《小学数学教学论》教案 313页

《小学数学教学论》教案绪论作为课程的小学数学教学论一、教学内容l本课程的性质、地位与作用l数学教学论的产生与发展l小学数学教学论的研究对象l小学数学教学论的理论基础二、教学过程§0.1本课程的性质、地位与作用小学数学教学论是高等师范院校小学数学教育专业及其它相关专业的一门专业必修课程。小学数学教学论是研究数学教学过程中教和学的联系、相互作用及其统一的科学。具体地说，小学数学教学论是以一般教学论和教育学的基本理论为基础，从小学数学教育的实际出发，分析小学数学教学过程的特点，总结长期以来小学数学教学的历史经验，揭示小学数学教学过程的规律，研究小学数学教学过程中的诸要素（教学方法、教学组织形式、教学的物质条件等）及其相互间的关系，帮助教师端正教学思想和形成教学技能，并对小学数学教学的效果开展科学的评价。本课程是为适应培养高学历、专业化、学者型小学数学教师的需要，适应新一轮基础教育数学课程改革的需要而开设的专业基础课程。因此，它在培养学生将来从事小学数学教学与研究的能力、提高学生从事小学数学教师职业所必备的综合素质与专业化水平等方面具有其他课程所不能替代的重要作用。通过本课程的学习，使学生获得系统的小学数学教学论知识和小学数学教学基本技能与教学方法，提高学生对小学数学教育的整体认识水平，提高小学数学教学水平和教育研究能力，并能运用所学的理论和方法解决实际问题。§0.2数学教学论的产生与发展人类对于教育理论的研究已有相当长的历史了，世界各国都有关于教学方面的理论。我国伟大教育家孔子（公元前551~前479312\n《小学数学教学论》教案年）就从事过大量的教学活动，并且对于教学现象作过许多非常精辟的论述。他的关于学与思关系的言论、他所用的启发式的教学方法以及因材施教的教学实践，至今还有着重要的现实意义。战国末年的《学记》一书，对于教学现象又作了全面的总结。书中所提出的"教学相长"的思想以及所论述的几个教学原则，至今仍闪烁着智慧的光辉。此后历代教育家对于教学现象也都有过相当深刻的论述，其中朱熹（1130~1200）提出的六条“读书法”，即循序渐进、熟读深思、虚心涵咏、切己体察、着紧用力、居敬持志，又从学习者的角度总结出较深刻的体会。唐代的教育论著《师说》是中华民族的宝贵遗产，也是世界人类文明史上的宝贵财富。在西方教育史上，有古希腊的著名教育家苏格拉底(Sokrates，公元前469~前400年)他在教学理论上的主要贡献是：首次提出了归纳法教学和定义法教学，西方教育史上的启发式教学方法就由此引申而来，后人称苏格拉底的这种教学方法为“产婆术”(一种诘问性谈话法)，差不多与同一时期孔子所用的启发式方法媲美。到了中世纪，由于神学在封建社会占据统治地位，西方各国的学术研究基本上处于停滞状态。到了17世纪，捷克教育家夸美纽斯（J.A.Comenius，1592~1670）写出了举世闻名的《大教学论》一书，全面论述了当时他所接触的教育现象，提出了至今仍有借鉴意义的许多教学原则，如直观性、系统性、量力性、巩固性教学原则，达到了前所未有的水平，可以说为教学论这一学科的建立奠定了基础。其后，法国的卢梭(J.J.Rousseau，1712~1778)、瑞士的裴斯泰洛齐（J.H.Pestalozzi，1746~1827）、德国的赫尔巴特（J.F.Herbart，1776~1841）都努力从心理学方面为教学理论寻找依据，并探讨合理的教学方法，为教学论的发展做出了突出贡献。从社会发展和历史发展的阶段看，西方现代教育教学理论的大发展应该从赫尔巴特将心理学引入教学论的范畴开始。赫尔巴特曾著有《普通教育学》、《教育学讲授纲要》等教育理论著作。他提出并由他的学生发展了的"五段教学法"，曾经统治欧美教育界达半个世纪之久，甚至影响到东方的中国和日本。在20世纪初，美国的杜威(J.Dewey，1859~1952年)提出了“儿童中心主义”、“新教育运动”，成为美国代表的实用主义进步教学论学派的代表人物，与赫尔巴特的传统派形成了鲜明的对比。此后，传统派与革新派继续斗争，一直延续到现代，这两个学派也都给我国各级学校的教育以极为深刻的影响。20世纪中叶以来，现代教学论发展迅速，在世界范围内形成不同派别。如50至70312\n《小学数学教学论》教案年代，产生了以现代认知发展教学观取代传统和知识教学观的教学论，代表人物是美国教育学家、心理学家布鲁纳，其代表作是《教学过程》。与其同时，前苏联著名教育学家、心理学家赞柯夫也提出了反对“学科中心论”的发展教学论，60年代末，原苏联还出现了巴班斯基（1927——1987，原苏联教育科学院院士）的“教学过程最优化”的教学论。除此之外，还有维果斯基的“最近发展区”理论，德国瓦根舍因的“范例方式教学论”等等。自50年代末，在美国还产生了在世界上广泛影响的“人本主义”教学论，其代表人物有美国心理学家马斯洛、洛杰斯和阿尔伯特。现代最有影响的教学理论是前苏联著名教育学家苏霍姆林斯基的“和谐教学论”，他著有《给教师的一百条建议》一书（1969年），在世界范围内影响很大。而前苏联另一著名教育学家沙塔洛夫提出的“纲要信号”图示教学法，是现代积极化教学思想的体现，也有广泛的国际影响。由上可知，过去的中外教育家们对于教学现象的探究是由来已久的。他们在这方面做出了卓越的贡献。且不说我国战国末期出现的《学记》，就凭树立了近代教学论的里程碑的《大教学论》而论，到现在也已有300多年了。在今天我们虽然把教学论作为教育学的一个组成部分，可是教学论思想的产生与发展并逐渐形成体系，却是早于把它包括在内的教育学的。教育学之成为一个学科体系应该说是稍后的事情。数学教学论是数学教育领域中一门正处于发展中的新学科。它的产生，既是数学教育理论发展的必然，也是数学教育实践的呼唤。近年来，人们对数学教学的成效愈益关注，教学改革被作为提高数学教育质量的重要手段而升到了一个新的高度，广大的数学教学工作者越来越迫切地需要了解和掌握有关能够帮助他们切合实际地解决教学问题的理论。与此同时，普通教学论和作为数学教育的一般理论的数学教育学在现代教育科学之林中得到了极大的发展。数学教学论的丰富更为数学教育工作者所瞩目，其理论体系的日益完善和堪称丰富的实验成果使之有可能对所有数学教学活动发挥不容忽视的指导作用。正是在这种理论与实践的双重力量的推动之下，数学教学论开始发展成为学科教育学中的重要分支学科之一。数学教学论，揭示的是数学教育教学的基本原理、特有规律，而不是仅仅停留在若干教育学、心理学的一般规律上，更不能只满足于符合一些时髦的口号。在国外，弗赖登塔尔的“数学现实论”、“数学再创造论”、“数学形式化原则”；波利亚的“合情推理”学说、范·希尔的“几何学习5水平”界说；杜宾斯基的312\n《小学数学教学论》教案APOS数学概念教学观等等，都具有浓厚的数学品味和理论价值。在我国数学教学论这门学科的产生与发展大致经历了四个阶段：1、萌生期（1897年——1921年）本学科随着师范教育的产生而产生，这时期学科附属于教育学，处于胚胎孕育阶段。1897年，清朝天津海关道盛宣怀创办南洋公学，内设师范院，开设“教授法”课，讲授教学的秩序和、法则。1904年1月清政府颁布了《奏定学堂章程》，确定了“癸卯学制”，是中国近代第一个由中央政府以法令形式公布并推行的学校教育制度，是仿日本学制而制定的，小学开设“算术”，中学开设“算学”（包括算术、几何、代数、三角），初级、优级师范学堂分别开设“教授法”、“各科教学法”。2、草创期（1922——1949）1922年政府颁布了一个正式文件“学校系统改革令”，提出师范开设“普通教授法”、“各科教学法”、“各科教材研究”。20世纪20年代前后，任职于南京高等师范学校的陶行知先生，提出改“教授法”为“教学法”的主张，虽被校方拒绝，但这一思想却逐渐深入人心，得到社会的承认。“数学教学法”，此名一直延续到20世纪50年代末。无论是“数学教授法”还是“数学教学法”，实际上只是讲授各学科通用的一般教学法，30年代至40年代，我国曾陆续出版了几本《数学教学法》的书，如1941年商务印书馆出版了余竹平先生编著的我国第一部教学法著作《中学数学教学法》；1949年商务印书馆又出版了刘开达编著的《中学数学教学法》。但这些书多半是对前人或外国关于教学法研究所得，并根据自己教学实践进行修补而总结的经验，但教育理论并未成熟。这时期“数学教学法”已从教育学脱胎出来。3、徘徊期（1949——1977）这期间学科名称几经变易，52年“数学教学法”，63年“数学教材教法”。文革期间停止开设。（1）文革前的17年（1949——1966）建国以后，在50312\n《小学数学教学论》教案年代，我国的数学教学法是从学习欧美转向学习苏联，教材用的是从前苏联翻译的伯拉基斯的《数学教学法》，其内容主要介绍中学数学教学大纲的内容和体系，以及中学数学中的主要课题的教学法，这些内容虽然仍停留在经验上，但比以往只学一般的教学方法有所进步，毕竟变成了专门的中学数学教学方法。课堂教学采用了凯洛夫教育学中所倡导的“五个环节”的教学模式。即组织教学、检查复习、新课教学、巩固新课、布置作业。（2）文革期间的10年（1966——1976）1966年9月5日，中共中央、国务院发出了《关于组织外地革命师生来北京参观革命运动的通知》，大、中、小学生开始了全国性的大串联活动，师生外出串联，或者在学校搞大批判，称之为“停课闹革命”。“复课闹革命”和三算教材的出现。4、发展期（1978——）20世纪80年代，我国的数学教学论不仅与国际数学教育共同发展（例如，从80年代起我国就派团参加了此后的各届ICME），而且无论在数学教学活动还是数学教育理论研究方面都形成了自己的特色。在数学教学法的基础上，开始出现数学教学的新理论。国务院学位委员会公布的高等学校“专业目录”中，在“教育学”这个门类下设“教材教法研究”一科(后改为“学科教学论”)，使学科教育研究的学术地位得到确认。80年代中期'"学科教育学"研究在我国广泛兴起，不少高等师范院校成立了专门的研究机构，对这一课题开展了跨学科的研究。1985年，原苏联著名数学教育学家A.A.斯托利亚尔的《数学教育学》一书中译本由人民教育出版社出版发行。我国在80年代也编写了《数学教育研究导引》一书，试图介绍一些数学教育研究的范本。到90年代初为止，在全国具有相当规模和影响的“学科教育学"学术研讨会，取得了不少的研究成果。目前这一研究热潮方兴未艾，正在向纵深发展，不断有新的研究成果面世。90年代以来，国内外数学教育发展迅速，数学教育研究极为活跃，我国的数学教学论研究在已构筑的框架基础上不断深入和拓广。1990年，曹才翰教授编著的《中学数学教学概论》问世，标志着我国数学教育理论学科已由数学教学法演变为数学教学论，由经验实用型转为理论应用型。1991年出版张奠宙等著的《数学教育学》，把中国数学教育置于世界数学教育的研究之中，结合中国实际对数学教育领域内的许多问题提出了新的看法，对数学教育工作者涉及的若干专题，加以分析和评论，这是数学教育学研究的一个突破。1992312\n《小学数学教学论》教案年，《数学教育学报》创刊，由天津师范大学主办，对数学教育理论研究与实践探索发挥了重要作用。十几年来，涌现了一批优秀的科研成果，出版了一系列数学教育学著作（上海、湖南、广西、江西、江苏等教育出版社以及教育科学等其他出版社各自出版了一批“数学教育丛书”），研究内容包括“数学教学理论”、“数学学习理论”、“数学思维”、“数学方法论”、“数学课程与数学教育评价”、“数学习题理论”等多个方面，其内容已远远超过上述教材所包含的知识领域。同时我国还加紧数学教学论专业人才的培养，国内各大师范院校已增设课程与教学论（数学）硕士学位授权点和教育硕士（学科教学：数学）专业学位，培养出了一批年青的数学教学论工作者和研究人员。可以说90年代我国的数学教学论研究形成了一个高潮，数学教学活动实践和数学教育学理论的结合产生了丰硕的成果。当前，中国正进行新一轮基础教育课程改革，数学教育应从“应试教育”转向素质教育，要培养新世纪的全面素质的人才，以适应社会发展、国际竞争和经济全球化、信息化的新形势的需要。随着素质教育改革的不断深入，对新世纪的中学数学教师从专业素养、教学理论、能力水平等诸方面都提出了更高的要求。2003年4月，高等教育出版社出版了由张奠宙、李士錡、李俊编著的《数学教育学导论》，是基础教育新课程教师教育系列教材之一，本书用新的观点阐述了中小学数学教育的理论，构建了新的数学教育体系，并与正在实验的国家数学课程标准相适应，这是数学教育学研究的一个新发展。因此，高等师范数学教育的改革应适应这一发展趋势，积极投身于全国乃至世界数学教育的改革与发展之中，及时地更新课程教学内容，才能更好地体现高等师范院校数学教育的先进性和带头作用。数学教学论是一门不断发展的新学科，它的内容、体系的成熟，需要数学教学与数学研究工作者的共同努力。随着我国数学教育事业蓬勃发展，成果大量涌现，一门具有中国特色的数学教学论正在逐步形成。数学教育的理论研究在这20多年中经历了十分重要的转变：82年提出数学教材教法应向“数学教育学”方向发展：85年提出建设具有中国特色的数学教育学；87年国家将“教材教法研究”更名为“学科教学论”，本学科相应更名为“数学教学论”。这期间出版了教材专著百余种：79年湖南一师编《小学数学教学法》；84年人民教育出版社编《小学数学基础理论和教法》；312\n《小学数学教学论》教案94年人民教育出版社编《小学数学教材教法》；97年高等教育出版社编《小学数学教育学》；03年湖南一师编《数学教育新论》）§0.3小学数学教学论的研究对象对小学数学教学论的研究对象的把握应该建立在对一般教学论的研究对象的正确理解基础之上。教学论，是关于教学活动的理论，是教育学中的一个组成部分。关于教学论的研究对象，人们普遍地认为它是揭示教学的一般规律，研究教和学的一般原理。教学论的理论体系也正是循着这一线索来构建并得到不断完善的。小学数学教学论研究的数学教学是指数学活动的教学，它是教师的数学教学活动与学生的数学学习活动两个方面的统一过程。数学学习活动是学生在教师的指导下掌握系统的数学知识、技能和技巧的过程；数学教学活动是按照教育教学规律，向学生进行数学基础知识和基本技能的教学，以培养数学能力，发展学生的认识能力，增进数学素质，并指导、评价学生数学学习的过程。由此可知，数学教学并不是指教师简单地把数学知识传授给学生，而是需要教师组织有效的数学活动，指导学生的数学学习，使他们在学习中获得提高与发展的教育。围绕着小学数学教学论的研究对象，可以确立小学数学教学论的以下一些主要研究课题，也是小学数学教学论的主要任务，这主要包括：1）小学数学课程目标；2）小学数学课程内容；3）小学数学学习过程；4）小学数学教学过程；5）小学数学教学原则与教学方法；6）小学数学教学活动与教学组织形式；7）小学数学具体内容的分析与教学设计；8）小学数学课堂教学艺术；9）小学数学教学评价。除上述课题外，小学数学教学论还应当结合时代条件和科学技术的发展状况对小学数学教学中的各种新问题开展范围广泛的研究。312\n《小学数学教学论》教案以上所列述的小学数学教学论的研究课题也可以看成是现阶段小学数学教学论的理论体系的基本框架，它也是我们这门小学数学教学论课程所要讲授的主要内容。§0.4小学数学教学论的理论基础小学数学教学论这门学科同许多科学都相互联系、相互作用，并受到这些科学的制约和影响。因此，研究小学数学教学论，应当建立其自身的一系列科学的理论基础，这是小学数学教学论日趋完善和成熟的重要保证。0.4.1以辩证唯物主义认识论为基础辩证唯物主义认识论是认识世界、改造世界的科学的方法论，是研究一切科学的方法论，也是我们认识教学过程的方法论。数学教学活动从其本质来看，是和人类的一般认识活动相一致的，是人类总体认识活动的一个部分。因此，要建立科学的数学教学理论就必须以辩证唯物主义认识论为指导，并从数学教学活动本身的特点出发去探索数学教学过程的基本规律。教学过程是学生在教师的指导下，从不知到知、从知之较少到知之较多，逐步掌握社会历史经验、认识客观世界和改造主观世界的过程，马克思主义认识论理所当然地成为它的科学方法论基础。这也是教学过程论的指导思想。相反，如果离开了辩证唯物主义认识论，就不可能正确理解教学过程的实质、特点和规律，就必然会陷入唯心主义和机械主义的泥坑。0.4.2以小学生心理学、生理学为基础小学数学教学论的研究要以小学生心理学为基础，这是因为有效的数学教学活动本身需要根据小学生心理品质形成和思维发展的规律，尤其是小学生的个性特点来建立科学的教学体系，使教学活动能够适应小学生的心理需要并促进其心理能力的健康发展。从现代教学理论的发展来看，新的研究和实践越来越借助于心理学的支持。在欧洲19世纪上半叶"教育心理化运动"的推动下，首次由赫尔巴特把教学论建立在心理学的基础之上。之后，许多教育家和心理学家致力于教学心理学的实验和研究，从而使心理学成为教学论的最重要的科学基础。312\n《小学数学教学论》教案若从心理学和生理学来看，教学过程实质上是使学生的身心得到全面发展的过程。那么研究和组织教学过程就必须认识和掌握学生身心发展的机制、特点和规律。只有当教学过程符合学生身体发育、大脑神经活动和心理发展的规律时，才能充分发挥教学的教育功能，才能更好地促进学生的整体发展。例如，教学过程除了包括学生认识过程的心理系列之外，还包括激发学生认识过程的心理系列，如兴趣、情感、意志、性格等，所以在教学中必须考虑学生的认知因素和非认知因素。又如，根据大脑两半球的分工原理如何开发学生的形象思维、直觉思维和创造思维，这是当前教学论很值得重视的课题。因此，教学过程必须以生理学、脑科学、心理学特别是教育心理学和发展心理学为其科学基础，这也是教学论科学化的重要条件之一。0.4.3以系统科学和传播学等现代化的科学理论为基础系统科学即控制论、信息论和系统论，是20世纪40年代诞生的一组新兴的技术科学，也是具有普遍意义的研究方法。由于系统科学本身就是现代科学技术整体化的产物，所以具有向科学的一切领域、包括教育科学领域广泛渗透的可能性。系统科学的运用使人们从对单一事物的研究过渡到对系统联系的研究。运用系统方法研究教学问题，有助于从整体上把握教学现象、建立教学模式，从控制论、信息论和系统论的观点对教学规律的研究具体化、深入化，还能得到许多新的启发和认识。例如，从系统论的观点出发，数学教学是一个由许多基本因素组成的复杂系统，需要借用系统分析的方法来研究。从信息论的原理分析，数学教学活动就是一种信息传输和变换的过程，教师尤其要重视使学生能有效地输入和反馈。若从控制论看，教学过程则是教与学之间的信息传递和反馈控制过程。教师要实现数学教学过程的最优化的控制，以便教和学的活动以及教学过程的运行能处于动态平衡之中。应用系统科学的观点和方法研究教学过程，是科学技术发展对教育科学研究所提出的必然要求，并已成为世界各国教学过程理论现代化的发展趋势。例如，前苏联教育家巴班斯基运用辩证的系统方法研究教学过程，提出了很有特色的教学过程最优化理论。此外，从传播学的角度来看，数学教学过程作为一个有组织的信息传播过程，建立有效的传播模式将是非常重要的。总之，以上述这些现代化的科学理论为基础，数学教学论的研究将具有更加严密的科学体系。312\n《小学数学教学论》教案随着小学数学教学论研究的不断发展，研究这一领域的科学基础将日益被拓宽。除上述已被提到的有关理论外，逻辑学、美学、思维科学、决策理论等等也应该受到小学数学教学论研究的重视。第一章走进小学数学课程一、教学目的通过本章的学习，使学生了解数学的研究对象、特点与发展以及影响数学课程目标的因素；明确我国义务教育阶段的数学课程目标。二、教学重点、难点重点是我国义务教育阶段的数学课程目标分析；难点是数学的研究对象、特点与发展。312\n《小学数学教学论》教案三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献。四、教学内容本章主要内容：l数学的基本认识l小学数学学科的性质与任务l小学数学课程及其发展l小学数学课程目标五、教学过程§1.1数学的基本认识小学数学课程是按照一定的需要，遵循一定的原则，从数学科学中精心选择内容加以编排形成的。作为学科的数学与作为科学的数学有密切的联系，又有很大的区别。认识数学科学的研究对象、主要特点和发展过程有助于我们确定和理解为什么进行数学教育，认识数学教育的规律和特点。1.1.1数学的产生考察一下数学的历史，可以看到它的发展存在着两个起点。1、以实际问题为起点数学的产生首先是以实际问题为起点的，即是人类为了了解客观存在的内部性质的需要，用以解决实践上的问题。例如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些物体进行量的刻画和描述，于是，“数”就产生了；又如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些对象进行集合意义上的合并与分解，于是，四则运算就产生了；再如，人类在科学研究过程中，要研究抛物体的运动轨迹，需要用图形来描述从而帮助分析，但如何作出这些曲线图形呢？笛卡尔就用代数方法来研究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。2、以理论问题为起点数学的产生其次是以理论问题为起点的，即是人类为了了解思想存在的内部性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯（pudkyols312\n《小学数学教学论》教案）注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着两倍于直径的半圆。而伽利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称伽利略悖论），为了解决这个悖论，康托等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。当然，数学的最终起点还是现实世界，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类力图对现实世界的最本质的和最一般的反映。超越现实世界的数学的产生，其目的还是为了获得对现实世界更合理、更准确的最一般的反映。1.1.2数学的研究对象数学是人们认识自然、认识社会的重要工具，千百年来人们不断地探索和认识数学，运用数学解决现实问题，对数学的认识也在不断地演变和发展。数学家、哲学家和数学教育家都有自己对数学研究对象的认识。恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一种科学。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学十分概括和深刻的解释。数学是对现实世界的事物在空间形式和数量关系方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化、形式化，形成数学科学体系。随着数学科学的发展，对数学本质的认识也在发展，数学的研究对象也在扩展，对数学的认识也不断深入，人们从不同的角度阐述对数学本质的认识和理解。一种受到普遍关注的观点认为，数学是关于客观世界的模式的科学。数学通过揭示各种隐藏着的模式，帮助我们理解周围世界。无论是数、关系、形状、推理，还是概率、数理统计，都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，再回到现实中进行检验。从这个意义上，数学可以被看作是一种技术或模型。312\n《小学数学教学论》教案此外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和数学世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个发展的动态体系。1.1.3数学的基本特征一般地认为，数学具有理论的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性这三个特征。（一）理论的抽象性我们知道，任何一门科学都不是直接处理现实对象，而是用我们通常所称的“模型”去处理其抽象的反映，而数学则不同，它往往是处理所有这些模型的抽象，是这些模型的一般模式，从而来概括同类对象或同类对象关系。显然，数学是作为一个独立的客体而存在的、抽去了具体内容的一种形式科学，它用形式化、符号化和精确化的语言来表现的一种“抽象的抽象”或“概括性的抽象”，它是以“一切性质的性质的抽象”而呈现的。因而，数学对象没有任何物质的和能量的特征，它只有一个特征，那就是这些对象都处于一定的相互关系之中。例如，数学研究的“直线”，是一种没有长短、粗细、轻重和颜色的等任何物质的和能量特征的“理想化”的对象。（二）逻辑的严谨性数学具有严密的逻辑严谨性。即数学的结果是从一些基本概念（或公理）出发并采用严格的逻辑推论而得到的。这种推论（推理）对于每一个懂得这样的规则并拥有一定数学基础的人来说，都是无需争辩的和确信无疑的。数学的逻辑严谨性还带来了数学的精确性，也就是说，数学的表述具有相当严密的唯一性。而且数学语言常常反映在其他的学科（尤其是自然学科）之中，用来准确地表述概念或由经验所获得的发现。数学的严谨性还表现在它的系统性。数学体系本身是一个精确的自然结构，而且是所有自然结构中最具有完美模型的特征的。它是以最简洁、最精确、最稳定的模型来揭示最本质、最抽象的关系系统的理论。正如弗赖簦塔尔所说,数学与其他思维相比，有一个最大的特点，那就是对任何一个陈述，都可以确定其对或错。因为只有数学可以加上一个强有力的演绎结构。这就是所谓数学的严谨性。当然，当数学科学变得很严谨的时候，它就表现出一种不可忽视的人为的特性，以至于有时它会忘掉了自己的历史起源。312\n《小学数学教学论》教案（三）应用的广泛性数学的对象领域，涉及到整个客观世界，数学是解决我们生活和生产过程中问题的主要工具，因为没有一个物质的领域不呈现出数学可以研究的现象或规律的，尤其是社会的科学技术发展到今天，数学已经渗透到人们的所有生活之中。所以，数学可以运用到各个方面。同时，数学还在其他的科学中占有特殊的地位，因为无论是自然科学、社会科学甚至是思维科学，都可借用数学的严密性和抽象性的特点来做更为精确的研究或描述。1.1.4数学的发展过程数学科学的发展过程经历了漫长的历史，从人类早期对数学的认识开始，大致可以分为五个时期，即萌芽时期；常量数学时期；变量数学时期；近代数学时期、现代数学时期。在不同的时期，人类对数学的认识从低级到高级不断发展。了解数学的发展过程，有助于我们研究小学数学学科的有关问题。(1)数学萌芽时期(远古～公元前6世纪)这个时期人类在长期的生产实践中逐渐形成了数的概念，初步掌握了数的运算方法，并积累了一些数学知识。由于田亩度量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但还没有逻辑因素，未发现命题的证明。这个时期的特点，是人们在实践中从现实世界里，零零星星地认识了数学中最古老、原始概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何图形)。数的概念起源于数(读snǔ)。原始社会人们采用“结绳记数”，就是把打猎所获得猎物与绳子的“结”进行比较，得出猎物的个数。从我国出土的甲骨文中，发现大约公元前14世纪～公元前11世纪的数字是采用十进位制记数法，最大数是3万。由此可见，数已从具体事物分离出来，抽象为“数”的概念，但仍然印上了十个手指数数的烙印。另一方面，人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。我国出土的“仰韶文化”的彩陶中，就有由三角形和直线组成或由圆和曲线组成的图案。(2)常量数学时期(公元前6世纪～公元17世纪)312\n《小学数学教学论》教案这个时期的特点，是人们将零星的数学知识，进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期，人们认识的“数”和“形”，只是零星的数学知识，并未构成逻辑体系。到了公元前5世纪，古埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域，需要重新丈量，积累了丰富的几何知识。后来古埃及人把几何知识传到古希腊，由Euclid把人们长期实践发现、积累的几何知识，按照演绎的方法写成了《几何原本》。同一个时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题，如研究天文历法中的问题，促使算术、代数的发展。数学从原始自然数，分数发展扩充到正负实数。成书于东汉时期的《九章算术》，就是人们在长期实践中，用数学解决实际问题的经验总结。　　公元前3世纪至公元2世纪撰写成的《几何原本》和《九章算术》，标志着古典的初等数学体系的形成。《几何原本》全书共13卷。全书主要以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。《九章算术》则是246个数学问题、答案和术文组成。全书主要研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线，按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系。(3)变量数学时期(17世纪～19世纪)变量数学产生于17世纪，其标志有两个：一是解析几何的产生；二是微积分的建立。这个时期的特点，是“运动”成为自然科学研究的中心课题。数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律。常量数学已发展到变量数学。16世纪，欧洲社会萌芽了资本主义，手工业生产转向了机器工业生产，迫使自然科学对“运动”和各种“过程”的研究，进而产生了“变量”与“函数”的概念。17世纪上半叶，Descartes将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了解析几何学，这标志着变量数学时期的开始。17世纪60年代，Newton和Leibniz各自从运动学和几何学研究的需要，创建了微积分。随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支。15世纪～18世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定规律性，从而开辟了或然数学的新领域，建立了概率论。312\n《小学数学教学论》教案　　这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。(4)近代数学时期(19世纪)这一时期的数学的对象、内容在深度上和广度上都有了很大发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了革命性的变化，数学越发抽象、不断分化、不断综合的发展规律开始显露；数学基础研究的开始，标志着一座宏伟稳固的数学大厦已在人们脑海里出现；数学应用范围继力学、光学之后，又在热力学、电磁学、技术科学中获得扩展。 （5）现代数学时期(20世纪)在这一时期，电子计算机进入数学领域，使整个数学的面貌大为改观；数学几乎渗透到所有科学领域，形成了数学科学的一系列分支理论和应用数学理论；纯粹数学不断向纵深发展，集合论观点的普遍运用，公理化方法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象代数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使数学在整个科学体系中的特殊地位和作用突出地显现出来．20世纪以来，人们眼光中的数学同以往任何时代都无法相比了。1.1.4数学的主要内容数学科学的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法与数学思想组成的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不同的内涵，也有着不同的作用。纵观数学发展的历史可以看到，人们在解决实践和理论中提出的各种数学问题的过程中，总结和创造了各种不同的数学方法。在这些数学方法发生的同时，相应的数学知识也相伴形成，在不断探求对数学知识和方法的认识的基础上，数学思想便产生了。例如，著名数学家欧拉正是在解决“哥尼斯堡七桥问题”的过程中，不仅发现了许多知识并开拓了运筹学和图论等崭新的数学研究领域，而且他的研究也是运用抽象化方法和数学模型思想的光辉范例。312\n《小学数学教学论》教案就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面，数学思想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与方法的突破又常常导致数学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在联系，是数学方法的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。§1.2小学数学学科的性质与任务“学科”是一个教育学的概念，专指学校课程内容中的一定科学领域的总称。当数学成为学校的教育教学的对象的时候，就被称之为“数学学科”。1.2.1作为学科的数学作为学科的数学，它自然是源于数学科学，但作为一种教育活动的对象，其又有一定的独特性。也就是说，作为教育的数学和作为科学的数学是不完全相同的。（一）从知识体系看作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在的、特定的知识和思想体系。而作为教育的数学，则是一个经过人为的加工和提炼的、依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系；（二）从数学活动看作为科学的数学，是一类专门的人（可以称之为“数学家”的那些人）的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，而作为教育的数学，则是一类专门的人（可以称之为“学生”的那些人）在某些专门的人（可以称之为“教师”的那些人）的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程；（三）从对象特征看作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开放的逻辑结构系统，而作为教育的数学，其对象则是含有经验、直观的和几乎是封闭的逻辑结构系统；最后，从活动的目的看，作为科学的数学活动，是为了获得发现和创造数学，而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的数学。1.2.2小学数学学科的性质作为小学数学课程的数学学科，具有如下性质：312\n《小学数学教学论》教案1、生活性倡导将数学学习回归于儿童的生活，这已经成为了当今转变小学数学教育观念的一个重大的命题。因为我们已经开始关注到，儿童是从自己的生活实践开始认识数学的，所以，就要将儿童的数学学习真正地回归到儿童的生活中去，在学习中时时关注儿童关心什么？经历了什么？对什么感兴趣？在生活中发现了什么？让数学学习与儿童自己的生活充分地融合起来，将学习纳入他们的生活背景之中，让他们在自己寻找、发现、探究、认识和掌握数学。2、现实性儿童的数学是他们的现实数学，因此，儿童的数学学习的组织，应源于他们的数学现实。这种现实存在于儿童与外部世界的沟通和交流的构成之中，存在于儿童的社会生活的实践性活动之中。这些“现实”是小学数学课程的起点，也是儿童获得数学的学习活动与生活实践的节点。课程的任务是构建抽象与现实的连续体。因此，小学数学课程的一个重要的特征就是沟通抽象的数学与现实的实践的联系，强化数学的产生与运用真正回归儿童的生活现实。3、体验性即学校的数学教育，应当努力去改变相应的课程内容、教学方式、组织策略和评价模式。积极倡导努力探求解法，而不单是记忆步骤；主动探索模式，而不单是记忆公式；积极形成猜测，而不单是做些习题。可见，我们的学校的数学教育应当成为让学生去亲生体验一下的数学问题解决的一种活动，不要总是将详细整理好的证明（事实）材料提供给学生，而是尽可能地让学生通过自己仔细的观察、粗略的发现和简单的证明，只有这样，才有可能使学生真正经历超越局部的、非单纯接受的问题解决的过程。1.2.3小学数学学科的任务小学数学教育的最终目标就是发展人，就是发展人在快速变迁的社会中获得高质量生存所需要的基本素养、能力和情感。（一）发展公民数学素养是基本的任务第二次世界大战之后，随着包括计算技术在内的现代科学技术的迅速发展，数学的应用领域得到了极大的拓展。就像今天的识字、阅读一样，数学日益成为公民必需的文化素养，数学教育大众化成为了时代的要求。例如，在现代社会312\n《小学数学教学论》教案，大量信息以各式各样的数据形式出现在我们面前。如何收集有用的数据，怎样整理、分析信息，得出有用的结论，就成为了现代人必不可少的一种能力。数学不仅是人们是利用数学来交流信息和思想的，理由数学来完成一系列的实际任务及解决现实生活中的问题的。同时，数学也是探索新世界的工具。可见，我们的小学数学教育，并不追求将所有的儿童都培养成为伟大的数学家，而是培养他们最基本的数学素养。1、数学素养的基本内涵早在80年代，著名的科克罗夫特（cockcroft,W.H.）报告就提出“数学素养”这个词，它认为数学素养主要包含两个内涵，第一是指个人在日常生活中具有运用数学技能的能力，能够满足个人每天生活中的实际数学需求；第二是能正确理解含有数学术语的信息，如阅读图表和表格等，这表示一个有数学素养的人应该能正确理解一些数学的沟通方式。显然，这种观点明显的超出了我们通常所理解的数学运算的学习，也超出了我们所理解的以掌握数学概念和解题方法的学习，更超出了我们通常所理解的解题技能的学习。具体的看，参照美国的NCTM（国家数学教师协会）标准（即1989年的“学校数学大纲及其评价标准”），我们大致可以给数学素养的基本内涵做如下的表述：（1）懂得数学的价值即能初步懂得数学的价值和在文化中的地位和社会生活中的作用，了解用数学思想来思考并用数学方法来处理日常生活中发生的事件与现象的优越性，提高对日常的事物现象用数学的知识与经验、思想与方法等进行观察、推测、尝试、计划并合情合理地思考的意识和兴趣。（2）对自己的数学能力有自信心即在学习中对自己的数学能力有信心，并有可能常常在数学的学习中获得一些积极良好的情感体验，从而提高参与社会生活以及在社会生活的探究、发现和改造等活动中主动进行决策的兴趣和态度。（3）有解决现实数学问题的能力即能初步掌握对日常生活中存在的各种信息的采集、整理、辨析及其处理与运用的基础能力，并能用数学的方法对它们进行初步的考察、区分、组织和模型建构，从而获得最基础性的解决数学课题的能力。312\n《小学数学教学论》教案（4）学会数学交流即会读数学、写数学和讨论数学，包括学会简单的数学交流，能用数学语言来解释、阐述或证明自己的研究与解决问题的猜测、计划、过程和结果等。（5）学会数学的思想方法即学会初步的和简单的一些数学思想和数学方法。包括对应思想、变量思想、统计思想等等以及化归、假设、模型等方法。2、数学素养的基本特征（1）发展性实际上，数学素养是随着社会的进步而变化和发展的，例如，在100多年前，掌握算术技能可能就是一个重要的数学素养，但随着今天计算机技术发展，这种算术技能的重要性和对运算技能的需求都已逐渐发生了显著的变化。今天作为一个有数学素养的人，面对一个现象或问题，他可能先要判断是否需要进行计算？如是，则可能就要思考是否需要精确计算？然后才考量用什么方法进行计算。中间可能还要思考是否需要增加有用的信息？可能还要考虑如何辨析这些信息？等等。（2）过程性首先，数学素养所内含的目标，不是一个终极的目标，而是一种指向发展方向的过程性目标，是我们数学教育所追求的价值目标。因此，数学教育关注的，是儿童的这种数学素养的渐进的发展过程。其次，数学素养的发展，是伴随着数学学习过程之中的，它不能靠我们通常所理解的所谓的“单项训练”就能实现的。有时，它还伴随者其他的学科学习和环境学习中的有意识加以渗透的。（3）实践性数学素养具有明显的现实性和实践性的特征，它与我们的日常社会生活是紧密联系的。因为，儿童的数学素养是借助于现实数学的学习和自己的主体性实践而获得发展的。数学学习就是要让儿童感觉到，没有一定的数学素养，他们可能就会在一些日常的社会生活中难以行动。同时，数学学习也应让儿童感觉到，数学素养就存在于自己的日常社会生活之中。使儿童在数学探究和问题解决中去发展数学素养。（二）培养数学思维是实现数学素养发展的基本点1、思维与数学思维312\n《小学数学教学论》教案思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系概括的和间接的反映。思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思维。数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。2、数学思维的分类（1）数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性和清楚划分的思维过程为特征的。数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。（2）数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。312\n《小学数学教学论》教案集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维(正向思维)和纵向思维是集中思维的两种重要形式。发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。发散思维则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时，我们是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新远景，有时去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态型思维的特征。（3）数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。3、数学思维的一般方法数学思维的一般方法是指学生在数学思维过程中运用的基本方法。（1）观察与实验所谓观察，就是指人们对周围客观世界的各个事物和现象，在其自然的条件下，按照客观事物本身存在的自然联系的实际情况，加以有目的的感知，从而来确定或研究它们的性质或关系的一种思维活动。观察是多种感觉器官对对象的有意识的知觉。观察具有这样两个特征：第一，观察的双重性。即观察不仅仅是指利用各种感觉器官对客观事物进行看、触、听、嗅、尝等感知活动，还包括对客观事物的领会和理解等活动。例如，儿童在学习长方形面积的计算时，可能先观察由若干单位面积的小正方形组成的长方形，然后用数数的方式找到该长方形的面积。这时就会引起他们思考，长方形的面积都要通过“数”312\n《小学数学教学论》教案吗？他们与长方形的什么是有关系的呢？接着就会去进一步地观察，在这个长方形中每一排有几个这样的小正方形，共有几排。于是，又引起他们深入思考，这样的每排几个和有这样的几排，与长方形的面积是什么关系呢？显然，在整个观察活动中，感知和思维是同步进行，互为条件的，感知为思维提供了依据，思维又为进一步感知提供了新的目标。可见，观察的根本目的就是为了发现问题和找到事物的本质规律，因此学会思考性地观察很重要。第二，观察的客观性。格式塔（Gestalt）曾有这样的实验，发现当人们在感知诸如△□〇等这样的图形时，总会在知觉中自觉地将它们看作是一个三角形、正方形和圆，即人的知觉有一种趋向于稳定性、完整性和对称性的倾向，这就是观察的主观性。要保证观察的客观性，就需要掌握一定的观察方法。通常说，从观察顺序看，主要有：整体→部分→整体和部分→整体→部分这两种方法。而方法的抉择主要取决于在数学学习中观察的任务和对象的特点。从儿童的思维发展的特征看，他们的观察能力的发展有着一个较为明显的阶梯性，即：对象的概括化的能力→知觉的形式化能力→空间结构的知觉能力→逻辑模式的识别能力。实验则是人们根据一定的研究目的，人为地创设条件，控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取资料的研究方法。观察与实验都是一种有目的、有计划、有步骤、有组织的积极思维活动。不过，实验以观察更具有优越性，它可以排除外界条件的各种干扰，突出其主要矛盾，使实验者获得更精确的事实和资料。但是任何实验都离不开观察，实验实际上是观察的一种形式。（2）比较与分类比较，也称对比，它是确定对象之间的相异与相同点的一种逻辑方法。它可在相同或相异的对象之间进行，也可在同类对象的不同方面进行。比较是分析，综合这些基本思维过程的主要活动方式之一，要使学生能抽象概括得到理性认识必须通过比较。在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用，“有比较才能有鉴别”，通过比较，可以从思想上把握现实世界对象本质特征和非本质特征，反映客观事物相互对立又相互联系的内部规律，达到正确认识事物的目的。在数学研究中，同样也离不开比较方法。当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我们必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们称为分类，也称为分类方法。分类是确定概念外延的一种逻辑方法。根据分类的含义，分类必须遵循下列原则：312\n《小学数学教学论》教案（1）分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类的概念的外适相等，即没有遗漏。（2）分类所得的各子项，应当是互相排斥的，即没有重复。（3）分类应按同一标准进行。3、分析与综合分析和综合是人类认识事物本质的一个必不可少的基本思维过程。数学知识的是客观事物的抽象的和模型化的反映。因此，能否将概念还原成事实，就看概念掌握的清晰程度和深刻性，这就要依赖与学生的分析与综合能力。所谓分析，简单地说，就是指在头脑中将对象和现象分解成个别部分，从而找出它的属性、特征等单独来考察的思维活动，而所谓综合，就是指将分析了的各个部分结合起来，从整体来考察对象或现象的思维活动。分析始于感知，但它属于一种片面的感知，不能获得整体的认识。综合则是将片面的感知进行整合，形成整体知觉。一般说来，没有分析就谈不上综合，但分析并非一定在综合之前。同时，分析和综合是伴随在同一认识活动的过程之中的。儿童的分析、综合能力发展，有一个从低级阶段到高级阶段的发展过程，所谓低级阶段，即指分析和综合是与感知觉直接挂钩的；而所谓高级阶段，则是指分析和综合不再与感知觉直接挂钩。在小学数学学习中，可以利用多种途径对儿童进行分析与综合能力的培养，如：利用某些问题解决学习来发展儿童的分析与综合能力。因为在问题解决学习过程中，有一个理解问题活动，而理解问题的活动就是在头脑中构造问题表征的活动。这是一个不容忽视的阶段，研究表明，许多问题解决的障碍可能并不在于问题解决的策略不当或者过程有误，而往往在于关于问题性质的认识表征的建立上存在某些问题。一般地说，问题从被确认到获得解决，是有一系列的不断变化的状态的，即从问题的起始状态到问题的目标状态，首先就有一个表征构造的过程，而表征构造的过程就是一个不断地分析与综合的过程。只有这样，才能从问题的起始状态出发，通过图式的检索进入并逐渐逼近问题的目标状态。利用某些计算（规则）学习进行来发展儿童的分析与综合能力。仅从计算的审题过程看，儿童往往除了表现出对“式题”312\n《小学数学教学论》教案的审题不重视外，还表现出审题的：无顺序、粗糙和随意性强等特点，从而影响了解题的正确性或速度。（4）抽象与概括抽象与概括也是人类认识事物本质的一个必不可少的基本思维过程。所谓抽象，简单地说，就是指发现事物的本质属性，放弃非本质属性的思维过程。所谓的概括，简单地说，就是指从个别单独的属性，推广到属于这同类事物的属性中的思维过程。数学学习的过程就是培养抽象与概括能力的过程，这首先是由数学科学其本身抽象性特征所决定的。其次，数学科学是对客观世界的本质属性最一般的反映，而这种最一般的反映必须要以抽象为前提。但是，由于儿童尚处于以具体形象思维为主并逐步向抽象逻辑思维过渡的年龄阶段，因此，其内部的思维活动就常需要有一定的外部支撑点——充分地感知。对儿童的抽象与概括能力的培养，应注意要有一定的阶段性。按皮亚杰等人的研究，低年级的儿童尚处在“前运算阶段”（相当于布鲁纳的“动作式阶段”）向“具体运算阶段”过渡，往往只能形成“一级概念”（具体概念），而要形成“二级概念”（定义概念）还比较困难。他们往往只能依赖经验（直观）进行初步的抽象，而这种抽象与概括的发展是依据对象的外显的特征从手的分类开始，凭借感觉学习来形成和保持各种表象，也就是说，在他们的概念中还往往依赖直观或经验来支撑。而年龄稍高一些的儿童开始处于“具体运算阶段”（相当于布鲁纳的“映象式阶段”），守恒概念逐渐形成，而且思维的可逆性和多维性逐渐得到了发展，能将环境中的经验构成内在的表象，开始能摆脱分类而从事物的内部特征入手，从而可能获得一些“二级概念”。但是，这个阶段的儿童在获得和适用这些概念的时候，仍需一定的直观形象来支持。到了更高些年龄段的儿童，他们的思维水平已开始发展到“具体运算阶段”向“形式运算阶段”过渡，他们已有一定的抽象的假设或命题进行逻辑转换的水平，而且概括能力也开始增强，能从一类本质属性推广到同类事物中去。例如，对“角”的认识，低年级段的儿童，可能只能从日常的经验或活动的体验来支撑，因而在他们看来，角就是“尖”的，还不能形成对图形的表征；稍高年级段的儿童，可能就会从图形特征入手，从了解图形的基本组成去形成对图形的表征。但是，对于像/这样的图形，他们可能就会糊涂，这究竟是“勾”312\n《小学数学教学论》教案还是“角”？再高年级段的儿童，可能就会从“角”的发生角度去真正理解其本质含义，并开始懂得对情境对象依照一定的规则做符号推演（判定）。（5）归纳与猜想归纳是对同类事物中的各种特殊事物所蕴含的同一性或相似性而得出此类事物的一般性结论的思维过程。猜想是指人们根据某些事实和知识所作出的未经证实的预测性推断，以及人们作出这种预测性推断的思维过程。归纳有完全归纳与不完全归纳。完全归纳而得到的猜想，一般地说是可靠的；而不完全归纳而得到的猜想，一般地说不一定可靠。归纳与猜想可以导致数学的发现。不完全归纳法的作用（1）不完全归纳法是数学发现与创新的有效方法；（2）不完全归纳法在数学教学中有着广泛的应用；（3）通过归纳方法提出的猜想可以作为数学研究的题点，丰富数学研究的内容，推动数学学科向前发展。归纳与猜想是从特殊而得到一般的思维方法。波利亚说过：“科学家处理经验的方法，通常称为归纳法。”数学学习中，利用归纳猜想不仅有利于数学的发现，也有利于数学解题途径或方法的得到。（6）类比与联想类比是根据两个对象或两类事物间存在着的某些相同或相似，推断出它们的其它属性也可能相同或相似的思维形式。联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。　　一般类比联想的模式为　　A具有性质a，b，c，d，　　B具有性质a，b，c，　　B也可能具有性质d。　　另外，类比联想还存在模式为　　A具有性质a，b，c，d，　　B具有性质a′，b′，c′分别与a，b，c相似，　　B可能具有性质d′，d′与d相似。312\n《小学数学教学论》教案例如：由除结果商不变的性质和分数的基本性质类比得出比的基本性质。4数学思维的品质数学思维品质又称数学思维的智力品质，它是指学生数学思维发生、发展中的个性差异，它是衡量学生数学思维发展水平的重要标志。思维的深刻性——是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度、深刻和难度。在数学思维中，学习者的思维表现出如下特征：　　（1）善于洞察数学对象的本质；　　（2）善于把握数学知识的背景；　　（3）善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；　　（4）善于揭示数学材料的思想、方法、原理、一般模式；　　（5）善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当的推理和作出正确的推断与猜想。思维的深刻性是一切思维品质的基础。思维的灵活性——是指思维活动的灵活程度。即学生在思维过程中能从不同的方面、不同的角度以及从不同的方向来思考问题，并且还能用不同的方法来解决问题，具体到数学学习上，学生可以从不同的方面来理解数学概念，用各种方法来解答数学问题，有时还可以用多种手段来处理疑难问题。思维的灵活性是数学思维的重要品质，它与思维深刻性的结合，构成了思维的机智与敏捷，常常可导致发明和创造。正因为如此，爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。数学思维的灵活性具有以下特征：（1）善于从不同的角度思考问题，用不同的方法解决问题。（2）善于随机应变，把问题加以转化。思维灵活性的反面是思维的呆板性。在数学学习中常表现为循规蹈矩和因循守旧，缺少应变能力，呈现出消极的思维定势。思维的敏捷性——是指思维活动的反映速度和熟练程度。数学思维敏捷可以归纳出如下的特点：（1）在数学解题过程中善于走捷径，超越常规的步骤，从而使解题过程大大缩短。（2）思维敏捷性具有直觉的成分，通过直觉思维，得到简捷的解题思路。312\n《小学数学教学论》教案（3）在解决数学问题的思维中，善于一下抓住问题的本质，使问题迎刃而解，表现出解决问题的敏捷特点。例欧拉在解决“七桥问题”时，就是把七桥问题中“一次无重复地走过七座桥”的问题的本质抓住了，即把它看成是“笔不离纸，一笔画出一个封闭曲线”(“一笔画”)问题。从而使问题得到迅速解决。思维的独创性——是指思维活动的创新程度。是指思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特，具有创造性。数学思维活动中表现为能独立地发现问题，解决问题，勇于创新，敢于突破常规的思考方法和解题程式，大胆提出新的见解和采用新的方法。在数学学习中，思维的独创性是极其重要的，著名数学家高斯小时候就具有在数学学习上思维的独创性，他在计算教师给他们出的计算题1＋2＋3＋…＋100时，不是依常规的计算步骤，即一个一个地加起来，而是排除了过去的思维模式，采取了一种新颖的算法：于是，101×50=5050，从而，1+2+3+…+100=5050。高斯的这一思维即有摆脱常规思维而具有新颖性思维的特点。（1）具有较强的个性特点；　　（2）善于独立思考、分析、综合，找出数学问题的主要特性；　　（3）善于通过观察、类比、归纳，作出猜想；　　（4）不拘泥现有的思维方法与途径，而善于独辟蹊径，从方法上创新；（5）通过思维而得到新颖的思维成果。思维的批判性——即思维的独立性。