池水原来相差：890-170=720立方米加入同样多的水后还差720立方米现在小池有水：720÷（3-1）=360立方米往小池加水360-170=190立方米一共加水190×2=380立方米答：往两池中共注水380立方米。\n例6.两个同样的容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是2:3，第二个容器中盐与水的比是3:4。把这两个容器中的盐水都倒入另一个大容器中，那么，混合溶液中盐与水的比是多少？\n解析第一个容器中盐占盐水的，水占盐水的，第二个容器中，盐占盐水的，水占盐水的，混合后盐和水的比就可以求出。解：混合前后的总份数分别是：2+3=53+4=7(+):(+)=29:41答：混合后溶液中盐和水的比是29:41。\n例7.制造一个零件，甲需要5分钟，乙需要10分钟，丙需要8分钟，现在三人共同加工同一种零件若干个，结束任务时，甲比丙多做24个，这批零件一共有多少个？\n解析甲的工作效率是；乙的工作效率是；丙的工作效率是。则甲乙丙的工效比是：：=8：4：5甲的效率占效率和的，丙的效率占效率和的，24所对应的率是甲丙的工效差：24÷（-）=136（个）答：这批零件一共有136个。\n例8.某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2,分为甲、乙、丙三组，已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数比是3:1，乙组中男、女会员的人数比是5:3，求丙组中男、女会员的人数比。\n甲组中男会员占会员总数：甲组中女会员占会员总数：乙组中男会员占会员总数：乙组中女会员占会员总数：丙组中男会员占会员总数：丙组中女会员占会员总数：丙组中男女会员之比：解析\n例9.一条路全长60千米，分成上坡，平路，下坡三段，各段路程长的比依次是1:2:3，某人走各段路程所用时间之比是4:5:6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用多少小时？\n解析路程总份数：1+2+3=6上坡路程：60÷6=10（千米）上坡所用的时间：10÷3=（小时）所用时间总份数：4+5+6=15所用的总时间：÷=（小时）\n课后作业甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A、B两地相距多少千米？