向量及向量加减法 16页

学习目的:1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的蕙义；2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系;4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清矩的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.5.掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；6.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7.明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；8.在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；9.通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物Z间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.学习内容：向量这部分知识是新内容，但我们己经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角两数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.\n学习难点：向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段M表示，其中A为起点，B为终点，显然M表示不同的向量；有向线段"的长度表示向量的大小，用盂I表示，显然常1"6?1,既有向线段的起、终点决定向最的方向，有向线段的长度决定向最的大小.注意：向量庖的长度I庖|又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等冃.方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法1.向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量庖弓禹的和为记作:2.向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有：M既在AADC中,,首尾相连的两个向量的和是以笫一个向量的起点指向笫二个向量的终点.规定:零向量与向量庖的和等于庖.\n三.向量的减法向量M与向屋曲叫做相反向量•记作:Mg,既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯［例1］判断下列命题的真假：①直角坐标系屮坐标轴的非负轴都是向量；②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量而与帀是共线向量，则虫、B、a、D必在同一直线上；④向量必与向量力平行，则e与B的方向相同或相反；⑤四边形jlfiOT是平行四边形的充要条件是期.分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目.解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的.②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；③不正确.・・•而与8共线，可以有M与叮。平行；④不正确.如果其中冇一个是零向量，则其方向就不确定；⑤止确.此命题相当于平面几何屮的命题：四边形"CQ是平行四边形的充要条件是冇一组对边平行目•相等.\n［例2］下列各量中是向量的有•A、动能B、重量C、质量D、长度E、作用力与反作用力F、温度分析：用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际总义的认识.解：A,C,D,F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.［例3］命题''若Mb,bttc,则attc.”（）A.总成立B.当时成立C.当时成立D.当时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件.•・•零向量与其他任何非零向量都平行，.••当两非零向量Q不平行而时，有但这时命题不成立，故不能选择A,也不能选择B与D,故只能选择C.答案：C第二阶梯［例1］如图1所示，已知向量比心*，试求作和向量+.分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其屮任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和.即先作«+«，再作（<+^+>.\n解:如图2所示，首先在平面内任取一点°,作向量OA=af再作向量则得向量03=曲十心，然后作向量BC=it则向量OC=«+>+e即为所求.［例2］化简下列各式(1)AB'CA*BC；分析：-OS^-OD-DO化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.«：(1)原式二⑵原式二而*而■远■励■丽■函-6■丽\nS3［例3］用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等.由相等向量的意义可知,只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.（需首先将命题改造为数学符号语言）已知：如图3,ABCD是四边形，对角线AC与BD交于0,且A0二0C,D0二0B.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：由已知得"-g50-OQ,且A,D,B,C不在同一直线上,故四边形ABCD是平行四边形.第三阶梯例1.下列命题:（1）单位向量都相等;（3）若ABCD为平行四边形，则庖8；⑷若ABCD^CD则MR其中真命题的个数是（）A.0B、1C.2D.3解：（1）不正确.单位向量的长度相等，但方向不一定相同；（2）不正确.与6可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD屮，'"<»：（4）止确.满足等量的传递性•选B.例2・若0为正三角形ABC的中心，则向量是（）•\n等的向量解:的起点不同，不平行也不相等•由正三角形的性质:C.例3.某人向东走3km,又向北走3km,求此人所走路程和位移.解:此人所走路程:IAB|+1BC|二6km.此人的位移：谥卜炖X例4.求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形.己知：島衣■盂,求证:ABCD为平行四边形.证明：由加法法则：MM赢d?"do+oc,oc»DOOBf：.MDCf即线段AB与DC平行且相等,・•・ABCD为平行四边形.例5.非零向量中，试比较Ge"ScI^CbI的大小.与解：(1)共线时,①IwNacI^,tie②时，Cb"AC(2)泗■不共线时，BC\n・.・"ISmSi■lari综上：・・・课外练习:1.若两个向量不相等，则这两个向量()•\nA.不共线B、长度不相等C.不可能均为单位向量D、不可能均为零向量1.四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）・2.“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4.0是四边形ABCD对角线的交点，若DOCOOB,则四边形ABCD是（）.A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形D、矩形5.若0是△ABC内一点,*o?-°,则（）是AABC的（An内心外心C、垂心D、重心6.AABC中，XB=()・A.B、C.D、7.平行四边形ABCD中，E、F为AB,CD中点，图中7个向量中，与M相等的向量是与IM相等的向量是A>1〉8.已知:首尾相接的四个向量M-K-CD-M求证:S*BC*CDs参考答案:l.D2.B3.B4.B5.D6.B\nED8AC*CD"XD测试选择题1.己知向量a=（3,m）的长度是5,则m的值为（）.A、4B、-4C.±4D.162.下面有四个命题：（1）向量肓的长度与向量金的长度相等.（2）任何一个非零向量都可以平行移动.（3）所宥的单位向量都相等.