是指思维活动中独立思考，善于提出疑问，并发表不同的看法，严格客观地评价思维的结果，及时地发现和纠正错误。数学思维活动中，表现为对已有的数学表达和论证提出自己的见解，自我评判，辩别正误，排除障碍，寻求最佳答案。312\n《小学数学教学论》教案数学思维的批判性具有以下特征：　　（1）善于找出解题中的错误，并能独立地纠正错误的解法与错误的结果，即善于洞察解题过程中出现的错误与漏洞，并能对思维过程作出正确的评价。（2）善于对已有的数学结果提出自己的看法或怀疑。　　（3）善于举反例，批判错解。在数学教学中可以通过对一些容易致误的数学问题的分析思考来提高思维的批判性。思维批判性的反面是思维的盲从性。在数学学习中常表现为对教师和教材的盲从，不敢越雷池半步；表现为对他人结论的轻信，不善于独立思考和提出问题；也表现为缺乏检查和检验的意向，不善于客观评价等等。（三）提高将数学运用于现实情境的能力是发展数学素养的基本目标数学教育目标是为了拓展人的空间，包括数学的空间和生活的空间。拓展数学空间的最终目的还是为了拓展人的一般的生活空间，使人的生活变得更为丰富多彩。显然，数学对每一个普通公民来说都有价值。1、学会用数学的思想来考察现实在现实情景中发展儿童的数学素养是一个重要的途径。因为儿童可以在这些实践、操作以及使用具体材料的过程中，有效地获取知识和技能，增进理解；运用数学知识发现和解决一系列现实生活问题；处理由课程其它领域或其它学科提出的问题；对数学内部的规律和原理进行探索研究等。概括地说，要学好数学就要用数学对具体情境进行思考和探索。这时，学生需要学会如何面对新的事物；学生需要学会如何逻辑地和有创意地思考；学生需要学会如何分析和解决问题；学生需要学会如何获得信息并有效地加以处理；学生需要学会如何与别人交流与沟通；如此等等。因此，数学教学应该引导儿童观察和认识周围世界最简单的数量关系，建立情境与一般法则的联系，从而激发他们超越这些规则并能用数学语言来进行表达的动机，真正使用数学知识成为学生生活和思维的组成部分，这对儿童来说是非常主要的。2、构建普遍知识与特殊情境的联系312\n《小学数学教学论》教案理解普通的数学规则（知识）和特殊情境之间的不同，是儿童数学学习中要解决的一个关键问题，也是发展数学运用能力的一个重要任务。特殊的情景之中往往并不明确显示那些规则性的成分，而要获得特殊情景中的问题解决，却又必须依照某些规则。教学实践中不难发现，儿童的问题解决所产生的错误，在许多的情况下往往并不是某些数学规则性知识的问题，而是不能抓住一般的数学规则性成分和其在特殊情境中的运用之间的联系。小学数学课程中的许多陈述性知识，往往是以严谨的命题或抽象的符号来呈现的，一旦需要将由命题的推演或符号的证明转化为现实的特殊情景中的问题思考时，就会给问题的表征和知识的检索带来一定的困难。例如，通过学习，儿童可能很理解并掌握了乘法的意义，但是遇到类似下列这些的特殊情景下的问题时，却又常常容易出现错误：“爸爸要做一个小木盒子，于是，他拿来一根细木条，将它锯成六段。兵兵发现，爸爸每锯断一次要用2分钟，想一想，爸爸做完这件工作要化多少时间？”又譬如说，在表面看来，程序性的知识似乎相对容易保持并易于检索，即在面对特殊情景下的问题解决过程中，似乎只要能再现那些程序性的知识就行了，但问题是，我们在组织学习并习得那些程序性知识时，往往是刻意构造一些能明显呈现其程序规则的背景命题（所谓结构良好的问题），以帮助儿童去发现、区分并掌握这些程序性的规则。而那些特殊情景却往往并不直接呈现所包含的那些程序性规则特征的信息，就容易阻碍学生在问题解决过程中对问题的表征和知识的检索。例如，有的学生已经习得了“求平均数”的知识，但却不能解决类似如下特殊情景中的问题：“为迎接‘城市运动会’，学校接到一项任务，为大会编织一批彩花。大队部将这个任务交给了五（1）中队。中队第一天派了6位少先队员，结果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先队员，结果共做了106朵彩花。到了运动会召开的前一天，大会突然要求学校再补充250朵彩花，并在一天内完成。你认为派多少位少先队员来完成此任务较为合适？为什么？”而就策略性知识（包括反省认知知识）而言，就更难于保持和检索了。如果我们在学习中将那些策略性知识也像程序性知识那样，归纳出某些规则并要求儿童去识记并保持时，我们就可能犯了一个错误。因为许多的策略性知识只有在真实的问题情境中，对可能性空间（也叫问题空间的）进行不断地搜索，逐步逼近，然后在这种不断的尝试、反思和修正过程中，才有可能去逐渐地构建某些策略性知识。312\n《小学数学教学论》教案可见，在普通的数学规则和特殊情境之间，其唯一桥梁是学生有意识在现实情境下进行数学思维。应积极地帮助和引导儿童在实践、操作以及使用具体材料的过程中，获取知识和技能，增进理解；帮助和引导儿童不断地运用数学知识去发现和解决一系列现实生活问题；帮助和引导儿童处理由课程其它领域或其它学科提出的问题；帮助和引导儿童对数学内部的规律和原理进行探索研究。要让儿童了解到，数学表达系统是当作工具使用的，这些系统必须与它们运用中的情境相连才是有意义的。同样的，还要让儿童体验到，单有数学程序学习是不够的，而应当使这些程序成为他们思维工具。实际上，学生应用数学知识的过程是综合的数学能力和思维发展的过程。在解决问题的过程中，学生需要学会如何面对新的事物，如何逻辑地和有创意地思考，如何分析和解决问题，如何获得信息并有效地加以处理，如何与别人沟通等。正是在这种联系中，儿童才有可能获得对知识的理解和掌握并进一步产生学习数学的动力，并获得数学素养的提高。§1.3小学数学课程及其发展课程是由老师、学生、教材与环境四因素之间持续的相互作用而构成的有机的“生态系统”。从实践性特征看，课程的组织结构、内容结构等影响着教师、学生、教材与环境四因素之间相互作用的方式。1.3.1我国传统的小学数学课程特征这里主要研究的是我国传统的小学数学课程体系、课程设计以及课程教学等方面的一些主要特征。（一）小学教学课程课程（curriculum）,作为汉语，以一个教育学概念大概最早出现于南宋哲学家和教育家朱熹（1130——1200）的著作《朱子全书·论学》中。按照《中国大百科全书（教育篇）》的解释是“课业及其进程”，含有“学习范围和进程”或“在一定时间内完成的一定分量的学业”等意；作为英语，“curriculum”一词源于拉丁语“currere”，意为“跑道”（racecourse），转意为“学习之道”。在西方最早提出课程（curriculum）一词的是英国著名哲学家、教育家斯宾塞（H.Spencer）。他在1859年发表的《什么知识最有价值》一文中将课程意指为“教学内容的系统组织”。312\n《小学数学教学论》教案随着对课程研究的不断深入，人们对课程内涵的界定已出现多元化的格局。主要有以下几个维度：第一，学科、知识维度。这一维度将课程看做是所讲授的科学，强调课程的知识组织与累积、保存功能。第二，目标计划维度。将课程视为教学过程要达到的目标、教学的预期结果或教学的预设计划。第三，经验、体验维度。这种课程定义把课程视为学生在老师指导下获得经验或体验，以及学生自发获得的经验和体验。这一定义维定与前两种的最大差异在于，它将课程内涵的重心由学科知识或计划的客观侧面转移到了学习者的经验和体验的主观侧面。第四，活动维度。其基本观点认为，课程是人的各种自主活动的总和，学习者通过与活动对象的相互作用而实现自身各方面的发展。另外，美国学者小威谦姆·多尔（W.E.Doll）在《后现代课程观》一书中对未来课程发展作了全新理念下的阐释，他提出的新的课程特征可归结为“4R”，即丰富性（Richness）、回归性（Recursion）、关联性（Relation）和严密性（Rigor）。虽然，如果我们仅仅从学科知识维度和目标计划维度来理解课程，恐怕是过于狭窄了，这样会出现把教材等同于课程的现象。而从经验体验维度和活动维度来理解课程使得课程的含义更为宽广，这样会将课程视为教师、学生、教材、环境四因素间的持续交互作用的动态情境，课程由此变成了一种动态的和生长的“生态系统”。数学课程作为课程的一个组成部分，数学课程就是其中的一个“子生态系统”。小学数学课程是学校数学教育在小学阶段的一门重要课程。要了解小学数学课程，应从小学数学课程目标、课程体系、课程内容的组织与呈现以及课程的实施和评价等几方面来研究。（二）传统小学数学课程的特征1、课程开发——学术中心传统的小学数学课程体系强调数学的学术性，强调只有那些可“教授”的数学学术知识才能用来组织课程，而经验、情绪或社会因素等不被视为课程的来源。当课程过分追求学科的严密体系的时候，就会忽视课程的育人性。包括忽视学生在态度、情感、人格等方面的全面发展，忽然学生实践、探索和交流的主动学习过程和个性差异等，也忽视社会和数学自身进步的需要。因此，数学课程与儿童之间就会存在明显的脱节甚至对立。2、课程组织——学科取向312\n《小学数学教学论》教案传统的小学数学课程内容的设计偏深，贪大求全。许多内容脱离学生的生活实际，特别是应用题。这些应用题并不完全取材于生活中的问题，更多的是人为设计的，纯粹是为数学知识体系服务的；课程内容的组织往往过多地考虑某一知识在数学科学结构中的位置和作用。于是小学生的数学课程就成为“数学家的课程”；课程内容的呈现方式基本上是演绎型的，从符号到符号，缺乏趣味性和可读性，不完全符合小学生的认知规律。3、课程结构——螺旋式传统的小学数学在内容体系的组织中，按照儿童的年龄特点，对数学知识进行逐步渗透、逐步拓展。表现在对于同一“块”数学知识，在每个年级段都要安排一定的量。而这些“量”随着儿童的年龄增长以及经验、认知和能力的增长呈现明显的加深与拓展。经过五年（或六年）的反复循环，形成完整的数学基础知识体系。它的特点就是由浅入深、由易到难、循环渐进。这种呈现方式，有利于数学知识系统的传授知识的接受。4、课堂教学——记忆为主传统小学数学的课程实施受应试教育的影响，重视知识记忆和技能训练，轻视思维训练，忽视创新精神的培养，关注学生的学习结果而不重视学生的学习过程。学生死记硬背现成的结论，模仿做题，对结果、目标感兴趣，而对探求真理的过程本身缺乏热情。在学习方式上，一方面，学生的学习是被动的，缺乏自信和自主探索的精神，少有合作学习，多以接受式学习为主；另一方面学生学到的更多是结论性的知识和技能技巧，其应用价值不足。5、课程评价——笔纸考试为主最后，传统的小学数学的课程评价采取的是单一性的笔纸考试。学生学习数学的动机主要来自于外部的考试压力，具有浓厚的功利性色彩。长期下去，泯灭了儿童的好奇心，压抑甚至扼杀儿童的求知欲和创造性，导致学生自身的学习动机、创新意识和创新能力逐渐缺失。1.3.2国际小学数学课程的发展当今，世界各国的小学数学课程正发生着深刻的变化，而且这种变化的指向是十分明确的，即学习者数学素养的培养以及数学思维和数学能力的发展。（一）ICMI时代国际小学数学课程的发展312\n《小学数学教学论》教案20世纪初，在F.克莱茵的数学教育改革思想的推动下，苏联的数学课程所体现的特点是：（1）贯彻理论联系实际的原则；（2）强调函数概念的重要性，宣传辩证吻物主义观点；（3）以先进的教育理论为指导，由浅入深，适合学生学习。当时主要采用基谢辽夫（又译吉西略夫，1852——1940）的数学教材，包括《算术》、《初等代数》、《初等几何》。这套教材一直沿用到1967年，较好地体现了F.克莱茵所概括的、代表世界数学教育改革嘲流的教育思想。1830年以后，美国数学家结合自己的教育实践偏写教材，内容较简单。1882年，美国的“数学十人委员会”提出了一套数学课程的改革方案提倡算术问题具体化，删除难题，并提倡在几何中从具体的模型、实体入手，注意算术、代数和几何的关系。这时美国的数学课程普遍难度不大，实用性强。后来对于F.克莱茵和ICMI所倡导的改革思想却体现不足。20世纪初，日本的数学课程受从德国留学回来的菊池大麓（东大教授，后任文部大臣）和藤泽利喜太郎等人的影响，倡导“新的算术·数学教育方针”，主张“算术使儿童熟悉日常的计算，授予生活上必需的知识，并养成精确的思考能力”。1905年，日本使用国定教科书（黑皮教科书），这套书中包括藤泽利喜太郎写的《算术学教科书》、《初等代数教科书》。直到1940年日本全国中小学数学教材改用“绿皮教科书”。其主要思想是：对儿童进行“数理思想开发”，“日常生活的数理指导”。其指导方法，以“从直观到理论”、“从具体到抽象”、“从单纯到复杂”为原则。（二）二战后国际小学数学课程的发展20世纪50年代末至60年代初的“新数运动”时期，受布尔巴基学派结构主义思想的影响，皮亚杰为代表的现代教育心理学派认为：数学思维的结构与数学科学的结构十分相似。如同数学可以分为三种结构一样，思维也可分成三种结构。他们还认为数学课程的任务是使学生形成这些思维结构，并借助这些结构去认识数学结构。提出课程改革目标是按照现代数学的主要结构（代数结构、序结构、拓扑结构）来确定和改组中小学数学课程。在这方面，美国最为积极，出现了许多试验性的方案。其他西方国家也积极推行，如法国、比利时、英国都推出了自己的课本或教材。而日本在1959年、1960年刚刚颁布的数学教学大纲的基础上，又经过修订，颁布新的中小学数学教学大纲。苏联也在1967年完成了数学教学大纲的修订工作，向“新数”方向靠珑。312\n《小学数学教学论》教案“新数”失败后，在“回到基础”的口号下，各个国家在20世纪70年代后半期，都采用了相应的调整措施。日本于1977年、1978年修订了70年代初制定的中小学数学教学大纲。在突出重点、精选内容的名义下，删除了偏难的内容。苏联则三次修改（1978年、1979年、1981年）小学数学大纲，修订的指导思想是：小学数学中有关代数和几何初步知识的内容过重，必须删除；基本技能必须提高到自动化的程度。对于20世纪80年代中小学数学课程发展的走向，第四届ICIE所作的概括是最具有全面性和代表的：（1）提高所有学生的数学能力和数学态度；（2）注意从应用出发，精选传统内容和增加新课题，不断适应新的发展的需要；（3）强调在重新组织教学内容时，应当把现代数学思想和数学方法作为中小学数学课程的重要组成部分；（4）充分发挥计算器与计算机在数学教学中的作用；（5）加强师资培训，改进教学方法；“（6）关于几何教学的改革，目前在认识上差异很大，主张各异。各个国家正在试行着各种不同的方案。德国、英国、日本等发达国家在1989年纷纷颁布新的数学课程标准，并于1992年全面实施。经过七八年的实践，在1999到2000年，发达国家又陆续公布了新世纪数学课程标准。1.3.3我国小学数学课程的发展（一）课程标准与教学大纲所谓“课程标准”，指某个学科教育的“整个思想和活动的结构”，是指某一学科的教育理念、价值、内容、学习活动的实施以及评价方式等的总体要求，也就是指学科教育的一种规范。而所谓“教学大纲”，原指教师为讲授某一门学科而编写的教材纲目，即教材和教学提纲。后来从俄语中直择，专指“国家教育行政部门规定各个学校的各门学科的教学目的和任务、教材内容和教学实施的指导文件”。唐朝，我国的科举制度开始完善，并规定了十本“算经”（史称《算经十书》，如《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》等）为考试范围，开了“以教材代纲”的先河。到了1872年，当时的京师同文馆拟定了“八年课程计划”，在我新式学校里出现了课程标准的雏形，从此“课程”一词正式开始在我国使用。1902年（光绪28年），张丰熙等拟定的《钦定学堂章程》（史称“壬寅学制”312\n《小学数学教学论》教案）颁布，这是我国第一份新式学校的、正式的和完整的学校体系和课程计划，规定了小学算术的“要义”（目标）、年级内容以及年级周课时数等。1912年1月底，我国颁布了《普通教育暂行课程标准》，从此“课程标准”一词开始正式在我国使用，而且一直沿用到1950年。到了1952年的12月，中央人民政府教育部颁布了《小学算术教学大纲（草案）》，这是第一次开始用“教学大纲”一词代替了“课程标准”，并待续到1992年。2001年6月，我国颁布了《义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》，又恢复了“课程标准”这一名称。数学教学大纲或数学课程标准指明了数学教育的目标和要求，它们是编写课本的依据，又是教师教学的依据，还是评价学生的标准。由此，我们可以从数学教学大纲或数学课程标准的变迁和发展来看我国小学数学课程的发展。（二）新中国成立以来我国小学数学课程的变革我国中小学数学课程真正发展是在新中国成立后。在我国小学数学教育发展的历程中，我国小学数学课程大致经过如下变革：1950年7月，教育部根据全国教育工作会议的精神，颁布了《小学算术课程暂行标准（草案）》。这份小学数学课程标准增加了新民主主义革命的内容，删除了封建糟粕，并吸收了苏联和老解放区的教学经验。1952年7月，教育部公布了《小学算术教学大纲（草案）》，我国首次以“教学大纲”的名称代替“课程标准”。该大纲是参照苏联《初等学校算术教育大纲》而制定的，因而在大纲的名称、学制以及内容等方面几乎是照搬苏联的。同时还颁布了《小学珠算教学大纲（草案）》，规定小学四、五年级学珠算。但新的教学大纲在师资、教材以及观念和教学方法等方面遇到了困难，于是教育部在1953年9月颁布了《试行小学四二制学计划（草案）》。1956年，教育部颁布了《小学算术教学大纲（修订草案）》。为是对1952年以来学习苏联的一个总结。1963年8月，教育部颁布了《全日制小学算术教学大纲（草案）》。其特点是：第一，首次明文提出了小学数学教育的“指导思想”，即算术是进一步学习数学的基础，日常生活和生产劳动都用得着，是从事生产劳动和学习科学技术的重要工具，在小学阶段，算术是重要学科之一；第二，首次提出确定教学内容的原则以及安排教学内容的原则等；第三，首次在教学大纲内明确各年级的教学内容和要求。根据这份教学大纲，人民教育出版社编制了12年制中小学数学课本。312\n《小学数学教学论》教案1978年2月，《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》正式颁布。该大纲有如下特点：第一，首次将“算术”改为“数学”，并规定在小学正式教学简单的代数；第二，首次将实现“四个现代化”放入教学大纲中作为教育的指导思想；第三，首次明确提出结合我国国情（改革开放和实现四个现代化）借鉴国外的先进经验。1986年，我国第一部《义务教育法》颁布，同年12月颁布了《全日制小学（中学）数学教学大纲》。1988年，《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲（送审稿）》颁布。1992年6月，国家颁布了《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》。1999年，第三次全国教育工作会议召开，关颁布了《中共中央国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》，同年10月，广州召开中国基础教育课程教材改革项目启动会议，我国新一轮基础教育课程改革由此开始。2000年6月，我国颁布了新的数学课程标准《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》），自此，我国恢复了“课程标准”的名称，以代替“教学大纲”这一叫法。（三）我国21世纪小学数学新课程《数学课程标准》指出，“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。”这阐明了小学数学新课程的基本目标。21世纪现代小学数学课程的新观念是：“突出体现基础性、普及性和发展性”，“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发。让学生亲历将实际问题抽象成数学模型关进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等多方面得到进步和发展。”与过去大纲相比，从以获取数学知识、技能和能力为首要目标，转变为首先关注每一个学生的情感、态度、价值观一一般能力的发展，并使学生获得作为公民适应现代生活所必需的基本的数学知识和技能。义务教育阶段数学课程的最终目标是为学生的终身可持续发展奠定良好的基础，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上能得到不同的发展。这实际上是立足我国数学课程的现实，实施“大众数学”的课程策略。《数学课程标准》的出台，掀起了我国新一轮的基础教育的课程改革运动，为我国小学数学课程带来了全方位的变革。这种变革主要表现在：312\n《小学数学教学论》教案1、素质教育的理念落实到课程标准之中课程标准力图在课程目标、内容标准和实施建议等方面全面体现“知识与技能、过程与方法以及情感态度与价值观”三位一体的课程功能，从而促进学校教育重心的转移。2、突破学科中心在知识的选择上，精选学生终身学习必备的基础知识的技能，改变课程内容繁、难、偏、旧的现状，充分将学生的兴趣与生活、现代社会和科技发展等因素作为课程的来源，尤其注重学生在课程中的主体性作用。3、改善学生的学习方式课程标准通过加强过程性、体验性目标，以及对教材、教学、评价等方面的指导，指导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，发展学生收集、整理、分析和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力。4、评价建议具有更强的指导性和操作性课程标准力图提出有效的策略和具体的评价手段，使评价的重心更多地指向学生过程，从而促进学生的和谐发展。5、课程标准为教材的多样性和教学创造性提供了空间课程标准重视对不同学段目标的刻画以及给出实施过程的建议，对达到目标的内容，特别是知识前后顺序不作硬性规定。这为教材的多样性和教师教学的创造性提供了空间。这是课程标准和教学大纲的一个重要区别。§1.4小学数学课程目标随着社会的进步和科学技术的发展，小学数学教育的目的是在不断发展变革的。而这种变革主要体现在课程目标的不断多元化。1.4.1小学数学课程目标概述课程目标是对某一阶段学生所应达到的标准提出的要求，反映了这一阶段教育目的。它是制定课程内容和确定教学方法的重要依据，是教育教学过程中应当努力实现的要求。312\n《小学数学教学论》教案小学数学课程目标是回答为什么要在小学开设数学这一学科的问题，数学学科对小学生有哪些特殊的教育作用和共同的教育作用，学生通过学习数学应当能达到怎样的要求。1.4.2国际小学数学课程目标的变革（一）世界主要发达国家和地区数学课程目标的特点从20世纪80年代末开始，世界各主要发达国家和地区对数学教育的发展历程进行了全面的总结，相继提出了一系列数学教育发展纲要和数学课程改革的蓝图。许多国家和地区的数学课程目标都发生了很大的变化。他们的数学课程目标有各自的取向，在促进社会进步、反映数学科学进展以及适应学生发展等方面各有侧重。有些学者将这些数学课程目标分为三类：实用知识、学科知识和文化素养。实用的目标包括：以数学方式解决日常生活中遇到的问题；提供将来大部分职业所需要的数学训练；为将来升读理科及有关学科所需的数学奠定基础。学科的目标包括：数、符号及其他数学对象的运算能力；数感、符号感、空间感及结构与规律的意识；推理与逻辑思维；数学构造与解决问题能力；以数学方式表达及交流。文化的目标包括：欣赏数学之美；认识古今数学在各地文化中的角色及其他学科的关系。这些目标在表述上虽然有一定的差异，但从中也反映出一些共同特点：数学课程目标更关注人的发展，关注学生数学素养的提高；数学课程目标要面向全体学生，从精英转向大众；数学课程目标关注学生的个别差异，而不是统一的模式；数学课程目标更加注重联系现实生活与社会。具体表现在：1、注重问题解决重视问题解决是各国和各地区数学课程目标的一个显著特点。美国NCTM数学课程标准（1989）把“问题解决”作为目标之一，把“具有解决数学问题的能力”作为有“数学素养”的一个重要标志。台湾地区提出的数学课程理念之一是“数学课程强调数学解决问题活动”312\n《小学数学教学论》教案。而英国国家数学课程标准中，旨在让学生会解决问题的内容占有十分重要的地位。荷兰数学课程的一个突出特点是重视问题解决。1990年，新，加坡的数学大纲首次提出将发展学生的数学总是解决能力作为数学课程的基本目标，而且数学问题解决也被定为新加坡数年学课程框架的核心。2、注重数学应用英国数学课程十分重视培养学生数学应用的能力，强调数学教学要与实际应用紧密联系，认为教师需要帮助学生理解如何应用所学的概念与技能去解决问题，关形成系统化的体系。1989年美国NCTM的数学课程标准始终贯穿一条不变的主线，即学习和应用数学。日本文部省1998年公布并于2002年实施的《中小学数学学习指导纲要》将数学与现实生活的联系、运用数学的态度作为数学课程的重要目标。而且通过综合课题学习来体现数学应用。荷兰从20世纪60年代末起就开始了现实数学教育的教育改革过程，到20世纪90年代初，几乎所有的中小学都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学课本，注意培养学生数学应用意识与实践能力。3、注重数学交流美国NCTM数学课程标准（1989）中有“学生普会以数学方式沟通”，标准要求学生“学会数学交流，会读数学、写数学和讨论数学”。英国的Cockcroft报告提出，数学教学的基本目的是“数学可用来作为传递信息——表示、解释和预测信息的强有力的手段”。荷兰数学课程中，小学的一般性目标要求学生“获得基本的技能，懂得简单的数学语言，并能应用于实际情形”。从各国各地的课程标准来看，数学交流大体包括三个方面：数学知识的交流、数学体验的交流和解决问题心得的交流。4、注重数学思想方法世界各国和各地区处理中小学数学思想方法主要有两种基本的思路：第一，主要通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的思想和方法，特别是具体的、技巧性较强的方法，如换元法、因式分解法等；第二，通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如试验、猜测、模型化、合情推理、系统分析等。一引起主要发达国家一般倾向于第二种方法。5、注重培养学生的态度情感与自信心312\n《小学数学教学论》教案在以往的精英教育模式下，通常将数学看做一个筛子，数学的更多作用是选择和淘汰。其结果导致大量的学生对数学学习没有兴趣，学习数学的自信心受到很大打击。目前世界上许多国家都将培养学生的态度情感与自信心作为数学教育的一个目标，以此捉进学生运用数学解决问题的动力与能力。美国NCTM课程标准（1989）中提出数学教育应该培养有数学素养的公民，具体提出五项目标之一就是：“对自己的数学能力有信心。”英国的Cockcroft报告中强调“让学生成功地发展他们学习数学的自信心”。并在1995年的国家数学课程标准中提出“培养学生数学学习及应用的态度和信心”。（二）新世纪主要发达国家和地区小学数学课程目标及其特点随着21世纪信息时代的到来，科学技术迅速发展，国际竞争日益激烈，学生的创新精神和实践能力成为影响整个国家综合实力的重要因素，甚至关系到整个民族的生存状况。于是，数学课程也应跟随时代的步伐发生巨大的变革。由1-1可知，新世纪世界各主要发达国家和地区的小学数学课程目标又有了一些新的发展。表1-1新世纪主要发达国家和地区小学数学课程目标及其特点国家和地区小学数学课程目标特点312\n《小学数学教学论》教案美国NCTM标准（2000）平等原则：所有学生进化论其个人特性或背景等客观因素都应有学习数学的机会和得到必要的帮助；平等是指根据学生的不同需要，提供有针对性的帮助，从而促进所有学生的数学学习课程原则：要实施有交的数学教学，教师必须懂得和理解他们所要教授的数学，并在教学中灵活使用这些知识；熟练选取和使用各种教学和评定策略；不断反思、寻求、完善教学方法；经常利用机会和资源提高并更新自身的知识学习原则：理解概念是学好数学的重要条件，建立在理解基础上的学习对于学生有能力处理将来可能碰到的新类型问题是至关重要的评定原则：评定应当有助于对重要数学内容的学习以及为学生和教师提供有用的信息技术原则：技术是教数学、学数学和做数学的必要工具对K-12年级所有学生提出的10条课程标准是：数与运算标准；代数标准；几何标准；测量标准；数据分析与概率标准；问题解决标准；推理与证明标准；交流标准；关联标准；表达标准强调信息技术在小学数学教学中的重要地位，主要表现在：·通过自身的体验和老师的指导，学生应当学会识别何时使用计算器是适当的，何时进行心算则更为有效·计算机可通过提供不同表达方式间的反馈和关联帮助学生的学习。像Tetris计算机游戏可帮助学习发展空间感和眼一手合作能力续表国家和地区小学数学课程目标特点312\n《小学数学教学论》教案英国国家数学课程（2000）·让大多数人掌握“基本技能”·让少数人传授一定的符号操作和运算的知识·培养“现实生活”应用所需的技能·促进学生在精神、道德、社会和文化方面发展的机会·促进学生在交流、应用数量、IT、与人一起工作、改进自身学习和表现心及问题解决等关键性能力发展的机会·促进学生在课程其他方面诸如思考技能、理财能力、进取精神与创业技能心及和工作有关的学习等发展的机会·新课标首次对数学在学生教育上的重要性作了概括性的论述，并且此论述提到了文化、情感、和美学方面的目标荷兰教育获得性目标（AttainmentTargets）（1998）中小学数学课程的一般性目标：·建立教育的数学与日常生活的数学之间的联系·让学生能获得基本技能，懂得简单的数学语言，并能应用于实际情形·培养学生能对自己的数学活动进行思考并能对这些活动结果的正确性作出检验·培养学生认识和探索简单的关系、规则、模型和结构·培养学生描述探究的过程并用自己的语言进行推理并应用它们小学数学课程的具体目标包括掌握一般能力、笔算、比和百分比、分数和小数、测量和几何·将学生的生活体验纳入具体目标体系，充分体现了现实数学教育所取得的进展·更加注重心算和估算，取消形式化的分式运算·几何被正式纳入小学数学课程续表国家和地区小学数学课程目标特点德·312\n《小学数学教学论》教案国巴伐利亚州小学数学课程目标（2000）·儿童在进入小学时已经有了自身的经验，可以对他周围的世界进行比较、排序、分类、计数和度量，并已获得了初步的空间表象·小学数学教育的任务是将这些个体的各种知识连接起来并系统地加以扩充·使学生认识到，借助算术与几何的概念、定律和方法的帮助，可以描述和探讨出自他们生活与经验世界的片段·使学生体验数学能与其他学科一起用丰富多彩的方式解决日常生活问题·通过设置合适的问题可以使学生体验数学思维的乐趣，培养学生在对数学问题的独立分析中促进创造性思维重视学生已有的生活经验认知能力·强调借助数学的帮助描写和探索他们的生活或经验世界·强调使学生看到数学的价值。让学生体验数学能以各种方式解决日常问题·强调发挥学生的特长，促进个性的发展新加坡小学数学教育大纲（2000）·让学生获得并使用他们在生活中遇到的数学情景中与数、测量和空间有关的技能和知识·让学生获得进一步学习数学和其他学科所必需的数学概念和技能·通过解决数学问题发展学生的逻辑演绎、归纳及清楚表达他们的数学思维和揄技能的能力·培养学生运用数学语言准确、简略、有条理地表达数学思想和论证·培养学生对数学的积极态度，包括自信、喜爱和毅力·培养学生欣赏数学的力量和结构（包括模式和关系）以增强他们的求知欲·基本目标仍是培养学生的数学问题解决能力。围绕着数学问题解决有五大紧密相关的要素；概念、技能、过程、态度和元认知续表国家和地区小学数学课程目标特点日算术课程总目标（1998）·312\n《小学数学教学论》教案本·通过与数量、图形有关的算术活动，使学生掌握基础知识和培养学生对日常事物现象的推测和合情推理的思考能力·使学生感受到算术活动的愉快和用数学方法处理问题的优越性，进一步培养学生自觉应用数学的态度强调提高学生多角度的观察、逻辑推理等思维能力·强调学生自己发现研究课题，通过解决问题体验学习的乐趣·提出“综合学习”中国香港（2002起实施）·培养学生构思、探究及数学推更换能力，以及运用数学建立及解决日常生活问题、数学问题及其他有关学科问题的能力·培养学生清楚、逻辑地以数学语言与别人沟通及表达意见的能力·培养学生运用数学、符号及其他数学对象的能力·培养学生建立数字感、符号感、空间感及度量感和鉴间辨结构和规律的能力·培养学生对数学学习有正面的态度，以及从美学和文化角度欣赏数学的能力·重视学生共通能力、价值观和态度的培养·强调数学在日常生活中的应用及高层次思维能力的发展·强调让学生体验数学的重要性中国台湾2001后开始实施·让学生掌握数、量、形的概念与关系·培养学生日常所需的数学素养·发展学生形成数学问题与解决数学问题的能力·发展学生以数学人微言轻明确表达、理性沟通工具的能力·培养学生数学的批判分析能力·培养学生欣赏数学的能力·强调将数学学习与学生生活紧密联系·强调学生在学习过程中质疑、提问是培养创造力和社会适应能力的需要·强调用数学语言进行交流1.4.3我国小学数学课程目标的演变与发展（一）新中国成立后我国小学数学课程目标的历史发展与特点1、新中国成立后我国小学数学课程目标的历史发展312\n《小学数学教学论》教案表1-2新中国成立后小学数学教学大纲教学目标比较表教学目的比较分析1950年暂行标准·增进儿童关于新社会日常生活中数量的正确观念和常识·指导儿童具有正确和敏捷的计算技术和能力·训练儿童善于运用思考、推理、分析、综合和钻研问题的方法和习惯·培养儿童爱国主义思想，并加强爱科学、爱护公共财务等国民公德·四项目的包括：知识、能力和思想品德，鲜明地反映了新中国成立后对数学学科教学的要求，第一次明确提出在小学算术教学中要对儿童进行思想品德教育，体现了社会主义教育与旧教育的不同1952年大纲·保证儿童自觉地和巩固地掌握算术知识和直观几何知识，并使他们获得实际运用这些知识的技能·培养和发展儿童的逻辑思维，使他们理解数量和数量间的相依关系，并能作出正确的判断·培养儿童自觉的纪律性，工作的明确性与准确性等优良品质，培养他们善于钻研、创造、克服困难、有始有终等意志和性格·三项目的仍包括知识、技能和能力、思想品德三方面·重视基础知识的掌握、运用·提出了培养和发展儿童的逻辑思维的要求·第一次明确提出了对儿童进行良好学习习惯、克服困难的意志和性格以及其他非智力因素的教育1956年大纲·主要是使儿童能够自觉地、正确地和迅速地进行整数运算，能够运用已经获得的知识技能和技巧去解答算术应用题和解决日常管理科学种简单的计算问题·算术教学必须有助于儿童智慧的发展和首先品质的培养，以促进全面发展的教育任务的实现·应该做到使数和量成为儿童认识周围现实的工具·突出强调以整数计算为中心的教学目的，忽视了小数、分数和直观集合知识的教学·重视运用已经学到的知识和技巧去解答算术应用题和日常生活中的简单计算问题·对知识、能力和思想312\n《小学数学教学论》教案品德教育三方面的教学目的提得不够全面、明确1963年大纲·使学生牢固地掌握算术和珠算地基础知识，培养学生正确地、迅速地进行四则运算的能力，正确地解答应用题的能力，以及初步的逻辑推理的能力和空间观念，以适应他们毕业后参加生产劳动和进一步学习的需要·仅提出“掌握算术的珠算的基础知识”，忽视直观几何知识的教学·第一次提出培养学生的“空间观念”，三大数学能力在目的中的出现，是一大进步·没有提到思想品德教育的要求1978年大纲·使学生理解和掌握数量关系和空间形式的最基础的知识，能够正确地、迅速地进行整数、小数和分数的四则运算，初步了解现代数学中的某些最简单的思想，具有初步的逻辑思维能力和空间观念，并能够运用所学的知识解决日常生活和生产中的简单的实际问题。同时，结合教学内容对学生进行思想政治教育·比较全面地提出了知识、能力和思想政治教育三方面的教学目的·第一次提出了要在理解的基础上掌握基础知识的要求·能力要求提得比较确切，明确指出要能够正确地、迅速地进行整数、小数和分数的四则运算，把原有的“逻辑推理能力”改为“逻辑思维能力”·第一次提出了“初步了解现代数学中的某些最简单的思想”1986年大纲·使学生理解和掌握数量关系和几何图形的最基本的知识，能够正确地、迅速的进行整数、小数和分数四则运算，具有初步的逻辑思维能力和空间观念。同时，结合教学内容对学生进行思想品德教育·知识、能力、思想品德教育三方面的教学目的与1978年大纲基本相同，但提法更确切312\n《小学数学教学论》教案·把“空间形式”改为“几何图形”，更符合小学数学的特点·删去了“初步了解现代数学中的某些最简单的思想“，符合学生的实际1992年大纲·使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基本的知识·使学生具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题·使学生受到思想品德教育·三方面的教学目的和1986年大纲基本相同，四则计算要求有所降低，不再笼统提出“正确、迅速”的要求，而是分层次提出要求，符合时代发展的需要和学生实际2、新中国成立后小学数学课程目标的共同特点从表中我们可以看出新中国成立后我国小学数学课程目标具有下列共同特点：（1）十分强调实用性目的，即“基础知识和基本技能”、“解决简单的实际问题”等。（2）部分强调学科目的，如“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”。（3）强调积极的学习态度，如“培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点”。由此，我们也可看出新中国成立后我国小学数学课程目标相对忽视了“经历、交流、体验、表达”等过程性能力和“数学感、符号感、度量感”等数学意识；相对忽视了对学生装的“欣赏数学美及力量”和“数学史及数学文化价值”等方面的培养。（二）新世纪我国小学数学课程目标1、新世纪我国数学课程目标《标准》对数学课程总体目标的论述采取了一般与具体相结合的方式。312\n《小学数学教学论》教案（1）我国新世纪小学数学课程的一般性目标包括：·获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。·初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。·体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。·具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。（2）我国新世纪小学数学课程总体目标的具体化表现在知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度等方面。这是《基本教育课程改革纲要（试行）》中的“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标在数学课程中的具体体现。·知识与技能目标：经历将一些实际问题抽象与数与代数问题的过程，掌握数与代数的茂盛知识和基本技能，并能耐解决简单的问题；经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计和概率的基本知识和基本技能3，并能解决简单问题。·数学思考目标：经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感的符号感，发展抽象思维；丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维；经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念；经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰的阐述自己的观点。·解决问题目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样化，发展实践能力和创新精神，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程结果；初步形成评价与反思的意识。·312\n《小学数学教学论》教案情感态度和价值观目标：能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲；在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；形成实事求事的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度这四个目标是一个密切联系的有机整体，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中，数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他三个目标的实现为前提。2、我国新世纪数学课程目标分析《数学课程标准》在对一般性的总体目标的论述中，有几点特别值得注意：（1）对数学知识的理解发生了变化——数学知识不仅包括“客观性知识”（如乘法运算法则、三角形面积公式等），而且还包括从发球学生自己的“主观知识”，即带有鲜明个体认知特征的个人知识和数学活动经验。如对“数”的作用的认识、分解图形的基本思路、解决某种数学问题的习惯性方法等。这些知识是具有经验性的、不那么严格的。（2）强调了应该掌握的基本数学思想和方法，如函数思想、集合映射思想、方程思想、化归思想等。（3）强调在数学中存在的一种可以迁移到其他领域的东西，这就是数学思维方式，如合情推理、演绎推理、直觉思维和发散思维等。（4）强调运用数学思维方式解决日常生活中的问题，增强应用意识。更为关注是否向学生提供了具有现实背景的数学，包括他们生活中的数学。此外，《标准》在对具体性的目标论述中，也有几个地方值得注意：（1）在知识与技能目标中首次出现了过程性目标。《标准》对“过程”赋予了深刻的含义，明确了“过程”的定位：过程本身就是一个课程目标，即首先必须让学生在数学学习活动中去“经历……过程”。（2）数学思考目标所阐述的内涵并非单纯的数学活动本身，它应当直接指向学生在与数学相关的一般思维水平方面的发展。其应包括思考数学和进行数学的思考两方面。一方面，它的实现是在学习数学知识、解决数学问题的过程中进行；另一方面，它的实现却不以是不明知道了某个概念、定理，是否会用某些公式或法则为标志的。而且这个目标的实现应研究多种现象与问题（数学的、非数学的）的过程中逐步完成。312\n《小学数学教学论》教案（3）解决问题目标所体现的内涵并不等同于一般的解题活动。《标准》所提到的“问题”不限于纯粹的数学题，而是既可以是纯粹的数学题，也可以是以非数学题的形式呈现的各种问题。其核心是需要学生通过“观察、思考、猜测、交流、推理”等富有思维成分的活动才能够解决。解决问题目标的要求是多方面的，包括初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题。（4）情感交流目标关系到对数学课堂中的素质教育的认识。《标准》认为，合格公民的许多基本素质，如对自然界与社会现象的好奇心、求知欲，实事求是的态度，理性精神，独立思考与合作交流的能力，克服困难的自信心、意志力，创新精神与实践能力等，是可以通过数学教学活动来培养的。六、思考题1、数学有哪些主要特征？2、作为小学数学课程的数学与作为科学的数学有哪些区别？这些区别对我们理解小学数学课程的价值有哪些意义？3、什么是数学素养？为什么说小学数学课程的最基本的价值追求是发展学生的数学素养？4、传统的小学数学课程有哪些主要的特征？5、我国小学数学新课程在哪些方面表现出发展与改革？6、当今国际在小学数学课程目标的发展与变革上表现出哪些趋势？新世纪我国小学数学课程目标又表现出哪些发展与变革的特点？第二章小学数学课程内容一、教学目的312\n《小学数学教学论》教案通过本章的学习，使学生了解小学数学课程内容的构成、小学数学课程内容的改革与发展以及《全日制义务教育数学课程标准》的内容领域在各个学段中“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域的内容标准；全面系统地掌握小学数学基础知识与思想方法。二、教学重点、难点重点是小学数学课程内容以及小学数学基础知识与思想方法；难点是小学数学思想方法。三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献四、教学内容本章主要内容：l小学数学课程内容的构成l小学数学课程内容的改革与发展l小学数学课程内容标准简介l小学数学课程内容的基础理论与思想方法五、教学过程§2.1小学数学课程内容的构成这里既包含着有关小学数学课程内容结构特征及其内容的组织与呈现特征，也包括了内容组织与呈现的思想和原则等。即我们要思考，小学数学究竟学习哪些数学内容？这些内容如何来组织与编排？这些内容又用什么样方式呈现最合理？如此等等。这是我们研究小学数学课程与教学的一个重要的方面。2.1.1小学数学课程内容的构成特征小学数学课程内容的构成，主要就是指小学数学课程内容的结构以及构成方式。(一)我国传统的小学数学内容结构312\n《小学数学教学论》教案纵观我国解放后五十年的小学数学课程，在国家的划一统控课程模式下，虽然经过多次的改革，而且学制是五、六年制并存的，但是，其课程内容的结构基本上还是保持了相对的稳定1、认数与计算主要包括：整数、小数、分数的认识及其四则计算、百分数的认识等等内容。这是小学数学的基础性知识内容。在我国，历来要化相当长的一段时间来学习这一部分内容。同时，这部分内容是按螺旋式的结构来组织的，从小学的一年级开始，一直到小学的五年级（或六年级），分别安排若干阶段来循环出现。2、量与计量主要包括：长度、面积、体积、重量、时间和容量单位等的认识与运用。它们作为“常规法则”中的一个基本内容是非常重要的，因为这些内容分别将配合相应的知识学习。同时，阶段性地编排这些内容，还有一个重要的任务，就是通过对这些内容的学习和掌握，能帮助儿童形成认识客观世界的一些基本的方法。但是，在我国，相当长的一个时期，这些内容常被我们就当作一个一般的工具性知识来组织的，因此，特别注重的是这些知识的训练，却往往忽视在学习这些知识的构成中逐步形成认识自己周围世界的一般方法以及运用这些知识来处理日常生活中的问题。3、几何初步知识主要包括：一维（直线、射线和线段）、二维（简单的平面图形）、三维（简单的立体图形）等空间观念的初步形成；简单的空间性质（对称、平行等）的初步认识；简单的平面或立体图形的面积或体积（包括容积）的计算；球体的初步认识；等等。这部分内容是帮助儿童形成初步的空间观念的基础性的知识。在我国，历来也是按螺旋式的循环方式来组织的。但从内容的编排体系和呈现方式上可以看到，对图形特征的认识以及图形的计算等较为注重，而对通过图形的测量、图形的位置认识以及图形的变换等活动来逐步构建空间观念似乎并不够重视。4、代数初步知识312\n《小学数学教学论》教案主要包括：认识代数式并能用来表示一些简单的量；从简易方程来形成最初步的函数和变量思想；用四则运算性质来解简易的方程；用简易方程来解答较为简单的数学问题等等。这是儿童从算术到数学（代数）的一个过渡，但这种过渡对儿童来说是比较困难的，关键在于对变量思想的建构上。如果说，算术是描述一个具体的、静止的量或关系的话，那么，代数就是描述一个抽象的、变化的量或关系。因此，这部分内容也是按照逐步渗透、螺旋递进的方式来组织的。需要指出的是，从问题解决的过程特征看，算术的方法与代数的方法，是属于两种完全不同的思考模式的方法。已经形成的性质和关系图式固然重要，两种方法都离不开这些图式，但思考却完全不同。5、统计初步知识主要包括；从日常的生活现象出发，初步了解“不确定现象”或“事件的可能性”等含义；简单的数据收集和分类处理；绘制简单的体积图表并能进行解释；描述事件呈现的可能性程度（简单的概率）等等。这些并不是一个简单的工具性知识的学习，它是学会用数学的方式去认识、了解和描述客观世界、决策自己的行为的一种思想和方法，因此，对这部分内容而言，可能过程比结果更为重要。6、比与比例主要包括：比的意义和性质，并能求出比值；比例的意义和基本性质并能解一个比例；通过正，反比例的概念来进一步体验“函数”和“变量”的思想；能用正、反比例的意义和性质来解决一些简单的数学问题等等。这是儿童又一次接触“变量”的内容，再一次感受到“变”与“不变”的关系和两个相关量逐渐变化的对应关系等思想。相对“代数”内容结构而言，它更注重两个“量”或“关系”之间的关系，因此，摆脱具体对象的特征也就更为明显。7、应用题主要包括；应用题的结构；解答应用题的基本步骤和基本思考方法；按类学习解答各种各样的应用题等等。这是我国传统的小学数学课程内容结构中所特有的一个部分。长期以来一直是将应用题的学习当作是小学数学课程内容中的一个主要内容的，要化非常多的时间来学习。一个观点是，应用题的学习是培养儿童运用数学知识解决实际问题能力的重要途径。自《九章算术》以来，所谓的数学问题解决，似乎就是将某些特定的数学知识放到一个人为编制的特定的、结构良好的问题情境中，这样就有可能力图求出这些特定知识运用的一种特定的解法，这就是我们所说的“算法化”312\n《小学数学教学论》教案。到后来，受前苏联的影响，更是弄出一套繁杂的应用题分类体系，并在这些类别的数量关系以及解法上化了大量的时间，试图将这些知识形成一个个相应的图式。解题的过程就成了理解数量的关系、搜寻记忆的图式、运用对应图式作解答的一个机械的操作过程。所谓的解题难度，就体现在人为地增加许多变量，使表征课题的数量关系与再现记忆的图式之间多了许多的推理和变换。（二）传统的课程内容结构与呈现方式的特征1、螺旋递进式的体系组织即在内容体系的组织中，按照儿童的年龄特点，对数学知识进行逐步渗透、逐步拓展。表现在对于同一“块”的数学知识，在每个年级段都要安排一定的“量”。而且这些“量”是随着儿童的年龄增长以及经验、认知和能力的增长而呈现明显的加深与拓展。经过五年（或六年）的反复循环，形成完整的数学基础知识的体系。它的特点就是由浅入深，由易到难、循序渐进，它有利于数学知识系统的传授与知识的接受。2、逻辑推理式的知识呈现在小学数学课程的内容组织上，基本上是秉承了数学科学其结构的逻辑严密性和由此造成的唯一性这一固有特性，内容的内在逻辑联系十分紧密，环环相扣，前阶段的学习知识是后面学习的基础，而后面的学习又是前面的发展。这种严格按照数学学科本身的逻辑体系来组织的内容呈现的方式，有利于儿童在数学学习中的迁移，也有利于儿童对数学这时的系统的把握。但在同时，也有可能对儿童的思维发展产生一定的负面影响。因为这种呈现方式最大特点就是规定了儿童的学习过程和方式，他们难以按照自己的兴趣、方式或策略去观察，发现，解释，思考、操作和探索。3、模仿例题式的练习配套例题式的内容组织模式是1963年以后，我国小学数学内容呈现所形成的一个特点。通常是先呈现一个典型的问题以及问题解决的基本过程，然后通过师生的共同讨论、思考分析，抽象归纳出一个基本的结论。这个典型问题就是“例题”，而在这个“例题”后面，就一定会组织一批配套的练习。这些配套的练习，或者是一种“完全模仿式配套”，即习题在结构、叙述方式以及知识类型与例题几乎完全同。或者是一种“综合拓展式配套”，即习题的结构、叙述方式以及知识类型具有一定的变化（如类型稍有拓展或习题的抽象稍有变化等）。这种内容组织模式与如下两个与学习方式直接相关。312\n《小学数学教学论》教案第一，论述体系的归纳式。这种论述体系主要是依据儿童的思维特点设计的。主要过程为：知识或经验的准备——性质或规则的揭示——一般性的归纳与抽象——进一步概括——模仿式或拓展式的应用。从教学实践看，它有利于儿童的数学学习。在层层演示的过程中，通过教师的一个个台阶式的“小步子”引导和归纳，能减少儿童的学习困难。但是，它却不利于学生通过自己的探索去发现问题和解决问题的能力发展。第二，训练体系的网络式。我国历来是非常重视训练体系的，而且对训练体系的研究也非常注重。研究发现，儿童对某一数学知识，从认识到掌握，不能仅靠一个“例题”的“剖析”而形成清晰和稳定的认知结构的，它还需要靠一定量的训练，通过训练来加深理解、巩固知识并形成一定的解题的技能技巧。于是，经过长期的实践，我们就总结出了一个“网络化”的训练体系。(三)现代小学数学课程内容构成特征我国新的小学数学课程内容的构成具有如下一些特征1、整合性的内容构成在新小学数学课程内容的组织中，更多地整合了“学科取向”和诸如“儿童兴趣和发展取向”等其他的价值，课程内容的组织除了关注数学学科自身的逻辑结构之外，开始更多地关注儿童的兴趣和发展。所以，专门增加了一个“发展性领域”，而且将这个领域的目标置于知识技能领域目标之前。目的是通过数学学习，使学生对数学与现实世界的联系、数学的探索过程、数学的文化价值以及数学知识特征的认识有所发展；使学生在兴趣与动机、自信与意志、态度与习惯等方面有所发展；使学生在定量思维、空间观念、合情推理和演绎谁方面有所发展；使学生在提出问题、分析问题、解决问题有及交流的反思方面获得发展。2、多纬度的内容结构我国新的小学阶段的数学课程内容结构特征，可以从三个不同的纬度来分析。（1）从知识的领域切入新的小学数学课程内容分为数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动或综合运用这四个领域，也就构成了数学课程内容的知识性结构。数与代数领域主要包括“312\n《小学数学教学论》教案数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握形式世界”；空间与图形领域主要“涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具”；统计与概率领域“主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻划，来帮助人们作出合理的推断和预测”；而实践活动或综合运用主要是“将帮助现实综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的物体，以发展他们解决物体的能力，加深对‘数与代数’、‘空间与图形’、‘统计与概率’内容的理解，体会各部分内容之间的联系”。（2）从数学学习的目标切入新的小学数学课程内容按目标分为知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度四个纬度，这样也构成了数学课程内容的一个目标性结构。知识与技能主要是指小学数学课程的内容结构，包括上面所说的“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等领域；数学思考则是数学素养的核心之一，它实际上是指小学数学课程中的数学思维结构，包括发现、解释、描述、推理、证明、归纳、抽象等等思维活动；解决问题也是数学素养的核心之一，它实际上是指小学数学课程中的数学能力结构，包括提出问题、多途径解决问题、同伴合作、反思问题解决过程等等能力；情感和态度是指小学数学课程的非智力因素结构，包括好奇心和主动参与数学活动的意识、知道数学价值、在数学活动中能获得积极的情感体验、有探索数学问题的兴趣以及克服困难的意志和积极面对挑战的态度等等良好的非智力因素。（3）从数学活动的素养切入新的小学数学课程提出将数学学习变为学生的数学活动，因此，从数学活动的基本素养出发，提出了发展学生数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力等数学活动的素养目标，构成了数学课程内容的一个素养结构。数感包括理解数的意义，了解数与数之间的关系并能用多种方法来表示数，能在具体的情境中把握数的相对大小，能用数来表达和交流信息，能为解决问题而选择适当的算法，能估计运算结果，并对结果的合理性做出解释，如此等等；312\n《小学数学教学论》教案符号感包括能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，理解符号所得标的数量关系和变化规律，会进行符号间的转换，能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题，如此等等；空间观念包括能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，能从较复杂的图形中分解出基本的图形，能分析出其中的基本元素及其关系，能描述出实物或图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体间的位置关系，能运用图形形象地描述问题，并利用直观来进行思考，如此等等；统计观念包括能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据和分析数据的过程中作出合理的决策，能对数据的来源、处理的方法以及由此而得到的结果进行合理的质疑，如此等等；应用意识包括认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息以及数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法去寻求解决问题的策略，面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值，如此等等；推理能力包括能通过观察、实验、归类、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，在与他人交流的过程中，能运用数学语言并合乎逻辑地进行讨论和质疑，如此等等。2.1.2小学数学课程内容的组织与呈现小学数学课程内容主要是通过教材来呈现的，因此，要分析小学数学课程内容的呈现，就要先分析小学数学教材的构成与呈现特征。（一）小学数学教材的基本构成1、什么是教材所谓教材（Subjectmatter），最广义的理解，就是指“教师在教授行为中所利用的一切素材和手段”可见，教材只是在课程的实施中，教师与形式之间互动的一种“介质”，一个媒体，体现着课程的内容要素。按现在一般的理解，小学数学的教材，是根据一定的学科任务而编选和组织的、具有一定范围和深度的、含有一定能力要求的内容体系。有人认为，教材可以定义为“在一个特定的学校水准课程的教学过程中教师必须具有或使用的知识”312\n《小学数学教学论》教案，因此，教材内容知识不仅包括文本知识，而且包括课程活动知识、有效的表达方法和评估程序。它是小学数学课程内容标准的具体体现，是小学生学习数学知识和发展数学素养与能力的主要依据，是实现小学数学教育目标的重要保证。2、小学数学教材的基本构成从教材在课程四要素中的地位以及功能看，小学数学教材，主要应包含以下一些基本的内容。（1）教科书教科书也称“课本”，是小学数学教材的主体部分，是依据小学数学课程标准而具体呈现系统数学知识的学习用书，它呈现了小学生学习数学的主要对象，是小学生在课堂学习中使用的主要工具。它主要包含那些引导问题的情境例题、思考的展示分析、数学的各种结论、帮助理解的问题提示、显示数学本质或解题过程的图示图解等等的“课文”，也包含了习题以及某些背景性的内容。（2）学生活动手册学生的活动手册也有称之为工作记录册或活动记录册。在过去相当长的时期内，我们较多地是使用“练习册”这个概念，即指仅仅是供学生在课外（有时课内也用）使用的、旨在进一步让他们通过“操练”的而巩固知识与技能技巧的“习题册”。而在现在看来，更多地还应包括反映学生发现、探索和问题解决过程的“活动记录”（包括数据、问题、结论等等）。（3）教师教学指导手册它不同于在过去的“教师备课手册”，它是“文革”后的产物，当时主要是为了解决大量的新教师不会组织教学的问题。今天的“教师教学指导手册”，无论在目的、功能、内容还是呈现方式上，与过去的“备课手册”均有很大的区别，它往往呈现的是内容编制的目的，组织教学活动的基本思想和理念，多种可供选择的学习方法和过程，某些学习方式上的案例提示，某些必要的背景信息等等。（4）信息库这与那些非“教科书”的数学类读物的“课外读物”不同，它通常不是由教学大纲指定的、目的在于强化学生的数学操练、巩固学生的解题的技能技巧的联系材料。而信息库更多地是支持学生进一步学习的或探究所需要的信息资源。因而它往往是：第一，常常利用现代技术手段，采用多种媒体的方式来呈现；第二，呈现的不再是仅仅满足数学操练的习题，而更多的是一些问题情境、信息资料等；第三，常常是一种互动方式。（5）工具箱312\n《小学数学教学论》教案也称之为“工具包”。在小学数学的教学中，由于较多地开始采用一些诸如“自主探索法”、“HANDS－ON”、“活动作业法”、“发现法”等强调学生的动手实践、操作探究等学习方式，因此也常常需要向学生提供一些供实验操作的工具和材料，其目的为为了帮助学生探究与发现。（6）多媒体课件也称之为“电子课件”。通常包含对学生的学习指导的和向学生供操作练习的多媒体课件，也包括指导教师进行教学的多媒体课件等。它具有交互性、拓宽性、可选择性以及个别化等的特点。（二）小学数学教材的组织与呈现这里主要指小学数学教材在其内容的组织、内容的结构、内容的表述以及内容的要求等等方面所表现出来的不同的方式。在不同的课程理念和课程目标的支持下，就有不同的内容组织与呈现的模式。而内容的不同的组织与呈现模式，将会在很大程度上直接影响到不同的学习方式。1、按学习材料的组织方式看主要是指将数学学习材料按什么样的方式来组织的问题，它反映的是我们对儿童数学观的认识以及数学学习方式的理解的问题。直线式。基本上是属于“教材逻辑组织法（Logicalorganizationapproachofsubjectmatter）呈现模式，这是最常见的一种组织呈现方式。即以数学知识本身的逻辑体系为标准，将其分为一个个的知识分支，并按知识分支的逻辑序列，由浅入深地组织起来，每一个知识的分支都呈直线状。这种组织方式非常注重不同数学分支知识自身的理解结构，但不太注重每个分支间的逻辑关系。因此，这种呈现方式便于学习的组织，但不利于知识间的综合，不利于学生在问题解决过程中综合地运用自己的知识储备。分科式。基本上也是属于“教材逻辑组织法”的呈现模式，在中等数学教育中常见，而在小学数学课程中已少见。即将数学知识按自身的逻辑体系再细分为一个个的分科（如算术、代数、函数、几何、三角等等），并将这些分科的知识按自身的逻辑结构，采用类似于“单科独进”的方式来组织。这种组织呈现方式能对某一分科的知识进行深入的学习，但更不利于学生分支综合运用知识解决现实的或复杂的问题的能力。主题式。基本上是属于“教材心理组织法（Logicalsequenceofsubject312\n《小学数学教学论》教案matter）”的呈现模式。即以现实生活的问题或儿童感兴趣的实际问题为线索，采用主题的形式来组织并呈现。它比较注重主题本身综合地反映现实生活的现象和问题，因而它强调经验学习，而并不太注重主题中的知识体系以及每一个主题之间的逻辑关系，所以，学生较难以学习并掌握系统的和基础性的数学知识；衍生式。基本上也是属于“教材心理组织法”的呈现模式，即先从某一个儿童最关心或最感兴趣的数学课题出发，在对学习对象的探究式学习过程中，按一定的方式认识，将这个数学课题按其横向或纵向的方向进一步的衍生和发展，从而进一步的深入学习。这种方式容易使学生看到知识之间的联系，并发展他们数学探究的能力。但是它却不太关注各数学课题之间的联系，因此，不利于学生学习系统的和基础的数学知识。螺旋式。基本上是属于“教材逻辑组织法”和“教材心理组织法”相结合的混合型呈现模式。即将小学数学知识按数学科学的逻辑体系，分解为不同的模块（如认数与计算、几何初步、量与计量等），同时按照儿童的年龄特点，将这些模块知识分散在各个年段中。对于同一“块”的数学知识，在每个年级段都要安排一定的量。这样，经过多年的反复循环，形成完整的数学基础知识的体系。它的特点就是由浅入深，由易到难、循序渐进。这种呈现方式，有利于数学知识系统的传授与知识的接受。2、按学习材料的呈现方式看一般说来，学习材料的呈现方式由课程编制的价值追求以及课程编制的技术所决定的，而不同的学习材料的呈现方式又将在很大的程度上决定着不同的学习方式。叙述式。这是在相当长的时期内，我们主要采用的一种数学学习材料的呈现方式。简单地说，就是教材先呈现一个例题，通过对这个例题的讲解，得出一个事实（概念、公式、原理、方法或规则等等），然后安排一定量的习题进行训练。这种教材的呈现方式较为注重的是，向学生提供什么样的数学事实并让他们能有效地掌握，并不注重获得知识的过程。显然，在这种呈现方式中，一旦去掉事实（结论）之前的所有叙述（例题的解释或说明等），可能并不影响学习最终的目标达成──获得某一个事实（结论）。于是，学习方式也就更多的是那种接受式的。情境式312\n《小学数学教学论》教案。即教材首先呈现的是各种各样的问题情景，学生在教材的提问引导或点拨下，通过自己的观察、思考、讨论和辨析等，发现并提出问题，然后再由问题驱动自己去理解并掌握知识。在这种呈现方式中，发现并提出问题是重要的，否则，学习将失去目标。于是，学习方式也就更多的是发现式的。问题解决式。即教材首先呈现的是一个需要学生尝试解决的问题（现实生活的问题或数学的问题），学生只有通过自己的探究性的尝试问题解决，才有可能获得需要的数学知识（概念、规则或策略等等）。因此，这种呈现方式所关注的是，学生有可能而且必须亲历一个问题解决的过程，而事实是儿童自己亲历探究后的一个结果。显然，在这种呈现方式中，一旦去掉过程，学生就无法直接获得某些事实（结论）。（三）教材的组织与呈现的发展趋势从面向21世纪的整个国际数学教育发展趋势看，小学数学的教材在呈现方式上开始逐渐凸现出如下一些共同性的特征：1、在选择上表现出“回归儿童生活”的价值取向即强调数学学习应是儿童自己的实践活动，对儿童来说，数学就是他们生活中的一部分。要让儿童能感受到在自己的生活中处处都有着数学，数学对他们的生活有价值。因此，课程内容的组织与呈现要注意到并支持儿童在生活中观察、提出各种各样的问题，再去尝试解决。于是，教材要选择儿童生活中的且儿童是感兴趣的，并且是儿童经验中的或者儿童有可能经验的。2、在呈现上表现出“强化过程体验”的价值取向即强调数学学习是一种过程性学习和体验性学习。因此，教材的呈现要能强化问题解决的学习方式，并通过问题解决的过程来帮助学生不断对自己的学习过程和行为进行反思，以提高他们的数学素养和数学能力。3、在组织上表现出“注重探究发现”的价值取向即强调数学学习应是儿童自己探索与发现的实践活动，所以，呈现给儿童的学习课题，常常可以组织成为某一个情景下的任务，对学习者来说，学习就是通过自己的探索、发现和问题解决。因此，不是简单地以结论来组织和叙述知识，即给出的知识不是仅仅为了证明结论的正确性，而是启发学生进行多样性的实践。§2.2小学数学课程内容的改革与发展312\n《小学数学教学论》教案面向21世纪的全世界范围的基础教育的改革，除了主要体现在课程的设计和组织等方面外，还有一个重要的特点，就是体现在课程内容的改革上面。尤其是当我们开始用新的视野（素质教育观、儿童数学观、学生主体观等）来重新认识小学数学教育的价值追求的时候，小学数学课程内容的改革也就显得更加迫切。就是如何建立旨在促进学生发展、反映未来社会需要、体现素质教育精神的小学数学课程内容的新体系。2.2.1国际小学数学课程内容的变革进入二十世纪末，世界各国纷纷掀起了基础教育的课程改革运动，小学数学的课程内容也发生了较大的变化。我们可以从四个不同的国家的小学数学课程内容的构成，大致看出其改革的基本方向。国家内容过程美国*数和运算；代数；几何与空间感；度量；数据分析和概率；问题解决；推理和证明；交流；联系；表示发；英国**数；代数；图形、空间黄蓉度量；数据处理运用和应用数学日本***数与计算；量和测量；图形；数量关系；算术活动；丰富感觉；理解计算的意义和思考计算的方法；荷兰****一般能力；笔算；比例和百分数；分数和小数；测量；几何；建立教育数学与生活数学联系；道德数学语言并能运用于实际情境；思考与检验*2000年美国数学教师协会（NCTM）颁布的《学校数学的原则和标准》；**1995年颁布的《国家课程中的数学》；***1998年颁布的《小学算术学习指导要领》；****1998年颁布《获得性目标。1998～2003》从这里，我们大致可以概括出世界范围内对小学数学课程内容改革的一些特点：（一）注重问题解决当今学校的数学课程，可能越来越开始将重心放在人类关于数学问题的提出和解决上.问题和探究已经开始占据学校数学课程的中心位置。在数学教育中采纳过程和探究为核心的教学方法。这可能就是今天我们对小学数学教育的认识所跨出的最有革新价值的一步，也是今天整个学校教育价值——312\n《小学数学教学论》教案培养具有终身学习能力的人的一种体现。问题解决不仅是一个解决问题的过程，同样也是一个主动的学习过程。在小学的数学教育中，开展问题解决的学习对儿童来说，有着重要的意义。它为学生的主动探索与发现提供一个空间与机会，是培养学生实现创新与发展的有效途径，也是发展自我调控与反思修正能力的最佳方式，因而能有效地转变学习方式。（二）注重数学运用数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的教学实践活动中理解和发展。因此，数学教学应该引导儿童观察和认识周围世界最简单的数量关系，建立情境与一般法则的联系，真正使用数学知识成为学生生活和思维的组成部分。（三）注重数学思想与数学交流学会用数学的思想和方法来观察周围的社会生活，来解决日常生活中的问题，同时能用数学的语言来表达和交流自己的想法、过程和结果，已经成为数学素养的一个重要的内涵。数学语言不仅能促进人们的交流，而且还促进了人们的数学思维，从而加深对数学知识的理解和掌握。（四）注重信息处理在现代的信息世界中，学会数据的分析使十分重要的，要学生懂得数据能提供给他们关于现实世界的信息，应学会利用信息去描述和解释现实世界，通过感受一些可能性事件去认识现实世界使变化的。因此，各国都加强了这方面的课程内容。（五）注重数学体验只有人在数学的实践活动中不断的获得体验，才能真正感受到数学对现实生活地价值，感受到用数学来解决日常问题的价值。因此各国都非常注重在课程内容中增加一些诸如“数学故事”、“数学游戏”、“数学问题”等体验性素材，促进学生将数学运用于现实情境能力的发展。（六）注重数学活动数学学习就是一个数学活动的过程，因此，小学数学的课程内容就应提供让学生能充分活动的平台。这里的数学活动包含了数学的探究活动，数学的交流活动，数学的思维活动，数学的操作活动，等等。2.2.2我国小学数学课程内容的变革在我国的新一轮基础教育改革中，一项重要的任务，就是推动课程内容的变革，重要体现在如下几个方面。（一）功能的改革312\n《小学数学教学论》教案所谓教材的功能，实际上就是指小学数学教材在数学教育中所期望能起到的作用，也即教材所体现的理想的教育追求。1、从“读本”到“学本”传统的教材就是一个知识的“读本”，学生的学习就是识记书本上的哪些数学知识。而今天的数学学习，更多地强调学习者的“再发现”和“再创造”，并且注重的是这些“再发现”和“再创造”的过程，注重的是学习者的这种“再发现”和“再创造”的能力的发展，所以，教材不再是简单地罗列一些事实并将它们组织起来后直接呈现给学习者，而是尽可能地呈现一些社会生活的实际问题，让学习者能通过自己的数学“再创造”来发展基本的数学素养。同时，“不同的儿童而言，他们头脑中所理解的数学带有明显的个性色彩”，因此，数学教材“应当是学生数学活动的基本素材”，它应具有“为学生的数学学习活动提供基本线索、基本内容和主要的数学活动的机会”，即对学生来说，教材所提供的是“他们从事数学学习活动的出发点，而不是终结点”2、从掌握知识到人的发展掌握数学知识的目的，就在于不断地扩大每一个人的数学空间来发展其生活空间，提高生活质量，促进人的发展。而数学的学习能否实现促进人的发展，关键之一就是看数学课程内容中是否蕴含着真正促进人的发展的因素。因为，“教育就是设法为个体能够解决无法预见的问题作准备，培养他们在飞速发展的社会变革中探索知识和解决问题的能力”。因此，在小学数学的课程内容中，越来越注意到将那些现实的数学和“数学的现实性”作为一个重点。（二）内容的改革内容的不断更新是小学数学课程内容的改革与发展的最明显特征。因为这种更新与发展，不仅体现了教材的时代性，而且更进一步凸现了小学数学教育在价值观上的变革和在学习方式上的变革。1、不断地更新编排体系为了更好地适应儿童学习的认识规律，便于他们循序渐进地构建自己的数学认知结构，因此，小学数学课程内容的编排体系应不断的更新。例如，为了使学生能够及时地把学过的知识联系起来，因此，除了结合正在学习的内容安排习题之外，还应安排与以前学过的内容相关的练习题，并且随着新内容的学习有所提高。这样学生学习的知识不是一步到位，而是采取循环出现、滚动前进、螺旋上升的方式逐步提高。312\n《小学数学教学论》教案此外，结合着知识的提前渗透和分散出现，其中还应伴随着许多的数学思想和数学方法的渗透，使学生在掌握数学知识的同时，能不断地获得基本的数学思想和方法，以提高他们的数学素养。2、凸现时代变革的内容实际上，课程内容的改革是与社会的发展相关的。如，认数与计算作为小学数学最基本的内容，它的变化就很大。应该学习什么？掌握到什么程度？这些都是随着时代的发展而变化着的。开始，仅仅是一般的“掌握四则运算”和“教简单的分数、小数的计算”的要求。但是，后来就开始十分重视口算教学，不仅在低年级十分重视口算，而且基本口算由表内四则运算扩大到表外四则运算，并在中、高年级也都安排了一定量的口算。近一、二十年，由于计算机技术的普及，用纸和笔做计算的方式受到了挑战。同时，由于生活节奏的加快，人们除在使用工具进行计算之外，还要求人们要有较强的数意识和一定的估算能力，能够对工具计算结果的正确性做出估计，并对其是否合理做出解释。此外，现代社会进入了信息时代，大量信息以各式各样的数据形式出现在我们面前。如何收集有用的数据，怎样整理、分析信息，得出有用的结论，是现代人必不可少的一种能力。所以，统计思想的渗透，学习收集数据和整理数据的方法，学会如何看图和分析数据等要求逐渐凸现。（三）呈现方式的改革1、体现价值的主体性为使课程内容能有效地促进学习，首先就要努力确立学生在数学学习中的主体地位。数学教学实际上就是学生的数学活动，是师生交往、互动与共同发展的过程。所以，课程内容不应再是简单地以呈现例题和做习题的形式，而更多地应以数学活动的形式来设计。当内容的呈现更多的是那种“问题情境－建立模型－解释与应用”基本模式的时候，能促使学生从自己的生活经验和客观事实出发，在研究现实问题的过程中学习数学、理解数学和发展数学。2、体现知识的现实性小学数学教育的基本任务，就是通过教师有效的教学组织，引导儿童将自己的经验不断地“数学化”，从而构建一些基础的、必要的和现实的数学。因此，小学数学课程内容的组织就应当从儿童的生活现实出发，将儿童在日常的生活实践中的那些有意识的经验活动与数学密切联系起来。例如，312\n《小学数学教学论》教案可以设计大量的有趣的和真实的生活情境，以此来引导学生从已有的“日常概念”出发，积极主动的去尝试、思考、探究、讨论。3、体现学习的探究性由于内容的不同呈现方式将在很大程度上决定着会有不同的学习方式。因此，课程内容应为学生的主动探索与发现提供一个空间与机会。作为学习活动的激活，课程内容就应提供一些儿童有兴趣且能主动展开探究性学习活动的问题情境，让儿童通过自己的观察、思考与比较等探索性的活动，并在教师的指导下，通过讨论交流、质疑问难、解释说明和评价鉴赏等交互性的共享活动，来主动构建数学知识；4、体现经历的体验性内容的呈现还应注重儿童的数学体验，从而不断地激发儿童学习数学的兴趣和愿望。因此，一方面课程内容应注重以学生喜闻乐见的形式呈现他们感兴趣的内容；另方面，课程内容还应增强数学学习与学生儿童生活的联系，使学生在有趣的情境中学习数学；过早的呈现结论以及过于直接的给出说明或证明，都将不利于学生在数学学习的过程中，通过自己的探究而获得自主性的情感体验。5、体现过程的开放性内容的呈现要留有一定的生成性的空间，应注意留有多样性和创造的空间，当内容呈现的学习过程的预设性过多时，学生在学习中的灵活性、多样性和创造性就会受到限制。6、体现呈现的多样性虽然，教学的方法不是课程教材的范畴，但正如上面所说，不同的内容的不同编排体系和不同呈现方式，将会直接影响学生的学习方式。例如，在教材中呈现适当的复习题、准备题和启发性问题，并伴以生动的插图呈现知识发生、发展的过程，由此引导学生积极思考，让学生自己动手、动口、动脑，参与教学的全过程，就能促进变单一的教师教、学生听的学习方式，为学生在教师的指导下主动地探索和获取知识提供条件。当然，教材呈现的多样性，还表现在材料呈现形式上的多样性，即呈现给学生的，可以是一些问题情境、小故事、操作性作业等，也可以是一些小课题（直接呈现任务）等，让学生能主动地、灵活地和创造性地运用已有的经验去尝试，去探究，去建构。312\n《小学数学教学论》教案§2.3小学数学课程内容标准解读我国新的数学课程的内容标准将小学数学（相当于1～3年级的第一学段和4～6年级的第二学段）学习分为数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用等四大领域。2.3.1数与代数数与代数领域主要包括“数与式、方程与不等式、函数，他们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握形式世界”。在第一学段（1～3年级），这个数学活动领域内主要有：学习数的认识、学习数的运算、学习常见的量以及探索规律等活动。在第二学段（4～6年级），这个数学活动领域内的主要有：学习数的认识、学习数的运算、学习式子与方程、探索规律等活动。一个重要的特征就是，在每一个学段的内容目标中，都有一些与日常生活相结合以及交流的要求。2.3.2空间与图形空间与图形领域主要“涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具”。在第一学段（1～3年级）和第二学段（4～6年级），这个数学活动领域都主要有：图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置等学习活动。并在教学建议中还特别提出了学生的活动和体验的要求。2.3.3统计与概率统计与概率领域“主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻划，来帮助人们作出合理的推断和预测”。312\n《小学数学教学论》教案在第一学段（1～3年级），这个数学活动领域主要有：初步的数据统计活动以及描述不确定现象活动。如，分类活动、数据收集与整理中的体验活动、不确定现象的体验活动等。在第二学段（4～6年级），这个数学活动领域主要有：简单数据的统计活动以及描述可能性活动。如收集和分析数据活动、制作统计图表活动、等可能事件的体验活动以及某些预测活动等。2.3.4实践与综合运用实践活动或综合运用“将帮助现实综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的物体，以发展他们解决物体的能力，加深对‘数与代数’、‘空间与图形’、‘统计与概率’内容的理解，体会各部分内容之间的联系”。在第一学段（1～3年级），称之为“实践活动”，包括“观察”、“操作”、“调查”、“合作”或“感受”等等的活动。而在第二学段（4～6年级），称之为“综合运用”活动，包括“了解数学与生活广泛联系”、“运用所学知识和丰富解决简单的实际物体”、“从不同角度发现实际问题中所包含的丰富的数学信息”、“探索多种解决问题的方法”等等的活动。§2.4小学数学课程内容的基础理论小学数学课程内容的基础理论知识是与小学数学知识有关的基础理论，包括整数、分数与小数的理论、四则运算法则的原理和依据。2.4.1整数的概念及其四则运算一、整数的概念和计数法(一)整数的概念1．自然数的产生和概念产生自然数是在人类的生产和生活的实践中逐渐产生的，具体经历了以下过程：一一对应→等价集合→标准集合→使用符号定义：自然数是一类等价的有限集合标记。与小学数学中自然数的含义一样。2．基数和序数自然数作为一类等价的有限集合的标记，可以表示集合中元素的个数，通常称为基数。另一方面，由于自然数在自然数列里是有序的，312\n《小学数学教学论》教案所以自然数还可以用来给集合中的元素编号，表示某个有序集合中每个元素所占的位置，通常称为序数。自然数有两种意义：一个数当用来表示集合中元素的个数时，用的是基数的意义；一个数当用来表示集合中元素的排列次序时，用的是序数义。即：基数意义：用来表示集合中元素的个数。序数意义：用来表示集合中的元素排列次序。(二)十进制计数法1．十进制计数法“满十进一”的计数方法，就是十进制计数法。按照十进制计数法，我国是这样给自然数命名的：(1)自然数列的前十个数中，从第一列到第十个各给一个单独的名称，即零、一、二、……、九。(2)按照“满十进一”四位一级规定计数单位，个级：个，十，百，千；万级：万，十万，百万，千万；亿级：亿，十亿，百亿，千亿。(3)其他自然数的命名，都由十个有单位名称的自然数和计数单位组合而成。如：一个数含有五个万，二个千，四个百，三个十，七个一，就读做：五万二千四百三十七；对于个级以上的数，每一级的级名只在这一级的末尾给出。如：一个数含有六个千万，四个百万，三个十万，一个万，就读做：六千四百三十一万。一个数除每一级末尾有空单位外，中间的几个单位如果是空的就称“零”。无论空几个都只读一个零。如一个数含有五个亿，六个千万，二个万，三个十，就读作五亿六千零二万零三十。世界上许多国家的命数法不是四级一位，而是三位一级。从低到高依次是：个级：个，十，百；千级：千，十千，百千；密级：密，十密，百密等等。通俗地说：十进制计数法就是数数的方法。2．用书写符号表示数的方法。数字：用来记数的符号，也称为数码。位值原则：用阿拉伯数字记数是把所用的数字排成一横行，每个数字所在的位置不同，表示所含的计数单位就不同，从右起第一位上的数字表示几个一，这一位叫做个位；第二位上的数字表示几个十，这一位叫做十位；以下依次是百位、千位、万位--------用这种方法记数，每个数字除了他本身表示的数值以外，312\n《小学数学教学论》教案还有位置值，这就是记数的位置原则。数位：应用位置原则记数时，数字所占的位置：个位、十位、百位……统称为数位。位数：用几个数字写出的自然数(最左端数字不是零)就叫做几位数。一般地说，记数法就是用阿拉伯数字写数的方法。除了国际通用的阿拉伯数字外，我们通常见到其他的数字。如：中国数字、罗马数字。根据十进制的记数法和我国的命数法，可以得到如下的读数法：(1)四位和四位以内的数，从最高位起，顺着位次一位一位读出来，如：483读作2596读作(2)四位以上的数，先从右向左四位分级，再从最高位起，顺次读出各级里的数和它们的级名如：245436983572834512(3)一个数末尾的“0”不读出来，每一级末尾的零也不读出来；其他的数位上有一个“0”或连续几个“零”，都只读一个“零”，如：350020800040300505040025000二、整数的四则运算(一)整数的加法1、加法定义(1)定义：设A，B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是数a和数b，如果集合A与B的并集是C，那么并集C的基数c就叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法，记作：a+b=c。特别地：a+0=a0+a=a0+0=0(2)加法定义的推论：a+b≥aa+b≥b(3)几个数的和：求几个数的和，就是先求出第一个数与第二个数的和，再求所得的和与第三个数的和，等等，如：a+b+c+d=[(a+b)+c]+d这样可将任意一个多位数写成不同计数单位的数的和的形式，如：456=4百+5十+6=3百+15十+62．加法的运算性质(1)加法交换律：a+b=b+a。(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。312\n《小学数学教学论》教案(3)加法交换律和结合律推广到若干个数相加，即有：若干个数相加，任意交换加数的位置，或选取其中的任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。进一步可以得到如下性质：(a1+a2+-------+an)+(b1+b2+----------+bn)=(a1+b1)+(a2+b2)+----------+(an+bn)(1)一位数的加法：两个一位数相加，可以用数数的方法求出和。通常是把两个一位数相加的结果编成加法表，在计算时直接使用这些结果。(2)多位数的加法：多位数加法的竖式运算法则是：数位对齐，个位加起，满十进一。例：456+917---------1373法则的依据说明如下：456+917=(4百+5十+6)+(9百+1十+7)=(4百+9百)+(5十+1十)+(6+7)=(4百+9百)+(5十+1十)+(1十+3)=(4百+9百)+(5十+1十+1十)+3=(1千+3百)+7十+3=1千+3百+7十+3=1373由此可看出来，多位数加法的法则是根据加法交换律和结合律推出的，而进行多位数加法的基础则是一位数加法，竖式是多位数加法的简便形式。(二)整数减法1．减法的定义(1)定义已知两个数a，b，求一个数c，使c与b的和等于a，这种运算叫作减法，记作：a-b=c。特别地：当b=a时因为0+a=a所以a-a=0当b=0时因为a+0=a所以a-0=a312\n《小学数学教学论》教案当a=b=0时因为0+0=0所以0-0=0从定义可以看出，整数集对于减法是不封闭的。(2)减法定义的推论：(a-b)+b=a(c+a)-a=c2．减法的运算性质(1)a-(b+c)=a-b-c(2)a-(b-c)=a-b+c或a-(b-c)=a+c-b(3)如：ai≥bi(i=1，2，--------n，ai，bi可以是0)则有(a1+a2+-------+an)-(b1+b2+-------+bn)=(a1-b1)+(a2-b2)+---------+(an-bn)3．减法的运算法则(1)一位数或两位数减去一位数且一位数的减法，一般是根据减法定义，利用加法来计算。如：根据5+4=9得出9-4=5(2)多位数减法多位数竖式运算法则是数位对齐，个位减起，哪一位不够减向前一位借一再减。例：485-169---------316法则的依据说明如下：485-169=(4百+8十+5)-(1百+6十9)=(4百+7十+15)-(1百+6十+9)=(4百-1百)+(7十-六十)+(15-9)=3百+1十+6=316由此可见，多位数减法的法则是根据减法运算性质(3)推出的，一位数减法是多位数减法的基础，竖式是多位数减法的简便形式。(三)整数乘法1．乘法的定义。(1)定义：b(大于1的整数)个相同加数a的和c叫做a与b的积，就是：312\n《小学数学教学论》教案c=a+a+a+-------+a(b个a)求两个数的积的运算叫做乘法，记作：a×b=c或a·b=c也可记作b×a=c或b·a=c补充：当b=1时，a×1=a当b=0时，a×0=0(2)几个数的积。abcd=[(ab)c]d2．乘法的运算性质(1)乘法交换律：a×b=b×a(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)(3)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc或c(a+b)=ca+cb(4)其他性质：乘法交换律，结合律的推广；乘法分配律的推广；若干个数的和与若干个数的和相乘的性质；(a-b)c=ac-bc或c(a-b)=ca-cb3．乘法的运算法则(1)表内乘法两个一位数相乘，可以根据乘法的定义用同数连加的方法求出它们的积，通常是把所有两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀或乘法表，计算时直接利用这些结果求出结果。(2)多位数乘法多位数乘一位数的法则：先用一位数去乘多位数每一位上的数，哪一位上乘得的数满几十，就向它的前一位进几，最后把每次乘得的结果相加。如：364×2--------728法则的依据说明如下：364×2=(3百+6十+4)×2=6百+12十+8312\n《小学数学教学论》教案=6百+(1百+2十)+8=(6百+1百)+2十+8=728由此可知，多位数乘一位数的法则是乘法分配律推广的应用，归结为表内乘法来计算为了简便，通常来用竖式来计算。多位数乘一个数字后面带有若干个零的数的乘法法则：先用这个因数中零前面的一位数去乘多位数，再在所得的积后面填写因数末尾所有的零。如：234×300=234×（3×100）=（234×3）×100=702×100=70200多位数乘多位数：先用其中一个因数各个数位上的数去乘另一个因数的每一位，再把所得的结果相加。如：532×461=532×（400+60+1）=532×400+532×60+532×1=212800+31920+532=245252(四)整数除法1．除法的定义(1)定义：已知两个数a，b，求一个整数q，使q与b的积等于a，这种运算叫作除法，记作：a÷b=q。特别地：当b=a≠0时因为a×1=a所以a÷a=1。当b=1时因为1×a=a所以a÷1=a。当a=0，b≠0时因为b×0=0所以0÷b=0。(规定除数b不能够为0。)(2)除法定义的推论(a÷b)×b=a(a×b)÷b=a。2．有余数的除法定义：已知两个数a，b(b是正整数)，要求两个整数q，r，使q，r满足以下条件：312\n《小学数学教学论》教案a=bq+r，且r1）的数叫做分数。（3）分数与除法的关系：312\n《小学数学教学论》教案=m÷n即：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数的值相当于商，在除法中除数不能是零，在分数中分母也不能为零。分数与除法既有联系又有区别，除法是一种运算，而分数是数。由此可见，从整数到分数是数系的一次扩充，根据数系扩充的原则，应对分数定义做如下补充：当n=1时，==m；当m=0时，==0；这样，分数的定义可以扩充为：形如（m和n都是整数，且n≠0）的数叫做分数。2．分数的基本性质如果分数的分子和分母同时乘（或除以）一个不等于零的数，分数的大小不变。即：（1）=（m是正整数）（2）=)(m是正整数，且m|a，m|b)3．分数的四则运算分数四则运算的含义与整数四则运算相同，整数四则运算的性质可以推广到分数四则运算，但是需要说明的是：（1）分数四则运算的定义方式与整数四则运算不同，在定义里包含了运算法则。例如：分数加法的定义：如果有两个分数和，那么+=求两个分数和的运算叫做分数加法。（2）分数乘法和除法有其特殊的含义。一个数与分数相乘可以表示求这个数的几分之几。一个数除以分数，如，就是求一个数使得：312\n《小学数学教学论》教案•=或•=。因此，计算÷，就是已知一个数的是，求这个数；或求是的几分之几。二、小数1．小数的概念（1）十进分数：分母是10n（n为自然数）的分数，叫做十进分数。（2）小数的定义：根据十进位制的位值原则，把十进分数改写成不带分母的形式的数叫做小数。从定义可以看出：a小数是十进分数的特殊形式，即它们是等价的。b定义不包括无限循环小数。2．小数的性质性质一：在小数的未尾添上或去掉几个零，小数的大小不变。性质二：把小数点向右（左）移动n位，小数就扩大（缩小）10n倍。3．小数的四则运算由于小数是特殊的分数，因此小数四则运算含义与分数四则运算含义相同，整数四则运算性质也可推广到小数四则运算。（1）小数加减法法则：把加数（或被减数、减数）的小数点上下对齐，然后按照整数加（减）法的法则计算，并在所得的结果里对着加数（或被减数、减数）的小数点，点上小数点。（2）小数乘法法则设两个小数α、β，且α有m位小数，β有n位小数，即α=，β=则α•β=•=由此可知，两个小数相乘，先不管他们的小数点，按照整数乘法计算，然后在所得的积里记上小数点，使积的小数部分的位数等于两个因数里小数部分的位数的和。312\n《小学数学教学论》教案（3）小数除法法则小数除法同样可以仿照整数除法的法则进行，但仍需解决小数点的问题。a小数除以整数设有小数(有m位小数)和正整数B，α÷β=÷B=A÷10m÷B=(A÷B)÷10m这样，小数α除以B，可以把α扩大10m倍化成整数A除法整数B，再把所得的结果缩小10m倍，而A/B的结果有三种情况，如：3.5÷7=（35÷7）÷103.64÷5=(3640÷5)÷102+1b小数除以小数设有小数α和β，β=(有n位小数)α÷β=α÷=α÷(B÷10n)=(α•10n)÷B所以，小数除以小数，可以化为小数除以整数，就是把除数的小数点去掉化成整数，再把被除数的小数点向右移动相同的n位，然后按照小数除以整数的法则计算。三、整数、分数、小数的关系1．整数可以表示成分数的形式，即可看作分母为1的分数。2．有限小数是十进分数3．分数都可化为小数，有限小数和循环小数可以化成分数。§2.5小学数学思想方法2.5.1集合思想（一）集合论的主要思想方法集合论的创始人是德国数学家G·康托尔(1845—312\n《小学数学教学论》教案1918)。1874年康托尔首先提出了集合概念，在集合概念的基础上，定义了子集、幂集、并集、交集，以及集合到集合的映射等概念。后来为刻画无限集合元素的多少以及集合中元素间可能出现的顺序等问题，又引进了集合的势(基数)和序数的概念。由于康托尔创立的集合论既没有明确的原始概念，也没有提出公理，仅仅以朴素的形式陈述它的理论，所以后人把康托尔的集合论称作“朴素”的集合论，也称古典集合论。其主要思想方法可归结为以下三个原则：1、概括原则任意给出一个性质P，满足性质P的所有对象，也仅仅是这些对象汇集在一起可以构成一个集合。这种造集的原则称为概括原则。例1“能被2整除”是自然数的一个性质，能被2整除的所有自然数构成了“正偶数集”。2、外延原则任给两个集合A和B，如果对于任一个a∈A能推出a∈B，反之对于任一个b∈B能推出b∈A，则称集合A与B相等，记为A=B，这就是外延原则。例2自然数集与正整数集、等边三角形的集合与正三角形的集合分别是相等的集合。而圆和这个圆内的360。的扇形则是不同的图形，因为作为点的集合，它们并不是相等的点集(如右图)。3、一一对应原则任给两个集合A和B，如果存在规则f，根据f，对于每个a∈A，都对应于唯一确定的b∈B；反之，对于每一个b∈B，根据f，有唯一确定的a∈A与之对应，则称集合A与B的元素之间在f之下建立了一一对应关系。或称A与B是等价集合，简称A与B等价(等势)，记为A～B。若A～B，则称集A与B有相同的基数。一个无限集可以与它的真子集等价，这是无限集区别于有限集的一个重要特征，任何有限集都不可能与本身的真子集等价。例3自然数集N和它的真子集M—正偶数集的元素之间，可以根据规则f：n→m=2n，使集M中的元素与N中的元素对应，如下图所示。312\n《小学数学教学论》教案因为这个对应是一一对应，所以N～M，即这两个集合有相同的基数。（二）集合思想在小学数学中的渗透在小学数学教材中，没有直接出现集合的概念、名称、符号和运算，而是结合数学基础知识的内容，通过形式多样、生动活泼的画面，让学生形象地感知集合思想，自然地渗透集合思想。集合思想在小学数学中的渗透一览表渗透的内容结合的知识集合与元素———————自然数的认识等集合的概念有限集、无限集、空集——自然数的认识、零的认识等集合的表示法(图示法)——韦恩图并集思想————————加法的初步认识集合的运算交集思想————————公约数与公倍数差集思想————————减法的初步认识等价关系————————“同样多”、10以内数的认识等集合的关系312\n《小学数学教学论》教案包含关系————————正方形、长方形、平行四边形等2.5.2对应思想（一）对应和对应思想“对应”是现代数学中的一个重要的基本概念。设A和B是两个集合，当对于集合A的任何一个元素，若在某给定的法则f的作用下，总可以得到集合B中的一个元素，则称这个法则f为从A到和B的一个对应。对应思想即是指人的思维对两个集合元素之间相互联系的把握。它是一种重要的数学思想。许多具体的数学方法都来源于对应思想。初等数学中的对应思想主要体现在数形结合思想、函数思想以及变换思想。数形结合思想指通过数(数量关系)和形(空间形式)之间的对应关系来研究、解决问题的思想。17世纪以来，由于建立了实数集与直线上点集的一一对应、有序实数对(x，y)与坐标平面上点集的一一对应，实现了数量关系与图形性质的相互转化，从而使几何问题能用代数工具来研究，使代数由于运用几何模型而具有鲜明的直观性，通过和几何的类比而得到进一步的发展。函数思想随着生产和科技发展，人们认识到，函数并不是参与变化的某个变量(因变量)，而是指对应关系本身。从现代的函数定义可以看出，函数思想的本质就是对应。变换思想所谓变换，是指一个集合与其自身的一种对应。基本思想是：在数学问题求解过程中，当利用基本性质或公式不易直接求解时，则需要经过适当的变换，比如将一个方程变为另外一个与之同解的方程；适当的换元引进新的变量；适当的三角变换等。变换的目的是使不明显的数量关系变得明显；不能应用公式的对象变得能应用公式；不是基本图形变为基本图形等，直至问题获得解决。事实上变换几乎充满了整个数学。初等数学中常见的变换有：代数变换(如恒等变换、变量替换等)，几何变换(如对称、平移、旋转等)，三角变换(如万能代换等)。（二）对应思想在小学数学中的渗透312\n《小学数学教学论》教案对应思想在小学数学中的渗透一览表数学思想渗透的内容与结合的知识利用“数”与“形”的对应来理解数学概念，数形结合如“同样多”、“多些、少些”、数的分解等思想利用“数”与“形”的对应来分析解答应用题函数的概念————例题和习题、正反比例等对应思想函数思想函数的表示法———求积公式(解析式)、统计图表(列表法与图像法)数的变换—————分数与小数、百分数的互化，假分数与带分数或整数的互化变换思想名数的变换————量与计量式的变换—————简便计算图形变换—————分割、拼合、对称、旋转、平移等2.5.3符号化思想数学发展到今天，已经成为一个符号化的世界，数学符号就是数学的语言——一种不分国籍和种族世界最通用的语言。英国著名的哲学家、数学家罗素说过：什么是数学?数学就是符号加逻辑。面对一个普通的数学公式S=πr2，任何具有小学文化程度的人都知道它表示圆的面积。312\n《小学数学教学论》教案所谓符号化思想，是指将所研究的对象进行抽象，并用数学符号加以表述，用数学符号表示数学概念、规则和逻辑关系等，并用来解决数学问题的思想。（一）符号化思想的特征1、抽象化。数学符号都是数学抽象物的表现形式，是事物内在的、共同的本质属性的体现。2、层次化。数学符号也反映了数学抽象物的抽象层次(抽象度)。数学符号的差异可以表示同一抽象层次上不同数学对象的差别，如表示物体个数的不同数字符号。但数学符号的差异更主要的是表示不同抽象层次的差别(即不同的抽象度)，如代数中的字母与数的差别。3、形式化。数学符号为数学形式化创造了条件，它们所反映的思想内容是密切联系在一起的。如代数中，由于引入了字母表示未知数和一般系数，使代数成为一门研究一般类型的形式和方程的学科，从而同单纯研究数的算术分清了界限。（二）符号化思想在小学数学中的渗透在小学数学中，符号化思想的渗透主要体现在使用了一些数学符号、变元思想和方程思想三个方面。符号化思想在小学数学中的渗透一览表数学思想渗透的内容与结合的知识个体符号————阿拉伯数字0，1，2，…，9；表示数的字母π，a，b，x，…等。数的运算符号——四则运算符号+，-，×，÷，乘方符号a2，a3，比号∶，简略的乘号·等312\n《小学数学教学论》教案数学符号关系符号————等号=，近似等号≈，不等号＜，＞，≠等结合符号————小括号()、中括号[]、大括号｛｝等分隔符号————竖式中的一些短线等计量单位符号——角的计量单位“°”等符号化思想在填数中渗透变元思想变元思想在用字母表示数中渗透变元思想简易方程方程思想用方程解应用题（三）在教学数学符号时应注意的问题1、理解数学符号的含义和实质数学概念本身是抽象的，符号又常常代表概念。这就要求我们在理解数学概念时，既要注意概念与实际对象的联系，又要注意概念与相应符号的联系，搞清每个数学符号的含义与实质。2、要重视数学符号书写的规范化教师对每一个新出现的数学符号的书写要示范，同时要求学生书写规范，为后继学习打好基础。3、明确符号化思想的意义312\n《小学数学教学论》教案在教学活动中，要帮助学生初步学会简单的数学符号语言和日常语言的转换，能将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言，能看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式，并把符号化思想的教学渗透于数学教学的始终，以促进学生的数学学习和思维能力的发展。2.5.4极限思想（一）极限思想的实质为了从一般性的高度揭示“极限”的实质，现代数学用“邻域”来建立“极限”概念，从而把极限概念与“拓扑结构”联系起来，因而在中小学数学中占有重要地位的极限思想，实质上是一种“结构思想”。但从中小学数学教学角度看，则应着重从直观上考察无穷运动，从思维与想象的结合中加以辩证地理解。（二）极限思想在小学数学中的渗透小学数学中没有专门介绍极限知识，但在教材中有体现极限思想的内容，教师在教学时要注意结合这些内容，渗透极限思想。极限思想在小学数学中的渗透一览表数学思想渗透的内容与结合的知识在认数时渗透“有限与无限”从有限中认识无限在几何初步知识中渗透“无限”极限思想从近似中认识精确圆面积公式的推导从量变中认识质变2.5.5统计思想312\n《小学数学教学论》教案随着社会的不断发展和科学技术的突飞猛进，统计的方法已被广泛地应用于自然科学和国民经济的各个部门。在21世纪，掌握统计的思想和方法将是社会成员必备的数学修养。（一）统计的基本思想方法人们在实践活动中常常遇到两类性质截然不同的现象：一类是必然现象，它在一定的条件下必然发生或者必然不发生。例如，在标准大气压下，水加热到100℃时必然沸腾，温度低于100℃时必然不沸腾，对于必然现象，条件和结果存在着必然性联系，可以由条件预知结果。另一类是偶然现象，也叫随机现象，它在一定条件下可能发生、也可能不发生，条件与结果之间不存在必然性联系。例如，有了合适的温度与湿度，一粒种子可能发芽，也可能不发芽；投掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上。然而，这并不意味着随机现象不存在规律。例如实验表明，多次重复地投掷一枚质量均匀的硬币，出现正面的次数与总投掷次数之比总是接近于。以上事实表明，随机现象从个体上看，似乎没有什么规律存在，但当它大量出现时，却呈现出一种总体规律性，这就是统计规律性。因此，统计的基本思想是：从局部观测资料的统计特征来推断整个系统的状态。统计方法是由“局部到整体”科学方法。（二）统计思想在小学数学中的渗透19世纪预言家威尔斯曾经指出：“统计的思想有朝一日将像读和写的能力一样，是每一个公民所必需具备的，”随着科学技术日新月异的发展和社会信息程度的不断提高，威尔斯所预言的局面正在开始出现。因此，小学数学教学渗透统计思想不仅是贯彻全日制小学数学教学大纲的需要，也是时代的要求。统计思想在小学数学中的渗透一览表数学思想渗透的内容与结合的知识低年级表格式应用题312\n《小学数学教学论》教案在数学教材中渗透统计思想中年级介绍用简单的统计表和统计图整理数据的方法统计高年级“简单的统计”思想在解题中领会统计思想求“百分率”求“平均数”2.5.6数学模型思想（一）模型、数学模型与数学模型思想模型是一种通过对现实原型的形象化或模拟化抽象出来的一种结构。数学模型是针对某种事物系统，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的用数学概念和符号刻划的一种数学结构。一切数学概念、数学理论体系、公式与算法系统都可称为数学模型。例1球的概念就是一个数学模型，它是物质世界中球体的抽象。例2两只苹果与三只苹果合起来是五只苹果；两条狗与三条狗一共是五条狗，两吨米与三吨米合在一起是五吨米。诸如此类的数量关系的数学模型就是“2+3=5”。例3欧拉研究“哥尼斯堡七桥问题”，并把它归结为右图的一笔画问题，即以后者作为前者的数学模型。数学模型思想是指针对要解决的问题来构造相应的数学模型、再通过对数学模型的研究去解决实际问题的一种数学思想。用数学模型思想解题的一般步骤是：(1)根据要解决的问题恰当地构造相应的数学模型(这是关键的—步)。(2)在建立的数学模型上进行推理或演算，求得解答。312\n《小学数学教学论》教案(3)把所得的解答返回原问题中，得到原问题的解答。如下框图所示：（二）数学模型思想在小学数学中的渗透小学数学教材中的每一个数学概念、公式、规律、法则等均可视为数学模型。如s=πr2是计算一类圆形物体面积的数学模型；y=kx（k为常数）是一类具有正比例关系应用问题的数学模型。小学数学教学，就是从现实原型出发，运用实验、操作、观察，通过比较、分析与综合、抽象与概括等基本思维方法，并用数学语言表述思维过程，从而使学生获得准确的数学模型。例如，教学“9加几的加法”，师生以计算“盒子里有9只杯子，盒子外有3只杯子，一共有几只杯子？”为原型，经过操作、观察、分析与综合、概括，得出了如下图的数学模型：9+3=121210并用数学语言表述思维过程，即“看到9，想到1，把3分成1和2，9加1等于10，10再加2等于12。”当学生掌握了这种“凑十法”的思维模型后，就可以迁移到“8加几”、“7加几”、······。小学生解答应用题的思维过程，就是先要把实际问题抽象为数学模型，再由数学模型的解得出实际问题的解。例如，“有15条金鱼，每个鱼缸里放5条，要用几个鱼缸?”解答此题首先要把实际问题“要用几个鱼缸?”312\n《小学数学教学论》教案抽象成为数学问题：“15里面有几个5”(把实际问题数学化)，再根据除法的意义转化成除法算式：“15÷5”(得到一个具有一般意义的数学模型)。即：“有15条金鱼，每个鱼缸里放5条，要用几个鱼缸?”————实际问题15里面有几个5？—————数学化15÷5—————数学模型=3（个）—————数学模型的解答：要用3个鱼缸。—————实际问题的解上述解答应用题的过程，可用下述框图来表示：抽象解释实际问题数学模型用数学符号实际问题的解数学模型的解这就清楚地表明了，上述抽象、转化过程就是建立数学模型的过程，学生有了这种思想，解答同类问题就会得心应手。在小学数学教学中恰当地渗透数学模型思想，有助于小学生掌握数学知识，增强解题能力。数学模型思想在小学数学中的渗透一览表数学思想渗透的内容与结合的知识集合模型——将题中条件之间的关系看成集合之间的关系，312\n《小学数学教学论》教案构造集合模型。数学模方程模型——方程是解决实际问题的一种数学模型。型思想几何模型——将问题化为相关的形的问题，构造几何模型。公式模型——数学公式既是反映客观世界数量关系的符号，又是从现实世界抽象出来的数学模型。2.5.7化归思想（一）化归思想的实质用联系、运动、发展变化的观点来看待问题，把有待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决，这就是化归思想。化归思想的实质是通过事物内部的联系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范化(熟悉或易于处理)，即将待处理问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决。简言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题不断转化成已知的旧问题的过程，这是解决数学问题的基本策略。化归思想的基本原则是：熟悉性原则(化陌生为熟悉)、简单性原则(化复杂为简单)、具体性原则(化抽象为具体)、典型性原则(化一般为典型)。实现化归的常用方法有：分解法、转化法和变形法。应用化归思想解决问题的一般模式为：转化待解决或未问题再转化已能解决或易解决的问题（*）解决的问题解答解答（*）解答（**）（二）化归思想在小学数学中的渗透312\n《小学数学教学论》教案化归思想不仅用于解题，还体现在小学数学教材的构建中，特别反映在新旧知识的结合部。例如，多位数乘多位数的法则，实质上是把多位数乘多位数归结为一位数乘多位数；而将一位数乘多位数的法则归结为表内乘法。又如，异分母分数加减法借助于通分运算归结为同分母分数加减法。再如，根据面积的可加性和全等形等积这两个公理，运用割补法，可将平行四边形的面积“化归”为长方形的面积计算；将三角形和梯形的面积“化归”为平行四边形的面积计算；将组合图形的面积“化归”为基本图形的面积计算。化归思想在小学数学中的渗透一览表思想方法渗透的内容结合的知识数的分解————————20以内进位加法等分解法式的分解————————多位数乘法等形的分解————————组合图形求积等应用题的分解——————复合应用题等数的转化———————分数、小数、百分数的互化等化归思想式的转化————————小数除法、分数除法等转化法形的转化————————几何图形求积公式的推导数形转化———————数的认识、计算法则、应用题应用题数量关系的转化——倍数、分数和比例应用题恒等变形————————运算定律；分数、小数四则变形法混合运算等等积变形————————几何求积2.5.8优化思想（一）优化与优化思想312\n《小学数学教学论》教案所谓优化，也称为最优化，是指在一定条件下力求获得最优结果的思想与观念。数学中诸如求最大值、最小值以及最高、最低、最短、最省、最好等问题的解决，都需要运用优化的思想。优化是当今“大众数学”意义下数学教学应致力培养的思想观念之一。首先，自然界与人类社会存在着优化的显明趋向。例如从甲地到乙地如果可能的话人们总是尽量走直线，这是儿童也具备的一种本能行为，几乎无须意识的主动参与。因此，优化思想反映了自然界与人类社会发展的规律。其次，人们关注的不仅仅是本能的优化行为，而应当致力于培养自觉能动的优化思想与优化意识，掌握有效的优化方法，这是数学教育的内容之一。（二）优化思想在小学数学中的渗透优化思想在小学数学中的渗透一览表数学思想渗透的内容与结合的知识数学符号、数学公式和数学技巧的简洁美利用数学美渗透优化思想数学的对称美数学的奇异美优化思想在解题中领会优化思想通过一些贴近生活的题材培养优化思想六、思考题1、传统的小学数学课程内容结构与呈现方式有哪些特征？