（4）两个右共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（）.A、B、3C、2D、3.在下列命题中，正确的是（）A、C、若I°|>|b|,则若°=〃，则幺与-b共线4.下列说法中错•误的是（A、零向量是没冇方向的C、零向量与任一向量平行13、a一定不与b共线13、零向量的长度为0D、零向量的方向是任意的-»5.如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，则和QA相等的向量的个数是（）.A、1个B、2个C、3个D、4个\n答案与解析答案：1、C2、B3、C4、A5、B解析：1.答案：C.因为lai・孙宀5所以-16,«±4.2.答案：B.(1)对.因为益与n是指同一条线段，因此长度相等.(2)对.这是由相等向量推导出的结论.(3)错.因为单位向量只要求模长等于1,方向不作要求，因此不一定相等.(4)对.因为相等向量可以经过平移至完全重合.解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识.3.答案：C.A错.因为向量有大小和方向两个要素.无法比较大小.B错.相等向量不仅要模长相等，方向也要相同.C对.相等向量方向一定相同，因此共线.D错.因为向量不相等,可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以°与”有共线的可能.4.答案：A.零向量是规定了模长为0的向量.零向量的方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线•零向量绝不是没有方向.5.答案：B.根据向量相等的条件.向量重点难点了解向戢可以根据需要自山平移的特点是今后运用向戢方法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量.要根据向量的冇关概念从图形小找出相等的向量和共线的向量.因此，要加强训练观察一些常见图形.以下三个问题上常出现错误：一是用表示向最的有向线段的起点和终点的字母表示向最时，一定注意——搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如朋与必是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量\nT—>的方向是任童的，而不是没冇方向，因此冇关零向量的方向问题一般要注惫规定，例如命题：11与°—>—>T-y共线,0与Q共线，么与血共线，是错误的，因为零向量的方向是任意的，故e与心的方向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平而儿何中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和逼合两种悄况，例如错误地认为平行向呈不可能是共线向呈，共实这两个概念是同一个概念.典型题目例1下列说法中正确的是（）・—>FfT—>共线A.向量a与向量°共线，向量9与向量C共线，则向量°与向量CB、任恵两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点TpTfC、向量°与日不共线，则°与°所在直线的夹角为锐角D、始点相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的.共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上,向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量是否共线与始点位置无关.例2“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立.例3下面有四个命题：（1）向量的模是一个正实数.（2）两个向量平行是两个向量相等的必要条件.（3）若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等.（4）温度含有零上温度和零下温度,\n北审'由所以温度是向量，其屮真命题的个数为（）-A.0B.1C.2D.3答案：B点评：只有（2）是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在方向上是相同或相反的.方向相反则不可能是相等向量.即使方向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相等.而两个相等向量的方向一定相同，必是平行向量.（1）错在向量的模是表示向量的有向线段的氏度，零向量的模为零.因此向量的模是一个非负实数.（3）错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等.（4）错在温度的零上零下也只是表示数量.向量既要有大小又耍有方向.常见的向量有力、速度、位移、加速度等.正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念.例4一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走T200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点.（1）作出向量爲答案：（1）见图.（2）山题意，易知方向相反，故JlBu・•・在四边形ABCD屮，AB仏CD,四边形ABCD为平行四边形，二*0^00,・.1加円/二200公里.点评：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.例5—个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点.后改变方向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移.\n解：如图，根据题意知△ABC为等边三角形，故Za=15°,|^|=100,A此人从C点走—>回A点的位移皿，大小为100米，方向为西偏北15°.检测题1.在下列各命题中，为真命题的有()(1)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量(2)温度有零上温度和零下温度.因此温度也是向量(3)方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量(4)坐标平面上的x轴和y轴都是向量A.1个B.2个C.3个D.4个2.己知a、b、c是三个非零向量,贝lj|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是()A.a、b同方向B.b^c同方向C.a、c同方向D.a、b、c同方向1.下列命题屮，正确的是()a.c.❷任gb2.下列各命题中假命题的个数为()①向量的长度与向量M的长度相等.②向量化与向量"平行，则住与■的方向相同或相反.③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.④两个冇共同终点的向量，一定是共线向量.\nAB⑤向量丽与向量而是共线向量，则点&B、C、D必在同一条直线上.⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段A.2B.3C.4D.51.在下列各结论中，正确的结论为（）①两向量共线H模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行II模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必耍条件.A.①、③B.②、④C.③、④D.①、③、④2.判断下列命题真假（1）平行向量一定方向相同.（2）共线向量一定相等.（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.（4）不相等的向量，则一定不平行.（5）非零向量的单位向量是W.3.若三个向量8、6、c恰能首尾相接构成一个三角形，则・=4.设ABCDEF为一正六边形，，则皿）・5.化简：旺-丽更淘■—•6.如图所示，用两根绳子把重10kg的物体倂吊在水平杆子力〃上,\nZACIF-l5（r,ZaTF-120*，则力和〃处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）分别是O答案:1、B2、D3、4、5、6、（1）假命题（2）假命题（3）真命题（4）假命题(5)命题7、08、9、010、5^1⑧5kg