从发展学生素养的角度看，它们有哪些优点？又有哪些缺点？2、现代小学数学课程内容构成有哪些主要特征？这些特征对发展学生的数学素养有哪些促进作用？3、小学数学教材的组织与呈现有哪些基本的方式？4、在当今的世界范围内，小学数学课程内容改革有哪些共同的基本特点？312\n《小学数学教学论》教案5、研究数学思想方法的意义是什么？6、极限的基本思想是什么？7、数学符号化思想的形成、发展有哪些重要作用？8、小学数学中常用的解题思想方法有哪些？第三章小学数学学习过程一、教学目的通过本章的学习，使学生掌握数学学习的一般理论；数学知识、数学技能、数学问题解决的学习过程；了解数学学习理论的发展情况以及对当今数学教育改革的启示。二、教学重点、难点重点是数学知识的学习以及数学技能与数学问题解决的学习；难点是数学学习理论及其对数学教育的影响。三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献四、教学内容本章主要内容：l小学数学学习过程概述l数学知识的学习l数学技能学习l数学问题解决的学习l数学学习理论及其对数学教育的影响五、教学过程§3.1小学数学学习过程概述312\n《小学数学教学论》教案3.1.1数学学习的含义1、关于学习对于学习，国外许多心理学家和学者给出过各种各样的解释，出发点不同、立场不同、材料不同、方法不同，对学习的理解就不同，从而所形成的理论也不同．桑代克的联结说认为“学习就是刺激和反应之间形成的联结”；布鲁纳的认知说则认为“学习是学习者认知结构的组织与重新组织”。联结主义学习理论与认知学习理论是较有影响的两大学派。中国古代的教育史中，“学”和“习”是分开的．《说文》中讲到：“习，数飞也”，意思是鸟反复地练习飞。孔子的“学而时习之，不亦乐乎？”，就是把“学”与“习”看成是获取知识、技能的两种不同方式，“学”是知识、技能的获得，“习”是对已学的知识、技能的练习与巩固，强调“学习”是一个反复实践并获得真知的过程。这一点从“学”与“习”的象形文字就可以看出。我们一般所说的学习是从心理学的角度来阐述的，也就是说，学习是指动物和人类所共有的一种心理活动。对人类来说，学习是“知识经验的获得及行为变化的过程”。这里需要说明的是：（1）并非所有的行为变化都是学习，积累知识经验基础上的行为变化，才是学习。（2）学习的结果产生行为变化，但有的行为变化是外显的，有的行为变化是内隐的。例如，技能学习，所导致的行为变化就是外显的，就称为“外显学习”，思想意识的学习大多是内隐的，叫做“内隐学习”。（3）学习是一个渐进的过程。（4）行为的变化有时表现为行为的矫正或调整。（5）学习后的行为变化不仅包括体现在实际操作上的行为变化，而且还包括体现在态度、情绪、智力上的行为变化。2、数学学习312\n《小学数学教学论》教案数学学习是根据教学计划进行的在数学教师指导下，学生从已有的经验出发，主动获得对数学知识的理解与数学技能的掌握，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展的过程。更具体地说,数学学习是指学生在教育情境中，以数学语言、符号为中介,自觉地、积极主动地掌握数学概念、公式、法则、定理,形成数学活动的经验,发展数学技能与能力的过程。数学学习是主体的主动认知活动。这就是说，数学学习是学生在学习的环境中，在自己已有经验的基础上主动地通过对外界信息的加工，重新建构自己的经验世界。因此，从本质上说，学生的数学学习是一个依据已有的经验自主构建自己对数学知识的理解的过程。数学学习是极其复杂的心理活动，它不仅是一个认知过程，而且交织着兴趣、性格、动机、情感、意志等心理因素。由于数学的严谨性与数学知识的系统性，从感知数学事物到判断、推理等思维过程，需要更强的意志努力；数学思维的抽象性，更需要自信心与情感的支持；数学问题的复杂性需要良好的学习态度，数学中的问题解决更需要群体的竞争、参与、合作意识，数学认知结构的形成与完善需要良好的数学观与对数学美的情感体验。因此，学生的数学学习是认知因素与情感因素相互交织的过程。3.1.2数学学习的基本类型对数学学习进行分类是必要的，通过分类，能搞清楚影响同类学习的因素，并揭示出该类学习的心理过程，便于掌握学生学习的一般规律，以利于指导学生的数学学习。数学学习是一种特殊的学习，按照奥苏伯尔的观点，可以把数学学习从两个维度上进行划分：根据学习的深度划分，数学学习可以分为机械学习和有意义学习；根据学习进行的方式划分，数学学习则可以分为接受学习和发现学习。（一）机械学习与有意义学习机械学习是指学生在学习时，仅能记住某些数学符号或语言文字符号的组合以及某些词句，而不理解它们所表示的内在涵义。例如，符号“×”，小学生就知道这是乘法运算符号，也会背出“三四十二”的口诀，但对于“4×3”的真正意义却不十分清楚，这种学习就是所谓的机械学习。有意义学习是指学生在学习时，不仅能记住所学数学知识的结论，而且能够理解它们的内在涵义，掌握它们与有关旧知识之间的实质性联系，并能融会贯通。例如：关于“4×3”，学生不仅知道结果等于12，而且知道这是3个4连加，符号“×”表示求相同加数和的运算。这种学习就是所谓的有意义学习。奥苏伯尔认为，学习者原有认知结构中的适当知识是否与新的学习内容建立312\n《小学数学教学论》教案“实质性联系”，是区别有意义学习和机械学习的根本标志。因为数学知识具有逻辑性、系统性，前后知识间的联系非常紧密，所以数学学习基本上是有意义学习。当然，在数学学习中，也不排斥机械学习，某些情况下还是需要的。为了帮助学生记忆，可以运用“口诀”或“图表”。例如，大于号“＞”和小于号“＜”的学习，可以利用“开口对大数，尖尖对小数”这句口诀来帮助学生记忆。又如，讲完了比的意义之后，为了帮助学生记住比同以前学过的除法、分数的联系与区别，可让学生利用下表来记忆。联系区别比前项比号(∶)后项两个数的倍数关系除法被除数除号(÷)除数一种运算分数分子分数线(—）分母具体的数但必须注意，上述这些帮助记忆的方法，只能是辅助性的，切不可用来代替有意义学习，因为这些方法只有助于“记”，而不能表明各个结果是如何推导出来的，也不能概括这些结果的意义。奥苏伯尔认为进行有意义学习必须具备两个条件：第一，学习的材料必须具有潜在的意义，所谓“潜在的意义”，是指新学的知识内容与学生原有认知结构中的某些内容之间存在一定的逻辑联系，而且这些新学的材料能够同化到学生原有的认知结构中去；第二，学生必须具备有进行意义学习的条件和意向，即一定的智力发展水平和理解学习材料的欲望。例如，微积分中求导公式的学习，对于小学或初中的学生来说，在一般情况下，都只能是一种机械学习，因为他们的智力发展水平和数学认知结构都无法使他们理解导数的概念；而对于高中学生，只要知识内容安排得当，学生的数学学习动力被充分激发，教师的讲授方法正确，有意义学习则是完全可以做到的。（二）接受学习与发现学习312\n《小学数学教学论》教案接受学习，是指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者的那样一种学习方式。即把问题的条件、结论以及推导过程等都叙述清楚，不需学生独立发现，只要他们积极主动地与已有数学认知结构中适当的知识相联系，进行思维加工，然后与原有知识融为一体，以备进一步学习和应用之需。而发现学习则恰好相反，学习的主要内容不是教师以定论的形式提供给学生，而是要让学生自己去独立发现。这些经过自己发现而组织到认知结构中去的材料最容易保持，所以发现学习对于激发内部动机、掌握学习方法和培养创造精神都是有益的。例如，利用画一画、剪一剪、拼一拼、凑一凑、量一量的办法，让学生去发现关于三角形内角和的命题的学习，就是一种发现学习。发现学习显然比接受学习复杂得多，所花的时间也比较多。一般地说，学生的数学知识，大量是通过接受学习获得的，而各种数学问题的解决，则往往通过发现学习来实现。（三）两种划分的关系机械学习和有意义学习、接受学习和发现学习是划分学习的两个维度。这两个维度之间存在着交叉，即接受学习可以是机械学习也可以是有意义学习，发现学习可以是机械学习也可以是有意义学习(两种分类的关系如下图)。例如：在并不真正懂得分数概念的情况下，学生依然可能在多次观察例举后“发现”分数的运算法则，并熟练地进行分数运算，这就不是真正的有意义的发现。有意义学习有意义接受学习有意义发现学习接受学习发现学习机械接受学习机械发现学习机械学习在学校教育条件下，发现学习往往是在教师的指导下进行的，可称为指导发现学习，以区别于独立发现学习。在数学学习中，学生的学习通常应是以有意义的接受学习为主，辅之以有意义的指导发现学习，尽量避免机械学习，对少数优秀学生，则应鼓励他们进行一些有意义独立发现学习。3.1.3小学生数学学习的特点312\n《小学数学教学论》教案作为一种学习活动,数学学习和其它科目的学习之间存在着一些共同的特点。这些特点可以概括为如下几个方面:以学习书本上的间接知识为主;以学习既成的系统的知识为主;以学习基础知识和基本技能为主;学生的学习是在“学习共同体”中的个体认知行为;学生的学习是在教师指导下的行为。由于数学自身具有极度抽象性、逻辑严谨性、应用广泛性等特点,加之数学学习是学生学习数学思维活动的过程,又决定了数学学习不仅有着学习活动的一般特点,而且带有自身明显的特殊性。l.数学学习是解决问题的思维活动过程。数学是思维的产物，任何数学知识都是思维的结晶。学习数学的过程，自始至终都是数学的思维活动过程。离开了思维活动，也就无所谓数学学习。而问题，既是思维的产物，又是思维的动力和材料。问题对于思维活动的全过程，从思维的点火、起动到定向、展开，直至问题的解决，即思维成果的获得，都有着决定性的影响。离开了问题，也就无所谓数学的思维活动，至少是没有专注的、积极的思维活动。数学发展史表明，数学科学正是从现实世界或现有数学理论中提出的无数问题受到启示，获取力量，得以前进，得以发展的。新的数学思想、数学方法，也正是在解决问题的过程中发生、形成、深化并得到验证的。同样，从某种意义上来说，学习数学的过程，也是不断地提出问题、解决问题的过程。以学习20以内退位减法为例，面对“15-9=？”这一问题，学生借助手中的学具——小棒，积极地进行思维活动，得出各种不同的算法：①逐一减：一根一根地减，减去9根后，剩下6根；②把15分成10和5，10-1=9，1+5=6；③把9分成5和4，15-5=10，10-4=6；④因为9比10少1，15-10=5，5+1=6；⑤想9+6=15，15-9=6。2.数学学习是直观的、实验的探究过程与抽象的、逻辑的推理过程的统一。数学采用各种形式化的语言符号筑起自己的“王国”，它是抽象的；数学凭借无瑕可击的逻辑证明形成自己的理论体系，它是严谨的。然而，即使是数学科学，只靠逻辑演绎也难以推出多少新的数学思想、新的数学方法，还必须加上敏锐的观察、联想和直觉的猜想、顿悟。往往是先有新的发现，再来补上严格的逻辑推演。由此可见，数学这一演绎的理论科学，又具有经验的实验科学的一面。反映在数学学习中，学生常常会问：“这个方法是怎么想到的？”312\n《小学数学教学论》教案诸如此类的疑问，正是学生的探究欲望和学习积极性、主动性的表现，应当加以鼓励，给予满足。因此，数学学习不能单纯沿着从概念到概念，从理论到理论的演绎道路“一往直前”，而应将逻辑演绎而成的理论体系还原为生动活泼的知识生成体系，让学生了解知识的发生过程，知道解决问题思路的形成。aabbbbaahhh例如，学习梯形的面积计算公式，首先，学生借助手中的学具——几个完全一样的梯形和直尺等进行实验探究：有的将两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形(如图1)；也有的将一个梯形分成了两个三角形(如图2)；还有的将一个梯形分成了一个三角形和一个平行四边形(如图3)；……。图1图2图3然后，进行如下推理(以图1为例)：因为两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形，拼成的这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，它的高就是梯形的高，它的面积是梯形面积的2倍。而平行四边形的面积等于底乘高，即上底与下底的和乘高，所以，梯形的面积等于上底与下底的和乘高的一半。也就是：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2用字母表示为：S=(a+b)h÷2根据上述数学学习的特点，教师在学生进行数学学习的过程中应当给他们留有充分的思维空间，使得学生能够真正地从事思维与探究活动，包括观察、描述、操作、猜想、实验、收集整理、思考、推理、交流和应用等，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习。3.1.4小学数学学习一般过程关于学习过程，存在着两种基本观点：一是以桑代克、巴甫洛夫、斯金纳为代表的刺激—312\n《小学数学教学论》教案反应联结观点；另一个是布鲁纳、奥苏伯尔等为代表的认知观点．第一种观点认为，学习过程就是形成刺激和反应之间的联结过程，因而，要研究学习过程，主要就是要研究刺激和反应进行的关系，以及它们之间发生了什么．第二种观点认为，学习过程是学生原有的认知结构中的有关知识和新学内容相互作用（同化），形成新的认知结构的过程．以下我们在认知观点的基础上来探讨数学学习过程．（一）数学认知结构认知心理学认为，刺激和反应的联结，是以主体的某种“结构”为中介的，这种“结构”对信息加工和改造起着积极的作用．认知心理学把这种主体中存在的结构称为认知结构．学生在数学认知活动中，也同样存在着某种结构，这种结构称之为数学认知结构．所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。实践表明，学生的数学认知结构有其固有的特点，即：（1）数学认知结构是数学知识结构和学生心理结构相互作用的产物。（2）数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织．它既可以是学生头脑里所有数学知识、经验的组织，也可以是特殊数学知识内容的组织．前者所指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征，这些特征影响它在数学学科中的一般学习．后者所指的是某一数学知识、经验的组织特征．也就是说，数学认知结构既是专门化的概念，又是一个带有普遍性的概念，它体现了数学知识和数学认知的统一。（3）数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识．即数学认知结构是一个有层次的阶梯．高层次是由所有数学知识、经验有机结合而成的认知结构。（4）每一个学生的认知结构各有特点，个体认知结构在内容和组织方面的特征称为认知结构变量，数学认知结构具有三个变量：（1）在认知结构中是否有适当的起固定作用的观念可以利用；（2）新的学习材料和起固定作用的观念之间的可辨别程度；（3）原有起固定作用的观念的稳定性和清晰性。（5）数学认知结构不是一种消极的组织，而是一种积极的组织，它在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥着作用．形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接收到新的数学信息，人们就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工。312\n《小学数学教学论》教案（6）数学认知结构是一个不断变化的动态组织．随着数学认知活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善．正是因为数学认知结构具有这样的特点，所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展．（7）数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的．（8）从功能上来说，学生既能借助已有的认知结构去掌握现有的知识，又能借助原有的认知结构创造性地去解决问题．数学认知结构是数学学习过程中的一个中心心理成份．（二）学生数学认知的基本方式学生的数学认知结构主要是通过同化和顺应两种方式去构建的，同化和顺应是学生数学认知的基本方式。1、同化同化是数学认知方式之一。在奥苏伯尔的认知同化学习理论中，“同化是指新知识被认知结构中的原有适当观念吸收，新旧观念发生相互作用，新知识获得心理意义且使原有认知结构发生变化的过程”。在数学学习中，同化是指学生利用原有数学认知结构对新的数学知识进行适当改造，然后将改造后的数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学认知结构发生量变的过程。如异分母分数加减法的学习过程，就是一个利用分数基本性质通过通分把异分母分数加减法转化成同分母分数加减法并将其纳入到原来已经形成的同分母分数加减法认知结构中去，从而扩大和完善分数加减法认知结构的过程。从同化的意义不难看出，同化学习的必要条件是所学习的新知识与原有认知结构中的适当观念有实质的、非人为联系，即原有认知结构中有能够同化新知识的适当观念。很明显，同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。2、顺应312\n《小学数学教学论》教案顺应是指某些新的数学知识不能真接同化到学生原有认知结构中去，必须适当调整或改造原有认知结构使其适应新知识的学习，在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去，从而建立新的数学认知结构的过程。简言之，顺应就是改造原有认知结构而建立新的数学认知结构的过程。如果说同化是促进原有认知结构量变从而扩大认知结构内容的过程，那么顺应则是使原有认知结构发生质变从而建立新的数学认知结构的过程。顺应主要适用于那些与旧知识没有直接联系的新知识的学习。如开始学习负数时，由于学生头脑中只有用算术数的概念，又找不出与负数有实质的、非人为联系的观念，因而无法采用同化的认知方式进行学习，就只能采用顺应的认知方式。心理学研究表明，在学习中，学生用顺应的方式改造原有认知结构接纳新知识主要是通过两种途径去实施的：一是调整，二是并列。所谓调整，就是改变原有认知结构的组织形式，或赋予原有认知结构中某些观念以新的意义，使之与新知识相适应，并以此为固定点接纳新知识。例如，在负数的学习中，就可采用这种方式对加、减法运算符号“+”、“-”分别赋予“正”、“负”的意义，学生的原数学认知结构得到调整，负数才被纳入新的数学认知结构中去。所谓并列，就是赋予新知识和认知结构中某些原有观念以一定意义的外在联系，并把新知识与旧的知识联接成一定的结构。如在分数乘法意义的学习中，就可利用一个数乘分数和学生认知结构中整数乘法意义的联系，通过具体实例(如一瓶桔子汁重千克，瓶重多少千克？)赋予一个数乘分数“就是求这个数的几分之几是多少”的意义。由此通过一个数乘分数意义与整数乘法意义的并列，实现学生原有认知结构的改造和分数乘法意义新认知结构的建立。综上所述，同化和顺应是认知过程中学生原有的数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各自侧重不同而已。如果说同化是改造新学习内容使其与原有认知结构相吻合的话，那么，顺应则是改组学生原有的认知结构以适应新学习内容的需要。在数学学习中，同化和顺应总是相辅相成、互为补充的，一方面在改造新学习内容的同时，学生也必须适当调整自己的原有认知结构，使新学习内容与原有认知结构更加吻合；另一方面学生在调整原有认知结构的同时，也总是要对新学习内容作适当改造，将其改造成更有利于接纳的形式，从而保证原有认知结构与新学习内容之间的相互适应。（三）数学学习过程的一般模式数学学习作为一种学习活动，有其发生、发展的过程，这个过程具有一般的模式．312\n《小学数学教学论》教案在一般的学习理论中，心理学家提出了学习过程的模式：苏联心理学家列昂节夫依据对活动结构的分析认为，学习过程是一个环状结构，它由定向环节、行动环节和反馈环节三个基本环节组成；美国心理学家加涅运用现代信息加工理论，提出了学习过程结构的八级阶梯模式．不管什么样的模式，总离不开两大基本的学习理论，刺激—反应理论和认知理论．根据学习的认知理论，数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程．依据学生认知结构的变化，数学学习过程的一般模式可用下图3-1表示：图3-1：数学学习过程的一般模式从图3-1可以看出数学学习过程包括三个阶段：输入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作阶段．§3.2数学知识的学习数学知识的学习，主要包括数学概念和数学命题(公式、定理、法则等)的学习。现就它们的学习过程分别阐述如下。3.2.1数学概念的学习（一）概念的本质概念是反映事物本质属性的思维形式。所谓“本质属性”,就是指它构成某种事物的基本特征,这种属性只为这类事物所具有,它是一种事物区别于另一种事物的根本依据。数学概念是反映思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式。例如,平行四边形这个数学概念,它具有方位、大小、形状诸方面的许许多多属性,但只要抓住“四条边”这条属性,就可把它与多边形相区分;只要抓住“两组对边分别平行”这条属性,就可把它与一般四边形相区分。“四条边”、“两组对边分别平行”就是平行四边形这个概念的本质属性。一旦把本质属性从众多的属性中分离出来,并把这些本质属性作为一个“整体”,我们便形成了“平行四边形”这个清晰的数学概念。因此我们说,概念是事物本质属性的反映指的是整体反映。（二）概念的内涵与外延312\n《小学数学教学论》教案概念的内涵与外延,是概念的基本特征,是准确把握概念和系统掌握知识的基础。因此,对概念的内涵与外延要特别予以重视。1、内涵与外延的含义概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围)。概念的内涵与外延是分别对事物的质和量的规定。例如,“偶数”这个概念的内涵是“能被2整除”这个性质,其外延是所有偶数的全体。“一元二次方程”这个概念的内涵是“只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的等式”这个性质,其外延是一切形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程的全体。概念的内涵与外延明确了,就可以更好地认识概念,把握概念,否则就会出现错误。例如,若对“算术平方根”这个概念的内涵不明确,往往会出现如下的错误:=-2，。要对概念加深认识,不仅要明确概念的内涵与外延,还要掌握概念的内涵与外延之间的关系。2、内涵与外延之间的关系概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质,那就是三角形的内涵,而三角形的外延比等腰三角形的外延扩大了。不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。(三)概念间的关系1、同一关系。外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系。例如，“直线”与“一次曲线”这两个概念，虽然它们是从不同的角度来说明问题的,但是,它们的外延完全重合,是指的同一类对象。又如,“等腰三角形底边上的中线”与“等腰三角形底边上的高”;“等边的矩形”与“直角的菱形”;在同一个圆中的“直径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系。在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相互代替使用。312\n《小学数学教学论》教案2、交叉关系。外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系,称为交叉关系，这两个概念称为交叉概念。例如,“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都是交叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说明的,但是,必须用“有些”两字来限制,否则就错了。例如,我们可以说“有些整数是负数”，也可以说“有些负数是整数”；却不能说“整数是负数”,也不能说“负数是整数”。3、从属关系(包含关系)。如果A概念的外延包含B概念的外延,那么这两个概念间的关系称为从属关系。其中A概念叫做B概念的种概念(或上位概念),B概念叫做A概念的类概念(或下位概念)。例如,“复数”、“实数”、“有理数”、“整数”它们之间的关系是从属关系。“复数”、“实数”、“有理数”都是“整数”的种概念。“整数”的三个种概念中其内涵与整数概念之差最小的是“有理数”。我们称有理数为整数的最邻近的种概念。4、对立关系(反对关系)。如果某一概念的两个类概念A和B,其外延是互相排斥的,且这两个类概念外延之和小于它们最邻近的种概念的外延,那么这两个类概念A和B之间的关系称为对立关系(如图15.5),这两个类概念称为对立概念。例如,“正实数”与“负实数”是对立关系的两个概念,因为它们的外延互相排斥,其外延之和小于它们最邻近的种概念“实数”的外延。又如,“大于”与“小于”、“锐角三角形”与“钝角三角形”、“质数”与“合数”、“等腰梯形”与“直角梯形”等概念的关系都是对立关系。5、矛盾关系。如果某一概念的两个类概念A和B,其外延是相互排斥的,且这两个类概念外延之和等于它们最邻近的种概念的外延,那么这两个类概念A和B之间的关系称为矛盾关系,这两个概念称为矛盾概念。例如,“负数”与“非负数”、“实数”与“虚数”、“有理数”与“无理数”、“直角三角形”与“非直角三角形”、“相等”与“不相等”等概念之间的关系都是矛盾关系。掌握了概念间的关系,有助于加深理解概念,正确地使用概念,避免出现概念或判断上的逻辑错误。例如,“因为数a是正数,所以数a一定是负数,这一论断是错误的。因为“正数”与“负数”312\n《小学数学教学论》教案是对立的概念,不是矛盾的概念,在实数的外延中除了正负数外,还有数零。又如,“a不大于b,即a＜b”这是错误的。因为“不大于”与“小于”不是矛盾关系。（四）概念的定义定义是揭示概念的内涵的逻辑方法,它是明确概念的主要方法之一。1、定义的组成作为一个正确的定义,一般由三个要素组成。即被定义的概念、下定义的概念和联系词。被定义的概念是其内涵被揭示的概念,而下定义的概念是用以揭示被定义概念内涵的概念,联系词一般使用‘是’、‘叫做’,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系,其作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定义,在这个定义中,“正方形”是被定义概念,“邻边相等的矩形”是下定义的概念,“是”是联系词。2、定义的方法（1）“种加类差”定义法:给数学概念下定义常用“种加类差”的方式。其公式为：被定义的概念(类)=最邻近的种概念(种)+类差。这就是下定义常用的内涵法。“最邻近的种概念”,就是被定义概念的最邻近的种概念,“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。例如,以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性,“邻边相等”就是“菱形”的类差。（2）发生定义法(也称构造性定义法):通过被定义概念所反映对象发生过程或形成的特征描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法被称为发生定义法。这种定义法是种加类差定义的一种特殊形式。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征,而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。（3）列举定义法:用列举概念的外延给概念下定义的方法称为列举定义法。用公式表示为:被定义概念(种)=类概念+类概念+类概念+……。例如,有理数和无理数统称为实数。列举定义法属于归纳型定义,其顺序是由特殊到一般.（4）约定式定义法:有些被定义概念,不易揭示它的内涵,以客观实践为基础,直接指出概念的外延,把它规定下来,这样的定义法称为约定式定义法。例如,零指数和负指数的定义,规定:(a≠0),(≠0)312\n《小学数学教学论》教案3、下定义的规则定义要下得正确,必须遵守以下四条规则:（1）定义应当是相称的.所谓定义相称就是下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大,也不能缩小,也就是通常说的不能过宽也不能过窄。定义过宽,就是下定义概念的外延大于被定义概念的外延。例如:A、无理数是无限小数。B、直径是弦。此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。例A中的下定义概念“无限小数”的外延大于被定义概念“无理数”的外延。因为无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念“直径”的外延。定义过窄,就是下定义概念的外延小于被定义概念的外延。例如:A、无理数是有理数的不尽方根B、各角为直角的菱形是矩形。此两例都犯了定义过窄的错误。例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的外延小于被定义概念“无理数”的外延。因为π、e、lg3等都是无理数,它们都不是有理数的不尽方根。例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被定义概念“矩形”的外延。因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。（2）定义不能循环。在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或间接地依赖于被定义概念。下定义的目的就是要揭示被定义概念的内涵。如果下定义概念直接或间接地包含了被定义概念,那么就达不到明确概念内涵的目的。违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。循环定义常有以下两种情况：A恶性循环。在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。例如,用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。这样定义概念不能揭示概念的内涵。B词语反复。用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己,这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。以下几例都犯了词语反复的错误。312\n《小学数学教学论》教案1°互质数就是互为质数的数。2°基础知识就是最基础的知识。（3）定义必须清楚确切。在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。例如,“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。又如,“正方形是一种有规则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。再如,“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”。这个定义既不清楚确切,也不简明。定义中漏掉了“两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。还如，“两组边相等的四边形是平行四边形”。这样定义平行四边形也是不确切的,因为“两组边”是指的邻边呢?还是对边呢?似是而非,使人们像猜迷语一样去理解概念,是不允许的。（4）定义一般不用否定形式。定义应当从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示,一般不用否定形式。例如,“不是有理数的数叫做无理数”。这样定义无理数,它既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。但是,有些概念的特有属性就是它缺少的某个属性,对这样的概念下定义可用否定形式。例如,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是用的否定形式。（五）概念的划分概念的划分(或分类)是从概念的外延方面明确概念的逻辑方法。概念的划分就是把被划分的概念作为种概念,并根据一定的属性把它的外延分成若干个全异的类概念。通过对概念正确的划分,可以更深刻地理解概念，更系统地掌握概念。1、划分的三个要素一个正确的划分,通常由三个要素构成,即母项、子项和划分的依据。母项是划分的种概念,子项就是划分所得的类概念,划分的依据就是划分时所依据的标准。2、划分的类别划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。（1）一次划分:只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。（2）连续划分:包括母项和子项三个层次以上的划分,即把一次划分得出的子项作为母项,继续划分子项,直到满足需要为止。（3）二分法:它是每次划分后所得的子项总是两个相互矛盾概念的划分法。它是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类,312\n《小学数学教学论》教案把恰好缺乏这个属性的对象作为另一类。3、划分的规则（1）划分应是相称的就是要求划分后所得的类概念外延的总和等于被划分种概念的外延。违反这一规则,就会犯“多出子项”或“不完全划分”的逻辑错误。例如:A、自然数划分为质数与合数。B、梯形划分为等腰梯形、不等腰梯形和平行四边形。以上两例的划分都是不相称的。例A中划分后的质数与合数的外延之和小于自然数的外延,因为自然数还包括“1”,而“1”既不是质数也不是合数。犯了“不完全划分”的逻辑错误。例B中划分后各个概念的外延之和大于被划分的概念的外延。因为平行四边形不是梯形,犯了“多出子项”的逻辑错误。（2）每一次划分只能用一个根据由于实际的需要不同,划分的根据也就不同。但每次划分不能交叉地使用几个不同的根据,只能用同一个根据划分。否则划分的结果就会混乱不清,达不到划分的目的。例如,把三角形划分为等边三角形、等腰三角形、钝角三角形,这个划分是不正确的,因为这个划分中用了边、角大小的两个不同的根据。这就犯“标准不同一”的逻辑错误。（3）划分的子项必须互相排斥划分后所得的子项的外延不允许交叉、重叠，否则,就会对概念的认识更加模糊。上例中,把三角形按边、角的大小划分为三类,就犯了“子项相容”的逻辑错误。又如,“平行四边形划分为正方形、菱形、邻边不等的矩形”。因为正方形是菱形,这个划分也犯了“子项相容”的错误,而且还漏掉了“邻边不相等的平行四边形”。（4）划分不能越级:在每次划分中,被划分的概念与划分出来的概念必须具有最邻近的种类关系,不能越级或跳跃式的划分。划分应当按照被划分概念所反映的对象具有的内在层次逐一地进行。例如:“把实数划分为整数、分数、无理数”就犯了“越级划分”的逻辑错误。因为整数和分数与实数不是最邻近的各类关系。(六)数学概念的构成数学概念一般由以下基本成分构成：1.数学概念名称就是用语词或符号来给概念命名。如平行四边形、方程等就分别是一些具体数学概念的特定名称。312\n《小学数学教学论》教案2.数学概念定义数学概念定义就是用特定的词语（或符号）对数学概念的内涵和外延作出科学的规定，如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”和“含有未知数的等式叫做方程”就分别是概念“平行四边形”和“方程”的定义。3.数学概念例证所谓数学概念例证是指能反映一类数学对象本质属性的具体事物，数学概念既有肯定例证，又有否定例证（一切包含有概念的共同关键特征的事物叫做概念的肯定例证，反之就是概念的否定例证）。4.数学概念属性数学概念属性是指概念的一切肯定例证所具有的共同本质特征，即通常所指的概念的内涵。如“含有未知数”、“等式”这些都是方程的属性。由于数学概念是用特定的数学语言和符号，以最概括、最简约的方式反映一类数量关系和空间形式共同本质属性的思维形式，所以，所谓数学概念的掌握，其实质就是学生获得同类数量关系或空间形式共同特征的深刻认识和领会的心理过程。在这一过程中，学生在对一类数学对象关键特征理解的基础上，不仅能分辨出概念的肯定例证和否定例证，而且还能区别概念的本质属性和非本质属性，并将概念应用于其他情境。换言之，数学概念的掌握就是把用概念形式反映出来的数学知识内化为学生的数学认知结构，然后在特定的背景下通过数学知识的应用使概念进一步具体化。(七)数学概念学习的基本形式数学概念的学习一般有两种基本形式：一是概念形成，二是概念同化。1.数学概念形成所谓数学概念形成，是指在教学条件下，从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。这种获得数学概念的方式叫做数学概念形成。数学概念形成的过程可以分为以下几个阶段：(1)观察实例。观察数学概念的各种不同的肯定例证，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型事例。例如，要形成平行四边形的概念，可以观察黑板面相对的两条边，立在路边的两根电线杆，横格练习本中的两条横线等。312\n《小学数学教学论》教案(2)分析共同属性，分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。例如，上面的各个实例分别有各自的属性，通过比较可以得出它们的共同属性是：两条直线、在同一平面内、两条直线间的距离处处相等、两条直线不相交、两条直线可以向两边无限延伸等。(3)抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。例如，提出平行线的本质属性的假设是：在同一个平面内，两条直线间的距离处处相等，两条直线不相交。(4)确认本质属性。通过比较肯定例证和否定例证检验假设，确认本质属性。例如，举出平行直线、相交直线和异面直线的例子确认平行线的本质属性。来；(5)概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性，推广到一切同类事物，概括出概念的定义。(6)符号表示。用习惯的形式符号表示概念。例如，平行线用符号“∥”表示。(7)具体运用。通过举出概念的实例，在一类事物中辩认出概念，或运用概念解答数学问题，使新概念与原有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性的联系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。在数学学习中，对于初次接触的或较难理解的概念，往往采用概念形成的学习方式，以减少学习上的困难。例如，对于初次接触“变量”和“函数”的初中学生，可以用概念形成的方式让他们获得这两个概念。如函数概念的学习，一般可采用如下步骤：第一步，让学生分别指出下面例子中的变量，以及变量之间的关系的表达方式：(1)以每小时40千米的速度匀速行驶的汽车，所驶过的路程和时间。(2)用表格给出的某水库的存水量与水深。(3)由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻。(4)任何整数的平方运算中，底数与它的二次幂。第二步，找出上述各例中两变量之间关系的共同本质属性。学生经过多次分析比较后可知，一个变量每取一个确定的值，相应地另一个变量也惟一地确定一个值，是函数的本质属性。同时，前一个变量取值范围的限制，也是它们共同的本质属性。312\n《小学数学教学论》教案第三步，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，辨别若干正反面的例子。例如，在任意正数开平方运算中，被开方数x与平方根y(写成y＝±)，这两个变量的关系就不是函数关系。第四步，在以上几步的基础上，抽象、归纳、概括出函数定义。最后，通过练习、习题等的解答，加深对函数概念的理解，建立起新的数学认知结构，以利于进一步学习。2.数学概念同化所谓数学概念同化，是指在课堂学习的条件下，利用学生认知结构中原有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性，从而使学生获得新概念。这种获得数学概念的方式叫做数学概念同化。用数学概念同化的方式进行概念学习时，要求学生的认知结构中具备一定的概念，并能积极地进行认知活动，将新概念的本质属性与原有认知结构中的适当概念相联系，明确新概念是原有概念的“限定”，并能把它从原有概念中分离出来，把新概念与原有认知结构中的有关概念融合在一起，纳入认知结构中去。例如，学生在学习梯形的定义：“梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形”时，就要主动地与自己认知结构中原有的概念(平行、四边形、四边形的对边)联系起来思考，认识到梯形是原有四边形中特殊的一类，从而明确它的内涵与外延。接着与原有的一些概念(如平行四边形)区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念(四边形)体系中。最后，通过例题的学习以及练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。数学概念同化的学习过程可以分为以下几个阶段：(1)揭示本质属性。给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。例如，学习二次函数的概念，先学习它的定义：“如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。”(2)讨论特例。对概念进行特殊分类，讨论各种特例，突出概念的本质属性。例如，二次函数的特例是：y=ax2，y=ax2+c，y=ax2+bx等。(3)新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。例如，把二次函数与一次函数、函数等联系起来，把它纳入到函数概念体系中。312\n《小学数学教学论》教案(4)实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知结构中有关概念精确分化。例如，举出y=2x2+3，y=3x2-x+5，y=-2x2-4等让学生辨认。(5)具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。3.数学概念形成与数学概念同化的比较由上述可知，数学概念形成与数学概念同化是有区别的：数学概念形成主要依靠的是对具体事物的抽象，而数学概念同化则主要依靠的是学生对新旧知识的联系；并且数学概念形成与人类自发形成概念的方式接近，而数学概念同化则是具有一定心理水平的人自觉学习概念的主要方式。中小学阶段，在低年级，数学概念形成用得比较多，在高年级，数学概念同化逐渐增多，并成为获得数学概念的主要方式，但对较难理解的或新学科(新内容)开始时的一些数学概念，仍采用数学概念形成的学习方式。在数学概念的实际学习过程中，数学概念形成与数学概念同化这两种方式往往又是结合使用的，这样既符合学生学习数学概念时由具体到抽象的认识规律，掌握形式的数学概念背后的事实，又能使学生在有限的时间内较快地理解概念所反映的事物的本质属性，掌握更多的数学概念，提高学习效率。总之，将两者结合，就可扬长避短。(八)影响数学概念学习的因素在数学概念的学习过程中，学生对数学概念的接受和理解的程度往往各不相同。影响数学概念学习的因素很多，其中最主要的有三个：1.学生原有的认知结构学生学习数学概念时，往往是从他原有的认知结构出发，去认识、理解和区分事物的各种联系和性质。就概念形成来说，学生必须具有“刺激模式”方面的有关知识和经验，否则就不可能从中抽象出本质属性。例如，小学生如果没有加法的知识经验，就不可能形成乘法概念。就概念同化来说，要想掌握新概念，学生必须掌握那些作为定义项的概念,否则就失去了与新概念建立联系的前提条件。因此，在数学教学中，为了使学生易于接受和掌握数学概念，教师应先创设学习概念的情境，想方设法唤起学生原有认知结构中的有关知识和经验。2.有关新概念的感性材料和知识经验312\n《小学数学教学论》教案概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象，概念同化主要依赖的是对知识经验的概括。因此，感性材料和知识经验是影响概念学习的重要因素。具体来说，主要表现在以下三个方面。(1)材料或经验的数量从感性材料或经验中抽象概括数学概念，首先要求材料或经验要有足够的数量，如果提供的感性材料或感性经验数量太少，学生不仅不能获得概念的丰富表象，同时也难以区分出一类数学对象的本质属性和非本质属性。(2)材料的典型性心理学研究和教学实践都表明：概念的本质属性越明显、越突出，就越有利于学生对概念的理解和掌握；而概念的非本质属性越多、越明显，就越不利于学生对概念本质属性和非本质属性的辨别，学生就越难理解和掌握概念。这就要求我们在教学中要选择那些能反映本质属性的典型材料说明概念，以此帮助学生实现数学概念的顺利掌握。(3)材料的表现形式感性材料的表现形式对数学概念的学习和掌握也有重要的影响，如果我们提供给学生的感性材料都是一些“标准”的实物或图形，那么学生在概念意义的理解上就难免出现片面性。例如，将等腰三角形的顶点画在左方，底边画在右方时，有的学生就认为它的两腰不在他视线两旁，而错误地说它不是等腰三角形。因此学习数学概念时还应适当选择一些变式材料，让学生从不同角度去全面理解概念的本质属性。如学习等腰三角形概念时，在保留它的本质属性(有两边相等)这一条件下，呈现若干个位置或大小不同的等腰三角形，让学生观察、辨认，这样不仅有助于理解概念的内涵，也容易明确概念的外延，特别有利于应用概念解题(通常解题时使用概念总是就整个图形按其本质属性找出概念所指的那个图形，这时它往往不是标准图形)。3.学生的抽象概括能力抽象是概念形成的必不可少的步骤，概括是概念同化的关键。没有抽象与概括，就不可能形成概念。所以，学生学习数学概念直接受到他们抽象概括能力的制约。第一学段学生只能根据事物的直观形象形成概念，第二学段学生已能利用表象的概括形成概念，而第三学段学生则能通过对一类事物的本质特征和内部联系的概括而获得概念。如果学生的抽象概括能力差，就不能抓住事物的本质属性。不能明确概念的内涵和外延。例如，会出现如下错误，认为｜a｜＝a312\n《小学数学教学论》教案；认为直角三角形的直角边上没有高。由此可见，学生要学好数学概念，就要有一定的数学抽象概括能力。在教学中我们应高度重视学生抽象概括能力的培养，一方面通过数学概念的学习和掌握去促进抽象概括能力的发展；另一方面又通过抽象概括能力的发展去促进数学概念的更好掌握。3.2.2数学命题的学习(一)数学命题学习的及其分类数学中的定理、公式和法则统称为数学命题，将学生对这些知识的学习称之为数学命题的学习。命题学习的涵义一是发现命题。发现命题一般有两大方法：(ⅰ)用实验的方法，如“三角形的内角和是180º”这个命题的发现即可用此方法；(ⅱ)不用实验，而是应用已知的命题，通过推理而发现新命题的方法。如“四边形的内角和是360º”、“凸n边形的内角和是(n-2)×180º”等命题的发现即可应用“三角形的内角和是180º”通过推理而发现。二是理解其语句所表达的复合关系的意义。三是推导或论证命题。四是运用命题在其适应的各种情境中解决问题。数学命题是由概念组成的，反映的是若干个数学概念之间的关系，因此数学命题的学习层次和复杂程度均高于数学概念学习。要学好数学命题，必须以学好数学概念为基础。当然，命题学习反过来又可以加深对概念的理解。可见两者互相联系，不能截然分开。与数学概念的学习一样，数学命题学习也是新旧知识相互作用，并形成新的认知结构的过程。相互作用与变化的内在机制，受新命题与学生原有认知结构中有关知识间相互关系的制约。这种相互关系，也就是两方面的知识在数学知识体系中的相对位置关系。一般来说，新命题与原有认知结构中的有关知识的关系有三种，即下位关系、上位关系和并列关系。1.下位关系如果原有认知结构中存在概括水平或包摄程度高于新命题的相关知识时，那么新命题和原有认知结构中的相关知识就构成下位关系，例如，有关菱形的定理相对于原有认知结构中的相关平行四边形的定理来说，处于下位关系。2.上位关系312\n《小学数学教学论》教案如果新命题在概括水平或包摄程度上高于原有认知结构中的有关知识时，那么新命题和原有认知结构中的有关知识就构成上位关系。例如，一般柱体的体积公式V=sh，相对于长方体、正方体、圆柱体的体积公式就构成上位关系。3.并列关系如果新命题与原有认知结构中的有关知识具有一定的内在联系，但是，既不能构成下位关系，也不能构成上位关系，我们把新命题和原有认知结构中的有关知识的这种关系称为并列关系。例如，不等式的有关定理和原有认知结构中方程的有关知识之间的关系即为并列关系。(二)数学命题学习的基本形式数学命题学习的关键是获得数学概念之间关系的理解，而数学概念之间各种关系的获得又依赖于新命题与原有认知结构中有关知识的联系。由于新命题与原有认知结构中的有关知识的关系有三种，因此数学命题的学习也就有三种基本形式。1.下位学习利用新命题与原有认知结构中有关知识的下位关系获得数学命题的学习形式叫做下位学习。在下位学习中，新命题可以直接和原有数学认知结构中的有关知识发生联系，并直接纳入原有的认知结构中，充实原有的认知结构。也就是说，下位学习中，新命题和原有认知结构的作用方式是同化。例如，学完了一般平行四边形的有关内容后，学习菱形有关知识时就是如此。2.上位学习利用新命题与原有认知结构中有关知识的上位关系获得数学命题的学习形式叫做上位学习。上位学习是通过对已有观念进行归纳、综合与概括，改进原来的认知结构为新的认知结构而完成的。新命题中的概念之间的关系是通过归纳、概括比它层次低的有关知识而获得的。也就是说，上位学习中，依靠的是顺应。例如，由长方体、正方体、圆柱体的体积公式V=abh、V=a3、V=πr2h，通过辨别比较，归纳它们反映的共同特征，概括出包摄程度更高的一般柱体的体积公式V=sh，这就是上位学习。3.并列学习312\n《小学数学教学论》教案利用新命题与原有认知结构中有关知识的并列关系获得数学命题的学习形式叫做并列学习。并列学习的关键在于寻找新命题与原有认知结构中有关知识的联系，使它们在一定意义下进行类比。例如，学习了方程的同解定理后，学习不等式的同解定理，就可以通过类比，建立两者之间的关系，让学生掌握不等式的同解定理。总之，数学命题的学习中，新命题的内容以特殊的方式作用于原有的认知结构，并结合原有的认知结构，而形成新的认知结构。§3.3数学技能的学习3.3.1数学技能的含义及作用技能是指顺利完成某种任务的一种操作性活动方式或心智活动方式。它是一种接近自动化的、复杂而较为完善的动作系统，是通过有目的、有计划的练习而形成的。数学技能是顺利完成某种数学任务的操作性活动方式或心智活动方式。它通常表现为完成某一数学任务时所必需的一系列动作的协调和活动方式的自动化。这种协调的动作和自动化的活动方式是在已有数学知识经验基础上经过反复练习而形成的。如学习有关乘数是两位数的乘法计算技能，就是在掌握其运算法则的基础上通过多次的实际计算而形成的。数学技能与数学知识和数学能力既有密切联系，又有本质区别。它们的区别主要表现为：技能是对动作和动作方式的概括，它反映的是动作本身和活动方式的熟练程度；知识是对经验的概括，它反映的是人们对事物和事物之间相互联系的规律性的认识；能力是对保证活动顺利完成的某些稳定的心理特征的概括，它所体现的是学习者在数学学习活动中反映出来的个体特征。三者之间的联系，可以比较清楚地从数学技能的作用中反映出来。数学技能在数学学习中的作用可概括为以下几个方面：第一，数学技能的形成有助于数学知识的理解和掌握；第二，数学技能的形成可以进一步巩固数学知识；第三，数学技能的形成有助于数学问题的解决；第四，数学技能的形成可以促进数学能力的发展。3.3.2数学技能的分类(一)根据数学活动的内容分，数学技能可以分为：312\n《小学数学教学论》教案1.知识性技能。如计算技能、解方程的技能等。2.操作性技能。如作图技能、测量技能、使用量角器的技能。使用计算器的技能等。3.解题技能。如一题多解技能等。(二)根据技能的表现形式分，数学技能可以分为：1.外部动作技能。如作图技能、测量技能、使用计算工具(算盘、数学用表、计算器、计算机等)的技能。2.内部心智技能。如口算技能、式的恒等变形技能、推理论证技能等。3.3.3数学动作技能的形成过程数学动作技能作为一种外显的操作活动方式，它的形成大致要经过四个阶段：认知阶段；分解阶段；定位阶段；自动化阶段。图示如下：形成熟练动作学习连续动作(自动化阶段)练习单个动作(定位阶段)讲解示范(分解阶段)(认知阶段)(一)认知阶段就数学动作技能的学习而言，在认知阶段中，学生要了解与某种数学技能有关的知识、性能与功用，了解动作的难度、要领、注意事项及动作进程。也就是说，认知的内容包括知识和动作两方面，认知阶段乃是教师讲解示范，学生观察、记忆、想象。(二)分解阶段在分解阶段中，教师把某种数学技能的整套动作分解成若干个局部动作，让学生在教师的示范下逐个学习，从而掌握局部动作的活动方式。学生在这一阶段学习的方式主要是模仿。(三)定位阶段所谓动作定位，就是把前面所掌握的局部动作按照一定的顺序连接起来，使其形成一个连贯而协调的操作程序，并通过多次练习而固定下来。这一阶段动作之间的相互干扰逐步得到排除，操作过程中的多余动作也明显减少，已形成完整而有序的动作系统。312\n《小学数学教学论》教案(四)自动化阶段自动化阶段是数学技能学习的最后阶段，在这一阶段整套动作达到自动化的程度，根本用不着考虑每一个动作及其组合，而是自动完成，形成熟练的技巧。数学动作技能学习，有以下几个特点：1.数学动作技能的学习往往先快后慢，中间有起伏。经过“高原期”(学习成绩暂时处于停止上升的时期，在这时期以后，成绩仍会有提高)之后趋向熟练、稳定。2.动作的控制，经历以视觉为主到以动觉为主的交替过程。3.动作的熟练，依赖于反复练习、强化。4.易受动机、情绪支配。3.3.4数学心智技能的形成过程关于数学心智技能形成过程的研究，人们比较普遍地采用了原苏联心理学家加里培林的研究成果，加里培林认为，心智活动是一个从外部的物质活动到内部心智活动的转化过程，即内化的过程。据此，我们可把数学心智技能学习的过程分为四个阶段。(一)认知阶段这是数学心智活动的认知准备阶段。主要是让学生了解并记住与活动任务有关的知识及事项，明确活动的过程和活动的结果，构成关于活动本身与活动结果的表象。这一阶段，实际上是知识学习、法则学习。因此，一般说来，数学教学中技能的学习是要以知识的理解为其前提的，如果不理解，就较难形成与此有关的技能。例如，要形成“利用公式S=(a+b)h÷2计算梯形面积”的技能，必须先理解什么叫上底、下底和高及其四则运算法则等知识，还要掌握利用公式S=(a+b)h÷2计算梯形面积的步骤。(二)示范、模仿阶段学生在教师的示范下，领会与理解数学技能，并根据教师的示范模仿着进行数学活动，以获得数学技能。例如，讲“运用乘法分配律进行简便运算”，教师要用具体例子进行示范，边讲边写在黑板上，然后学生就能模仿着进行运算。(三)有意识的口述阶段312\n《小学数学教学论》教案学生进行数学活动时，不用模仿就能自己进行言语表述，往往是边说边做，在这一过程中，学生对于活动方式是明确意识到的。(四)无意识的内部言语阶段学生不自觉地运用运算法则进行运算，运算过程的进行和运算法则的运用完全自如了。这一阶段，学生已掌握了心智技能，对于技能所涉及的数学活动达到了熟练的程度。这时刺激和反应几乎同时发生，中间不用有意识地思考。上述数学心智技能形成的四个阶段，实质上是从活动定向、表象依托、外部言语到心内语言的发展过程。在最后的内部言语阶段，心智活动已经简化和自动化，达到了无需意识参与活动的程度。§3.4数学问题解决的学习3.4.1数学问题和数学问题解决的涵义（一）数学问题的涵义1.什么是数学问题数学问题是指人们在数学活动中所面临的、不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。例如，学生学习了圆面积以后，面临以下问题：图中正方形的面积是8平方厘米，求阴影部分圆的面积。由于无法直接用圆面积公式进行解答，对于学生来说就构成了一个数学问题。就信息加工而言，数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的，那么这个系统对学生来说就不是问题系统了，而是一种稳定系统。数学问题有三个显著特征：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，问题必须能对学生构成挑战或认识上的障碍；二是探究性，即问题不能按常规思路去套，迫使学生去探究新的解决方法；三是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。2.数学问题的结构312\n《小学数学教学论》教案数学问题作为一种有待加工的信息系统，它主要由以下三种成分构成。(1)条件信息。条件信息是指问题已知的和给定的东西，它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号、应用题中的已知数量和其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。(2)目标信息。目标在这里是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所说的要求什么。如问题“课外活动时，体育委员到保管室领球，按5个人一个篮球、8个人一个排球、10个人一个足球计算，一共要领17个球。全班共有多少人参加课外活动？篮球、排球、足球各要领多少个？”中的“全班共有多少人参加课外活动”和“篮球、排球、足球各要领多少个”就是问题给定的目标信息。数学问题一旦由问题状态转化为目标状态以后，它就不再是一个问题系统了。如在上例中，未求出全班参加课外活动的人数和三种球的个数以前它是一个问题系统，一旦求出答案达到目标状态以后，它就是一个稳定系统了。(3)操作信息。操作在这里是指允许对条件所采取的行动，即可以采取哪些方式把数学问题由问题状态转化成目标状态，它是问题求解的依据。（一）数学问题解决及其特征根据数学问题的涵义，数学问题解决是指学生在新的情境状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。数学问题解决是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新情境中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程。数学问题解决具有以下基本特征。第一，数学问题解决指的是学生初次遇到的新问题，如果是解决以前解过的题，对学习者来说就不是问题解决了，而是做练习。第二，数学问题解决是一种积极探索和克服障碍的活动过程。它所采用的途径和方法是新的，至少其中某些部分是新的，这些方法和途径是已有数学知识和方法的重新组合。这种重新组合通常构成一些更高级的规则和解题方法，因此数学问题解决的过程又是一个发现和创新的过程。第三，数学问题一旦得到解决，学生通过问题解决所获得解决问题的方法就成为他们认知结构的一个组成部分，这些方法不仅可以直接用来完成同类学习任务，还可以作为进一步解决新问题的已有策略和方法。312\n《小学数学教学论》教案3.4.2数学问题解决的心理分析数学问题解决的过程是一个复杂的心理活动过程。学生在数学问题解决的过程中，并不仅仅是简单地、机械地、直接地运用已知的信息(已知条件、定义、定理)，而是要对信息进行加工处理，从认识问题的基本关系与内部关系开始，重新组合已知概念、定理，调节题目中基本元素的关系，探索解题途径，从而发现有效的方法。因此，数学问题的解决对于强化学生已有知识的掌握，提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学意识、探索精神和创新能力等方面都具有重要的作用。一般来说，数学问题解决是在一定的问题情境中开始的。所谓问题情境，是指问题的刺激模式，即问题是以什么样的形态、方式组成和出现的。其内涵包括三个方面：第一，个体试图达到某一目标；第二，个体与目标之间存在着一定的距离，这将引起学生内部的认识矛盾冲突；第三，有激起个体积极的心态，即产生思考、探索和达到目标的心向，从而激发学生积极主动的思维活动。问题情境起着解决问题的思维定向作用，使学生集中注意力于问题解决的探索过程中。在数学问题解决的探索过程中，往往会出现试误与顿悟两种方式。所谓试误式是对头脑中出现的解决问题的途径进行尝试，一次次纠正尝试中的错误，直至发现问题解决的途径。当遇到没有弄清意义或辨不清意义联系的问题时，用尝试错误去解决问题是不可避免的。所谓顿悟式是经过长时间的激烈思考，由于受到某种情境的启发而突然出现灵感，偶然的思想在心里瞬时冒出来，问题便不知起因地得到解决。如鲁班发明锯子，阿基米德称皇冠。顿悟式解题要求问题的初始状态、目标状态与解题者的经验、认知结构有着非人为的、实质性的联系，这种联系建立得越牢固，顿悟越容易产生，它是直觉思维能力在解题过程中的体现。试误与顿悟并不绝对分开，在同一探索过程中，这两种方式常常交替进行。如果问题得到解决，那么在初始状态和目标状态中有着或多或少的中间环节，中间环节的完成或者依靠试误，或者可能产生顿悟。寻求解决问题的方法，不是简单地利用已有信息（问题的条件、已有的知识经验等），而是对这些信息进行加工。加工的基本思想是“变更问题”，使“已知”与“所求”愈来愈接近。而变更问题的基本方法包括：(1)312\n《小学数学教学论》教案变更问题的条件或目标；(2)使问题特殊化；(3)使问题一般化；(4)找出适当的辅助问题；(5)分开条件的各部分，重新组合，等等。例如，五筐梨，每筐重量一样多，从每筐中拿走12千克，剩下的梨正好是原来的两筐梨的重量。每筐梨重多少千克？这个问题若是拘泥于条件“剩下的梨正好是原来两筐梨的重量”，就无法填补条件和目标间的差距，如果将这个条件变更为“拿走的梨正好是原来（5－2）筐梨的重量”，学生一下子就作出了解答：12×5÷（5－2）＝20（千克）。又如，小明算加法，把一个加数十位上的3当作8，个位上的7当作1，结果加得和为273，问正确的和应是多少？变更问题的条件：将条件“把一个加数十位上的3当作8”变更为“273比正确的和多了10×（8－3）＝5O”，将条件“把个位上的7当作l”变更为“273比正确的和少7－1＝6”，从而进一步将两个条件变更为“273比正确的和多5O－6＝44”，于是达到了变更后的目标，而求得正确的和为273－44＝229。3.4.3数学问题解决的一般过程数学问题解决是一个连续的心理活动过程。这个过程通常反映为以下四个基本步骤。(一)弄清问题弄清问题是数学问题解决的第一步。这一步主要是学习者明确问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象。具体来讲，在这一步先感知问题通过文字描述、画面或其它形式所提供的信息，了解问题给定了哪些已知条件和有用的东西，在此基础上明确问题中有哪些可供利用的有用信息；然后进一步了解问题所提供的目标信息，即知道要解决什么问题，由此在头脑里形成问题事件的表象，明确问题的初始状态和所要达到的目标状态。弄清问题时要注意对问题的已知条件和问题的初始状态有全面而完整的认识，尤其是那些综合性强、关系复杂的数学问题，要注意发现问题中的隐藏条件，充分搜集有用的信息，这对实现问题的解决有重要的意义。例如，在问题“大数和小数的差是80.1，小数的小数点向右移动一位就刚好与大数相等，大数和小数各是多少？”中，大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息，题中就没有直接告诉，而是隐蔽在“小数的小数点向右移动一位就刚好与大数相等”312\n《小学数学教学论》教案之中，需要学习者自己去发现。另外，弄清问题时不要忽视问题目标的导向作用，要根据目标信息去搜集条件信息，这样不仅可以更容易获得使问题达到目标状态的所有有用信息，同时还可以有效地排除无用信息的干扰。(二)寻求解决这是一个根据前面获得的条件信息、目标信息、问题的初始状态及学习者头脑里形成的问题目标、状态选择解题方法，制定求解计划的过程，这是实现问题解决的关键一步。这一步是一个复杂的心理活动过程，要连续完成以下几方面的任务。1.问题类化问题类化在这里是指把问题中的主要内容同学习者原有认知结构中有关的数学知识和方法联系起来，并把这些已有的知识和方法作为重新组合成解决问题的新方法的依据和基础。如在上例中，这一步就是讲问题中的内容同原来已掌握的“小数点位置移动引起小数大小变化规律”、“解答差倍问题的方法”等内容联系起来，让这些内容在学习者头脑里处于激活状态，为后面确定大数和小数的解题方法作好准备。如果问题内容太复杂、太抽象，一时难以类化，就应采取适当的措施降低难度，使问题同学生原有认知结构中的有关内容建立起联系。其方法一是可以利用实物、模像或图示等直观手段，使问题中的隐蔽条件明朗化；二是可以利用适当改变问题内容的叙述方式，将逆向表述的问题变成顺向表述的问题，使问题内容同学生原有认知结构建立起直接的联系。2.寻找解决问题的突破口寻找解题的突破口，在这里包含两方面的任务：一使抓住问题解决的关键，找到解题的主攻方向；二是明确从什么地方入手去解决问题，确定解题思维的起点。这一步对整个解题过程至关重要，它是问题能否实现顺利解决的关键。由于解决问题时所采用的思维方法和思维起点不同，所以这一步在具体实施的过程中具有相对的灵活性，有些问题可以从目标入手去找问题解决的条件，有些问题应当从条件入手通过条件的组合去实现问题的解决，有些问题需要将两者结合起来思考找出问题解决的办法。到底从什么地方入手去解决问题，要根据不同数学问题的具体情况和学习者的思维习惯及发展水平去定，不能一概而论。3.确定解题步骤312\n《小学数学教学论》教案确定解题步骤是指学生在头脑里拟出问题求解的具体操作程序，即确定先求什么，再求什么，最后求什么，并不是要求学生写出书面的解题计划。从解决问题的思考过程来讲，这一步主要是一个确定解题思维发展方向的问题，即在前面已经确定的思考起点的基础上进一步确定出整个解题过程应沿着什么方向思考下去，以保证解题时思维目标信息确定的方向顺利进行。解题时思维过程的发展方向是直接受思考起点制约的，同一问题如果思考起点不同，思维过程展开的方向也不同。例如“小明读一本故事书，第一天读了全书的25%，第二天读了余下的2/5，还剩下45页没有读。这本故事书一共有多少页？”制定求解方案时，如果以求二天所看页数占全书总页数的分率为突破口，其思维过程就可以沿着“第二天看了全书的几分之几→剩下的45页占全书总页数的几分之几→全书共有多少页”的方向展开；如果以求第一天看后还剩下的页数为突破口，就先把第一天看后还剩下的页数看作单位“1”，然后再把全书总页数看作单位“1”，其思维过程是：先求出第二天读2/5后剩下的45页对应的分率，再求第一天读后剩下的页数，紧接着求第一天读25%后还剩下百分之几没有读，最后求出全书的总页数。确定解题步骤时，不管以什么为思考起点和沿着什么方向展开思维，都要注意两点：一是要注意问题目标的导向，思考的方向始终要朝者问题的目标状态展开；二是思维活动不能脱离数学问题所给定的条件，只能在问题的运算信息所允许的范围内进行。(三)实施解答实施解答就是将前面所制定的解题计划付诸实践，使问题达到目标状态。它要求学习者按照既定的解题思路有序地进行推导、运算、操作，直到得出正确的答案。这一步既是一个执行解题计划的过程，同时也是一个检验和修正解题计划的过程。解题时如果发现前面所制定的求解计划和解题思路不当或者不简便，应及时修正，以减少解题过程中的失误，使问题比较顺利地达到目标状态。(四)回顾评价回顾是指学习者对自己的求解过程和结果进行检验；评价则要求学习者分析自己选择的解题途径是否合理、简捷，推理是否严谨，再进一步探究一下这种方法能否运用于其它问题。312\n《小学数学教学论》教案回顾评价是构成数学问题解决过程的一个不可缺少的步骤，它对学生反省解题过程，保证解题过程及结果的正确性，提高学生的自我反思和评价能力都具有十分重要的意义。3.4.4影响数学问题解决的因素影响数学问题解决的因素很多，总的来说，主要有以下三方面：(一)问题情境因素1.问题的不同类型（选择题、填空题、计算题、证明题等）和难度（简单计算、混合计算、实际问题等），是影响学生数学问题解决的重要因素。面临性质不同、复杂程度相异的问题，学生运用思维的方式、对问题思考的紧张程度和解决问题的速度都会不同。对于中小学生来说，对问题的具体理解直接影响着问题的解决，特别是当他们对问题所涉及的领域很陌生的时候，问题的具体化就成了促进问题解决的重要因素。2.问题的陈述方式及知觉图示的难易程度，也会直接影响问题的解决。题目的文字说明要求学生有较好的语文基础和数学基础才能理解。对于图形题目，则要求学生有较好的图形知觉能力才能识别。如下图，求图中阴影部分三角形的面占大三角形面积的几分之几，右图就比左图难，这是因图形对知觉的影响而造成的。(二)学习者的个人因素l.知识经验基础是否坚实，影响着学生对问题性质的识别和变更问题的能力，而这正是数学问题解决的核心。没有坚实的知识经验基础，数学问题的解决是困难的。2.学生的心理特点，特别是智力水平和个性品质，直接影响着数学问题解决的效率。高智力的学生具有较强的逻辑推理能力、理解能力、分析能力和记忆力，数学问题解决比较容易获得成功，智力水平低的学生数学问题解决则容易遭到失败。有正确学习目的、富有创造精神、爱钻研、有毅力的学生，解决问题比较容易获得成功，反之，缺乏这些品质的学生，在解决问题的过程中往往遇难即退，因而成功率较低。(三)解题策略的运用312\n《小学数学教学论》教案解决问题的策略“是指解决问题的人用来调节他们自己的注意、学习、回忆和思维的技能”。研究表明，采用如下一些策略，往往能有助于解决问题：1.突破常规，产生不同寻常的新看法或新想法；2.改变思考问题的方向；3.摸清问题的要点；4.多角度、多方位考察问题；5.联想与问题有密切关系的事实和条件，等等。§3.5数学学习理论及其对数学教育的影响3.5.1数学学习心理研究简介数学学习研究一般采用两种方式，一种是从一般心理学的理论出发，去对数学学习的具体问题作解释与分析；另一种是尽可能从数学学习的具体过程出发，研究学生学习的真实心理活动，分析其认知过程、机制及心智变化，逐步形成具有自身特点的数学学习理论。尽管国际数学教育委员会（ICMI）属下的“国际数学教育心理学研究组织”（简称PME）极力倡导第二种方式，但从当前研究的实际状况看，很难加以区分．特别由于现代教育心理学理论有了长足的进展，我们更应重视运用其丰富的理论框架和多样化的学术视角对数学学习心理规律作深入地认识。1、数学学习理论的发展在20世纪，数学学习理论经历了从行为主义到认知主义的发展历程。20世纪上半叶，行为主义占主导地位，其基本立场是：学习研究不应涉及不可能观察到的心理过程，而只应局限于可见的行为，这样的研究才是科学的。美国心理学家桑代克是行为主义的代言人，他提出了“刺激—反应联结”312\n《小学数学教学论》教案，这种联接是直接的、无中介的。是在反复尝试（不断摒弃错误反应，保留正确反应）中所形成的。他在实验的基础上提出了三条学习定律：准备律、练习律和效果律．在1922年出版的著作《算术的心理学》中他指出，算术学习无非是一组针对某种数量和关系的特殊化的行为习惯。桑代克的观点为数学中的机械联系和训练提供了一定的依据。行为主义代表人物斯金纳进一步发展了行为主义的主张，提出了操作性条件原理，认为单纯的练习不能保证行为的重复出现，应借助于操作性条件的作用，而这种作用的形成取决于强化。由此他提出了“刺激——反应——强化”的学习模式，并设计了教学机器和程序教学。斯金纳的理论，为以后教育技术学的发展奠定了一定的基础。20世纪下半叶，随着学习心理研究的不断深入，行为主义忽视了学习的内在心理过程的严重缺陷已日益明显，越来越多的心理学家转向关注学习的内在过程，这促成了认知主义学习理论的形成。德国的格式塔是早期的认知主义代表（格式塔是一个德语词，亦即完形），其核心人物有韦特海默、考夫卡、苛勒等．该学派主张思维是整体的有意义的知觉，他们以“完形”为基本概念，强调从整体上认识学习的本质，并提出了顿悟学习理论．早期对认知理论的形成施以影响的还有托尔曼，他所提出的“中间变量”（即学习主体的“内在机制”）的思想，成为其学习理论的核心概念。瑞士心理学家皮亚杰是当代认知主义的重要代表人物，他对心理的发生发展、认知结构及其机能等问题进行了深入研究，并提出了著名的认知建构理论、认知发展理论。“运算”（即思维操作）是皮亚杰理论中的关键概念，他据此将儿童认知发展分为四个主要阶段，即感觉——运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段，并讨论了各阶段认知发展的基本特征及相互联系。皮亚杰在《发生认识论原理》一书中提出“同化”和“顺应”的概念，被人们普遍运用于解释学习中的认知发展．他尤其对数学学习特有的心理特征给予了关注，他甚至运用数学方式定义了其认知理论中的一些概念（如思维结构、自反抽象等）。从20世纪六、七十年代开始，数学学习理论中的认知主义取代了行为主义已成为必然趋势。布鲁纳提出了发展学习理论，强调学习进程是一种积极的认知过程，提倡知识的发现学习。他进行了大量的数学学习实验，并从中总结出四条数学学习原理，即建构原理、符号原理、比较和变式原理、关联原理。此外，奥苏伯尔提出了“有意义学习”理论，加涅提出了“信息加工”学习理论。正是如此众多的认知学习理论的出现，使数学心理研究范式发生了重要转变，并预示着认知理论将会有新的发展。2、建构主义的学习理论及其影响建构主义是行为主义发展到认知主义以后的进一步发展，它在吸收众多学习理论，尤其是在皮亚杰、维果茨基思想的基础上发展和形成的。建构主义对“什么是学习活动的本质”从整体上及一定的认识论角度做出了科学的分析。312\n《小学数学教学论》教案尽管建构主义有诸多流派，但对学生学习有如下共识：（1）学习是一个积极主动的建构过程，学生不是被动地接受外在的信息，而是根据先前认知结构主动地和有选择地知觉外在信息，建构其意义。（2）课本知识并不是对现实的准确表征，它只是一种解释，一种较为可靠的假设，学生对这些知识的学习是在理解基础上对这些假设作出自己的检验和调整的过程。因此，知识可以视为个人经验的合理化，而不是说明世界的真理。（3）学习中知识建构不是任意的，它具有多向社会性和他人交互性。知识建构的过程应有交流、磋商，并进行自我调整和修正。（5）学生的学习过程是多元化的，由于对象的复杂多样化、学习情感的某种特殊性、个人经验的独特性，使得学生对对象意义的建构也是多维度的。建构主义学习理论对指导数学学习有多方面的意义：首先，应该用建构主义观点看数学．数学本身也是主体建构的产物，它应该是活的、动态的、开放的、表现多维度的、并非绝对正确的数学活动的结果。这样的数学观将直接导致数学课程观和教学观的变化。其次，应强调知识学习是一个建构过程，必须突出学习者的主体作用。教师的讲解不能将知识传输给学生，教师只能通过组织者、合作者和引导者的身份，使学生主动参与到整个学习过程中去。此外，应更加关注学生学习的个性化特征，使其在知识学习中获得合理的个人经验的内化。但是又要看到知识的建构不仅是个人的，也是社会的。因此，课堂上师生的交互和共同的活动显得至关重要。“学习共同体”的形成以及对课堂社会环境和情境的营建成为获得数学学习成效的重要途径。3、几种值得学习借鉴的新学习理念诚如学生对知识的学习是一种主体的建构一样，人们对学习心理发展规律的认识也是一种主体建构，这就必然形成对学习心理发展的多元化认识，促使若干新学习理念不断出现。比如，加德纳的“多元智力论”，认为每个人都或多或少具有多种智能（目前已提出九种），每个人都有自己的优势智力所在，它试图通过扩大学习的内容领域与知识的表征方式促进以往被忽视的智能的开发，充分发挥每个人的潜能；斯滕伯格的“成功智力说”，将成功引入智力研究范围，试图从智力活动的产品在现实中成功与否的角度评价智力；“交往教学理论”则把教学过程视为交往过程，注重师生交互的改进，强调学生个性的“自我实现”……312\n《小学数学教学论》教案凡此种种，为我们从更新的角度、更深的层次、更广的维度认识数学学习与身心发展的关系提供了更富有时代内涵的理论依据，值得深入学习探讨。3.5.2数学学习理论对数学教育改革的启示学校教育的首要职能是促进学生的发展，新的数学课程的构建必须摆脱只关注数学学科内容体系和结构的束缚，真正把人的发展放在首要位置。必须以促进学生自主、全面和可持续发展为目的。研究表明，每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，关键是课程内容中要提供好的素材，以促进学生的这种发展。根据学生身心发展的规律，儿童有一种与生俱来的以自我为中心的探索欲和好奇心，要充分和适当利用儿童的这种心理特点。因此，数学课程应该选取那些对学生来说具有现实意义的、与生活实际相联系的内容。研究表明，学生的发展总体上具有阶段性，从小学到初中再到高中，其思维有一个逐渐抽象的过程。在课程中应该充分考虑儿童心理发展的水平，一次抽象完成不了的课题可以通过反复出现、多次抽象来完成。教科书应给学生提供生动、有趣的素材，以帮助他们理解。教学中应重视学生的直接经验，重视第一手材料，为学生的数学学习提供具体形象的认识支柱。学生总爱把自己当成探索者、研究者、发现者，并且往往是当自己的观点与集体不一致时，才会产生要证实自己观点的欲望，所以课程内容在难度上要具有一定的挑战性。但是提出挑战并不意味着要难倒学生，而是激励学生在学习过程中不断地去获得成功的体验。因此，课程内容应处于学生“最近发展区”的范围之内，让成功感始终伴随学生学习的旅程，以保证学生不会因过多的失败而放弃他们的努力，失去发展的机会。学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”312\n《小学数学教学论》教案活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为有效的知识。以学科知识为中心的课程按公理化的体系，用成人的逻辑将整理好的知识呈现给学生，必然形成学生被动吸收、机械记忆、反复练习、强化贮存的学习习惯和方式。要想改变学生的学习方式，一方面要改变教科书的形态，在呈现方式上有大胆的突破；另一方面，教师要本着学生是学习的主体，在课堂上开展学生之间、师生之间名副其实的交流，鼓励学生通过各种活动，进行各种观点之间真诚的交锋，使学生从经验中、活动中，通过思考与交流有目的地、有意义地建构属于他们自己的知识结构，获得富有成效的学习体验。同时要利用现代教育技术，加强计算机辅助教学的应用，使学生的学习变得更主动和更有生气，从而更加有效。学习心理学的研究表明，学生在发展上是存在差异的，要求没有差异就意味着不要求发展，因此，课程在评价上应把评价的对象从对学生的认知评价扩展为全面地、综合教育质量的评价。应建立多方面发展的评价体系，包括学习能力、态度情感、实践能力和学习方法等。除了采用多样化评价方式外，还应强调评价者和被评价者的主动参与，特别是应提供学生解释与评价自己学习结果的权利，允许学生的答案与教师的不同、学生与学生之间的答案不同。应该让评价为学生自由发展创造足够的空间，实现不同的人在数学上获得不同的发展。六、思考题1、小学生数学学习有哪些特点？2、儿童数学认知的基本方式是什么？3、举例说明数学概念学习的两种基本方式：概念形成和概念同化。4、举例说明数学命题学习的三种基本方式：上位学习、下位学习和并列学习？5、试述数学技能的形成过程。6、简述数学问题解决的思维活动过程。第四章小学数学课堂教学过程与方法一、教学目的通过本章的学习，使学生了解数学课堂教学过程和数学课堂教学活动诸要素及其关系；了解小学数学课堂教学特征和小学数学课堂教学活动的基本构成；并掌握小学数学教学方法。二、教学重点、难点重点和难点都是小学数学课堂教学活动的基本构成和小学数学教学方法。三、教学方法讲授、讨论、选择典型课到小学见习，交流见习报告312\n《小学数学教学论》教案四、教学内容本章主要内容：l数学课堂教学过程的基本要素分析l小学数学课堂教学特征l小学数学课堂教学活动的基本构成l小学数学教学方法。五、教学过程§4.1数学课堂教学过程的基本要素分析4.1.1数学课堂教学活动诸要素1.教学对象——学生数学课堂教学活动是为学生组织的。没有学生就没有组织数学教学活动的必要与可能。学生是学习的主体，是数学教学活动的根本因素。学生这个因素主要指的是学生的身心发展水平、已有的知能结构、个性特点、能力倾向和学习前的准备情况等。2.教师教师是数学活动的组织者，也是对学生进行数学学习的引导者。在教学活动中，学生方面必然也有时多时少的自学活动成分。但这种自学是在教师指导下的活动，仍属数学教学活动的组成部分，而且在教学活动中还要依靠教师来发挥主导作用。教师这个要素主要指的是教师的思想和业务水平、个性修养、教学态度、教学能力等。3.数学教学目的组织数学课堂教学活动是为了达到一定的教学目的。教学活动是有目的的活动。所以，数学教学目的也是数学教学活动必不可少的要素之一。这里说的目的是广义的。目的有远的、有近的$312\n《小学数学教学论》教案有比较抽象的，有比较具体的。它所包括的范围大小也可能很不一样，大之如一个现代公民应具备的数学素质标准和各级各类人才的培养规格，中之如数学学科该完成的教学任务，小之如一个学习单元或一节课所完成的具体目的，乃至学生方面的学习动机，都可以包括在教学目的这一要素的含义之内。4.数学课程、教材教学目的凭借什么去完成?在数学教育中主要凭借数学教学内容，或者说是数学课程。这是数学教学活动中最有实质性的因素。它指的是一定的数学知识、技能、数学思想、方法、数学问题（例、习题）等方面内容组成的结构或体系。具体表现为数学课程方案、教学大纲《数学课程标准》和具体的数学教材一一文字的及音像的。我们可以把所有这些包括在课程这一要素的范围之内。5.教学方法教师怎样根据并运用课程教材来使学生学习，从而达成教学的目的?这就必须依靠一系列方法。所以方法也是教学活动的一个要素。这里所说的方法是广义的。它包括教师在课内和课外所使用的各种教学方法、教学艺术、教学手段和各种教学组织形式。不管它们是具体的、显见的，或者是潜移默化的。6.教育环境有一个常被人忽略甚至无视的教学要素就是教学环境。任何教学活动都必须在一定的时空条件下进行。这一定的时空条件就是有形的和无形的特定的教学环境。有形的教学环境包括校园的内外是否美化、教室设备和布置是否齐全、合理与整洁，以及当时气候与温度的变化等等。无形的环境包括师生之间、同学之间的人际关系，校风、班风，还有课堂上的气氛等等。所有这些环境条件既然是教学活动必须凭借而无法摆脱的，因此它就必然构成教学活动的一个要素，不管你承认它还是不承认它。一般教学论者都不把它作为一个教学要素，因而不注意加以认真研究，这是一个很大的失误。7.教学反馈数学教学是在教师与学生之间进行信息传递的交互活动。这种信息交流的情况进行得如何，要靠反馈来表现。不注意反馈的教学是寡效的。寡效也仍是反馈的一种表现。对于反馈，过去从事数学教学工作的人也是较少注意的。这可能是因为反馈有时表现得不是那么明显、具体，从而易被忽略。也可能是因为过去一般过于强调教的一方面，比较忽视学的一方面的缘故。不管怎样，不承认反馈是数学教学活动的要素之一，也是对数学教学活动认识上的片面性的一种表现。312\n《小学数学教学论》教案4.1.2数学教学各要素之间的关系以上七个要素之间的关系是相互影响的。情况是错综复杂的。现在试就它们之间的关系，概要地加以分析。学生是学习的主体。所有的数学教学要素都是围绕着学生这一主体来组织安排的，数学教学质量与效果也是从学生身上体现出来的。因此，学生是数学教学活动的出发点，也是教学活动的落脚点。在整个数学教学活动中，学生占着中心的地位。数学教学目的一方面受社会发展、数学的特点所制约，另一方面受学生本身的发展所制约。在两重制约的结合点上形成了不同层次的教学目的。数学教学目的形成之后，它又制约着数学教学活动的全过程。可以说，数学教学活动的全过程都是为达成数学教学目的而进行的。但直接受其制约的是课程、教材与方法。也可以说，数学教学目的主要是通过具体的课程与方法而实现的。再就数学课程与教材来说，课程受制约于教学目的，当然也受制约于决定目的的上述两种条件一一社会的发展与人本身的发展。而后二者不仅决定着数学教学的方向，同时也决定着数学课程的具体内容。这也就是说，直接制约着数学教学内容的是社会的需要、文化科学技术发展的水平，和学生身心各方面发展的程度。而课程形成之后，就成为数学教学活动中最具有实质性的东西，占有特别重要的地位。至于说到教学方法，它主要受制约于数学课程和学生。它是为把课程的内容化为学生的知识、能力、思想、感情，从而达成教学目的而服务的。在方法的进程中，它必然也要受到教学环境客观条件的制约。方法是由教师来掌握的。因之，教师的教学能力水平，对于方法的效果来说，产生着关键的作用。教学环境主要受制约于外部条件。这些条件包括物质的和精神的，可控制的和不可控制的。教师有责任来和学生一起，尽量创造、控制环境，使环境对于数学教学活动产生有利的影响，减少或避免不利的影响。由此可以看出，环境在一定程度上制约着数学教学过程；同时教师和学生也可以在一定程度上去制约教学环境。312\n《小学数学教学论》教案关于反馈。数学教学活动的反馈是师生双方主要围绕着课程和方法而表现出来的。如前所述，由于它容易被人忽略，加之有时表现得不那么显著，具有一定的弹性，因此特别需要教师有意识地观察掌握。最好能见微而知著，及时地做出自己的反馈，来影响数学教学的进程。所以，反馈虽然是师生双方自然而然地表现出来的，但重要的是要靠教师有意识地去捕捉来自学生方面的反馈。除了包括数学测验与考试等的教学评价以外，教师对学生课外特别是课堂上表现的观察，也是捕捉反馈信息的一条非常重要的渠道。只要数学教师认识到反馈这一要素，承认其重要性，并经常注意这一问题，他们就可以获取这方面的大量信息，并以之作为一种重要的参照系数来改进数学教学工作。最后我们再就教师这一角度来看。以上六个要素都对教师发生影响。也可以说，它们都在一定程度上制约着数学教师的活动。或者说，它们大都是通过教师来影响到学生的学习活动的。既然它们大都通过教师这个中介，那么，教师就可以在整个教学过程中发挥他的主动性，去调整、理顺各要素〈包括教师自己这个要素〉之间的关系，使其达到最优化的程度，以收取最大的教学效果。正因为教师处于这样一个关键的地位，所以我们才承认教师在教学活动中起着主导作用。当然，这种主导作用所产生的教学效果如何，我们最终还得从学生方面来检验。因为学生是学习的主体。§4.2小学数学课堂教学特征课堂是构成教师与学生数学活动的基本空间，缺失任何一个主体参与，就不能构成小学数学课堂的数学活动。于是，分析在课堂学习的意义以及在课堂活动中人的相互作用的过程与方式，就成为了研究小学数学学习的一个基本的方面。4.2.1小学数学课堂教学意义所谓小学数学的课堂教学，就是指学生在教师有意识、有计划的组织和引导下，并在一定的时间和空间的内的一种定向的数学学习活动过程。（一）数学课堂教学过程就是数学的活动过程数学课堂活动不是简单的将知识通过教师的传授“复制”给学生的过程，而是学生通过自己的观察、猜测、比较、尝试、推理、抽象、交流等一系列的活动过程，是学生在自己的现实经验基础上，通过主体实践而不断地“数学化”的过程。312\n《小学数学教学论》教案正如多尔所说：现代的课堂教学活动更要求具有丰富的多样性、疑问性和启发性，并需要达成一种促进探索的课题气氛。因此，课堂教学活动并不是单纯的解题训练，现实的和探索性的数学活动要成为数学学习内容的有机组成部分，数学课题学习活动要成为数学学习重要形式。课堂教学应该是从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学实践活动和交流的机会，使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。（二）数学课堂教学过程就是师生以数学问题为媒介的相互作用过程在数学课堂教学过程中，教师与学生之间是一个“交互主体”的关系，由于教师担负着引导学生参与数学活动，理解数学内涵，获得数学知识的责任，而教师作为一个知识的承载者，学习的先行者，活动的促进者，凭借着自己的经验、认知、技能和能力水平相对于学生要丰富和丰实，自然就应成为一个课堂教学活动的主体——一个课堂活动的设计者、组织者和参与者。但是，学生在课堂活动中并不是一个简单的生物受体，他们在参与课堂活动之前，也有着自己的生活世界，也有着自己的经验和对现实的理解，他们是实凭借着自己已有的经验、认知和能力参与课堂活动的，因此，学习什么感兴趣？用什么方式去学习？选择什么样的过程去学习？这些都是由学生自己决定的，所以，学生也是一个主体。由此，师生之间就构成了一个课堂活动的“学习共同体”。课堂活动就成为在这种真正的现实的生活世界内，师生之间持续交互的过程。（三）数学课堂教学过程就是师生共同发展的过程课堂教学活动不仅是促进儿童发展的过程，也是师生共同发展的过程。在现代的课堂教学活动中，教师已经不再是一个完全的学习活动的预设者、控制者和权威性的评判者，更多的是一个学习的引导者、促进者和参与者。因此，这种在对话与分享基础上的以“沟通”和“合作”为本质的课堂活动中，不仅促进了儿童的情感、知识与能力的发展，也促进了教师的专业化的发展。4.2.2小学数学课堂教学活动中的师生参与因为课堂教学是一个师生共同参与并积极交互的过程，因此，分析在课堂学习中人的相互作用的过程与方式就成为了研究小学数学学习的一个基本的方面。（一）小学数学课堂教学过程中的学生参与课堂教学过程的一个重要方面就是学生的参与，因为学生是构成课堂教学的主体要素之一，因此，现今已将“学生参与”作为描述和评价课堂教学的一个主要的指标。312\n《小学数学教学论》教案1、学生参与的含义所谓学生参与，主要就是指学生在课堂学习过程中的身心投入，它反映的是学生在课堂学习过程中的心理活动方式和行为努力的程度。有人认为这种投入可以分为行为参与、情感参与和认知参与。行为参与主要是指学生在课堂学习过程中的行为表现，认知参与主要是指学生在课堂学习过程中通过学习方法所表现出来的思维水平与层次，而情感参与主要是指学生在课堂学习过程中所获得的情感体验。学生的行为参与是一种最基本的课堂参与形态，它往往是外显和可测的。如学生是否有积极主动的行为表现？学生参与课堂学习的行为密度如何？学生在课堂学习过程中能否主动发现、认真听讲、积极提问和不断思考？如此等等。在同样的课程和同样的教学组织过程中，不同的学生的行为参与程度和行为参与方式是不一样的。而不同的课程内容和教学策略，也会影响学生在课堂学习中行为参与的程度和行为参与方式。研究表明，对学生在课堂学习过程中的行为参与程度和方式影响最大的在于三个因素，一是课程内容的组织与呈现方式；二是教师在课堂学习中的教学策略与方法；三是对学生参与课堂学习的要求与评价。此外，教师、学生、内容与环境四因素之间不同的作用模式也会在很大的程度上影响学生在课堂学习过程中的行为参与的程度和行为参与的方式。儿童在课堂学习过程中情感的投入也是描述他们学习参与的一个重要的方面，它包括了兴趣、动机、自信心、态度等因素，这些因素对认知活动起到刺激、定向和调节的作用。学生在课堂学习中的情感投入程度是与他们在学习过程中的情感体验相关联的，情感体验越丰富，就越能激发学生投入更大的情感参与。同样，学生在课堂学习中情感参与的程度越高，获得积极良好的情感体验的可能性也就越大。儿童在课堂学习中的认知参与，往往是通过其参与学习的方式或采取的策略来呈现的。大致可以分为三种状态，即浅层次的策略、深层次的策略和依赖教师（或者家长）的策略。这三种状态实际上反映了儿童在课堂学习中的三种不同的学习策略表和思维的层次。浅层次的策略往往表现为记结论、背概念、练法则等机械式的认知水平，而深层次的策略则往往具有理解、探索和反思等的认知水平，对于依赖型的策略，则常常表现为更多的依赖成人的指导甚至指令来采取行为。2、学生行为参与、情感参与和认知参与的关系312\n《小学数学教学论》教案有效的课堂学习，首先就必须要求学生在学习过程中有积极的行为参与，同时也需要学生积极的情感参与和主动的认知参与。研究认为，在课堂学习中，学生的行为、情感和认知参与之间的关系是不同的（见图4－1）。参与度行为参与（外显）描述的变量参与方式情感体验积极情感参与高情感参与（内隐）描述的变量情感体验情感体验消极情感参与低深层次策略认知参与（内隐）描述的变量认知参与策略浅层次策略依赖性策略图4－1说明：实心箭头表示较高的相关性，虚线箭头表示无显著的相关的关系在这里，参与度主要是指参与行为的主动性和密度，而参与方式主要指看是主动参与？被动参与？或看在行为参与过程中所表现出来的思考深度。从图可见，情感参与在很大程度上是通过参与度来显现的，但是，有时参与度与情感参与之间也会分离，这就与学生参与学习的动力因素（如家长的外加指令等）相关；而行为参与的方式则是影响认知参与的主要因素，但是，认知参与策略与参与度则无显著的相关性；于是，一个值得思考的问题被显现了出来，即一个学习积极努力且在以“知识再现”目的为主的考试中能取得较高分数的学生，并不一定就是一个“会”学数学的人，而且也并一定就是一个喜欢数学的人，这与该学生的认知参与策略有关。这样的学生当面临一个新的问题情境时，并不一定会主动地把这个情境数学化并加以处理。3、学生参与对学习结果的影响通过研究发现，课堂学习中学生的参与对于学习结果有重要影响。主要表现在：312\n《小学数学教学论》教案第一，学生的行为参与对一般的计算和解答简单的数学问题（如应用题）的成绩影响较大，而对一些开放性的或综合性的问题解决的成绩没有显著影响；第二，学生的认知参与对一般的计算成绩影响不大，甚至还表现为浅层次认知参与对计算成绩的正面影响反而比深层次认知参与的正面影响要大。但是，学生的认知参与对具有开放性或综合性的数学问题解决的成绩影响较大；第三，学生的情感参与对一般的计算成绩和解答简单的数学问题的成绩没有显著的影响，但是，学生的情感参与对一些具有开放开放性或综合性的数学问题解决的成绩影响较大。于是，可以得到这么一个基本的结论，学习过程的品质对学习结果的品质有重大影响。所以，在课堂学习过程中，学生单纯的行为参与并不一定能促进他们高层次数学思维能力的发展，只有以积极的情感体验和深层次的认知策略为核心的全面参与，才能促进学生包括数学素养的全面提高。（二）教师在课堂教学中的参与和作用教师是课堂教学活动中的一个主体，教师在课堂教学中的行为方式对学生的学习产生重大的影响，因此，充分认识现代教育教学中教师在课堂学习中的角色以及参与方式，对于促进学生的学习和发展是非常重要的。1、课堂教学中教师的作用和角色关于教师在课堂教学中的地位和角色，随着对教育本质和教育价值取向的不同认识，历来有着许多不同的界说。例如，Catherine.A.Bbrown＆Hilda.Borko等根据美国的“全美数学教师理事会（NCTM）”颁布的关于教师“数学教学职业标准”，将教师的作用归纳为：第一，创设课堂环境以支持数学的教与学；第二，设置目标，选择或设计数学作业以帮助学生达到这些目标；第三，激发和运用课堂交流以使学生和教师对所学内容有更清晰的理解；第四，分析学生的学习情况、数学作业和环境情况，以便不断地作出教学决策。总之，在今天，对于教师在课堂教学中的角色和作用，越来越多的学者和教育工作者，至少在这么几个方面趋向于共识：（1）教师在课堂学习活动中起设计和组织作用312\n《小学数学教学论》教案教师作为承担学习间接知识学习的组织者，需要依据课程标准和学生特点，做科学合理的教学设计，并在课堂教学的活动过程中，根据临场的反应作切适的修正或协调，同时要通过自己有效的评价来定向和激励学生的持久学习。（2）教师在课堂教学活动中起引导、激励和促进的作用学生是课堂教学活动的主体，但是，由于他们受经验、认知水平以及认知学习的心理特点等的影响，需要教师通过各种质疑、设疑、组织讨论等等方式给予一定的引导和帮助，并通过教师有效设计的活动和评价方式来激励他们始终积极地参与到学习活动中去，以此促进学生的数学素养和整体能力的发展。（3）教师在课堂学习活动中起诊断和导向的作用教师作为课堂学习活动的参与者和学生学习的合作者，需要利用自己的认知结构和能力水平，通过细心的观察、合理的评价等诊断方式，来及时发现学生在学习活动中出现的问题，从而通过各种方式和手段来帮助学生进行修正或调整。正如一位优秀教师所描述的那样：“当他们已取得适量的进展，或者已失去热情时，我又把他们重新召集在一起，了解他们已经解决的内容，着手处理一组困难的问题。”可见，随时注意观察学生的学习过程并给予必要的引导是教师在课堂学习中的一个基本作用。2、教师的知识对教学组织的影响一种观点认为，“对于教师在课堂上所做的一切，乃至最终对于学生所学到的一切，教师所掌握的知识是最为重要的影响之一”，而这里的知识主要包括：（1）数学知识数学教师对数学知识的性质以及结构的了解和掌握，对学生课堂中学习数学的方式和程度有影响。研究表明，当一个数学教师对数学知识有理性的认识时，即对数学的自身本质的认识和对数学知识智力的组织，就会用积极的方式去构造学习活动。（2）数学表达的知识教师在教学中如何正确地表达数学，如何将一个复杂的或抽象的数学用学生可以了解的形式表达出来，是能否构造一个良好的课堂学习活动的重要因素。数学教师的一项重要的任务，可能并不是去创造数学，而是在学生的数学思维中去创造理解，因为“数学是由一大群高度关联的抽象概念所组成的，如果教师不知道如何把这些抽象概念转换成能使学习者把数学与他已经知道的联系起来的形式，那么他们就不可能理解地学会这一切”（3）关于学生的知识312\n《小学数学教学论》教案学生是如何学习数学的？如何发展自己的数学学习的自信心和兴趣的？如何形成数学素养和基本技能的？等等，教师要有这些必要的知识。只有具备了这些知识，才对自己的课堂学习的组织作出正确有效的行为决策，才能不断地促进学生的数学学习。（4）关于教学组织策略等方面的知识研究表明，教师的教学组织策略方面的知识对学生的数学学习是有相当大的影响的。这些知识包括如何进行教学设计？如何抉择教学方法？如何组织教学活动？如何选择评价的方法、手段和评价的时机？如此等等。（5）教师的实践性知识这是一类由数学知识、教学组织的策略与程序知识以及关于学生的知识这三者相互作用而产生的知识，有人也将这类知识称之为“情境知识”。这类知识是很难通过某种教学的传递来获得并构造的，它们是在课堂学习活动过程中教师与学生的不断相互作用，并通过教师自己的不断行动和反思而逐渐形成并成熟起来的。3、教师参与课堂教学的基本形式首先，教师是以一个设计者的角色来参与课堂教学活动的。也就是说，教师的这种参与形式，实际上是在课堂教学活动开始之前就体现了。而这时教师的基本任务就是进行教学设计；其次，教师是以一个参与者的角色来参与课堂教学活动的。也就是说，教师在课堂教学活动中的参与的基本形式就是与学生的平等对话；最后，教师是以一个合作者的角色来参与课堂教学活动的。也就是说，教师在课堂教学活动中，不是一个严格的学习程序的控制者，也不是一个严格的学习结果的评判者，教师给学生的引导或指导，不是一种“施与”的形式，而是一种“建议”或“讨论”的形式。4.2.3课堂教学中教师与学生的相互影响小学数学学习实际上是儿童自己构建数学知识的一种主体性的活动，儿童是通过与文本、与教师和同伴对话，不断地与教师、教材与环境进行持续的相互作用而逐渐形成数学知识、技能和能力，并同时发展情感态度和思维等方面的品质的。在这里，师生间的引导、互动与合作共享是构成教师与学生在课堂学习中相互作用的基本要素。(一)课堂学习中教师与学生的相互关系的基本分析312\n《小学数学教学论》教案早期的研究，较多地只是分析教师的特性对学生的成绩的影响。随着研究的进一步发展，人们开始认识到，在课堂学习中，教师的知识、态度、信念以及策略都将影响他自己的行为方式和行为过程；同样，学生的行为将影响教师的知识、态度、信念以及策略等等的变化。总之，在课堂学习中教师一学生之间的相互影响性的作用可以描述为：教师的知识教师的决策课堂学习学生的认知学生的学习教师的信念学生的行为图4—2芬内玛（Femborg）等人曾对这个模型做了进一步的解释，认为课堂学习①必须建立在对每个学习者所了解的知识基础之上；②学习要考虑孩子的数学思维是如何发展的；③当引导学生学习数学时，他们必须能积极思维。(二)课堂学习中的师生相互作用方式课堂教学中，教师与学生是通过怎样的方式进行相互作用的呢？现代教学研究表明，教师是课堂教学活动的主导，而学生则是课堂教学活动的主体，他们之间是按主导与主体之间的不断错位滑移来现实相互作用的。1、教师的主导作用通过切合的引导予以体现312\n《小学数学教学论》教案在课堂教学中，教师主要是承担教学组织的任务。因此，教师显然是处于一个主导的地位。但是，教师并不是仅仅依据规定的学习目标和任务，去精心设计一个学习过程（程序），然后让一群毫无准备的学生去面对这个经过充分准备的教师，使得教师据此能对学生的学习行为和学习过程进行严格的控制。而程序的执行以及程序的修正的适时性和灵活性，就成了反映教师教学水平的一个主要依据。于是，教师的提问，学生的应答，实际上就成了教师控制课堂活动程序的一种手段——教师根据预设的目标和过程，通过一个个问题或练习，来检视学生的活动状况，再通过一个个指令来帮助学生修正，活动永远是在预设的程序中运行的。2、对话是小学数学课堂学习的基本交互形式在课堂中，人与人之间的关系则构成课堂社会形态的基本要素。而主导课堂社会中人际关系方式的就是师生的关系方式。这种存在的关系方式必须能满足每一个儿童在课堂教学活动中获得的一种积极健康的自我体验。因为只有当人在对环境的自身主动的探究、尝试、与他人的交流等行为过程中获得认识的发现与情感的体验，才能满足人的自我潜能发展的需要，才能构成完整人格的发展。这就需要倡导一种“对话式”的师生关系模式，因为这种关系模式的基本机制就是人与人之间的平等的、相互信任和受到充分的尊重的，所有的人都可以在这里展开自己想做的活动，人与人之间的心灵是可以彼此敞开的并能获得对方的接纳和宽容的，合作与交流是被积极倡导的，可以自由地以伙伴和合作者的身份角色提出建议或意见的，自由奔放和新颖的想象是被充分鼓励的。需要指出的是，在以“对话”为主要外显形态的师生关系模式中，并不都是以教师的主动行为来主导的，课堂中无论是教师抑或学生，都是作为这个班级社会中的一员而存在的。在平等的共享性“对话”中，每个人都是行为的主动者，决不能将“对话”简单地理解为就是师生间的一种不断地、高密度的“问－答”过程。同时，要能真正实现课堂学习中的共享性平等“对话”，学生也需要预先知道自己在课堂活动中的目标和任务，也需要预先规划自己的活动方式和过程，也需要预先收集些相关的信息和问题。只有这样，课堂中的质疑才是可信的，表述才是合理的，冲突才是真实的，交流才是有效的。3、课堂教学是一个人际之间充分交流与共享的过程现代学习研究表明，儿童的数学学习过程不应仅仅是一个个体内部的建构过程，还更应是一个与他人合作与共享的过程，即是每一个参与数学学习活动的个体在充分地交互与共享中生成、修正或开展的实践性的活动过程。这样，就需要更新课堂学习的组织策略。例如，在小学数学的课堂学习中，“小组讨论”是一个常见的策略。然而，这样的策略却又往往不能起到应有的作用，学生可能会回答“我们小组认为……”312\n《小学数学教学论》教案，但实际上却并不是小组成员的共同意见。究其原因，可能流于形式较多，而未能真正体现小组成员之间的合作与共享。§4.3小学数学课堂教学活动的基本构成课堂教学的过程反映了在课堂中教师、学生、教材与环境相互作用的方式。所以，课堂学习的过程分析将有助于教师在学习过程中的行为决策。4.3.1小学数学课堂教学活动的基本环节小学数学课堂教学活动的环节是由两个最基本的要素所构成，这就是学生的“学”与教师的“教”。也就是说，小学数学课堂活动的环节展开过程就是不断地处理这对矛盾的过程。教师的“教”就是为了学生的“学”，而学生的“学”也影响着教师的“教”。一般地看，小学数学课堂教学活动主要由如下几个环节所构成：（一）前期组织准备课堂教学活动不能简单的理解为就是在课堂的40分钟内的活动，它实质上从教师和学生进入课堂之前就已经发生了，这就是课堂教学的前期准备活动。这些前期准备活动主要包含有：教师教学的前期设计（详见第八章），学生学习前期的认知准备，教学环境、教学资源和教学手段的前期开发等等。（二）任务提出小学数学课堂活动是围绕着明确的数学任务而展开的，因而，明确且切适的呈现学习任务是开展有效的课堂教学活动的一个关键。一般认为，小学数学课堂教学活动的任务呈现可以有这样一些方式。1、情境呈现即教师预先设计一个有效的问题情境，通过师生一起对情境的表征，从而提出某些数学问题，而这些数学问题就构成了当前的学习任务。这样的任务形成方式比较有利于学生认知策略的建构。需要指出的是，所谓有效的问题情境，至少包含着这样几个要素：首先是问题情境能引起学生兴趣与探究欲望的；其次是问题情境有可能使学生提炼出学习任务的；最后是问题情境能刺激学生去探索和思考的，也就是说，个体与目标之间有距离且能激发个体凭借思考达到目标的。2、复习导入312\n《小学数学教学论》教案即通过教师组织的有目的的旧知识的复习活动，让学生在这种活动中形成新的认知冲突，从而提出新的学习任务。例如，认识分数的意义学习，教师旧可以先组织学生运用旧知识进行“均分”的活动，但是，当被“均分”对象变为“1”时，学生原有的认知结构与当前的活动产生了冲突，于是，分数意义学习的任务被呈现了出来。这样的任务形成方式比较有利于学生认知迁移的实现。3、直接呈示即教师在课堂活动一开始，就通过语言和文本的方式，将当前的学习任务直接呈示出来。例如，学习平行四边形的时，教师可以通过语言直接呈示任务：“我们已经认识了长方形和正方形，今天，老师想和你们一起来认识一种新的图形，那么同意吗？”然后，教师就直接呈示出一个平行四边形来，“你们能不能通过自己的观察，来发现这样的图形有些什么特点？”（三）理解数学小学数学课堂活动的最根本的任务，就是获得对数学知识的理解，因此，这个环节也是小学数学课堂教学的中心环节。关于这个环节中的各种活动方式，将在下面会重点阐述，这儿需要着重提出的是，不能将这个环节目标简单的理解为就是让学生知道“是什么”，更重要的是要引导学生知道“为什么”；不能将这个环节过程的简单的理解为就是让学生“习得”，更重要的是要让学生学会“如何习得”。（四）学习评价课堂教学过程中的学习评价环节也是一个十分重要的环节，这将在第九章做重点阐述。这儿，可能有这么几个问题提出是必要的。第一，课堂教学中的评价活动是统整在这个课堂活动过程之中的，因此，不能将它与师生的数学活动分离开来；第二，课堂教学中的评价活动所追求的是帮助学生反思自己的学习过程，调整自己的学习方式，交流自己的学习结果，因此，不能将它简单的看作是教师调控班级课堂活动的手段；第三，课堂教学中的评价活动并总是以教师为主的，由教师发端的，更多的应该产生于学生之间的交流与分享活动之中的。4.3.2小学数学课堂教学的基本活动结构312\n《小学数学教学论》教案这里主要是指儿童在课堂学习的过程中的一些行为结构的基本特征，所以，这些结构基本上都是以儿童的学习活动的主线来建构的。现代的课程与教学理论中，特别强调的是学习者在课堂学习活动中的主体性的行为三大要素，即主体、过程和活动。所谓主体，即在课堂学习中强调的是学生的实践性参与；所谓过程，即在课堂学习中强调的是学生的过程性参与；所谓的活动，即强调课堂中的数学学习就是儿童主体性的数学活动。如果以学生在课堂学习中的数学活动为线索，通过对众多的第一线的数学教师在自己的教学实践中得出的经验总结归纳，至少有这么一些：（一）以问题解决为主线的课堂学习的活动结构这种活动结构是学生以问题的定向思考为起点，通过在教师引导下的尝试性探索为特征的。这时，良好的问题情境构成了学习活动的主要因素，而学生的尝试性问题解决的探究活动则是学习过程中的主要活动。（二）以信息探索为主线的课堂教学的活动结构这种活动结构是以学生面对教师呈现的信息为起点，通过在教师引导下的观察和辨析，以获得知识重组为特征的。这时，有效的信息重组构成了学习活动的主要因素，而迅速的观察、比较和归纳则构成了学习过程中的主要活动。（三）以实验操作为主线的课堂教学的活动结构这种活动结构是以学生对材料的实验性操作为起点，通过在教师的引导下的分析比较，以获得新的结论为特征的。这时，尝试实验的方式构成了学习活动的主要因素，而学生的探索体验和发现则成了学习过程中的主要活动。（四）以自学尝试为主线的课堂教学的活动结构这种活动结构是以学生面对问题，形成认知冲突为起点，通过在教师引导下的自学，并在集体质疑作或小组讨论的基础上形成新的认知为特征的。这时，正确的抽象概括构成了学习活动的主要因素，而学生的尝试发现并构建数学模型则成了学习过程的主要活动。（五）以小组讨论为主线的课堂教学的活动结构这种活动结构是以学生对问题情境的表征为起点，通过在教师引导下的小组合作，以获得新的认知为特征的。这时，小组交互的方式、过程以及质量等，构成了学习活动的主要因素，而学生的提出计划、团队合作的问题解决以及合理的表述则构成了学习过程的主要活动。4.3.3小学数学课堂教学的基本组织形式312\n《小学数学教学论》教案课堂学习过程中基本组织形式，就是指教师采用一定的方式，运用一定的协调机制等来组织而形成的课堂学习活动的过程模式。例如有：（一）环套式的组织形式指通过教师编制一整套的、系统的、层层递进式的问题（问题情境），以此来引导学生不断地去探索、发现，直至问题的解决。例如，在课堂学习两位数乘法（例题：17×32）是，教师就可以通过下列一组问题来引导学生思考：①17×32表示什么？能否用算式表示？②第一步先算什么？为什么先算17×30？③再算什么？两个结果怎样相加？④怎样用竖式相加？为什么这样对？找到什么规律？（二）回旋式的组织形式指通过教师编制的一个引导学生对问题情境的探索、思考与发现的系统，来组织学生的学习。并且这个系统不是直线式的，而是一个循环式的回路系统。在这个系统中，“情景①”和“情景②”之间构成一个不断比较、探索、思考和修正的回路，而“情景②”与“情景③”又构成了一个不断比较、探索、思考和修正的回路。如此往复不断地通过尝试、比较、修正，来逼近问题目标。例如，在课堂学习“按比例分配”时，可以呈现这样一个回路系统：情景①：A出二元，B出三元，C出五元，购20本书，每人几本？学生探索和尝试解决：20除以（2＋3＋5），再求每人所得；学生获得假设：总数除以份数；情景②：A每天存10元，存3天；B每天存8元，存6天；C每天存7元，存9天。连息带本共得X元，怎样分配？学生将次情景与情景①比较，找出共同规律，发现所谓每份数就是每一份在总数中所占的比例；学生探索和尝试解决：X除以（10×3＋8×6＋7×9）……（三）多向式的组织形式指教师设计不同的问题情境，用来指向同一个问题目标，以此引导学生通过对这些问题情境的探索和尝试解决，从而在获得问题解决的基础上构建新的认知。例如，在课堂学习“行程问题”是，教师向学生呈现几个不同的问题情境：①一个相向而行的问题；②一个共同工作的问题；③312\n《小学数学教学论》教案一个单人的行程问题（如一个人每天走8小时，第一天每小时行35KM，后估计时间不够，第二天每小时行45KM，求距离）；④一个商业问题（如商店化8000元进了45箱皮鞋和运动鞋，皮鞋单价平均145元，运动鞋单价平均70元，全部售完后，毛利是多少？）然后让学生通过对不同问题的表征，积极去寻求共同特征，从而构建这类问题的基本数学模型。（四）反推式的组织形式指教师先呈现一个问题情境，再向学生提出预设的一系列的非正确的问题解决方案，通过一些问题来引导学生，在不断的辨析与修正过程中去逼近正确的问题解决方案，直至获得新的认知。§4.4小学数学教学方法所谓方法，通常就是“指向特定目标、受特定内容制约的有结构的规则体系”。可见，方法是受价值观和内容制约的，它是人为了实现其特定的目标而制定的特定的操作系统和步骤，而且这种操作系统和步骤是有其自身结构的。而教学方法，那就是“指向特定的课程与教学目标，受特定课程内容所制约的、为师生所共同遵循的教与学的操作规范和步骤，它是引导、调节教学过程的规范体系”。4.4.1常见的小学数学教学方法教学方法与教学策略一样具有多样性和生成性的特点，因此，教学方法是一个变化的和综合的概念。（一）教学方法的基本类型数学的教学方法是丰富多样的，它源于不同的教师的不同的教学实践。但是，如果从课堂学习中教师、学生、教材和环境相互作用的基本模式看，教学方法主要有三种不同的类型：1、提示型的教学方法312\n《小学数学教学论》教案其特点往往就是教师通过在课堂学习中的各种提示性活动，如讲解、提问、示范、演示等等方法，来帮助学生接受并内化既定的数学知识，形成既定的数学技能。提示型的教学方法有这么几个特点：首先，它能在较短的时间内使学生学到尽可能多的数学知识，形成数学技能；其次，它能帮助学生首先数学知识的系统化。因为教师的讲解、示范等导向性的提示活动，是在自己的有计划、有系统的设计之下完成的；最后，能充分体现教师的主导作用，它能有效地帮助学生理解和内化数学知识的本质，有效地帮助学生更快地形成必要的数学技能。当然，提示型教学方法也有其自身的弱点。首先，在实施中容易滑落到“机械学习”的陷阱之中，因此，在运用提示型教学方法的过程中，应当时常注意到理解和理解下的认知建构是学习的主要任务，积极思维是学生的主要活动；其次，它在发展学生的实践能力和重新能力方面是较为欠缺的，因为教师的提示非常容易成为学生思考和问题解决的导向，一旦这种导向被明确化后，就会使学生的思考陷入复制和机械化；最后，这种类型的教学方法往往呈现出人际互动和经验分享方面的不足。提示型的教学方法主要有这样一些具体的形式：（1）讲解讲解也可以称之为口述，主要是通过教师的口述和讲解，将知识的发生、本质特征、概念之间的关系、性质等等清晰地告诉学生，使学生能记住并内化自己的认知结构。（2）示范主要是通过教师的各种示范性的互动，来帮助学生开展有效的学习活动。例如，在规则学习时，教师往往会先示范一个完整的解题过程，学生就可以通过教师的这个示范导向来逐步掌握运算方法。（3）呈现主要是教师通过呈现一些实物、挂图或模型等方法，帮助学生通过观察、比较等手段来获得对对象的认识和把握。例如，在一些几何概念的学习中，教师往往会先向学生呈现一些模型或实物，让学生观察这些几何体的组成和结构，从而归纳出这些几何体的本质特征。（4）演示主要指教师通过动态的方法将对象的发生过程演示出来，以便让学生通过观察和思考来概括出对象的本质特征。例如，在学习“角”的知识是，教师往往会先将两根一样长的小棒重叠在一起，然后固定其中一个端点，开始旋转一根小棒，并让学生观察教师的旋转过程，并思考，你这时发现到了一个什么图形？同时，通过对旋转过程的观察，学生有可能体验到这样的认识，即角的大小与射线（边）的长短无关，而是与射线（边）的旋转长度有关。312\n《小学数学教学论》教案2、问题解决型的教学方法所谓问题解决型的教学方法。通常是指以问题为导向，以问题解决为目标，以教师与学生共同的对话与讨论、实验与尝试等为手段，促进学生主动学习的一种教学方法。这种方法的特点主要在于，首先，能发展学生发现问题、探究知识、主动建构的能力。因为学生要对特点的问题情境进行观察、思考和分析，才有可能提出问题，并以这个问题为导向，开展探究性的活动，同时在问题解决的过程中去获得数学认知、形成数学技能、发展数学素养；其次，这种类型的教学方法有利于培养学生团队合作和交流共享的能力。因为这种教学方法特别注重师生的对话，特别注重师生间的质疑问难，特别注重师生间合作性的探索；最后，这种类型的教学方法在学习过程中的开放性和生成性特征较为明显。因为每一个人的探索与发现的过程是不一样的，每一个人的问题解决策略是不一样的，每一个人在学习过程中的体验也是不一样的。当然，这种类型的教学方法也有其自身的缺陷。主要表现在，首先，它比较费时，无论是对话式的交流，还是探究式的操作，抑或讨论式的交流，在获得数学问题的解决，形成数学认知等方面，都会许多的反复，有许多的偶然性；其次，这种类型的教学方法对于掌握系统性的数学知识来说，其功能要稍弱些。最后，这种类型的教学方法掌握的不好，还往往容易落到无谓的对话、形式性的讨论和无效的操作等获得中去，降低学习的质量。因此，在运用这种类型的教学方法时，至少要注意这么几个问题：（1）对话在对话中要注意：首先，师生的对话是以学生能自由思考和自由表达为特征的，不能将教师的理解强加给学生，教师的任务是引导，而不是将学生的表述硬纳入所谓规范的轨道；其次，教师的引导要留有思考的余地，要能启发学生的思考，促进学生的开放性和创造性的思维；最后，切忌在课堂学习中形成“一一对话”的局面，即教师提出一个问题，请某个学生回答，然后教师纠正这个学生的回答，该学生再复述教师的回答。其他的学生就成为了一个无需思考的旁观者。（2）讨论312\n《小学数学教学论》教案在组织讨论中要注意，首先，要给学生明确的但又有一定思考空间的讨论主题；其次，在学生的小组讨论中，为了保证讨论的有效性和全员参与，要求学生在小组汇报时，必须要回答这三个方面的问题：第一，我们小组主要讨论了什么问题，在哪些方面有了不同的意见；第二，我（即汇报的学生）或我们小组最终的意见是什么？第三，小组中那个（些）同学的意见或想法对我有了什么样的帮助。（3）操作在学生的尝试性操作实验中要注意，首先要让学生知道操作的目的，明确操作的对象；其次，要培养学生在尝试性实验操作的过程中及时观察并做好观察记录的习惯；最后，要让学生学会在小组操作性的学习中如何进行分工与合作，发展学生的团队意识和合作共享的能力。3、自主型的教学方法这种类型的教学方法，其最大的特征就是在课堂学习的过程中，就是的控制性大大地减弱，学生的自我学习活动在课堂学习中占了主导的地位。它提出都是由就是先提出问题，或呈现一个问题情境由学生自己提出问题，然后由学生独立的（或在就是一定的引导和帮助下）去尝试解决问题，从而使学生建构数学知识，形成数学技能，发展数学素养。这种类型的教学方法有这样一些特点，首先表现在它能最大限度地发展学生的学习能力，提高学生的问题解决能力。其次，这种类型的教学方法还能激发学生的学习兴趣，强化学生的学习动机，促进学生学习学习方式的转变。最后，这种教学方法还注重了不同学生之间的个性不同所造成的学习能力与学习风格差异性。同样的，注重类型的教学方法也有一定的局限性。主要表现在，首先，对学生来说，要有一定的经验与能力储备，对低年级的儿童来说，就并不太适应采用注重类型的教学方法；其次，这种类型的教学方法手学习内容的限制较为明显，不是所有的内容都完全适合采用注重教学方法的。例如，一些“构造性”或较为抽象的数学概念的学习，以及某些策略性知识的学习等；最后，这种类型的教学方法难以使学生形成系统的数学认知，而且学习也较为费时。在运用自主型教学方法时，至少应注意这么几个问题：（1）课题即教师要设计一个有效的问题情境；或者教师要设计好良好的学习课题；或者教师要规划好合理的主题；等等。312\n《小学数学教学论》教案（2）手段在运用自主型教学方法中，教师还是需要充分考虑到课堂学习的组织手段的，例如，准备向学生提供那些帮助（演示、呈现抑或提问等）？将整个课堂学习分为哪几个主要的环节？每一个环节的中心任务是什么？如何分配已有的学习资源？等等。（3）计划在自主型教学方法的学习中，教师对学习过程的预设性和控制性相对是较弱的，但是，教师的教学设计仍然是非常重要的。首先要尽可能地充分估计到学生在学习中可能遇到的困难，并预想好给予学生帮助的形式和内容；其次，还要能充分预计到学生在学习中的各种需要，并预想好在什么时候是提供满足这种需要的各种条件的最佳时机；此外，还应精心设计好学习的评价的目标和方式，使评价的导向、激励和反馈的功能在自主型教学方法的课堂学习中得到最大限度的发挥。例如，对学生在陈述自己问题解决的过程和结果时，教师将在那些方面要给予特别关注和指导？（二）常见的小学数学教学方法经过长期的教学实践和探索，有许多具体的且是行之有效的教学方法被提炼和总结了出来，构成了小学数学教学中的常见教学方法。例如有：1、叙述式讲解法就是指通过教师的口述和示范，向学生描绘情境、叙述事实、解释概念、论证原理或阐明规律的一种教学方法。这种教学方法的特点是教师能系统的、清晰的将数学知识教授给学生，并使学生在好的知识的同时，也逐渐形成分析推理等的能力。在这种教学方法的运用过程中，有三点是必须要引起注意的。第一，教师的讲解不等于简单的教师“讲”而学生知识被动的“听”；第二，教师的讲解要善于“设疑”和“质疑”，这样才能充分地引起学生的思考；第三，教师的讲解不能仅仅从概念出发，应最大限度地从学生的经验出发去创设良好有效的情境。来帮助学生探索和思考。2、启发式谈话法312\n《小学数学教学论》教案也叫对话法，它是指通过教师与学生之间的对话来引发学生的探索和思考，从而形成新的认知的一类教学方法。这种教学方法的特点是能激发学生充分地进行思考，并能让学生充分地发表自己的见解和想法，从而在使学生获得数学认知的同时，发展他们思维能力。在这种教学方法的运用过程中，有四点是必须要引起注意的。第一，精心设问(1)问题要明确,有针对性(2)问题要具有启发性(3)问题要有系统性谈话法是以教师的问题引导为基点的，教师的问题应具有明确、有思考性、能激起学生探究的欲望等特征；第二，教师提问要面向全体学生,要有层次性,提问形式要多样化。切忌将这种对话理解为就是“一一对话”的活动，使某个对话活动发生时，成为了教师与学生的两个人行为，其他人则成为事不关己的“听众”；师生的对话是以理解为核心的，因此，不必强求学生表述的语言必须与学术性对话的一致性，只要学生的表述清晰可懂，教师就不要给予太多的干预和控制；第三，倾听回答(1)提问之后不要立即让学生回答,而应给他们一点思考的时间(2)教师要有耐心,让学生把话说完(3)在倾听的同时要进行分析判断(4)要尊重学生,在学生回答时教师决不可心不在焉(5)在一名学生回答结束后,教师不要急于表态,要延迟几秒钟作出反应第四，做出反应（1）反应要及时,尤其对错误的意见要及时纠正,决不可让错误“先入为主”（2）评价要科学,不能信口开河,随心所欲问题的思考性决定了在教师的提问与学生的回答之间要留有一个的时间空间，缺乏思考性的对话是一种无效的学习行为。3、演示法就是通过教师向学生呈示（如呈示实物或模型等）或演示（如演示对象的发生或对象的运动规律等），让学生去观察，从而使学生发现对象的本质特征的一类教学方法。在这里，呈示或演示仅仅是手段，学生通过自己的观察、思考、辨析、讨论，概括出对象的本质特征是目的。312\n《小学数学教学论》教案在这种教学方法的运用过程中，有三点是必须要引起注意的。第一，教师的呈示或演示要有典型性，使对象的特征能明显地显现出来；第二，教师在呈示或演示之前，要给学生明确具体的观察和思考的任务，让学生带着问题去观察；第三，在呈示或演示的过程中，往往会伴随着对话，而这种对话不是简单的“是”与“不是”，而是具有一定的思考性。4、实验法实际上就是通过学生的尝试操作来概括出典型本质特征的一类教学方法。就课堂学习而言，主要包括：验证性实验，主要是在学生已有了一定的经验或已经初步构建了对对象认识的基础上，通过验证性操作，让学生进一步去体验知识的内含，从而真正抓住对象的本质特征；探索性实验，主要是让学生对问题情境的探索性操作，通过自己多次的观察、实验和思考，从而发现并概括出对象的本质特征。在课堂学习中究竟采用哪一种实验，主要取决于内容特征和学生特征这两个要素。在这种教学方法的运用过程中，有两点是必须要引起注意的。第一，无论是验证性实验还是探索性实验，都是学生自己的主体性的行为，因此，对于学生操作的方法、过程和手段，要留有一定的开放性，以适应不同学生学习水平、学习方式的习惯和学习策略等的差异性；第二，无论是验证性实验还是探索性实验，都必须引导学生将观察和思考的注意指向操作的过程，而不要一味地指向结论。4.4.2教学方法的多样化教学方法的多样化，一方面说明了课堂学习活动形式多样化就源自于教学方法的多样化，而这种多样化则正是为了适应学生学习方式的多样化；另方面还说明了丰富多样化教学方法的可能性，教师和学生的课堂学习的实践就是这种丰富教学方法的基本条件，而其核心就在于教师对课堂学习组织的不断反思和总结。（一）教学方法不是一个不变的程序结构教学方法只是一个相对稳定的程序结构，随着价值观的变化，就会影响小学数学的课程目标的变革，自然也就会影响到教学方法的变革。例如，当前转变学生的学习方式成为了课程教学改革的一项重大的任务，而这种变革可能表现在新的教学方法被不断地通过教师的实践而丰富，也可能使原有的教学方法中的许多手段或活动发展变革，这就带来了教学方法的结构变化。312\n《小学数学教学论》教案（二）不同的学习任务和目标可以有多样化的教学方法在同一个数学内容的学习中，可能有若干个学习环节，而不同的学习环节其学习任务和目标是不同的，这就带来了教学方法的多样性和综合性。这样看来，没有一个能统领整个课堂学习过程的教学方法的，它是随着内容和目标的变化而呈现其多样和综合的。（三）同样的教学方法可以有不同的行为方式既是在某个学习环节中运用某种教学方法是，不同的学生，不同的学习任务和不同的学习目标，其行为表现是不同的，有时是表现在活动方式上的差异，如同样是“谈话法”，在组织低年级学生的学习时，可能更多的是采用“师生对话”的活动形式，而在组织高年级学生的学习时，就可能会更多的采用“小组对话”的活动形式；有时还表现在活动层次上的差异，如同样是操作，可能在概念性知识的学习中，操作的验证性充分可能会多一些，而在程序性知识的学习中，操作的探索性充分可能会更多一些。（四）教学方法在一堂课中往往是交替使用的在一个完整的课堂学习过程中，往往会是由多种教学方法交替使用的。而如何交替使用，将哪些方法交替使用，一切都取决于一个最基本的目标，那就是怎样才能促进儿童的学习。例如，在一堂“小数认识”的课堂学习中，可能会交替地采用“讲解法”、“实验法”、“发现法”等不同的教学方法，这些方法的不同服从于每一个阶段学习任务的不同和学习目标的不同。同时，这种综合还表现在同一个学习过程的模式中，会交织融合着多种教学方法。例如，一个探究学习的过程模式（或称教学模式）中，可能会有谈话（对话）、观察发现、演示实验等多种教学方法综合运用。4.4.3教学方法与促进儿童的数学学习良好的教学方法应最大限度地促进学生的学习，否则，所谓的教学方法只能成为教师“表演”的一个“脚本”，一个教师自己行为的固定的“操作程序”。（一）教学方法与学生的学习参与312\n《小学数学教学论》教案因为教学方法是教师与学生在课堂学习中的行为与策略的规则，因此，没有学生的参与，再好的教学方法也是无效的。良好的教学方法应该是充分激发学生学习动机，充分激励学生主动参与学习的一种程序结构。为此，有人提出了教学方法刺激学生主动参与课堂学习的ARCS模式。1、注意即良好的教学方法要能充分的引起学生的注意，同时又尽可能的保持学生的这种注意，使学生始终能积极主动地参与学习过程。在小学数学的课堂学习中，问题情境的呈现、提出新任务以引起认知冲突、在数学活动中形成新的问题、在唤起学生已有经验基础上发现矛盾、不断地“变式”引起学生的思考以及给出错例激发学生探索等，是在各种各样的具体的教学方法中经常使用到的一些手段。2、关切教学方法不仅要关注教师行为的合理性和有效性，更要对学生的参与给予相当的关切。例如，无论采用什么具体的教学方法，都要充分地关切学生的情绪状态，关切学生参与学习的程度，关切学生在参与学习的过程中所遇到的问题或困难，关切学生困难会提出的各种各样的问题等。3、信心教学方法要有助于形成和强化学生学习数学的自信心，没有自信心，学生是不可能会积极主动地参与学习过程的。因此，在同一个课堂学习过程中，常常需要多种教学方法同时使用，以适应不同能力、个性和水平层次的学生的需要。就是同一种教学方法，也往往需要采用多种形式和手段。例如，在运用“谈话法”时，针对不同的学生特点和需要，其形式和手段也是不同的。对于有些学生来说，可能教师的提问中思考性可能稍强些，开放的空间可能稍大些，但是，对于另一些学生来说，教师的提问可能会更具体些，指向性更强些。4、满足罗杰斯认为,当一个人的行为产生积极的机体体验，同时又受到积极的评价和尊重时，他的人格容易正常发展，反之就会产生一种焦虑的情绪，并可能采用某种防御机制，歪曲或回避真实情感，引起人格混乱。也就是说，在学习中，个体也存在着一个“受外加尊重”的需要，但这种需要被满足是，个体的学习动机就会得到强化。因此，无论采用什么类型的教学方法来组织教学，都要能使学生在学习过程获得最大可能的体验，并在这种体验下获得某种“成功”的满足。（二）教学方法与学生改变学习方式312\n《小学数学教学论》教案在前面已经谈到，教学方法的多样化就是为了促进学生学习方式的转变，这种转变主要就表现在将学习过程变单一的知识接受（可能还是有意义的接受或是在理解基础上的接受）过程为多样化的主动探索过程，以此培养学生的创造性和组织能力。因此，教师就应当努力做到：通过各种方式让学生明确自己的学习任务和学习目标；帮助学生依据学习内容确定自己的学习方式；注重儿童自己的经验、兴趣和学习方式，宁可改变自己预设的教学计划；鼓励学生采用不同策略和方式参与学习；让学生运用各种方法去过程对象，预见结果，检验假设；将学生在学习过程中所呈现出的不同反应整合进自己的教学方法之中。六、思考题1、简述小学数学教学过程的基本要素。2、小学数学课堂教学有哪些意义和特征？3、试分析小学数学课堂中教师与学生的参与方式和参与价值。4、观察几堂小学数学课，并分析小学数学课堂中教师与学生是如何相互作用的？5、小学数学课堂教学有哪些基本的活动环节？6、观察几堂小学数学课，并分析其基本活动结构或基本组织形式。7、小学数学教学有哪些基本的方法，这些方法各有哪些基本的特点？312\n《小学数学教学论》教案第五章小学数学教学工作一、教学目的通过本章的学习，使学生了解并掌握小学数学教学工作当中的各个重要环节；掌握备课与上课的基本要求，并能按要求上课。二、教学重点、难点重点是备课以及小学数学课堂教学的类型及结构；难点是小学数学教学设计。三、教学方法讲授法。四、教学内容本章主要内容：l备课l小学数学课堂教学l课后的系列工作。五、教学过程312\n《小学数学教学论》教案§5.1备课5.1.1备课的意义和作用教学工作是教师按照确定的教学目的和一定的教学规律，传授知识，培养学生能力的过程。无论教师的知识经验多么丰富，若不进行备课就难以将课本知识系统地传授给学生。教师的知识和经验只能说是具备了潜在的教学能力。因此，备课是形成教学能力的过程。具体表现在三个转化上:第一个转化是把教材中的知识转化为教师的知识;第二个转化是把对教学工作的安排转化为教师教学活动的指导思想;第三个转化是把教师掌握的教材内容转化为学生的知识。为了完成教学任务，提高教学质量，教师上课前所进行的钻研教材、了解学生情况、制订教学计划、确定教学目的要求、选择教学方式、制作教具、编写教案等一系列的准备工作统称为备课。备课是课堂教学过程的基础，是提高教学质量的先决条件。每位教师都要认真备课，深刻理解备课的实质，掌握备课工作的程序。5.1.2备课的程序备课的工作包括学习数学课程标准，钻研教学内容，阅读参考资料，研究有关教学经验以及深入了解学生情况，选择具体恰当的教学方法，编写每一节课时的教学方案等。（一）备教材教材是教师教学的依据，必须对教材反复钻研、反复推敲，才能弄清教材的知识结构，各部分教材在整体的地位和作用，才能弄清知识间的联系和分清主次，以便于准确地突出重点、合理分类、掌握规律和加强实践。教师的备课过程主要包括钻研教学大纲、熟悉教材内容、研究习题、阅读参考书的过程。1、钻研数学课程标准数学课程标准是根据党的教育方针和培养目标制定的。数学课程标准里规定了中小学数学的教学目的、要求。因此，数学课程标准是教学的依据，是教师备教材的指导性文件。钻研数学课程标准，就是要弄清中小学数学的目的要求、教学体系和基本内容。只有透彻地领会数学课程标准的精神，备教材中的知识、技能、技巧、培养能力、思想教育等方面，提出明确而恰当的要求，做到有的放矢。312\n《小学数学教学论》教案2、通读教材教材是教学的依据，课堂教学质量很大程度上取决于教师对教材深度和广度的钻研。通读教材通常应有“粗读”、“细读”、“精读”三个过程。由粗到细再到精是指钻研教材的深度和广度的程度。就是说，对教材的钻研，在整个备课过程中至少要进行三次;第一次是开学前对整个教材的通读，相对于后两次可以粗些。第二次是对单元教材的通读，这时应读的细一些。第三次是精读一节或一堂课的教材，钻研的应更加深入。从要求上讲，“通读”教材主要是通览全学期教材，目的是了解本学期教材与前后学期的联系，了解各部分内容的来龙去脉，把握教材内容的体系。而细读、精读教材，则要求细致深入地钻研教材，把教材弄通弄懂。即对教材中的定义、公理、定理、公式与法则要逐字、逐句、逐步地推敲，抓住揭示其本质属性的关键字句，搞清其间的逻辑结构，把握教材的科学性;明确科目章节之间的衔接关系，搞清知识的因果关系，把握教材的系统性;揣摩每个例题的作用，搞清概念的引入、知识的应用与实际问题的关系，把握教材的实践性;探讨与挖掘教材的教育因素，把握教材的思想性;分清知识的本末主次，估计知识的难易程度，把握教材的可接受性。3、阅读参考书教学参考书是教材的补充和说明，它对整个教材进行了分析，列举了每章的教学目的、重点、难点、关键及教学时间的分配，对教师备教材提供了重要依据，教师要仔细阅读和认真研究，要善于吸取好的教学经验，提高自己的教学艺术。不要盲目地照抄资料，漫无边际地旁征博引，以免削弱淡化自己的教学风格。4、研究习题数学习题是使学生掌握系统的数学基础知识、技能和技巧的重要手段，也是学习数学过程中教学活动的主要形式，还是培养学生的数学能力、发展学生智力的手段。教师要特别强调解题过程中的思想方法训练，前苏联奥加涅相在《中学数学教学法》一书中写道:“一位有创见的教师比教科书的作者看的远多了，在解某道题的过程中他能揭示和实现的功能要比预想的宽广得多(或有益的多)。”因此在设计练习、例题、作业题及指导解题的过程中，要注意每道题的功能和思维训练，既要有一定的数量，更要注意质量和效果。这就需要对习题进行认真的研究。 312\n《小学数学教学论》教案选择习题要由浅入深，逐步提高要求，要包括适当数量的复习题和综合题。习题分量和难易要适当，以免造成学生负担过重。也就是说，选题必须从练习目的、内容、分量以及学生接受能力等方面去考虑，才能练的适当，练的有效果。为了精选习题，教师在备教材时必须认真地将教材中全部习题演算一遍。演算是不能只停留在“会解”的水平上，而要细心研究每一个习题的目的、作用和要求，探讨每一个习题的背景和最优解法，作为改编题的基础。在研究习题时要重点解决以下几个问题。第一，研究习题的目的要求。习题概括地说可分为:填空题、选择题、改错题、判断题、证明题、作图题、封闭性试题、开放性试题等等。教材上的习题一般分为三种类型。第一种是安排在各个小节后的“练习”，它是围绕新课内容用以说明新概念的实质和直接运用新知识进行直接解答的基本题目，目的是让学生切实理解与掌握数学基础知识、初步获得运用这些知识的基本技能。第二种是各章后的或每一大段教材之后的习题，是在进行了若干基本练习的基础上安排的，目的在于使学生巩固所学的基础知识，能熟练地运用这些知识进行解题并形成一定的技能技巧。它比第一种类型练习题要复杂些，更能深一层的体现基础知识、基本方法的运用。第三种是每章后的复习题，它比前两种习题、涉及的知识面更广，更富于变化，带有一定的灵活性、技巧性、综合性。安排这种习题的目的在于使学生进一步巩固所学知识，发展学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，培养学生灵活运用知识的能力。教师在研究这些习题时，要注意体会每一个题的具体要求，解题关键，解题技巧以及解答方式，还要估计学生作题时可能出现问题，做到胸中有数。第二，研究习题的重点。习题同数学基础知识一样也有主次之分、难易之分。要让学生集中精力围绕有利于理解掌握基础知识、基本技能的形成的习题去练。教师要找出重点习题。作出反复练习的计划。第三，研究习题的解答方式。为了提高学生解题兴趣和多角度培养学生的解答能力，应该让学生用各种不同的方式解答习题。因此，教师在演算习题时，要研究各题的结构特点、难易和繁简程度，分别采用口答、板演、复习提问、书面作业、思考讨论等方式进行练习。312\n《小学数学教学论》教案第四，把握习题的份量。习题的份量适当与否，会直接影响教学质量的高低。题目太简单、分量太轻，学生轻而易举地就可以完成任务，这不仅达不到练习的目的，而且易助长学生自满情绪的产生。题目太复杂，分量过重，大多数学生在规定的时间内完不成，这不仅会使学生丧失信心，而且会加重学生负担，影响学生的全面发展。因此，必须根据题目的难易和学生解题能力的强弱来确定适当的分量。教师要善于借鉴、自编、改编一些题，作为补充题。总之，认真的研究习题是钻研教材的一项十分重要的工作，它对教学质量提高有着重要意义。（二）备学生教学是教与学的双边活动，学生是教学的对象，而教学效果最终将落实到学生掌握知识和发展能力上。要使教学收到好的效果，必须根据学生的实际水平去备课。通常备学生的途径有以下几个方面。1、了解原任课教师在初任一个班的数学课时。如果这个班是在校生，则可以向原任课教师和班主任了解该班学生接受能力的强弱、思维活动的状况、完成作业的情况、班内的学习风气、对数学的爱好及其数学基础状况，如果这个班是新生，要到学生原在的学校去了解，从入学成绩去分析。2、了解学生家长了解学生家长主要向家长了解学生在家庭中的表现，自学的情况，对数学是否感兴趣，听取家长对学校及教师的要求和意见。3、向学生了解学生通过学生了解学生是行之有效的方法，这就需要和学生建立起深厚的感情，使学生能向教师说实话。4、了解学生接受能力在讲授某个内容之前，要了解学生对这部分知识的认识。在时间允许的情况下，最好在课前把所要讲的内容向部分学生(中下等学生)介绍，看看他们对教材理解的程度，听他们对教学的意见和建议，以便准确地了解学生的接受能力，合理的选取教学方案。为了便于全面地了解学生，最好是对每一个学生都建立卡片，记录他们的学习态度、接受能力、思维能力、学习成绩、作业完成的情况。这样，经过一段时间，对学生学习的情况，就会了解得比较清楚，教学的起点和教学方法的选择就有了依据，讲课也就有了针对性。（三）备教法312\n《小学数学教学论》教案教师课前备好了教材，如果教学方法不恰当，也是难以教会学生的。为此，必须认真研究教学方法，慎重地选择适当的教学方法，这是提高教学质量的重要环节。怎样备教学方法呢?首先要明确内容决定方法，方法是为内容服务的;要考虑教学目的、学生年龄特征、班级特点等因素。譬如，如何提出问题，创造情境、激发疑问、引起动机，启发思考，调动学生的学习积极性，如何利用直观教具为学生感知新教材创造条件;如何利用学生已有的知识启发学生自己推导新结论、获取新知识等。不论采取哪一种教学方法，都必须贯彻“启发式”教学原则，都要从实际效果出发。否则，只考虑形式，不注意效果，是要失败的。（四）编写教案教案是教师实施教学活动的具体方案，也就是教师上课的计划。教案的制订，是教学准备工作的最后阶段。因此，写教案是深人备课的过程。是提高教学质量的重要步骤。特别是新教师应写得详细一些。编写教案的目的在于帮助教师科学地、准确地控制教学过程，使教师准备充分、考虑周到，能保证始终处于主导地位。能促使教师掌握教学，锤炼课堂语言的精确性和条理性。能精确掌握时间，充分利用上课时间，对提高教学质量起到保证作用。教案没有固定格式，根据具体情况可详可略。一般要求具有系统、简明、实用的特点，教案通常包括下面几个内容。一般教案应包括如下内容：①课题名称；②教学目标；③教学重点、难点；④教具准备；⑤教学过程。当然，并非在每节课中都有难点，但教学重点总是有的，若用教具，则应在教案中写出。教学过程是最主要的。在明确了教学目的，考虑了教学的重点与难点后，就要安排教学的具体内容和编排顺序，采取的教学方法，拟定承上启下的复习题，考虑补充例题等。一般情况下，课堂教学有如下五步程序：312§10．2课堂教学工作①引入新课，使学生明确目的；②讲授新课，主要是启发学生思考，调动学生积极思维；③进行例题教学并布置课堂练习，进行巩固知识和技能训练；④进行课时总结；⑤布置作业。§5.2小学数学课堂教学5.2.1数学课的基本类型与任务312\n§10．2课堂教学工作小学数学教学的基本形式是课堂教学，根据数学课的特点，可把它分为新授课、练习课、复习课、讲评课等类型。现将几种主要的课型结构和基本任务要求介绍如下：（一）新授课讲新课是以传授新知识、学习新方法为主要教学任务的课。其目的是使学生学习新知识、掌握新方法。它是中小学数学课中最常见的一种课型。新授课的基本环节是：复习提问、引入新课、讲解新课、巩固小结、布置作业。讲授新知识是新授课的中心环节，而所授的新知识往往与旧知识之间有着密切联系，因此讲授课前常采用复习提问的方式，对与新知识有联系的和学习新知识所必须依据的旧知识加以复习，从而为新课的讲授铺平道路，但不宜占用时间过多。巩固小结是新课的继续，是学生对新知识的消化过程。新授课的重点应放在把新知识讲清楚讲透彻，使学生彻底理解，以完成新授课的主要任务上。总之，复习、讲授、巩固是互相联系不可分割的。（二）练习课以典型例题示范、师生共同分析和演算题目为主要教学任务的课称为练习课。这种课与新授课明显区别在于：练习课主要目的是巩固旧知识，培养技能技巧，使学生学会怎样运用已经获得的知识去解决数学上或实际生活中的问题，而不是使他们获得新的数学知识。练习课的结构如下：1、复习有关基础知识复习的方式可以是教师提问，也可以由教师进行小结。2、典型例题示范示范题目要有代表性、启发性，做题步骤要完整，其目的在于总结出解题规律，归纳出常用的解题方法。3、课堂练习即学生独立做题。这时可指定几名学生到黑板上演算。题目应逐道或分题组安排，不要把练习的题目一次全拿出来。在练习过程中，教师要巡回指导，要特别注意对差生的启示和指导，对优生提出思考题，使他们的智力得到充分的发展。4、教师小结教师小结要有针对性、分析练习中存在的主要问题和好的方法，总结出解题的规律，防止就题论题，泛泛地说一遍。5、布置课外作业（三）复习课以系统复习所学知识为主要教学任务的课称为复习课。它的主要目的是继续巩固和加深学过的知识，使之系统化。312\n§10．2课堂教学工作复习课分为阶段复习和学期复习两种方式。其一般结构是：第一，组织教学；第二，提出要复习的内容或提纲；第三，按教师预先拟定好的一系列问题，让学生依次回答或练习；第四，总结知识技能，解题规律；第五，布置作业。如果复习的内容除了本阶段的知识以外，还要对某些解题方法进行复习，通常在提问以后，再举一些典型的例题进行全班讨论。复习课的目的要明确，要系统分析教材，提出提纲，而后综合归纳，形成明确体系，便于学生对知识的理解、记忆和形成一定的技能技巧。在复习过程中，如果发现大部分同学对某一部分内容掌握较好，对此则不必重复，对困难较多的部分，要反复强调、重点复习。最后，在复习课后布置作业更具有综合性。复习课还可以采取课前先向学生指定复习范围或列出复习提纲，让学生课余时间独立钻研、总结。在复习课上让学生提出自己的总结。对高年级学生还可以采取专题讲座的形式进行复习。例如，求函数定义域，三角式的恒等变形，几何证题法，不等式的证明方法，等等（四）讲评课以对某一阶段的课外作业情况进行总结或对某次考试结果进行分析为主要内容的课称为讲评课。其目的在于纠正作业或考试中产生的缺点和错误，总结经验教训，鼓励先进。启发后进。充分发扬优秀生的典型作用。讲评课的一般结构如下：第一，总结作业或考试的基本情况；第二，分析存在的主要问题，将归纳整理的各类典型错误展示给学生分辨，并给出正确答案，分析产生错误的原因及纠正的方法，同时介绍最优解法，特别要指出一些创造性的解法；第三，提出今后学习的要求；第四，布置课外作业。5.2.2数学课堂教学实施的基本要求（一）语言表达语言是交流思想的工具，是表达内容的形式。在整个教学过程中，语言是完成教学任务的主要手段。教师的语言直接影响到教学工作的效果。良好的语言表达能力是教师提高教学质量的一项基本功，作为一名数学教师重视自己口头表达能力的训练是非常重要的。课堂语言的表达应注意以下几个方面：312\n§10．2课堂教学工作1、语言应具有严密的科学性语言表达的科学性应体现在准确性、逻辑性和系统性上。准确性要求说话明白，概念应用的确切。逻辑性要求，说话严谨周密，言之有理、言之有据。系统性要求，说话条理清楚，前后连贯。假如教师的语言违背了科学性就会导致概念模糊，造成判断模棱两可，进而造成推理上的错误。像“一个定理的逆定理不一定正确”;“因为ab=0，所以a=0且b=0”就是违背科学性的错误，要做到语言准确精练，就要认真备课，熟练掌握教材，并掌握好各部分的衔接作用和深入钻研数学理论问题，才能锤炼出准确和精练的语言。2、语言表达应具有启发性语言的启发性就是要求教师的语言能启发学生积极思维，提高学生的主观能动性，语言还要含蓄，给学生留有思考的余地。要想使语言富有启发性，教师除了熟练掌握教学内容、不断丰富教学语言外，还要充分了解学生的思想、程度、语言特点以便适合学生的口味，符合他们的思维速度，易于他们接受。3、语言表达应具有直观性语言表达的直观性体现在生动和形象两个方面。语言的生动性要求教师在抓住教材的本质进行分析的同时，又要语言幽默，以消除学生思维的疲劳;语言生动有趣，以唤起学生求知欲和学习热情，使枯燥的知识趣味化。语言的形象性要求教师要将抽象的内容力求具体化，深奥的道理形象化，联系实际深入浅出善于比喻，引起学生的联想和深入思考便于接受。课堂语言的生动和形象是受教学内容制约的，应在深刻挖掘教材的基础上，反复联想对比，从内涵与外延方面把知识综合起来，切忌无原则的逗笑和追求华而不实的语言。4、语言的表达应具有节奏性教师语言的节奏性是指教师语言要快慢得当，声调要有轻重缓急，使学生听起来感到抑扬顿挫，条理清楚富有感染力，如果教师的语言太快学生思维跟不上，记忆不深刻，难以对知识消化。太慢则落后于学生的思维，分散学生智力的发展。若声调太高或太低，对学生的思维起“抑制”作用，影响注意力的保持，或使学生易于疲劳，降低学生听课效果。一般说来，教师讲课的声音应使第一排学生听了不刺耳，最后一排学生听起来不吃力比较合适。教师的语言节奏，312\n§10．2课堂教学工作要依据教学内容及课堂上学生情绪来确定，讲到重点难点或关键的地方，语言速度要放慢，语气要加重，要稍有停顿，以便学生思考和领会。5、要以姿势辅助语言教师正确的姿态可以增强语言的表达效果，配合讲课内容做出相应的手势与举动，以姿势助说话是一种有效的方法，同时教师脸部的表情、目光的转移、动作的停顿会起到辅助语言的作用。在课堂上应讲普通话，普通话才能充分发挥语言的作用，我们要十分重视语言的作用，认真学习、努力实践，在教学中不断加以总结和提高。（二）板书设计板书是课堂教学的重要组成部分。板书的好坏直接影响学生听课的情绪和教学效果，板书是无声的语言，板书也是教学中的一门艺术。板书的设计首先要与所授内容相结合，它应该反映出定义、定理、公式、法则及主要推导过程，它应有例题及其解答过程，它应有总结性的内容提要和规律、要点，在内容书写上不宜过详或过略，板书要求工整系统，重点突出，层次分明，安排有计划。312\n§10．2课堂教学工作板书的设计可分为以下几种类型：①习惯型板书，即把黑板分成若干条形，然后从上到下从左到右书写，这是教师最常用一种书写形式；②对称型板书。这种板书是从左右同时书写，这主要用于比较法。通过对称书写，对相似内容比较异同，形成鲜明对比，旨在加深理解，便于记忆。有时也有上下对称书写格式；③表格式板书。主要对知识内容进行系统归纳。教师划出表格，由学生分别填写或由教师启发诱导，师生共同去完成；④布阵型板书，这种板书是将黑板划为几个区域，在每个区域内重点阐明一个问题，内容既分散又联系，然后通过一些线条进行有机连接，就形成一个完整的内容系统；⑤图形型板书。这种板书主要是因为讲述内容多容量大，为了节省时间只画出有关图形，其推理过程及证明解答等均用口语叙述。作图时，大小要适宜，层次要合理，搭配要协调，使学生直观认识真切明了；⑥艺术型板书。这种板书是事先有周密的设计，代数语言，图形语言放在什么位置明确，标题大小位置一定，整个板书犹如一期黑板报，学生赏心悦目，效果特强。掌握了板书的类型，更要有好的内容，这就要求教师做到：①布局合理；②格式规范；③重点突出；④直观醒目；⑤写画工整；⑥疏密得当；⑦色彩鲜明。为此，教师在课堂教学中就应熟悉教材，调查学生实际能力，了解板面容量大小等方面后设计板书，用优美工整的粉笔字来处理板书工作。一般小学用楷书，中学多用楷书和行书。（三）仪表教态仪表教态是课堂上的非言语行为，也是传递信息的手段之一。它包括教师的姿态、教师的视线、教师的情绪。美国心理学家艾帕尔·梅拉利恩做了许多实验，最后得出一个公式:课堂上的信息的总效果=7%的文字+38%的音调+55%的面部表情。从这个公式看出，属于非语言行为的作用占的比重是很大的，从教育控制论和教学的实践可以看出，课堂上非语言行为在信息传递中有着明显的作用。首先，通过恰到好处的非言语行为，充分利用视觉的补偿作用，教师积极输出的信息会更好地转化为学生主动输入的信息，从而更好地理解讲课的内容;其次，可以补充和代替语言行为，使学生在接受语言信息的同时，得到鲜明生动的形象，使言语行为与非言语行为恰当结合，同时作用于学生的大脑，使学生积极地进行思维;最后，312\n§10．2课堂教学工作可以促进信息传递中的反馈调节，使学生用心去收集教师发生的信息，并根据理解掌握的情况反馈给教师。因此，作为一名数学教师要十分注意课堂上的非言语行为。教师的姿态要沉着、稳重、自然大方，使学生敬而不畏，感到听你的课是一种美的享受，越听越爱听。教师要注意既不要呆在一个位置用一种机械的姿势讲课，也不要在讲台上频繁的来回走动，以免分散学生的注意力，影响听课的效果。教师的视线要注视全班学生，既不能只面对课本、教案、也不能只是面对黑板。教师的视线要尽量环顾班内的每一位同学，通过视线与学生交流信息，得到反馈。教师的情绪要乐观、饱满、笑而不露，表情发自内心而自然流露，教师要用乐观饱满的情绪去调剂学生听课的情绪，以减少学生听课的疲劳。（四）课堂组织1、创设良好的课堂气氛2、及时反馈教学信息3、合理控制教学时间4、掌握反应调控技能§5.3课后的系列工作5.3.1学生作业的处理学生完成作业是整个教学过程的重要一环。学生通过自己的实践活动巩固基础知识和掌握基本技能，并逐步形成能力。批改作业是教师了解学生学习情况和检查教学效果的一个有力手段。所以正确对待作业是教师和学生都面临的一个重要课题，而随着注意各种能力的培养，对作业的要求也就越来越受到重视。（一）作业的布置作业一般分为课堂练习和课外作业两种，它们的要求在前面有所阐述，现将有关形式简介如下：1、312\n§10．2课堂教学工作练习本形式作业。这种作业是每次老师布置作业后，由学生按先后顺序独立完成，按时报交，这种作业是最常见的形式。它的目的是使学生深刻地理解和完整地掌握课堂上所学的知识，系统地训练学生应用数学知识的技能，技巧和发展学生的思维能力。它可以通过作业，让教师全面地了解学生在学习中对某个环节掌握的情况，可对症下药及时纠正。所以这种传统的作业形式仍深受广大师生的欢迎，是学生作业的主要形式。2、活页式作业。这种作业是由作业纸一张一张组成，每次在事前由教师根据教学内容编写刻印好，让学生课后像考试一样独立完成交回。这种作业的好处是作业规范、书写清楚、便于保留，便于复习，让学生养成保留资料的良好习惯。另外这种作业容量可大可小，学生不抄题，无监考，可养成良好的自学习惯。同时教师批改较作业本方便，也便于携带，所以这种作业法越来越受到师生喜爱。当然这种作业，对教师备课要求很高。首先要求教师在钻研教材的基础上对作业精选细排，不仅要考虑书本上作业，还要补充一些课外作业。在安排上也象出试卷一样，考虑习题的梯度，深度和广度，这显然增加了教师一定的负担，但其收效却是显著的。一般，这是学生作业的辅助形式。3、自检式作业在某种情况下由于教师备课任务重，学生作业多，除上述形式作业外还布置一些作业是不收的，只公布答案让学生自我检查。这种作业可给学生一定机会接触大量习题，也可让优生对综合题的了解更全面。但这种作业不宜太多，否则将流于形式，效果不佳。（二）作业的批改订正对作业的批改是教师全面了解学生的主要途径。所以作为教师，他将付出可观的时间去批改作业，对作业的处理一般有如下几种形式：1、全批全改形式。这是一种学生和家长普遍欢迎的形式。对数学作业学生每天交，教师每天改，这可以经常了解学生交纳作业与作业质量情况，可督促学生每天按教师要求去完成学习任务。但是采用这种批改形式教师必须做到对作业进行登记，定期公布，并列为成绩考核的一部分。另外对作业错对不能只划“´”、“Ö”，而应指出错误所在直至面批，及时总结。这样才能不使教师的宝贵时光每天花在形式主义的作业批改上。2、轮流批改形式。由于全批全改对教师的负担太重，占用时间太多，而教师的精力应主要花在备课上，所以部分批改是教师赢得时间的有效手段。这就是将学生分成几组，每次批改一部分，对发现的问题及时在课堂上总结纠正，对原则性错误和普遍性错误更应着重强调和提出解决办法，这比只划“Ö”、“´312\n§10．2课堂教学工作”更为有效。但是还要根据实际情况而定，特别是如果学生学习自觉性不高则还应全批全改。3、公布答案形式。这种批改形式是教师不直接改作业，而只公布答案，让学生自检。一般要求教师将标准答案公布在《数学园地》而不应只写在黑板上，否则写后即擦，大部分学生课后仍无答案可查。4、课堂讲解形式。这种方法是将上次布置的作业在开始上课时加以讲评。这种形式全班同学都可通过讲解而详细了解自己作业的对错，但占用新课时间，不宜普遍应用，而只能对普遍存在严重错误的作业，或者对有益于引进新课的作业题采取这种方法。作业批改教师要评定成绩登入记分册，评分可鼓励先进，督促后进，起到调动学生学习积极性的作用。对学生做错的作业不能放任自流，而应督促学生及时纠正，对重做作业，教师也应适时批改，认真检查。这样，才能不让学生放过一点可能产生后遗症的问题。5.3.2成绩考核（一）考查类型对学生考查从形式上可分口头考查和书面考查。口头考查主要是通过课堂提问、板演等方式评定平时成绩；书面考查又分平时测验、期中考试和期终考试三种。口头考查一般要求对提出的问题要有一定的范围，题目要明确，学生回答时教师应仔细听，对其错误要纠正，在回答中不轻易打断学生讲话，在停顿时可提出一些提示性的问题。书面考查的次数不应过多，一般以每章终结或一月一次。在书面考查中试题的选择十分重要，难易应符合课程标准、教学大纲要求并要考虑学生实际情况，必要时可出“附加题”。另外考试时，教师应认真监考，努力克服作弊现象。（二）学生成绩的评定1、312\n§10．2课堂教学工作命题。一张试卷反映教师对学生学习质量的要求，首先必须符合课程标准、教学大纲，命题必须合理，这就要注意题目的难易层次，注意命题的份量大小，还要考虑命题的覆盖面，命题的格式等。一份好的试卷应能合理地考查出一个学生对知识的掌握情况和能力的发展情况。2、评分。评定学生成绩是学校的重要工作之一，是能否升级、毕业的科学依据。一般说每学期评定学生成绩由平时测验、期中考试、期末考试三部分组成，总评时一般期末考试占的比例较大。在评分中教师要仔细准确，要注意各种不同解法，要持客观、公平的态度来评定每一个学生的成绩，发现漏评错评应及时改正，这样才不会降低教师的威信。3、试卷分析。对试卷分析一般指质和量的分析，其中定量分析主要指登记学生成绩，绘制学生成绩分布状况统计表，各题得分情况统计表、平行班级题差、均差比较表，产生原因分析表；定性分析主要指分析产生问题的原因，存在的主要问题及克服办法，优选最佳解题法，并具体从概念、计算、论证等多方面去分类分析。通过试卷分析，让学生总结经验，扬长补短；让教师心中有数、制定改进措施，从而促进师生共同为提高教学质量而奋斗。5.3.3课外活动（一）课外活动的意义作为一个数学教师不仅要搞好课堂教学，而且还要搞好培养能力的第二课堂——课外活动。课外活动开展得好坏，不仅直接影响课堂的教学质量，而且对校风、班风也有一定的促进作用，所以搞好数学课外活动也是教师必不可少的工作之一。数学课外活动工作应该是面向全体学生的，不应认为课外活动仅仅是对数学感兴趣、成绩优异的学生实施组织的活动。适当地开展各种形式的课外活动，对于全面提高数学教学质量有很大作用。①可加强对学生的思想教育；②可扩展学生的科学眼界；③可培养学生独立工作的能力；④可提高学生学习数学的兴趣；⑤可培养优秀的人才。（二）课外活动的原则1、自愿参加。参加课外活动，以自愿为原则。学生自愿报名后，由任课的数学教师选定。2、密切联系教材。课外活动要密切联系数学教材，对其内容可加深、加宽，但不可成为课堂教学的延续。3、312\n§10．2课堂教学工作形式多样。课外活动的形式应多种多样，不可用单一的讲课方式，因为丰富多彩的讲课形式更容易引起学生的学习兴趣。4、师生结合。在数学课外活动中，在教师的指导下，学生可更好地进行自主探索式的学习。师生交流共同分享的教学方法更能显示其优越性。（三）课外活动的基本组织形式数学课外活动小组，这是一种最实际也是最有效的一种基本组织形式。一般是一个班级成立一个活动小组，10人左右，要有负责人，要有活动计划，要有规章制度，要有活动地点，要有固定的指导教师。若要求参加人数的较多，可按学生不同学习层次分A、B组，分类活动。其活动次数一般以2~4周活动一次为宜，其活动内容一般有如下几种。①办数学墙报；②专题讨论；③制作教具，参观访问；④数学专题讲座或数学竞赛辅导；⑤数学晚会、数学游戏等。其中有些活动可以数学课外活动小组为骨干，带动全班同学举办活动，这样效果最佳。（四）几种具体的活动方式（1）数学墙报。其主要内容可从如下几方面考虑：①学生学习数学的经验介绍；②结合教材研究习题及常见病；③数学史简介，数学故事；④数学家小传；⑤与小学有关的数学信息及活动报导；⑥趣味题征解；⑦学生小论文习作等。数学墙报要注意科学性、知识性、趣味性。一般可两周出一次。（2）数学讲座。数学讲座以年级为单位，是数学课外活动的一种形式。主讲人可聘请老师或科研人员担任。一般可讲如下内容：①近代数学科学的发展及应用简介；②传统数学历史名题及历史名人；③解题方法；④教材中的重点分析，与教学内容有关的专题讲解；⑤数学竞赛历史与活动情况介绍。312\n§10．2课堂教学工作数学讲座主要靠教师平时积累资料，不断丰富讲座内容，要集科学性与趣味性于一体，以生动、活泼、丰富多彩的形式满足学生需求。（3）数学竞赛。数学竞赛能激发学生对数学的兴趣，促使学生刻苦学习数学知识。是发现人才的一条途径，也是促进教学工作和提高教学水平的有益活动之一。组织数学竞赛应注意：①竞赛应为培养学生能力服务；②竞赛应为平时数学教学服务；③竞赛应为促进学生全面成长服务；④竞赛应努力面向全体学生；⑤竞赛应有利于优秀人才的脱颖而出。数学竞赛的一般做法是：第一轮为班级团体赛，以班级为单位竞赛和计分，要求全体学生参加。比如竞赛方式可采用60分钟完成60道选择或填充题。这种竞赛又称为初赛。第二轮是进行个人赛，这种竞赛可采用自愿报名的方法，也可分初试和复试进行，从中可选择出优秀的学生。还可以进行班级对抗赛，从每班选拔5~10人参加。从学校多次竞赛中可选拔出优秀学生参加校际间或更大范围的竞赛。数学竞赛的命题十分重要，第一试以考查学生基础知识和基本技能为主，所以题目不宜过难；第二试主要考查学生的思维能力、综合解题能力和灵活性、创造性，题目要有一定难度，可超过课本常规类型。总之题目要有一定水平，但难而不怪，高而可攀，竞赛题目要面向世界，具有挑战性。（4）指导学生写小论文。指导高年级有能力的学生撰写小论文，是课外活动的重要内容之一。教师指导学生写小论文主要从以下几方面入手：①指导学生阅读书刊，如数学科普读物或中学数学杂志等刊物，以激发兴趣，增长见识，拓宽视野，提高理论水平。②指导学生写解题分析，单元小结，学习体会等，提高写作水平。③帮助确定小论文题目。题目学生可以自选，教师要善于因人而异，充分考虑学生的特长和兴趣，进行选题指导，这样写出的文章才有个人特色。312\n§10．2课堂教学工作④指导修改小论文，提出指导性意见，引路放手，充分调动学生的积极性，帮助他们修改后在数学墙报上刊登。⑤如有条件，也可指导学生自办《数学小报》，通过帮助，使他们自己动手撰文、组稿、审稿、编辑、打印。既锻炼了他们的工作能力，也提高了他们的写作水平。（5）其他活动。课外活动形式多样，生活活泼，除上面介绍的几种活动外，一般还可组织以下活动，如组织学生制作教具或进行参观访问活动，组织数学晚会或数学游戏活动，进行实地测绘活动等。有条件的学校，象开运动会一样，每年还可搞一个“数学活动日”。这一天，全校开展各种各样的数学活动，如放数学电影，请数学家讲座，猜数学灯谜，玩数学游戏，……这一天，让全校师生沉浸在数学氛围之中。六、思考题1、备课的基本要求是什么？2、结合实例分析一堂小学数学课的基本结构。3、怎样有效地组织小学数学课外活动？312\n§10．2课堂教学工作第六章小学数学概念教学一、教学目的通过本章的学习，使学生了解小学数学概念小学数学概念的表现形式及其教学的一般要求；掌握小学数学概念教学的过程与方法。二、教学重点、难点重点是小学数学概念教学的过程与方法；难点是小学数学概念教学设计。三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献四、教学内容本章主要内容：l小学数学概念教学概述l小学数学概念教学的过程与方法。五、教学过程§6.1小学数学概念教学概述6.1.1小学数学概念（一）什么是数学概念数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。在数学中，客观事物的颜色、材料、气味等方面的属性都被看作非本质属性而被舍弃，只保留它们在形状、大小、位置及数量关系等方面的共同属性。在数学科学中，数学概念的含义都要给出精确的规定，因而数学概念比一般概念更准确。小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。如只有明确牢固地掌握数的概念，才能理解运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。312\n§10．2课堂教学工作（二）小学数学概念的表现形式在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示方式。1．定义式定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。这些定义式的概念抓住了一类事物的本质特征，揭示的是一类事物的本质属性。这样的概念，是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中，使之从直观到表象、继而上升为理性的认识。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。2．描述式用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善，在小学数学教材中一般用于以下两种情况。一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条直线，把它拉紧，就成了一条直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。312\n§10．2课堂教学工作一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。因此，小学数学概念呈现出两大特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念的阶段性。在进行数学概念教学时，我们必须注意充分领会教材的这两个特点。6.1.2小学数学概念教学的意义首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。小学数学的基础知识包括：概念、定律、性质、法则、公式等，其中数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础。学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念的基础上的。事实证明，如果学生有了正确、清晰、完整的数学概念，就有助于掌握基础知识，提高运算和解题技能。相反，如果一个学生概念不清，就无法掌握定律、法则和公式。例如，整数百以内的笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起，个位满十，就向十位进一。”要使学生理解掌握这个法则，必须事先使他们弄清“数位”、“个位”、“十位”、“个位满十”等的意义，如果对这些概念理解不清，就无法学习这一法则。又如，圆的面积公式S=πr2，要以“圆”、“半径”、“平方”、“圆周率”等概念为基础。总之小学数学中的一些概念对于今后的学习而言，都是一些基本的、基础的知识。小学数学是一门概念性很强的学科，也就是说，任何一部分内容的教学，都离不开概念教学。其次，数学概念是发展思维、培养数学能力的基础。概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点，所以概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。没有正确的概念，就不可能有正确的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。例如，“含有未知数的等式叫做方程”，这是一个判断。在这个判断中，学生必须对“未知数”、“等式”这几个概念十分清楚，才能形成这个判断，并以此来推断出下面的6道题目，哪些是方程。(1)56+23＝79(2)23-x＝67(3)x÷5＝4.5(4)44×2＝88(5)75÷x＝4(6)9+x＝123312\n§10．2课堂教学工作在概念教学过程中，为了使学生顺利地获取有关概念，常常要提供丰富的感性材料让学生观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性。通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用。从而使学生的初步逻辑思维能力逐步得到提高。6.1.3数学概念教学的一般要求1．使学生准确理解概念理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象，三要掌握表示概念的词语或符号。2．使学生牢固掌握概念掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概念的肯定例证和否定例证。能对概念进行分类，形成一定的概念系统。3．使学生能正确运用概念概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下，辨认出概念的本质属性，运用概念的有关属性进行判断推理。§6.2小学数学概念教学的过程与方法6.2.1小学数学概念教学的过程根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段：①引入概念，使学生感知概念，形成表象；②通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和应用概念。（一）数学概念的引入数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。312\n§10．2课堂教学工作引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构造产生的。因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法。1、以感性材料为基础引入新概念。用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面内、两条边可以无限延长、永不相交等。同样可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。又如，学习“整除”概念时，可以从“除法”中的“除尽”来引入。又如，学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两个概念引入。再如，在学习质数、合数概念时，可用约数概念引入：“请同学们写出数1，2，6，7，8，12，11，15的所有约数。它们各有几个约数？你能给出一个分类标准，把这些数进行分类吗？你能找出多种分类方法吗？你找出的所有分类方法中，哪一种分类方法是最新的分类方法？”3、以“问题”的形式引入新概念。以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。例如，在学习“平均数”时，教师可以先向学生呈现一个“312\n§10．2课堂教学工作幼儿园小朋友争拿糖果”的生活情境，让学生思考，为什么有的小朋友很高兴，有的小朋友很不高兴？应该怎样做才能使大家都高兴？接下来应该怎么做？这个幼儿园的老师可能会怎么做？4、从概念的发生过程引入新概念。数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。例如，小数、分数等概念都可以这样引入。这种方法生动直观，体现了运动变化的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。（二）数学概念的形成引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。1、对比与类比。对比概念，可以找出概念间的差异，类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，学习“整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比，去比较发现两者的不同点。用对比或类比讲述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。2、恰当运用反例。概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段。但必须注意，所选的反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。3、合理运用变式。312\n§10．2课堂教学工作依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。例如，讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形(图6-1(1))展示外，还应采用变式图形(图6-1(2)、(3)、(4))去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。图6—1（三）数学概念的巩固为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几个方面。1、注意及时复习概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必须及时复习，巩固离不开必要的复习。复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。当概念教学到一定阶段时，特别是在章节末复习、期末复习和毕业总复习时，要重视对所学概念的整理和系统化，从纵向和横向找出各概念之间的关系，形成概念体系。2、重视应用在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，而且还在于能否正确灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应用意识。概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。（1）概念内涵的应用①复述概念的定义或根据定义填空。312\n§10．2课堂教学工作②根据定义判断是非或改错。③根据定义推理。④根据定义计算。例4（1）什么叫互质数？答：是互质数。（2）判断题：27和20是互质数（ ）34与85是互质数（ ） 有公约数1的两个数是互质数（ ） 两个合数一定不是互质数（  ）（3）钝角三角形的一个角是82o，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多少度？（4）如果P是质数，那么比P小的自然数都与P互质。这句话对吗？请说明理由？2．概念外延的应用（1）举例（2）辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。（3）按指定的条件从概念的外延中选择事例。（4）将概念按不同标准分类。例5（1）列举你所见到过的圆柱形物体。（2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？（图6－2）图6—2（3）分母是9的最简真分数有＿分子是9的假分数中，最小的一个是          （4）将自然数2－19按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）概念的应用可分为简单应用和综合应用，在初步形成某一新概念后通过简单应用可以促进对新概念的理解，综合应用一般在学习了一系列概念后，把这些概念结合起来加以应用，这种练习可以培养学生综合运用知识的能力。(三)注意辨析312\n§10．2课堂教学工作随着学习的深入，学生掌握的概念不断增多，有些概念的文字表述相同，有些概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，如质数与互质数，整除与除尽，体积与容积等等。因此在概念的巩固阶段，要注意组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概念的区别和联系，以促使概念的精确分化。例6关于面积和周长，可组织学生从下列几个方面进行对见(1)什么叫做长方形的周长？什么叫做长方形的面积？（2）周长和面积常用的计量单位分别有哪些？（3）在图6—3中，A，B两个图形的周长相等吗？面积相等吗？图6—4图6—3（4）图6—4中的每一小方格代表一平方厘米，这个图的面积是，周长是，剪一刀，然后将它拼成一个正方形，这个正方形的周长是，面积是。数学概念是用词或词组来表达的，但有些词语受日常用语的影响，会给学生造成认识和理解上的错觉和障碍。如几何知识中的高”、“底”、“腰”等概念，从字面上容易使学生产生“铅垂方向”与“下方”、“两侧”的错觉。而“倒数”则强化了分子与分母颠倒位置的直观认识，弱化了“两个数的乘积等于1”的本质属性，因此在教学时，要帮助学生分清一些词的日常意义和专门的数学意义，正确地理解表示概念的词语，从而准确地掌握概念。（二）小学数学概念教学中应注意的问题1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。由于客观事物的不断发展和变化，同时也由于人们认识的不断深化，因此，作为人们反映客观事物本质属性的概念，也是在不断发展和变化的。但是，在小学阶段的概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的。如对“数”这个概念来说，在不同的阶段有不同的要求。开始只是认识1、2、3、……312\n§10．2课堂教学工作，以后逐渐认识了零，随着学生年龄的增大，又引进了分数(小数)，以后又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩充到实数、复数的范围等。又如，对“0”的认识，开始时只知道它表示没有，然后知道又可以表示该数位上一个单位也没有，还知道“0”可以表示界限等。因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是要切实把握概念教学的阶段性目标。为了加强概念教学，教师必须认真钻研教材，掌握小学数学概念的系统，摸清概念发展的脉络。概念是逐步发展的，而且诸概念之间是互相联系的。不同的概念具体要求会有所不同，即使同一概念在不同的学习阶段要求也有差别。有许多概念的含义是逐步发展的，一般先用描述方法给出，以后再下定义。例如，对分数意义理解的三次飞跃。第一次是在学习小数以前，就让学生初步认识了分数，“像上面讲的、、、、、等，都是分数。”通过大量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份都可以用分数来表示。从具体事物中抽象出来。然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出，分谁，谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了。这样三个层次不是一蹴而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。再如长方体和立方体的认识在许多教材中是分成两个阶段进行教学的。在低年级，先出现长方体和立方体的初步认识，通过让学生观察一些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等。积累一些有关长方体和立方体的感性认识，知道它们各是什么形状，知道这些形状的名称。然后，通过操作、观察，了解长方体和立方体各有几个面，每个面是什么形状，进一步加深对长方体和立方体的感性认识。再从实物中抽象出长方体和立方体的图形(并非透视图)312\n§10．2课堂教学工作。但这一阶段的教学要求只要学生知道长方体和立方体的名称，能够辨认和区分这些形状即可。仅仅停留在感性认识的层次上。第二阶段是在较高年级。教学时仍要从实例引入。教学长方体的认识时，先让学生收集长方体的物体，教师先说明什么是长方体的面、棱和顶点，让学生数一数面、棱和顶点各自的数目，量一量棱的长度，算一算各个面的大小，比较上下、左右、前后棱和面的关系和区别。然后归纳出长方体的特征。再从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。进而可以让学生对照实物，观察图形，弄清楚不改变观察方向，最多可以看到几个面和几条棱。哪些是看不见的，图中是怎样来表示的。还可以让学生想一想，看一看，逐步看懂长方体的几何图形，形成正确的表象。在把握阶段性目标时，应注意以下几点：(1)在每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不致于造成概念混乱的现象。有些概念不严格下定义，但也要依据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的本质特征。同时注意与将来的严格定义不矛盾。(2)当一个教学阶段完成以后，应根据具体情况，酌情指出概念是发展的，不断变化的。如：有一位学生在认识了长方体之后，认为课本中的任何一张纸的形状也是长方体的。说明该学生对长方体的概念有了更进一步的理解，教师应加以肯定。(3)当概念发展后，教师不但指出原来概念与发展后概念的联系与区别，以便学生掌握，而且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其发展变化。如“倍”的概念，在整数范围内，通常所指的是，如果把甲量当作1份，而乙量有这样的几份，那么乙量就是甲量的几倍。在引入分数以后，“倍”的概念发展了，发展后的“倍”的概念，就包含了原来的“倍”的概念。如果把甲量当作l份，乙量也可以是甲量的几分之几。因此，在数学概念教学中，要搞清概念之间的顺序，了解概念之间的内在联系。数学概念随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。教学时既要注意教学的阶段性，不能把后面的要求提到前面，超越学生的认识能力；又要注意教学的连续性，教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏。从而处理好掌握概念的阶段性与连续性的关系。2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾312\n§10．2课堂教学工作尽管教材中大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。但对于小学生来说，数学概念还是抽象的。他们形成数学概念，一般都要求有相应的感性经验为基础，而且要经历一番把感性材料在脑子里来回往复，从模糊到逐渐分明，从许多有一定联系的材料中，通过自己操作、思维活动逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本质特征或属性，这是形成概念的基础。因此，在教学中，必须加强直观，以解决数学概念的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾。（1）通过演示、操作进行具体与抽象的转化教学中，对于一些相对抽象的内容，尽可能地利用恰当的演示或操作使其转化为具体内容，然后在此基础上抽象出概念的本质属性。几何初步知识，无论是线、面、体的概念还是图形特征、性质的概念都非常抽象，因此，教学中更要加强演示、操作，通过让学生量一量、摸一摸、摆一摆、拼一拼来让学生体会这些概念，从而抽象出这些概念。例如“圆周率”这一概念非常抽象，有的教师在课前，布置每个学生用硬纸制做一个圆，半径自定。上课时，就让每个学生在课堂作业本上写出三个内容：(1)写出自己做的圆的直径；(2)滚动自己的圆，量出圆滚动一周的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。全班同学做完后，要求每个同学汇报自己计算的结果，并把结果整理成下表。圆直径(厘米)圆的周长(厘米)周长是直径的几倍A26.23.1B39.63.2C412.63.15D515.73.14然后引导学生分析发现：不管圆的大小，它的周长总是直径的3倍多一点。这时再揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率。再让学生任意画一个圆，量出直径和周长加以验证。这样，引导学生把大量的感性材料，加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时用的单位等)，抓住事物的本质特征(圆的周长总是直径的3倍多一点)，形成了概念。312\n§10．2课堂教学工作这样教师借助于直观教学，运用学生原有的一些基础知识，逐步抽象，环环紧扣，层次清楚。通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。（2）结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化教学中有许多数量关系都是从具体生活内容中抽象出来的，因此，在教学中应该充分利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的转化，即把抽象的内容转化为学生的具体生活知识，在此基础上又将其生活知识抽象为教学内容。例如乘法交换律的教学，往往让学生先解答这样的习题：一种钢笔，每盒10支，每支3元，买2盒钢笔要多少元?学生在实际解答中发现，这道题可以有两种解答思路，一种是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一种是先求出“一共有多少支钢笔”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教学也是让学生解答类似的问题，如：一件上衣50元，一条裤子30元，买这样的5套衣服需要多少元?这样借助于学生熟悉的生活情景，使抽象的问题变得具体化。同样常见数量关系中的单价、总价与数量之间的关系；路程、速度与时间的关系，工作量、工作效率与工作时间之间的关系等，都应结合学生的生活经验，通过具体的题目将其抽象出来，然后又利用这些关系来分析解决问题。这样的训练有利于使学生的思维逐渐向抽象思维过渡，逐步缓解知识的抽象性与学生思维的具体形象性的矛盾。但是，运用直观并不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手段。因此概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性认识后，要对所观察的事物进行抽象概括，揭示概念的本质属性，使认识产生飞跃，从感性上升到理性，形成概念。3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程尽管小学生获取概念有概念形成和概念同化这两种基本形式，各类概念的形成又有各自的特点，但不管以何种方式获得概念，一般都会遵循从“引入一理解一巩固一深化”这样的概念形成路径。下面就概念教学中每个环节的教学策略及应注意的问题作一阐述。（1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料312\n§10．2课堂教学工作在概念引入的过程中，要注意使学生建立起清晰的表象。因为建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基础，因此，在小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念，都应考虑如何使小学生在头脑中建立起清晰的表象。概念教学一开始，应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识。如在一节教学分数的意义的课上，一位教师为了突破单位“l”这一教学难点，事先向学生提供了各种操作材料：一根绳子，4只苹果图，6只熊猫图，一张长方形纸，l米长的线段等，通过比较、归纳出：一个物体、一个计量单位、一个整体都可以用单位“1”表示，从而突破理解单位“1”这一难点，为理解分数的意义奠定了基础。但概念引入时所提供的材料要注意三点：一是所选材料要确切。例如角的认识，小学里讲的角是平面角，可以让学生观察黑板、书面等平面上的角。有的教师让学生观察教室相邻两堵墙所夹的角，那是两面角，对于小学教学要求来说，就不确切了。二是所选材料要突出所授知识的本质特征。例如直角三角形的本质特征是“有一个角是直角的三角形”，至于这个直角是三角形中的哪一个角，直角三角形的大小、形状，则是非本质的。因此教学时应出示不同的图形，使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。（2）概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的本质属性概念的理解是概念教学的中心环节，教师要采取一切手段帮助学生逐步理解概念的内涵和外延，以便让学生在理解的基础上掌握概念。促进对概念理解的途径有：1）剖析概念中关键词语的真实含义例如，分数定义中的单位“1”、“平均分”、“表示这样的一份或几份的数”，学生只有对这些关键词语的真实含义弄清楚了，才会对分数的概念有了深刻的理解。再如教学“整除”概念之后应帮助学生从以下三方面进行判断，一是判断是否具有“整除”关系的两个数都必须是自然数；二是这两个数相除所得的商是整数；三是没有余数。对定义的分析是帮助学生认识概念的又一次提高。三角形的高的定义:“312\n§10．2课堂教学工作从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。”这里的“一个顶点”、“垂线”、“垂足”都是一些关键词语。为了让学生理解三角形的高，除了让学生理解字面意思外，往往还需要学生通过实际操作，体会画“高”的全过程。指出画“高”的关键是画垂线，并注意限制条件：“过三角形的一个顶点(可以是任何一个顶点)，作到它对边的垂线，顶点和垂足之间的线段”。这样把实际操作的过程和所画的三角形高的图形与定义所叙述的内容对照，使学生准确地理解三角形的高的定义。这实际上是在数学概念建立后，帮助学生对本质属性进行剖析，既将本质属性再次从定义中分离出来，加以明确。2）辨析概念的肯定例证和否定例证学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定例证来促进学生对概念的辨析。在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一些练习，如教完三角形按角分类后，可以出示：一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。让学生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类，以深化对三角形这一概念的外延的进一步认识。再如，小数的性质揭示后，可以让学生判断0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各数，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?从而加深学生对小数性质的理解。3）变换本质属性的叙述或表达方式小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清楚，也不全面，把非本质的特征作为本质的特征。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形，如果斜着放就辨认不出来。为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个侧面来理解概念。旨在从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达，如果学生对各种不同的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。4）对近似的概念及时加以对比辨析312\n§10．2课堂教学工作在小学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。如数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积，等等。对这类概念，学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较，以避免互相干扰。如学习了“整除”，为了和以前学的“除尽”加以比较，可以设计这样的练习题：下列等式中，哪些是整除，哪些是除尽?(1)8÷2＝4(2)48÷8＝6(3)30÷7＝4……2(4)8÷5＝1.6(5)6÷0.2＝30(6)1.8÷3＝0.6引导学生通过分析、比较，从而得出：第(3)题是有余数的除法，当然不能说被除数被除数整除或除尽，其他各题当然能说被除数被除数除尽了。其中只有第(1)、(2)题，被除数、除数和商都是自然数，而且没有余数，这两题既可以说被除数被除数除尽，又能说被除数被除数整除。从上面的分析中，让学生明白：整除是除尽的一种特殊情况，除尽包括了整除和一切商是有限小数的情况。学习了比之后，可以用列表法设计比与除法、分数之间的联系的习题，从中明确“除法是一种运算，分数是一个数，比是一个关系式”的区别。（3）重视概念的运用，发挥概念的作用正确、灵活地运用概念，就是要求学生能够正确、灵活地运用概念组成判断，进行推理、计算、作图等，能运用概念分析和解决实际问题。理解概念的目的在于运用，运用的途径有：1)自举实例这是要求学生把已经初步获得的概念简单运用于实际，通过实例来说明概念，加深对概念的理解。有经验的教师，根据小学生对概念的认识通常带有具体性的特点，在学生通过分析、综合、抽象、概括出概念后，总是让他们自举例证，把概念具体化。从具体到抽象又回到具体，符合小学生的认识规律，使学生更准确把握概念的内涵和外延。例如在学生初步获得了真分数、假分数的概念后，就可以让学生分别举一些真分数和假分数的实例；知道了圆柱的特征后，让学生说说日常生活中有哪些物品的形状是圆柱形的。2)运用于计算、作图等例如，如学了乘法的运算定律后，就可以让学生简便计算下面各题。312\n§10．2课堂教学工作104×2548×25101×35×214×99+1425×32146+9×146(80+8)×258×(125+50)34×5×2在掌握分数的基本性质后，就要求学生能熟练地进行通分、约分，并说明通分、约分的依据。学习了小数的性质后，就可以让学生把小数按要求进行化简或改写；学习了等腰三角形，可设计一组操作题；画一个等腰三角形；画一个顶角60度的等腰三角形；画一个腰长为2厘米的等腰直角三角形。3)运用于生活实践数学概念来源于生活，就必然要回到生活实际中去。教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过程。并且，也只有让学生把所学习到的数学概念，拿到生活实际中去运用，才会使学到的概念巩固下来，进而提高学生对数学概念的运用技能。为此，教师在教学中应当根据教材内容和学生实际，在掌握小学数学教材逻辑系统的基础上，有意识地深化和发展学生的数学概念。例如在学习圆的面积后，一位教师就设计了这样的问题：“我们已经学习了圆面积公式，谁能想办法算一算，学校操场上白杨树树干的横截面面积?”同学们就讨论开了，有的说，算圆面积一定要先知道半径，只有把树砍下来才能量出半径；有的不赞成这样做，认为树一砍下来就会死掉。这时教师进一步引导说：“那么能不能想出不砍树就能算出横截面面积的办法来呢?大家再讨论一下。”学生们渴望得到正确的答案，通过积极思考和争论，终于找到了好办法，即先量出树干的周长，再算出半径，然后应用面积公式算出大树横截面面积。课后许多学生还到操场上实际测量了树干的周长，算出了横截面面积。再如，在教学正比例应用题时，可以启发学生运用旗杆高度与影长的关系，巧妙地算出了旗杆的高度。这样通过创设有效的教学情景，教师适时点拨，不但启迪了学生的思维，而且培养了学生学以致用的兴趣和能力，也加深了对所学概念的理解。（4）注重概念之间的比较分类，深化概念312\n§10．2课堂教学工作小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切，但是由于小学生思维发展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往是分几节课或几个学期来完成，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。对一些有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整理，使学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。尤其是中高年级，可以引导学生将概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系统。6.2.3概念教学片段举例（一）乘法的初步认识教学片段1．创设情景，出示课题师：老师带来了一些铅笔准备奖给学习认真的小朋友，如果每人2枝，奖给4位小朋友，一共要多少枝?怎样列式?(板书：2+2+2+2=8)如果奖给5位小朋友，一共要多少枝?(板书：2+2+2+2+2＝10)我们班46名同学学习都很认真，每位小朋友都奖励2枝，该怎么列式呢?教师一边板书2+2+2+2……，一边问：这样要写多少个“2”?能不能有一种比较简便的方法来表示呢?这就是今天要学习的乘法(板书课题)。2．直观感知，形成表象(1)教学乘号。(2)学生摆红花，写算式。师：在投影仪上先摆2朵，再摆2朵，最后再摆2朵。问：数一数，一共摆了几个2朵?(板书：3个2)可以用什么方法算?(板书：2+2+2＝6)这个连加算式中加数都是2，我们可以把它改写成乘法算式，写作：2×3=6，读做：2乘3；也可以写作：3×2＝6，读做：3乘2。(教师示范，再指名读、全班读)(3)学生摆小圆片，写算式。师：请小朋友自己摆一摆小圆片，再写出算式，行吗?要求第一行摆3个小圆片，第二行也摆3个小圆片，一共摆了几个小圆片?用加法算怎样列式?能改写成乘法算式吗?(根据学生回答板书：3+3＝63×2＝6或2×3＝6师：如果再摆两行，那一共又有几个3呢?算式该怎么列?(根据学生回答板书：3+3+3+3＝123×4＝12或4×3＝12(4)看图形，写算式。板书：4+4+4＝12，4×3＝12或3×4＝125+5+5＝15，5×3＝15或3×5＝15312\n§10．2课堂教学工作3．分析比较，揭示本质(1)师：仔细观察黑板上的这些加法算式和乘法算式，你发现了什么?引导学生得出：这些加法算式的加数都相同，所以能改写成乘法算式。求几个相同加数的和，用乘法计算比较简便。(2)讨论下列算式哪些能改写成乘法算式，哪些不能?为什么?2+2+33+3+3+35+56+6+6+74．多种训练，巩固和深化新知(1)看图列式。*********************加法算式：乘法算式：(2)根据算式，用学具摆一摆。2×24×32×5(3)把前面“导入”中的三道加法算式改写成乘法算式。(4)自己写一个加法算式，然后改写成乘法算式。5．小结(略)评析：这节概念课遵循了概念形成的规律，依据感知——表象——概念——运用这么一条途径。概念的引入能紧紧抓住同数连加这一已有的知识基础，又辅以生动形象的直观教学手段，可谓双管齐下。一开始就让学生在现实情境中初步接触“相同加数”，从计算全班学生的奖品总数而激起学生学习“乘法”的欲望。接着让学生在操作实践的过程中，各种感官协同活动，在获得大量感性材料的基础上，形成清晰而丰富的表象，为学生初步认识“乘法”奠定了坚实的基础。新课展开以后能及时对加法算式和乘法算式这些感性材料引导学生进行分析比较，抽象概括出本质属性。“求几个相同加数和，用乘法计算比较简便”这一结论是抽象概括的结果。教师通过第一层次由学生摆出了3个2朵小红花，列出加法算式2十2+2＝6再引导学生看算式回答算式中的加数有什么特点?再让学生用正方形摆出4个3，用小圆片摆出5个4，分别列出加法算式，并观察每个算式中加数的特点。第二层次，教师由三道加法算式引出新的运算——乘法，说明3个2相加的和，4个3相加的和。5个4312\n§10．2课堂教学工作相加的和，可以用乘法计算。第三层次，通过加法和乘法算式的比较，得出用乘法计算比较简便。第四层次是抽象出乘法的意义。在这个由具体到抽象的过程中，学生的抽象、概括能力得到了培养。为巩固新知设计的辨析题中既有肯定例证，也有否定例证，抓住了教学的难点，突出了教学的重点，有利于学生真正理解乘法的意义，即乘法是求几个相同加数和的简便运算。最后写出求46个学生的铅笔总数的乘法算式，使学生已有的概念得到了及时扩展。整节课学生都主动地投入了整个教学过程。（二）面积单位及其进率教学片段1．感知1平方分米(1)学生观察：教师在黑板上贴的纸上画一条1分米长的线段，以这条线段为边长，画一个正方形。告诉学生，这个边长1分米的正方形的面积是l平方分米。接着教师用剪刀剪下这l平方分米的正方形纸，贴在黑板上。(2)学生操作：剪出一个l平方分米的正方形，用手摸一摸，闭上眼睛想一想1平方分米的样子及大小。2．感知1平方厘米(1)师：谁能第一个剪出1平方厘米的正方形?学生动手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他们说说是怎样剪的。然后让学生用手摸一摸，闭上眼睛想一想l平方厘米的样子及大小。(2)把1平方分米的正方形纸和l平方厘米的正方形纸放在桌面上，看一看，比一比，闭上眼睛想一想它们的样子及大小。3．感知1平方米师：谁能告诉大家，怎样剪出1平方米的正方形纸?学生说完，教师就把事先剪好的1平方米的正方形纸贴在黑板上，让学生看一看，闭上眼睛想一想它的样子和大小。4．讨论：什么叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?5．讨论：1平方分米、l平方厘米及l平方米的关系。(1)要求学生看着自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形纸。想一想怎样才能测出1平方分米中有多少个l平方厘米?学生认为动手摆一摆、画一画就能测出来。开始学生把两张正方形纸的一个顶点对齐，然后沿着1平方厘米的正方形纸的边沿把它所占的平面位置画在了1平方分米的正方形纸上。再挪动1312\n§10．2课堂教学工作平方厘米的正方形纸，紧挨着画好的小正方形摆好，再沿边沿画出它所占的位置。再挪动正方形……这样画了一排，再画第二排，第二排没有画完，有的学生已经用尺子把l平方分米的正方形每边平均分成了10份，把对边上的两点连结，画出格线，数一数，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。(2)提问：怎样知道1平方米中有多少个1平方分米?如果沿l平方米的正方形的边长摆1平方分米的小正方形，一排能摆几个?可以摆多少排?得出：1平方米＝100平方分米。(3)想一想，算一算，l平方米等于多少平方厘米呢?学生很快就得出：1平方米＝10000平方厘米。6．巩固运用(1)举例说说1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。(2)填上合适的单位名称。(略)评析：学生通过动手操作，可以增加对所学知识的感性认识，在操作中获得实物的表象，加深对所学知识的理解。这里的教学片段，教师正是出于这样的思考，让学生通过自己动手摆一摆，画一画，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意义及它们之间的进率，并且印象深刻，记忆持久。同时，也培养了学生的动手能力。自始至终学生获取知识的过程是主动积极的。（三）质数与合数教学片段1．导入师：同学们都有自己的学号，请把表示你学号的这个数的所有约数找出来。(指名反馈，教师根据29号、2号、26号、16号同学的发言，逐一板书这些数的约数。其余同学互相交流。)2．分类整理，揭示概念师：请同学们仔细观察这些数(手指黑板)，能不能把这些数分分类?同桌可以互相议一议。生甲：我把这些数分成两类，一类是奇数，一类是偶数。奇数有21、7、29，偶数有6、2、26和16。生乙：我是按约数的个数来分的，7、29、2只有两个约数分为一类，6、16、21、26有两个以上的约数分为一类。312\n§10．2课堂教学工作生丙：我把6、7、2分为一类，这些数都是一位数，21、16、29、26分为一类，这些数都是两位数。师：还有其他分法吗?(学生表示没有)这些分法都有道理。奇数、偶数我们以前已经认识了，今天我们着重来研究按约数个数来分的情况。像这样只有两个约数的数，叫做质数，也叫做素数；有两个以上约数的数叫做合数。3．讨论，建立概念师：再请同学们仔细观察一下：质数有什么特点?合数有什么特点?有困难的同学可以和周围的同学商量一下。生：质数的约数只有l和它本身两个，合数的约数除了1和它本身还有别的约数。师：有没有不同意见?谁再来说一说?看看书上是怎么说的。4．理解和巩固概念师：现在我们知道了什么是质数，什么是合数，那么除了黑板上的这些数，你还能举一些例子吗?写在本子上。生：19、23、27、31、59、61是质数，4、15、20、18、25、10、12、30是合数。师：还有吗?还有这么多同学想说，可是黑板只有这么大，怎么办?生：用省略号表示。(板书)师：这几位同学举出的这些数是不是质数?指板书我们来判断一下。生：19、23是质数，27不是质数。师：27为什么不是质数?生：因为27除了1和它本身以外，还有别的约数3和9，所以是合数。(教师调整板书)师：这些都是合数吗?(学生没有意见)谁能说说12为什么是合数?5．运用概念(1)教师从周围环境中选取素材，让学生进行判断练习，概括出判断方法(略)。(2)讨论“1”，得出1既不是质数，也不是合数，因为它只有一个约数。6．综合练习312\n§10．2课堂教学工作(1)找一找，黑板上的这些数中，哪些是奇数?哪些是偶数?你发现了什么?(一些数既是奇数又是合数，如9、21等；一些数既是偶数又是质数，如2)师：既是偶数又是质数的只有2，其他偶数有可能是质数吗?为什么?同桌互相检查一下，你找对了吗?(2)出示2～50的数，要求很快找出质数。反馈时要求介绍一下你有什么好方法。(3)把下面各数写成两个质数的和。6=()+()8＝()+()10＝()+()12＝()+()师：这里的6、8、10、12都是什么数?生：是合数，也都是偶数。师：能不能把这些数写成两个质数的和?学生在练习本上写。师：是不是所有不小于6的偶数都能写成两个质数的和?这是一种猜想，要证明它可不容易，这就是世界有名的难题“哥德巴赫猜想”，有兴趣的同学课后可以去查阅有关资料。评析：这是一节比较抽象的概念课，其最大的特点是教师能遵循学生概念学习的特点展开整个教学过程。上课一开始就紧紧抓住“约数”这一已有的基础知识，让学生找一找表示自己学号的数的约数，通过观察、分类，揭示质数、合数的概念。再通过进一步的观察、讨论，并用自己的语言来说一说什么是质数、合数，初步建立概念。在此基础上，请全体学生举例，进行判断，从而检验并巩固了所学的概念。综合练习的组织，在及时巩固运用新知识的同时，沟通了与旧知识的联系，让学生明确了奇数、偶数、质数、合数间的区别和联系，使概念系统化。除此之外，这节课还有以下三个特点：一是教师能真心诚意地把学生当做学习的主体，课堂的主人，发扬教学民主，让每个学生都积极参与教学过程，在自主探索中获取新知，体验成功。二是注意就地取材，充实教学内容，使抽象的教学内容变得生动,贴近学生生活。三是能以知识学习为载体，培养学生主动探索、独立思考的能力和敢于创新的精神，同时适当渗透数学思想方法。六、思考题312\n§10．2课堂教学工作1、什么是数学概念？小学数学概念具有哪些特点？2、结合教学实际，谈谈概念引入的意义和作用以及概念引入的方法。3、怎样实现对概念的理解？怎样实现对概念的巩固？4、搜集关于概念教学的案例，并写出一份概念教学的教案。312\n§10．2课堂教学工作第七章小学数学规则教学一、教学目的通过本章的学习，使学生了解小学数学规则的主要内容和特点以及小学数学规则教学的一般要求；掌握小学数学规则教学的过程与方法。二、教学重点、难点重点是小学数学规则教学的过程与方法；难点是小学数学规则教学设计。三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献四、教学内容本章主要内容：l小学数学规则教学概述l小学数学规则教学的过程与方法。五、教学过程§7.1小学数学规则教学概述7.1.1小学数学规则的主要内容和特点（一）小学数学规则的主要内容小学数学规则的主要内容为法则、定律、公式等。在小学数学的规则学习中，按规则水平分，主要有一级运算规则（加减运算）的学习和二级运算规则（乘除运算）的学习，还有简单的三级运算规则（主要是二次或三次乘方运算）的学习；按涉及对象看，主要是整数和小数的四则运算规则的学习和简单的乘方运算规则的学习，也包含简单的分数四则运算规则的学习；从运算形式看，主要有口算、笔算和估算（有时也包括珠算）等学习；从学习目标看，主要有运算的规则理解与掌握以及运算技能和运算策略的初步形成。具体地看，在小学数学课程中，运算规则的学习主要有：（1）四则运算（包括整数和小数四则运算，简单的分数加减运算等）；（2）性质运用（包括分数、小数的互化，解答简易方程，分数、小数化简等）；（3）名数化聚；（4）四则运用（包括简单几何形体的面积、体积的求法，各种数学问题的解决等）。（二）小学数学规则的特点小学数学规则，既要体现数学学科的严密性、逻辑性的特点，又要符合儿童的年龄特点和认知规律，因而具有以下特点：312\n§10．2课堂教学工作1、淡化严格证明，强化合情推理按照数学科学的要求，数学规则的叙述必须严密、准确，都要经过严格的论证。但受儿童智力发展水平和接受能力的限制，许多小学数学规则并不进行严格的证明。为了让学生体验数学的严密性、逻辑性，使学生感到数学规则是有根有据的，小学数学规则学习一般采用合情推理，用不完全归纳法或类比法导出。往往是先给出具体事例或已有知识，让学生经过观察、实验、探索，发现事物之间的关系或发展的规律性，经过归纳、猜测、验证过程，然后用简练、准确的语言表达出来，形成规则。2、重要规则逐步深化为适应小学生认知能力及认知规律，小学数学中的重要规则，采用先渗透，再深化，逐步提高的分段编排方法。例如：加减法运算法则分成20以内的加减法，100以内的加减法，三位数、四位数的加减法三个阶段进行教学；加法、乘法的运算律采用先渗透，再使用，然后归纳成条文的编排方法。3、有些规则不给结语根据儿童的认知特点，有些规则不形成命题的形式，而是通过例题给出。这样的规则称为“隐规则”。“隐规则”也是小学数学知识的重要组成部分，要求学生通过习题练习使用，并达到一定的熟练程度。如减法、除法的运算性质，教材中未给出结语，但要求学生会利用它简化运算。7.1.2各种不同的运算规则与运算有关的数学规则，统称运算规则，包括运算法则、运算性质和计算方法。（一）运算法则1、运算法则与算理运算法则是关于运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。运算法则说的是怎样算，算理说的是为什么这样算。如两位数笔算加法运算法则：“相同数位对齐，从个位加起，个位相加满十就向十位进一。”规定了两位数竖式加法的写法、算法和计算的先后顺序。其中“相同数位对齐”、“个位相加满十向十位进一”的理论依据是“记数的位值原则”，不同位置上的数字计数单位不同。相同单位的数字才能相加。为什么要从个位加起，从十位加起可以吗？其实对于两位数不进位加法，从十位加起更简便。而对于两位数进位加法，若从十位加起，“进一”后需要十位上再加一，容易出现错误。为减少学生计算错误，才规定“从个位加起”。因此，“记数的位值原则”和“相同单位的数才能相加”是两位数加法的算理，而“从个位加起”只是一种人为规定。在运算法则教学中，要摒弃那种只讲“法则”，不讲算理的错误做法。只有让学生深入理解算理，才能灵活运用计算法则，提高计算速度。2.四则运算的类型及其要求四则运算有口算、笔算、估算、用计算器计算等四种类型。所谓口算，又称心算，就是指不借助工具直接通过思维求出结果的一种计算方法。口算具有计算速度快、在日常生活中运用广泛的特点。同时，口算也是笔算和珠算的基础。虽然口算也要口述或笔记答案，但运算活动主要依靠心智活动为主，因此，口算是发展儿童心智技能的主要途径之一。312\n§10．2课堂教学工作所谓笔算，简单地说，就是借助笔且运用列式的方法，按照一定的规则来求出结果的一种计算方法。笔算具有能进行较大数目的计算以及运算的准确率高的特点。所谓估算，实际上就是一种无需获得精确结果的口算，是个体依据条件和有关知识对事物的数量或运算结果作出的一种大致的判断。在科学技术变迁日益加快、信息大量涌入的社会，人们的工作节奏和生活节奏被大大地加快了，因此，估算能力越来越成为现代社会成员一种必不可少的基本素养。（二）运算性质运算性质反映运算的规律性，根据其所起作用可分为三类；第一类，改变参算的数的位置。如加法交换律，乘法对加法的分配律等。第三类，参算的数的改变引起的运算结果的变化。如被减数增加一个数，减数不变，差也增加相同的数。被除数同时扩大或缩小相同倍数，商不变等。运算性质的学习不仅可以用来验算，而且还可以用来进行简便运算，同时还可以用来进行估算。运算性质的教学对于学生形成“验算意识”、“巧算意识”、“估算意识”，对于形成“算法多样化”和运算技能，对于发展学生思维的灵活性、敏捷性，都有重要的作用和意义。更重要的是，运算性质学习过程的本身就是一个归纳、抽象与推理等的逻辑思维的过程。（三）计算方法计算方法是指利用四则运算求某种量，或者两种量换算的具体方法，通常被称为常规方法。计算方法是客观事物的数学关系的具体体现，是四则运算与现实世界相互联系的桥梁。学习和进行量的计算，可使学生体验数学与客观世界的紧密联系，培养学生的应用意识和能力。7.1.3儿童形成运算技能的基本特征小学数学运算规则教学的重要目标就是发展儿童的运算技能。（一）数学规则学习意义1、有利于形成学生的基本技能运算规则学习的基本目的就是形成运算技能，提高数据信息的处理能力。首先，计算作为一种工具性技能，是人们面对日常生活和生产所须臾不可离的，同时也是进一步学习数学或其他学科知识所必需的；其次，计算作为一种探究性能力，是人们面对复杂的生活问题和社会问题进行探索与解决所需要的，人的许多行为的选择、行为方案的提出，往往是要在对众多的数据信息进行某些分析后才能作出。因此，运算规则的学习和运算的训练，有助于发展学生这些基本的技能和能力。2、有利于发展学生的基本智能首先，运算是一种心智技能和动作技能协作、外部操作和内部思维同步、形象感知和抽象思维统和的一种心理活动过程，是一个知识提取、技能运用和问题解决的协同过程，因此，运算规则的学习和训练有助于发展学生的基本智能；其次，不同的计算形式对学生智能发展的侧面也有所不同。例如，口算有助于发展学生思维的敏捷性，笔算有助于发展学生思维与运动的协调性，估算则有助于发展学生思维堵塞的反省性等。（二）儿童数学规则学习的特点312\n§10．2课堂教学工作从认知角度看，运算技能主要属于程序性知识。技能学习（规则学习）大致要经历认知、联结和自动化这三个阶段，而儿童在这三个不同阶段的学习中，往往表现出一定的特征。1、生活经验是理解运算意义的基础儿童在学龄前已经有了某些运算（更多的是加减运算）的活动，并通过这种活动形成了自己的经验，这些经验是与儿童的生活情境紧密联系的，而这些与儿童生活紧密联系的经验正是他们理解并掌握运算意义的重要基础。首先，丰富的生活情境是理解运算意义的条件。儿童运算意义的理解，不是从以符号为表征的概念开始的，而是以自己的生活情境为基础的实践活动开始的。儿童知道了2加3等于5，并不代表他就理解了加法的意义，儿童是在丰富的生活情境之下，通过自己的实践活动来逐渐获得加法意义的理解的。其次，丰富的生活情境扩展着对运算意义的理解。丰富的生活情境，不仅可以帮助学生理解运算的意义，又能进一步扩展学生对运算意义的理解。例如，对于乘法意义的理解，儿童开始是通过对“相同加数”的“加法”来理解的。但是，在生活的情境中，乘法的意义要丰富得多。这种丰富的意义，不仅扩展了儿童对乘法意义的理解，而且也丰富了儿童新的数学意义。2、规则的运用有明显的阶段性儿童对运算规则的掌握与运用呈现出一定的阶段性，这种阶段性是与儿童的认知发展相一致的。首先表现在对规则理解和掌握的阶段性。儿童对运算的理解与掌握，因其能力特征的局限，有一个明显的发展过程。例如，儿童对“加法”的理解，最早是建立在自己“数数”活动的基础之上的。而这种“数数”活动在儿童不同的发展阶段也有不同的水平。其次表现在对规则运用的阶段性。儿童在运算规则的运用上，也明显表现出一定的阶段性。在低年级的儿童中，当他们已经初步掌握了一定的运算规则之后，在运算的过程中常常还要依靠一些“构造事实”的方法来获得帮助。但是，到了初步形成运算技能的阶段，儿童对“20以内”加减法的运算已经非常熟悉，再遇到像3+5这样的算题，一般就会采用“提取事实”的策略，而不再运用“数数”的方式。从一个低年级的儿童看，摆脱“构造事实”的方式而采用“提取事实”的策略，也是形成一定运算技能的一个标志。3、从实物表征运算到符号表征运算儿童在最初学习运算规则时，往往要依靠实物的表征，通过对大量的以实物为表征的“计数”运算活动，逐步概括出更为一般的运算规则。例如，学习“20以内”的进位加法时，学生可能会面对这样的情境：一个有10个格子的盒子，里面放有9个小球，盒子的外面还有3个小球，如果要求9+3的结果，可以先将1个小球放入盒子，正好“凑成”10个小球，而一个“10”，就可以在“十位”上用一个“1”来表示。学生就是通过这样的方法来加深对“十进位制位置制”记数法的体验，从而习得“进位加法”的运算规则的。但是，随着儿童学习的发展，他们开始逐步摆脱以实物来表征运算，而直接获得以符号表征的运算规则。例如，学习“100以内”的加减运算时，学生更多的是面对直接用符号表征的运算，这是通过“20以内”加减法的规则迁移来获得的。（三）儿童形成运算技能的基本表征312\n§10．2课堂教学工作不同的运算对小学生的要求也不相同。一般看来，运算要求分为三个层次：会、比较熟悉、熟练。会是指能够正确地进行计算；比较熟练是指通过训练，能够计算准确，有一定的速度；熟练是指不仅计算准确、迅速，而且能够选择恰当的算法，使计算合理、灵活。儿童是否形成了运算技能，可从其计算时表现出来的特征加以考察。1、“会”计算的特征对于某种运算，达到了不出声的言语阶段，多余的、不规则的思考和动作较少，并且能够及时校正。头脑中的思考比较连贯，眼看、心想、手写等各方面动作基本协调，计算结果基本准备。2、计算比较熟练的特征对于某种运算，虽然仍停留在不出声的言语阶段，但多余的、不规范的思考与动作几乎消失。头脑中的思考清晰、流畅，眼看、心想、手写等各方面的动作协调统一，能适当简化运算的某些中间环节，计算速度快，计算结果准确。如计算分数加法，可以将通分与同分母分数相加两个过程合二而一：3、运算“熟练”的特征对于某种运算，基本达到或完全达到无意识的内部言语阶段，多余的、不规范的思考和动作完全消失，能够根据算理及题目的特点，变通、灵活地使用运算法则，迅速选择恰当的计算方法，思考过程高度简缩，省略或合并中间环节，眼看、心想、手写等几个方面的动作高度协调，能把注意力同时分散到不同的目标，计算过程迅速，计算结果准确，计算方法合理、灵活。§7.2小学数学规则教学的过程与方法7.2.1数学规则学习的基本模式（一）数学规则之间的关系1、上位、下位关系如果规则B包含于规则A，就说规则A是规则B的上位规则，规则B是规则A的下位规则。如长方形面积公式与正方形面积公式，前者是后者的上位规则，后者是前者的下位规则；大数－小数＝差与大圆面积－小圆面积＝环形面积，前者是后者的上位规则。根据已知规则，学习它的下位规则，称为规则的下位学习。一般地，下位学习较易，上位学习较难。如在长方形面积公式基础上学习正方形面积公式较易，而学习平行四边形面积公式较难。２、并列关系如果几个规则形式结构一致，内容相互并联，就说它们是并列关系。如：整除的商不变性质、分数的基本性质、比的基本性质，三者是并列关系。通过并列关系之间的类比来学习新规则，叫规则的并列学习。并列学习有助于学生理解新规则。（二）数学规则学习的基本模式（二）数学规则学习的基本模式数学规则学习常用的学习模式有例证——规则和规则——例证两种。１、例证——规则先呈现与数学规则有关的若干例证，再引导学生观察、分析，逐步概括出一般结论，从而获得数学规则。例证——312\n§10．2课堂教学工作规则的学习模式与概念形成的学习类似，是数学规则的发现学习。例如，学习长方形面积公式时，教师先向学生提供24个1平方厘米的小正方形，让学生把这些小正方形摆成长方形，最多能摆多少个？并将结果填入表中。再让学生思考，为什么最多能摆出这四种？从而发现长方形面积公式。2、规则——例证所谓规则——例证教学模式，就是指教师先向学生呈现某个规则，然后通过若干的实例来说明规则的一种教学模式。这种教学模式往往比较适用于规则的下位学习。其条件就是学生必须掌握构建规则的必要概念。例如，在学习了长方形的面积计算规则（公式）后，学生可以利用已构建的数学概念（正方形的特征以及正方形与长方形之间的关系等），直接获得正方形的面积计算规则（公式），然后再通过多个例证来进行验证（如采用数“面积纸”的方格的方式）。需要指出的是，在小学数学的学习中，所采用的规则——例证模式学习，并不表示就是一种简单的接受学习，因为在教学中，通常不直接将规则呈现给学生，而通过对某一对象（或某一组对象）的本质特征的探究来引导学生去发现规则。因此，这样的学习仍然带有一定的发现与探究的成分。7.2.2小学数学规则教学的过程与方法小学数学规则的教学一般要经过规则的引入、规则的建立、规则的巩固与运用等三个阶段。（一）规则的引入与数学概念的教学一样，数学规则的教学也要创设情境，让学生在有利于学习的课堂氛围中主动参与数学规则的建构过程。一般而言，规则的引入可以分为两种形式。一种是直接向学生展示规则，教学的重点放在分析和建立规则以及规则的应用方面。另一种是向学生提出一些供研究、探讨的素材，并作必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立进行思考，通过运算、观察、分析、类比、归纳等步骤，自己探索规律，建立猜想和形成规则。可采用如下一些方法去引入规则。(1)用观察、实验的方法引入规则。教师提供材料，组织学生进行实践操作，通过动作思维去发现规则。　(2)用观察、归纳的方法引入规则。(3)由实际的需要引入规则。为了解决一些现实生活和生产实践中的问题，有时需要运用数学的方法，而这种数学方法往往会产生出很有用处的定理、法则。因此，由实际问题的需要，以问题的形式去探求规则，也是教学中常用的规则引入方式。（二）规则的建立数学规则的建立是一个在教师引导下，通过学生思维，主动建构数学规则的过程。要注意适应儿童的认知规律和接受能力，有利于学生理解、掌握概念，有利于促进学生智能发展，获得积极的情感体验。1、例证要有利于学生发现规则、发展智能例证的选择和呈现方式影响学生的学习积极性、思维深度和规则发现的难易程度。例如，在学习长方形面积计算方法时，教师给出几个长方形，让学生量出长方形的长和宽，用摆小正方形的方法测量它们的面积，再把结果填入表中，这就有利于学生通过观察，概括出规则来。2、由直观到抽象，由个别到一般312\n§10．2课堂教学工作在使用例证——规则学习模式时，为促进学生发现，一般先安排直观形象的演示或实验，让学生在观察的基础上，进行分析、综合、抽象和概括，进而发现数学规则。在使用规则——例证学习模式时，一般也不是以抽象的逻辑推理的方式进行，而是以具体的、个别的事例，支持学生思维。例如梯形面积计算规则学习，是在安排了学生剪拼梯形的实验活动基础上，让学生发现多种推导方法，去完成公式推导过程的。3、紧密结合例证，逐级抽象概括儿童的抽象概括能力一般较弱，通常可以采用多级抽象的方法，从例证中抽象概括数学法则。在例证呈现时，就要为抽象概括法则埋下伏笔；抽象概括时，要紧密结合例证，先抽象出个例的计算方法，再推广到一般的数学规则。例如，在学习两位数竖式加法时，通常可采用这样的程序：（1）计算34+24。摆小棒的方法，暗含着数位对齐。从“3捆与2捆相加”，“4根与5根相加”，暗含着“个位与个位相加”、“十位与十位相加”。紧接着，要结合摆小棒，引导学生思考：如何用一个算式表示刚才的相加过程？抽象出34+25的竖式写法。（2）计算34+28。先让学生用小棒摆一摆，让学生感知，4根加8根得12根，把10根捆成一捆，移到“捆的下方”，暗含着“满十进一”。紧接着，结合小棒的摆法，思考在算式中应如何表示“满十进一”？抽象出34+28的竖式写法。（3）计算46+24。想一想怎样列式？先算什么？后算什么？怎样算？（4）提问：笔算两位数加法，应注意什么问题？经过学生发言、补充、修改，得出：“相同数位对齐，从个位加起，个位相加满十，向十位进1”的两位数加法法则。4、突出算理，以理驭法学习数学规则，不仅要知道该怎样算，而且要知道为什么这样算，使学生明白算理，进一步理解数学规则。如有必要，可继续思考，在不违反算理的前提下，还可怎么计算？鼓励学生以自己喜欢的方式进行计算。（三）规则的巩固和运用新规则建立之后，要及时安排练习，巩固和运用新规则。要避免让学生机械运用程序规则，减少简单重复的、单纯的技能性训练，应注意以下问题。1、加强练习的目的性加强练习的目的性，是避免重复的机械训练的有效方法。让学生明了练习目的，感受到练习的意义，可提高学生的练习兴趣和练习效率。练习的形式通常有：（1）巩固练习。一般在新规则建立后，要组织适量的直接应用规则的基本练习，以帮助记忆新规则。（2）重点练习。许多新规则建立在旧规则之上，其中有些是旧规则的原有内容，新就新在一个点上，这一点即是新规则的重点。此外，容易与其他规则混淆的易混点，容易出现错误的易错点也是新规则的重点。围绕新规则的重点安排练习，可以达到以少胜多的训练价值。例如，在学习小数乘法法则中，积的小数点位置确定是全新点，也是易错点。为此，可设计如下练习：已知6824=1632，那么6.82.4=，0.680.24=。（3）纠错练习。即学生作业中的错误，要及时发现、及时纠正，有计划地组织纠错练习。（4）发展练习和综合练习。为发展学生数学思维能力，培养学生综合运用知识的能力，还应安排一些有意义、富有挑战性的发展练习和综合练习。312\n§10．2课堂教学工作2、创设有趣味的练习情境单纯的技能练习没有情节，枯燥乏味。为练习安排实际的生活背景、游戏情节、竞赛气氛、探索手段、采用多样化的练习方式，可以调动学生练习各级性，提高练习效率。3、练习设计要有坡度练习设计要由易到难，一般先安排一定数量的基本练习题，再安排改变呈现形式的变式题，需要认真思考的发展题，最后安排综合运用知识的综合题。还可适当安排发展学生思维的思考题。4、练习分量适当，时间分配合理没有一定分量的练习，学生很难形成应用规则的技能。练习分量过大，会增加学生负担，使学生失去兴趣。一次练习的时间不宜过长，一般把学生练习与教师讲述、师生互动相互穿插进行。5、练习要有一定弹性对于不同层次的学生，练习要求不同。布置练习作业时，要有面向全体学生的必作题，也要有些供学有余力的同学选做的选作题和思考题，使各层次的学生都获得发展。7.2.3小学数学规则教学中应注意的问题（一）重视算法的多样化由于儿童数学能力的水平差异，以及他们对数的认知模式的差异，在运算中的思维推理过程会有较大的差异，这就形成了不同儿童的算法的多样化。算法的多样化，不仅是由于这些客观原因所形成的一种客观的现象，同时，倡导算法的多样化，也是发展儿童运算思维的一条有效的途径。因此，倡导算法的多样化，就能促进儿童形成独立的、开放性的思维。例如，在学习一位数乘法时，面对教师呈现的问题情境：“一个小皮球要12元，4个这样的皮球要多少元？”学生遇到了这样一个算题：124。于是，教师鼓励学生自己去尝试解决这个算题。结果，不同的学生得出了许多不同的算法：（1）12+12+12+12=48（2）4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48（3）122+122=48（4）624=68=48（5）（6+6）4=64+64=48（6）1222=242=48（7）12450（8）104+24=40+8=48（9）104+4+4=48（10）10+10+10+10+2+2+2+2=48（11）410+42=40+8=48显然，这些算法都显示不同学生对算题的不同思考，相对于算法（1）、（2）来说，这些学生对算题的理解是建立在加法意义上的，因此，思考的策略也就较多地倾向“加”312\n§10．2课堂教学工作的运算；相对于算法（10）的学生来说，虽然他们对算题的理解也是建立在加法意义上的，但是能显示出对数之间关系（如数的组合等）的认识较为清晰；而对于使用算法（3）、（5）、（8）、（9）、（11）的学生来说，虽然他们对算式的理解主要也是建立在加法意义之上，但是，可以发现他们对数之间关系的认识似乎更加精细些，而且已经构建了初步的“转化思想”。当然，如果更具体地去分析，算法（8）与算法（9）也有明显的差异，前者基于乘法意义的理解更多些，而后者基于加法意义的理解更多些。同样的，算法（9）与算法（11）也有区别，虽然两者实际上都已经将124看作了412，摆脱了对具体情境的依赖，初步具有了等量变换的思想，但是，后者的思考似乎基于对乘法意义的理解更多些；对于使用算法（4）、（6）的学生来说，可能他们对数的关系认识更为清晰，而且思维中已经开始采用了类似“分解因数”策略，以“化归”的数学方法来解决“难题”；而对于使用算法（7）的学生来说，明显可以感受到他们对策略的思考大于对精确结果的思考，数的位置感是比较良好的，而且善于在实际情境中运用自己的运算技能。当然，教学中，目标不能仅仅停留在学生能给出多少种不同的算法，第一是要求学生按自己的理解给出自己认为最好的算法，而不能一味地“求异”，反而抛弃了自己真实的理解；第二是要求学生在给出自己的算法后，能有条有理地推理、有依据地作出解释和说明，尤其要能说出自己最初的思考过程，这样才能真正起到发展儿童思维的作用。同时，以下两个问题值得探讨：（1）在规则学习中除了需要给学生一种经济有效的算法之外，是否还需要鼓励这种算法的多样化？也就是说，如何处理算法的多样化与优化之间的问题。这一方面涉及是否能真正注意到儿童学习水平及其策略形成的差异性的问题，即儿童有着算法多样化的可能。另一方面还涉及是否能真正为学生构建一个独立思考和创造性思考的空间的问题，即算法多样化不是一种追求的形式，其价值在于激发学生的独立思考和思维的创造性。（2）在规则学习中鼓励算法多样化了，是否还需要给学生一种经济有效的算法？也就是说，如何处理算法的一般化与特殊化的问题。一方面，统一的标准化的算法是否是每一个学生都必须理解与掌握的定向技能目标？还是仅仅为学生提供一种思考上的方向？另一方面，统一的标准化的算法在何时呈现？以何种方法予以呈现？有一点是可以肯定的，在实际情境中，每一个人的算法是不会完全一样的，因此，教师可以向学生呈现自己认为较经济有效的算法，而学生完全可以保留自己认为经济有效的算法。（二）重视估算估算在日常生活和生产中有着十分广泛的应用，是未来公民必备的数学技能之一。如外出购物、承包一项工程、到某地出差等都需要用到估算。估算的方法灵活，策略多样化，有利于发展学生思维的灵活性和敏捷性，也是培养学生数学素养的重要手段。首先要使学生形成估算意识。鼓励学生在计算前通过估算预测出结果，计算后用估算检验结果的合理性；经常安排结合生活实际问题的估算活动，让学生体验估算在日常生活中的应用价值。这样，逐步培养学生的估算意识，使学生养成估算习惯。其次要使学生学会估算方法，形成估算的技能。估算没有固定的法则，但其方法也有一定规律性，教师应组织学生交流估算方法，比较估算结果的误差，结合具体情境对估算方法进行评价，使学生积累经验，逐步掌握一些估算的方法。例如：小明家养鸡收入243元，养猪收入479元，估计这两项收入一共多少元？学生的估算方法可能有下述几种：312\n§10．2课堂教学工作（1）200加400等于600，43加79大于100，因此它们的和比700多一点。这种方法分段估算结果的下限，可称为“分段下限估算”。（2）243小于250，479小于500，因此，它们的和比750小。这种方法是取两个加数的过剩近似值，估算结果的上限，可称为“上限估算”。（3）243加479小于300+500=800，同样是取过剩近似值，但只保留高位。这个方法比方法（2）简便快捷，但精确程度不如方法（2），可称为“高位上限估算”。（4）243加479大于200+400=600，这种方法是取两个加数的不足近似值，估计结果的下限，只保留最高位，可称为“高位下限估算”。（5）243大于200，479小于500，因此它们的和在700左右。按四舍五入的方法取近似值，只保留最高位，可称为“高位四舍五入估算”。（6）200+400=600，43大于40，79小于80，40+80=120，因此它们的和在720左右，可称为“分段四舍五入估算”。（7）243大于240，479小于480，它们的和在240+480=720左右，可称为“多位四舍五入估算”。按照取近似值的方法划分，估算方法可分为：上限估算、下限估算、四舍五入估算。按照保留的数位划分，估算方法可分为：高位估算，多位估算，分段估算。不同估算方法，其运算的难度不同，准确度也不同。哪种估算方法适当，要根据问题的性质确定。如上街购物，估计带的钱数，只能采用上限估算，如果需估算准确一些，需采用多位估算或分段估算，否则只需采用高位估算。需要指出的是，儿童估算技能的形成，需要有两个条件：第一，教师在规则教学中要通过多种方式和途径，不断强化学生的估算意识；第二，需要教师经常创造条件，使学生循序渐进地形成这种技能。7.2.4数学规则教学设计示例（一）“加法交换律”教学片段1、创设情景、提出问题（1）计算。   （1）34＋12＝     120＋35＝     12＋34＝     35＋120＝   （2）18＋35）＋25＝        18＋（35＋25）＝（2）比较每组算式中的两道题，你发现了什么？   第一组：上下两题两个加数相同，位置不同，和相等。   第二组：上下两题三个加数相同，运算顺序不同，和相等。2、合作交流、自主探究（1）象第一组这样的算式，你能再写出几道吗？这里究竟有什么规律呢？（学生自主尝试）（2）汇报交流、归纳概括。（3）这个规律，你能给它取个名称吗？看书并说说什么叫加法交换律。（4）小组活动：验证第二种规律。明确要求：每人自己出题验证；在小组中交流你验证的结果。（5）汇报交流、归纳概括。什么是加法结合律？用字母怎样表示加法结合律？（6）看书质疑。312\n§10．2课堂教学工作3、巩固练习（略）4、反思回顾这节课你有什么收获？加法交换律与结合律究竟有什么用处？5、用自己喜欢的方法算，想一想怎样算会比较快？   48＋67＋52    27＋（73＋44）     76＋46＋125＋54     l＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9评析：本课例能够比较好地引导学生去自主发现、自主验证、自主归纳定律。在整个教学过程中注意让学生对探究学习的基本过程与方法有初步的体验，即提出问题——作出假设——制定方案——验证假设——得出结论——实践应用，这对培养学生的自主探究意识与学习能力是有帮助的（二）“三角形的内角和”教学片断准备三个信封：A信封装一个直角三角形，露出一个直角；B信封装一个钝角三角形，露出一个钝角；C信封装直角三角形、钝角三角形、锐角三角形各一个，这三个三角形有一锐角是相等的，并重叠在一起，且露出这三个重叠在一起的锐角。   1、巧设悬念，引发探究师：同学们，这节课我们先来做一个猜一猜的游戏，好不好？生：好！师：（出示A信封）谁能很快猜出这个信封里装的是什么三角形？生：直角三角形。师：你是怎样想的？生：因为有一个角是直角的三角形是直角三角形。师：（出示B信封）谁能很快猜出这个信封里装的是什么三角形？并说一说是怎样想的。生：钝角三角形。因为有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。师：都同意吗？有没有不同意见？生：同意。师：（出示C信封）谁能很快猜出这个信封里装的是什么三角形？并说一说是怎样想的？生：锐角三角形，因为有一个角是锐角的三角形是锐角三角形。师：都同意吗，有没有不同意见？生1：我不同意，因为直角三角形和钝角三角形中也有锐角，只看到一个锐角不能判断它一定是锐角三角形。生2：我也不同意，因为必须有三个角都是锐角的三角形才能说它是锐角三角形，我们现在只看到一个锐角，所以不能说它一定是锐角三角形。师：同意他的意见吗？生：同意。师：那你们猜这个信封内装的到底是什么三角形呢？生3：既有可能是锐角三角形，也有可能是直角三角形，还有可能是钝角三角形。师：（师从信封里拿出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个）312\n§10．2课堂教学工作同学们猜对了。为什么三角形中只要有一个直角，就是直角三角形，只要有一个钝角就是钝角三角形，必须有三个锐角才是锐角三角形呢？一个三角形中有没有可能出现两个或两个以上直角或钝角呢？这节课我们就来研究这方面的知识，出示课题：三角形内角和。2、营造情境，激励探究师：请同学们先猜一猜三角形的三个内角加起来共有多少度？生1：100°；生2：150°； 生3：120°；生4：180°；  生5：300°；  生6：200°…师：同学们能通过动手操作，想办法来验证自己的猜想吗？请同学们先独立思考一分钟，再在合作小组内讨论、交流。师：请同学们说一说分别是用什么方法来验证自己的猜想的，验证的结果是什么？生1：我们小组是先用量角器量出一个三角形的三个角的度数，再把它们加起来，结果是180°。所以我们小组认为三角形的内角和是180°。生2：我们小组是把一个三角形的三个角撕下来，然后再拼在一起，拼成了一个平角。所以我们小组得到的结论是三角形的内角和是180°。生3：我们小组是把一个直角三角形的两个锐角向直角的方向对折，它们拼在一起又形成了一个直角，再加上原来的一个直角，共有两个直角，所以我们小组得到的结沦是三角形的内角和是180°。师：刚才同学们的方法都很好．我们通过动手操作，用个同的方法证明了三角形的内角和是180°，还有其他方法吗？生4：我们小组是把一个长方形沿对角线剪成两个三角形，因为长方形的四个角都是直角，内角和是360°，所以一个三角形的内角和就是360°的一半180°。师：同学们同意他的意见吗？有没有不同的看法？生5：我认为他的想法很有道理。生6：我认为他的想法不正确。按照他的说法．如果把一个三角形剪成两个小一角形，每个三角形的内角和不就是180度的一半，变成90°了吗？与我们刚才得到的结论三角形的内角和是180°相矛盾。师：上面两位同学的观点谁的正确呢？请同学们动手在草稿纸上把上面两位同学的想法分别画出来，看一看，谁的有道理。生7：我们小组把一个长方形剪成两个三角形，经过用量角器测量，每个三角形的内角和都是180°，所以我们认为生4的想法是正确的。生8：我们小组把一个三角形剪成两个小三角形，经过用量角器测量，每个三角形的内角和是180°，所以我们认为生5的想法是错误的。师：为什么同样是将一个图形剪成两个小一点的图形，你们当中却产生了不同的看法，请同学们在小组内讨论、交流。比一比，看哪一小组最先找到这个问题的答案。生：我们发现将长方形剪成两个三角形时．是沿着对角线剪的，角的度数没有增加，而将三角形剪成两个小三角形时是从一个角剪到它的对边，这样就使剪后的两个三角形的内角总和与原三角形相比增加了两个新角，这两个角的度数和正好是180°，所以每个三角形的内角和仍是180°，而不是90°。师：同学们同意他的观点吗？生：同意！师：现在，谁能用今天学到的知识解决刚上课时提出的问题：在一个三角形中会不会有两个或两个以上的直角或钝角？为什么？312\n§10．2课堂教学工作生：因为一个直角等于90°，钝角大于90°而小于180°，所以无论是两个直角还是两个钝角都超过了180°，而三角形的内角和是180°，所以同一个三角形中不会有两个或两个以上的直角或钝角。评析：荷兰教育家弗赖登塔尔指出：学习数学唯一的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现和创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种“再创造”的工作，而不是把现成的东西灌输给学生。他认为这是一种最自然、最行之有效的学习方法，因为只有通过自己的“再创造”而获得的知识才能真正被掌握和灵活运用。因此，我们的数学教学使学生通过积极主动的探究活动（包括操作、比较、讨论、实验、推理等）去发现新的知识和方法，从而完成对新知识的构建。上述教学片断充分体现了这一观点，主要表现在：1、激发了学生的探究兴趣。兴趣是学习的最佳动力。如果教师能够较好的创设条件培养和激发学生参与学习活动的欲望，较好的调动学生学习的主动性和积极性，学生必然会兴趣盎然的投入到学习活动中去。上述教学片断一开始通过一个“猜一猜”的游戏设置了一个悬念，给学生造成一种急切期待的心理状态，具有强烈的诱惑力，激起学生探究和解决问题的浓厚兴趣，将学生自然的引入到了对新知的探究中。2、为学生营造了探究的情境。学习知识的最佳途径是由学生自己去发现，因为通过学生自己发现的知识，学生理解的最深刻，最容易掌握其中的规律、性质和联系因此，在数学教学中，教师应提供给学生一种自我探索、自我思考、自我创造、自我表现和自我实现的实践机会，使学生最大限度的投入到观察、思考、操作、探究的活动中。上述教学片断中，教师在引出课题后，引导学生直接猜测三角形的内角和是多少度。在学生猜测的基础上，再引导学生通过探究活动来验证自己的观点是否正确。当学生的意见出现分歧时，教师并不是以正确与错误的“最高裁决者”的身份告诉学生谁对谁错，而是以鼓励、启发的语气，再次燃起学生求知的渴望与学习的热情，将学生再次引导到对知识的探索与研究中去。3、注重让学生在操作中探究。动手操作是一种充分展示学生个体的过程，是深受学生喜欢的实践活动，它为发挥学生学习的主体性作用提供了时间和空间，在动手过程中易于引发兴趣，积累知识，展开思维。也有利于每一位学生自主、独立、创造性的学习知识，发展他们的能力。在探究新知的过程中，让学生操作，变静为动，能帮助他们形成表象，建立概念。上述教学片断在探索三角形的内角和的过程中，探究两种观点哪一种正确的过程中，都安排了操作活动。这些过程，不仅有利于学生建立概念，同时也锻炼了学生辨别、选择、运用信息的能力。 六、思考题1、什么是数学规则？小学数学规则包括哪些内容？2、结合教学实际，谈谈规则引入的意义和作用以及规则引入的方法。3、怎样让学生建立规则？怎样实现对规则的巩固？4、搜集关于规则教学的案例，并写出一份规则教学的教案。312\n§10．2课堂教学工作第八章小学数学空间与图形教学一、教学目的通过本章的学习，使学生明确小学数学空间与图形教学的重要作用，了解其主要内容与教学目标，了解儿童发展空间知觉与空间观念的基本特征，掌握小学数学空间与图形教学的过程与方法。二、教学重点、难点重点是小学数学空间与图形教学的过程与方法；难点是小学数学空间与图形教学设计。三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献四、教学内容本章主要内容：l小学数学空间与图形教学概述l儿童发展空间知觉与空间观念的基本特征l小学数学空间与图形的教学。五、教学过程§8.1小学数学空间与图形教学概述空间与图形主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，让学生掌握相应的基础知识和基本技能，学会解决简单的实际问题，丰富对现实空间及图形的认识，更好地认识和理解人类的生存空间，发展形象思维，培养空间观念和创新意识。312\n§10．2课堂教学工作8.1.1空间与图形在小学数学中的意义《标准》对传统的几何内容进行了较大幅度的改革，设置了“空间与图形”的领域，主要分为四个部分：图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置。学习和应用相应的空间与图形的有关知识和数学学习方法，对于学生更好地认识、理解生活空间，更好地生存和发展有着重要的现实意义。1、培养学生初步的空间观念。空间观念是指对物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变化的直觉，它们是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。发展学生的空间观念是《标准》中的一个重要目标，也是空间与图形学习的核心目标之一。学生空间观念的形成是建立在观察、感知、操作、思考、想像等的基础上，特别是对于低年级的学生，实际观察和操作是发展空间观念的必备环节。2、提高学生运用知识解决简单实际问题的能力，增强应用数学的意识。几何知识来源于生产劳动，在生活、生产中有广泛的应用。3、有助于培养学生学习数学的兴趣，促进学生形成科学精神和科学态度。在拼一拼、量一量等大量的实践活动中，可以使学生体验研究数学的乐趣，积累数学活动经验，逐渐形成科学精神和科学态度。4、培养和提高学生的审美情趣，发展数学直觉。《标准》把数学定义为理性的艺术。数学不仅有利于发展学生的逻辑思维，而且有利于学生的创造才能的发展。8.1.2空间与图形教学的目标空间与图形主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系312\n§10．2课堂教学工作及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。要掌握好这一部分的标准，必须引起对如下几个方面的重视：第一，重视学生实际生活经验对几何概念的形成；第二，发挥几何图形本身的作用，以帮助学生正确形成和理解几何概念；第三，及时将所学概念纳入已有系统，促使学生形成新的认知结构；第四，设计新的解法、一方面要注意结果的正确性，另一方面要注意其根据的条理性。(一)1～3年级空间与图形的标准《标准》对图形的认识、测量、图形与位置三个方面提出了基本要求。1、图形的认识目标（1）通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。（2）辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。（3）辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。（4）通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。（5）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。（6）结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。（7）能对简单几何体和图形进行分类。本学段的几何初步知识，基本上是属于直观几何。在具体目标的指导下，内容的确定要根据学生的实际生活经验对几何概念形成的影响，发挥几何图形本身的作用帮助学生正确形成和理解几何图形，及时将几何知识纳入已有系统，促使学生形成图形的认识结构。2、测量目标（1）结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程；在测量活动中，体会建立统一度量单位的重要性。（2）在实践活动中，体会千米、米、厘米的含义，知道分米、毫米，会进行简单的单位换算，会恰当地选择长度单位。（3）能估计一些物体的长度，并进行测量。（4）指出并能测量具体图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。（5）结合实例认识面积的含义，能用自选单位估计和测量图形的面积，体会并认识面积单位（平方厘米、平方米、平方千米、公顷），会进行简单的单位换算。（6）探索并掌握长方形、正方形的面积公式，能估计给定的长方形、正方形的面积。测量的内容实际上是对图形的计算，学生在图形认识的基础上认知水平有了一定提312\n§10．2课堂教学工作高。因此，应进一步完善学生的认识结构，将直观图形转化为数学关系，这一过程也是使学生的形象思维强化为抽象思维的过程，对几何图形的“内涵”和“外延”要让学生有一个基本了解。掌握计算中的基本换算公式，并能运用到实际生活事例中去。通过测量、绘图、计算，对已有的图形的认识进一步积累和加工，从而培养学生解决实际问题的能力，逐步发展学生的空间观念。3、图形与变换的目标（1）结合实例，感知平移、旋转、对称现象。（2）能在方格纸上画出一个简单图形水平方向、竖直方向平移后的图形。（3）通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。4、图形与位置的目标（1）会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。（2）在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中，给定一个方向（东、南、西或北）辨认其它七个方向，并能用这些词语描绘物体所在的方向；会看简单的线路图。通过图形的变换和位置的学习，培养学生的想像能力，能进一步想像出较为复杂的几何图形和几何原型。这种想像能力是进一步学习数学和其他科学技术的必要条件。(二)4～6年级空间与图形的标准本学段达到发展空间概念的目的，使学生了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法。具体目标如下。1、图形的认识目标（1）了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。（2）能区分直线、线段和射线。（3）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。（4）知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。（5）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。（6）通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。312\n§10．2课堂教学工作（7）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。（8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。（9）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。（10）能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。2、测量的目标（1）会用量角器量指定角的度数，会画指定度数的角，会用三角尺画30°，45°，60°，90°角。（2）利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。（3）探索并掌握圆的周长和面积公式。（4）能用方格纸估计不规则图形的面积。（5）通过实例，了解体积（包括容积）的意义几度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），会进行单位之间的换算，感受1立方米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义。（6）结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法。（7）探索某些实物体积的测量方法。3、图形与变换的目标（1）用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。（2）能用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。（3）通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。（4）欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。4、图形与位置的目标（1）了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。（2）能根据方向和距离确定物体的位置。312\n§10．2课堂教学工作（3）能描述简单的线路图。（4）在具体情境中，能用数对来表示位置，并能在方格纸上用数对确定位置。§8.2儿童发展空间知觉与空间观念的基本特征儿童的几何学习与成人（或更高年级的学生）的几何学习是有区别的。这些区别就构成了小学数学中几何学习的特殊性。首先表现在学习目标上的不同。其次表现在过程学习上的不同，另外还表现在教学组织策略上的不同。8.2.1儿童几何思维水平的发展过程儿童的几何（空间）思维水平的发展有明显的阶段性，而这个水平的发展不仅依赖于儿童逐渐的心理成熟，更依赖于教师的教学组织。因为教师可以将某一级水平的学习降低到较低水平（如死记硬背）来组织，所以，了解儿童几何（空间）思维水平的发展对教师组织几何教学是非常有价值的。（一）儿童空间思维水平发展的阶段性按照范·西尔夫妇的研究，人的几何思维有一个水平发展的阶段性，而且这种阶段性还表现出以下特点：第一，水平发展基本上是非连续性的，说明几何思维的水平存在着一个不确定的性质差异；第二，思维水平是有层次的，绕过高一层次的教学，可能获得记忆，但不能获得这一层次的理解；第三，前一水平所蕴含的性质会成为下一水平的明确理解；第四，不同的水平层次有自己独特的语言符号系统以及联结这些符号的关系系统，因此，不同水平的推理在理解上是不同的。从小学生几何思维水平的发展看，大致有以下阶段：1、水平0水平0被认为属于前认知阶段。在这个阶段的儿童，能感觉几何形态，但由于其感觉活动的不足，往往只能注意到对象的形状直观特征的某一部分。例如，有的儿童可能会区分直线图形和曲线图形，但对于同类图形（如正方形和平行四边形）不能正确区分，因此，面对一个给定的图形，他们常常不能重构一个与之性质相同的图形。对处于水平0的学生来说，他们的思维特征就是依赖对象的具体想像或自己的触觉刺激，建立在“形状相同”这样的等级之上。312\n§10．2课堂教学工作2、水平1水平1被认为属于直观化阶段。在这个阶段的儿童，往往按照外观来识别图形，或者说只能建立一些关于“形状”的抽象，而并不关心图形的几何性质或一类图形的本质特征。他们的思维以知觉为主，因为他们可能会区别一些图形，但并不依据这些图形的性质，而是依据这些图形的外观与形状。因此，当两个图形看起来相同时，他们就会认为这两个图形是相同的。所以，他们在对一群对象进行分类时，更多的注意这些对象“具有什么样的形状”，而不是这些对象具体有什么样的性质特征。例如，这个阶段的儿童可能会区分矩形和三角形，是因为“矩形像门，而三角形不像门”，但是，他们可能不能区分正方形和菱形，认为他们都是“方的，像手帕”，所以他们是“相等”的。又如，他们无法区分二维和三维的图形，他们会认为“长方形”和“长方体”的形状是一样的。3、水平2水平2被认为属于描述/分析阶段。在这个阶段的儿童，能通过观察、测量、搭建或绘画等活动，经验地建立图形的性质，并用日常生活的经验用语将这些性质描述出来，从而能将这些性质与一类图形建立联系。这时，图形的视觉特征有可能被单独感知，并且有可能将其联系到某一个文字的标记上，通过对直观特征的反思，从而能通过图形的性质来识别图形并确定图形的特征，还能用构造图形的路径来思考二维图形。例如，这个阶段的学生看到各种形态的三角形，都能准确的识别，而不管这些三角形在形状上有多大的差异。对于水平1和水平2，莱勒等人曾作过这样的一个测试：向学生呈现如下一些图形，ABC当问及哪个图形最像时，处于水平1的学生会认为是B和C，并说明“B除了里面稍微有些弯以外，它和C看起来是相同的”312\n§10．2课堂教学工作，可见这样的学生注意到的是图形的直观方面；而有的学生会选择图形A和B，因为他们认为这两个图形都有四条边。显然，这样的思考已经开始倾向于忽视图形形状的直观因素，而凸现图形形状的性质因素。但是，处于水平2的学生，他们对图形的分类依据一定的自己理解的性质，但不能在不同性质之间构建某种联系，所以往往还不能识别两类图形之间的关系。因此，让他们理解正方形就是特殊的长方形，甚至去理解长方形就是特殊的平行四边形等，可能都是比较困难的。4、水平3水平3被认为属于抽象/关联阶段。在这个阶段的儿童，已经开始能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件，开始注意到不同图形性质之间的关系，因而能分层次地将图形进行分类，并对这些类别进行非形式化的论证。同时，这个水平阶段的儿童，开始能依据图形的性质将图形进行组合或分解，他们能进行建立在操作性实验基础上的推论的空间思维活动。例如，他们能从长方形的特征出发，将一个平行四边形，通过自己的操作活动转化为一个长方形，从而推导出平行四边形的面积计算方法。又如，他们能理解任何一个四边形都可以被重组为两个三角形，就能从三角形的内角和是180度推导出四边形的内角和是360度。此外，随着儿童空间透视能力的发展，他们开始获得不同纬度图形的识别，能知道“长方形”和“长方体”之间的联系与区别，因为他们开始学会依据“面”这个元素来观察、认识三维图形的特征。（二）儿童空间想像力的发展加德纳认为，“空间智力的核心是准确感觉直观世界的能力，依靠人最初的感性认识形成变换和作出修正，即使在缺少相关物质刺激的情况下也能重建人们直观经验的方面”。所谓的空间想像能力，是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。一般地说，空间想像能力以良好的空间观念为基础，以形成空间概念为目的。空间想像能力，其至少包含这样几个要素：第一，依据实物建立模型的能力；第二，依据模型还原实物的能力；第三，依据模型抽象出特征、大小和位置关系的能力；第四，能将模型或实物进行分解与组合的能力。312\n§10．2课堂教学工作空间想像能力通常还具有两个明显的特征：首先，它具有较强的抽象性，即需要不断地从实物中抽象出模型；其二，它具有较强的想像性，这是空间想像能力的主要特征，而且几何纬度越高，对想像的要求也就越高。低年级的儿童，对空间图形的想像还需要依附一定的直观物体的支持，例如，小学的几何学习基本上是从认识“二维图”开始的，但儿童积累的却是大量“三维”的几何经验，因此，他们在对“二维”图形的空间思考的过程中，往往会依附相应的直观的物体（像长方形与长方体形状的物体相对应）。在教学组织中，教师又常常会引导学生去想：日常生活中有哪些物体是长方形的？强化了儿童在平面几何的思考中对直观物体的依赖性。有的学生甚至到了较高年级学习“圆的知识”的时候，在自己的空间思考时还会受到直观物体“圆球”的干扰。儿童经过一段时间的学习后，到了3-4年级，他们已经开始有可能根据对象的性质特征，构造反映这个性质特征的模型，并以模型来思考。例如，这时的儿童在认识一些平面图形的性质特征时，已经开始不再将图形与相应的直观物体去对应，而只关注图形本身的性质特征。又如，他们在计算三角形面积时，懂得符号S所表示的意义，可见，他们已经开始用符号构造关于三角形的模型，而并不去关注这是什么形状的三角形了。到了再高些年级，儿童对图形的认识已经开始更多的依赖模型的构建了，例如，他们学习“长方形”、“圆柱体”等的性质特征时，观察对象主要是一些实物模型而并非直观物体，因而摆脱了对象的直观特征，思考的是对象的性质特征。8.2.2儿童空间观念形成与发展过程的基本特点皮亚杰等人研究认为，空间表象是通过儿童主动和内化行为的逐渐组织而构建起来的。然后导致了运算系统的建立。因此，空间表象不是儿童对空间环境的感性的“读出”，而是来自于环境的、早先的操作活动的积累。可见，对儿童来说，形状的抽象并不是对物体特性的感觉进行抽象的结果，而是儿童协调行为的结果。例如对于“直线”的认识，是儿童通过早期在物体（如桌子）的边的不断的操作，并逐步协调自己的这种操作行为的结果。总的来看，儿童的空间观念的形成大致经历了这样几个阶段：具体（实物直观，例如具有相应几何形体的实物）半具体（模像直观，例如已被构造出来的实物模型）半抽象（图像抽象，例如用图呈示的标准图形）抽象（概念抽象，在大脑中建立对象的本质属性）。312\n§10．2课堂教学工作（一）儿童形成空间概念的心理特点儿童形成空间观念是一个逐步发展的过程，在这个过程中，儿童的空间观念的形成呈现出以下，几个明显的心理特点。1、对直观的依赖性较强首先表现在比较容易理解直观的几何图形，尤其是低年级的儿童，他们往往对于一些较为抽象的图形，要形成理解还比较困难。例如，儿童对长方形或正方形等图形性质的理解就比对圆性质的理解较容易，因为前者相对来说更为直观。或者，对“三角形”的性质理解可能就会比对“角”性质的认识更容易些，因为“闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。同样的，因为图形的周长可以通过测量或展开，因而对它的理解可能会比对图形的面积的理解更容易些。所以，在教学中，常常会采用让学生通过自己的手的触摸来体验“面”的大小，逐步获得对“面积”的理解。其次还表现在学习中，尤其是在最初的几何学习中，常常将图形的直观原形与图形形状的名称联系起来观察，忽视图形的所有组成部分的特征。例如，有的儿童对“平角”或“周角”的理解就比较困难。2、用经验来思考和描述性质或概念低年级的儿童对自己观察到的图形的直观特征，往往是用日常经验的语言来描述的，例如，对于“三角形”的描述，会更多地借用日常经验中的“三角”，因此，常常会说“是尖尖的那样”，或对“正方形”描述为“方块”，并会用这种描述来作为图形的识别图式。虽然这种日常经验有助于儿童逐步建立空间观念和发燕尾服空间思维，但在思考和辨识中也常常容易被直观图形的表象所误导。像对于“菱形”这样的图形，在他们看来，似乎也是一个“方形”，阻碍了他们对图形性质的概括。需要指出的是，即便教学中运用了较为精确的语言描述，并试图让些低年级的儿童来学会这些描述，但实际上贮存于儿童头脑中的那些图形特征（陈述性知识），可能还会更多的依赖日常生活中更直观的经验的支持。例如，试图让一个一、二年级的儿童完全依靠“对边、“相等”、“直角”、“四边形”等概念来构建关于“长方形性质”的图式知识是比较困难的。312\n§10．2课堂教学工作到了三、四年级的学生，他们可能开始学习用更为精确的语言来描述一些图形的性质，但是，他们对几何知识的贮存中还往往会伴有一定的相应的日常经验。例如，对于“垂直”的认识，往往还会伴有“垂线”或“坚直”等的日常经验，因此，有的学生对一些“非坚直”形态的“垂直”识别可能就比较困难。同时，这个阶段的儿童能运用经验加工的方法作出某些预测，并设法去判断自己的这些预测，因此，他们对一些性质的建立，看上去已经开始运用逻辑的思维，但他们的思维在本质上是经验的。例如，他们能从自己的操作实验来获得三角形内角和是180度这样的事实，但是并不关心构成这个事实的三个角之间的相互依赖关系。即便到了四、五年级的儿童，他们对于一些较为抽象的图形性质的认识往往还需要日常经验的支持，例如，他们无法运用精确语言（定义）来描述“圆”，对“圆上”、“圆内”或“圆外”等概念还只能建立在“圆圈（即圆周）上”、“圆的里面”和“圆的外面”等上面，因此，对是否是这个圆的直径（或半径）的识别，更多的可能还需要依赖于图形的直观呈现。3、空间概念的形成依靠渐进的过程儿童形成空间概念有一个逐步发展的渐进过程，而这个过程与儿童空间思维水平发展的阶段性相关系，几何教学就必须符合儿童这个认知发展的规律。例如，学龄前儿童可能对于“三角形”已经获得了“三角”这样的初步的感性认识，但并没有真正形成对图形的直观特征的认识。到了低年级，就有可能通过自己的观察或操作，真正建立关于“三角形”形状特征的认识，即能用“三条边围起来”这样的直观特征来辨识图形。到了稍高的年级，儿童可能开始去逐渐获得“三角形”在性质方面的认识，并在多层次分类的基础上，去认识不同图形的性质之间的关系。这时，儿童才可能真正建立了关于“三角形”的概念。可见，教学组织中真正要把握的，首先是要能清楚在儿童的某个年段安排的几何知识的学习目标究竟如何定位？其次才去思考将通过怎样的途径或策略来获得之个学习的目标的实现？4、容易感知图形的外显性较强的因素312\n§10．2课堂教学工作儿童无论是通过操作还是通过观察，对图形的感知往往偏重于对象的直观性较强的属性特征，而忽视那些不太明显的属性特征。例如，儿童在观察正方形时，往往首先注意到的是正方形的边的特征，因为边的特征刺激大于角的特征，所以，就会混淆菱形与正方形的区别。又如，儿童对长方形性质特征的识别就往往比对圆的性质特征的识别要容易，因为长方形的这些性质特征都比较直观和外显，而相对来说，圆的本质特征就比较抽象和内隐。于是，学生对于“有12个工人在装配线上一起工作，他们都将从一固定的箱内取零件，试想零件箱放在什么地方最合适？”这样的问题，就很难马上联想到圆的本质特征来回答。再如，学生对“角”的本质属性的认识，往往会集中在组成角的两条边的长短上，而忽视两条边“张开”的程度，也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边“张开”的程度。5、对图形性质的关系有一个逐渐理解的过程在最初的学习中，儿童能通过自己的操作或观察来认识不同对象的特征，但是，对于不同对象间的性质特征关系的理解往往比较困难。例如，要让一年级的儿童去真正理解正方形与长方形之间的关系还是比较困难的。又如，一个二、三年级的儿童，有可能通过观察和操作来获得各种不同四边形（如长方形、正方形、梯形或平行四边形等）的性质的认识，但是，如果将这些不同的四边形放在一起的时候，他们往往就不容易去概括这些图形之间的性质关系。只有随着儿童空间想像能力的发燕尾服，他们对对象的认识开始更多地去关注构成对象性质的各个组成要素时，他们才开始注意到这些对象的性质之间的关系。例如，对于各种四边形的关系识别，只有当儿童开始从“边”、“角”等因素去观察不同图形的性质特征，形成一个“概念的特征系统”时，才能真正理解这些四边形图形之间的关系，在识别时才会认为一个长方形、一个正方形和一个菱形等都是平行四边形。也只有儿童能形成关于几何概念的“特征系统”时，才有可能完成这样的任务。6、对图形的识别依赖标准形式儿童在最初的几何形体的认识中，其参照系主要依赖现实空间，例如，桌面就成为他们确定水平线的一个参照。同时，他们在观察中又往往将注意力集中在对象的那些特征明显或差异较大的属性上，因此，对一些诸如“水平放置”的三角形、“相邻边大小接近”的平行四边形或“上底、下底”分别在上、下的图形（通常称之为“标准图形”）的识别往往比较容易，但是，对于一些诸如“斜置”的三角形或一组垂直、“对角分别上下竖直”的正方形和菱形、“312\n§10．2课堂教学工作邻边程度差异很大”的长方形或平行四边形等图形（通常称这为“变式图形”）的识别就会感到比较困难。标准图形虽然有利于儿童通过自己的观察来发现对象的性质特征，但是却不利于儿童对获得的性质特征的概括。因此，教学中多采用变式图形来进一步凸现对象的性质特征，防止儿童只关注对象的形状特征，这种做法是非常有效的。7、依据平面再造立体图形的空间想像能力是逐步形成的儿童从观察具体实物，初步获得立体图形的性质表象后，在进一步的学习时，往往需要去面对用平面方式构造的三维图形，这需要一定的平面透视能力。即需要面对看到的平面上的象征性的立体图形，运用再造想像，在头脑中构造相应有模型。这对最初开始学习三维空间几何的儿童来说，是有一定的难度的，它需要一定的训练。例如，有的教师在儿童初次学习“长方体”时，用三根“拉杆天线”，将它们的三个端点按“长”、“宽”、“高”这三个纬度焊接在一起。然后，不断地通过拉动天线在三个方面的长度，让学生在头脑中再造相应的形体的形象，以此来发展儿童的空间想像能力。（二）儿童空间几何学习的特点1、经验是儿童几何学习的起点儿童的几何学习与成人（或更高年级的学生）不同，他们不以几何的公理体系为起点，而以已有的经验为起点。儿童在入学这衫已经有许多几何方面的经验，他们在玩各种积木或玩具的过程中，在选择和使用各种生活用具的过程中，在家庭或活动时所接触到的各种自然现象中，甚至于在玩类以“过家家”的游戏中，无时不刻地在接触着几何知识，无时不刻地在积累着几何的经验。例如，他们在幼儿园或家庭中玩各种玩具或积木的过程中，开始不断地了解到各种玩具或积木的几何特点；又如他们在使用各种生活用具的过程中，逐渐地感觉到各种用具在几何方面的特点。但是，他们还没有机会，也没有足够的能力用语言表达他们的发现，用语言来描述他们的行为。显然，儿童依靠经验开始几何学习并逐步形成空间观念。2、操作是儿童构建空间表象的主要形式312\n§10．2课堂教学工作儿童的几何不是论证几何，更多的属于直观几何，而直观几何是一种经验几何或实验几何，因此，儿童获得几何知识并形成空间观念，更多的是依靠他们的动手操作。儿童在这个过程中，通过不断地尝试搭建、选择分类、组合分解等活动来增加、积累自己的经验，丰富自己的想像。一般说来，低年级儿童的几何学习主要是低纬度和较为直观的，因此，图片的呈示可能会有利于他们对图形直观特征的观察，但是，操作却更能加深儿童对这些直观特征的体验。例如，对一年级的儿童来说，运用观察感知长方形、正方形或三角形的图片的方式，可能就不如让他们去触摸这些形状卡片的方式，但如果是让儿童自己用小棒去搭建这些图形，效果可能会更好。而到了稍高年级的儿童，他们的几何学习开始涉及较高的纬度或较多的抽象性，因此，就更需要通过操作来帮助他们形成对图形性质的认识。例如，他们对长方形面积计算方法的认识，就是通过“数面积纸”的方式，利用比较而获得的。而他们学习平等四边形、梯形或三角形等的面积计算方法，则是通过对图形的割补得来推得的，而不是依据几何的公理体系，通过严格的逻辑推理而获得的。总之，动手操作和观察比较是小学儿童获得几何知识、认识几何性质的主要途径和形式。8.2.3儿童形成空间观念的主要知觉的障碍儿童空间观念以及空间知觉的发展，首先受到其生活经验的局限，克莱门茨（D.H.Clenments）等认为，人类的经验具有局限性，这不仅通过人的直觉和组织的功能反映出来，而且还表现在往往会歪曲或错误地表示现实世界。其次还存在着某些知觉上的障碍，这种知觉障碍主要表现为如下两个方面。（一）空间识别障碍空间识别能力表现出的是空间的方位感，无论是日常生活中，还是在空间几何的学习中，它都是一个非常重要的能力。例如，在日常生活中，估计出要去的某个地方的大致方位，估计出两个物体之间的大致距离，估计某个物体所处的大致位置，等等，都涉及空间识别能力。又如，在空间几何学习中，对三角形高的判断，对空间图形位置关系的判断，等等，也都涉及空间识别能力。但是，研究表明，儿童的空间识别能力（即空间方位感）的发展有着明显的阶段性与差异。312\n§10．2课堂教学工作首先，儿童的空间识别能力是阶段性发展的。低年级的儿童，最初常表现为对距离不太远的对象能进行一定的空间识别，但是，对于距离远的对象能进行一定的空间识别，但是，对于距离稍远的对象的空间识别相对就要差一些。随着学习的进行，经验的增长，空间知觉能力的逐步形成，儿童的空间识别能力才会得到较大的发展。其次，儿童空间识别能力的发展是不平衡的。主要表现为：有的学生通过一定的训练能较快地发展他们的空间识别水平，而有的学生需要反复的训练才能缓缓地发展他们的空间识别水平。（二）视觉知觉障碍一个常人的空间几何学习，主要依赖视觉知觉获得对对象的感知。在这个过程中，能否获得准确的知觉表象，不仅依赖于视觉观察水平，还依赖于视觉观察策略。儿童在视觉知觉上表现出的最大障碍，可能就是在视觉观察中，不能有效地建立或运用视觉知觉符号和大脑中储存的图式与概念迅速建立联系的水平或策略。例如，关于长方体表现积认识的学习，常常是通过让儿童“拆”或“拼”一个长方体的操作活动来获得的。但是，当儿童不能建立这六个面（长方形）与当前对象（长方体）之间位置关系的表象的话，即便是记住了长方体表现积的计算公式，可能遇到类似求一个“抽屉”的用料面积的问题时，还是会感到非常困难的。§8.3小学数学空间与图形的教学8.3.1空间与图形的教学原则1、提供现实情境，激发学习兴趣空间与图形的教学，应当从学生熟悉的生活环境出发，小学生尽管具备了一定的生活经验，但他们对周围的各种事物、现象有很强的好奇心。所以在教学中，应抓住学生的好奇心，根据教材的特点，结合学生的生活实际，把生活经验数学化，把数学问题生活化。如以教室为情境，让学生认位置；以学生熟悉的搭积木为情境，认识长方体、正方体、圆柱和球等。让学生在这样的情境中主动地学习。2．注重学生独立思考、自主探索、合作交流，促进学生学习方式的转变《标准》中提出，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的312\n§10．2课堂教学工作重要方式。空间与图形的教学内容上设计了很多这方面的活动。如“你说我摆”、“观察与测量”、“有趣的图形”、“动手做游戏”等，在合作中进行学习，体验合作学习的必要性和乐趣。同时在相互交流中，不断培养学生的参与意识，通过与他人的交流，感受不同的思维方式和思维过程，学会用不同的方式思考问题，尝试不同的探索方式，不断提高思维水平。在教学中，应为学生提供合作和交流的机会，不应简单地、机械地让学生模仿、记忆教师和书本上的语言。在教学中还要注意在操作过程中引导学生进行思考，把操作与数学思考结合起来。如在学习长方形和正方形的面积之后，提出：“你能和同学一起完成下面的测量和计算吗?①计算《中国少年报》的面积；②计算教室地面的面积；③你还能计算什么面的面积?”3．注重各部分教学内容的互相渗透，有机结合空间与图形的四个部分：图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置不是孤立存在的，在教学中应注意互相渗透。如《标准》中指出的“描述物体的相互位置”、“描述物体所在的方向”。又如“周长”一课，结合图形的认识和测量等知识来计算三角形、平行四边形、长方形和正方形等图形的周长。4．加强直接感知，发展空间观念，培养创新意识空间观念是创新精神所需的基本要素之一，所以《标准》把空间观念作为义务教育阶段数学学习内容的核心概念之一，把建立初步的空间观念作为数学方面的一个重要目标。如“位置与顺序”一课，结合生动有趣的情境或活动，让学生体会前、后、上、下、左、右的位置与顺序，会用前、后、上、下、左、右描述物体的相对位置，建立初步的空间观念。又如“认识物体”一课中的练习动手搭出你喜欢的东西，使学生的想像力和创造性得到自由发挥，并能感受复杂物体的形状与简单几何体之间的联系。5．关注学生的学习过程，不断反思教学设计、教学过程，更好地促进教《标准》明确提出要关注学生的学习过程，关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，所以教师应重视学生知识的形成过程。如在“观察与测量”312\n§10．2课堂教学工作一课中，组织学生测量课桌的长度，他们可能不用标准的测量工具，而是用铅笔、绳子……作为测量工具，于是学生体会到统一测量单位的必要性。教师不仅要关注测量的结果，更要关注学生是否积极参与活动，能否采用不同的测量方法。又如，一位教师在第一次上“平移与旋转”这一课时，用多媒体显示课本上的图：火车与直升机的运动，并问学生，它们是怎样运动的?学生回答：火车是直着向前走的；车轮带动车走；火车是靠燃料推动走的等。这时教师慌了，不知如何引导下去。课后这位教师反思自己的教学设计，尽量排除非本质的干扰，突出概念的本质属性，于是重新设计了教学内容。这次多媒体显示：缆车、升降电梯、风车和吊扇，学生观察。老师问：它们的运动都相同吗?学生答：不同。师：你们能把它们分分类吗?生：缆车、升降电梯的运动为一类，因为它们都是平平地直走；而风车和吊扇又是一类，因为它们是在固定地旋转。这次改进，使学生很快地进入了对平移与旋转的感知当中。6．运用现代科技手段，创设动态情境，优化教学效果在几何知识教学中，恰当地运用多媒体，让“静”的知识“动”起来。通过直观的图像、鲜艳的色彩和逼真的音响，刺激学生的多种感官，创设动态的教学情境，促使学生积极思维、大胆想像、优化教学效果。7．注意教学中，渗透思想品德教育新课程非常注意对学生进行潜移默化的思想教育，而不是直白的说教。如“左右”一课中，渗透走路要靠右侧通行，上课举右手发言。“认识图形”中，有一个十字路口的场景，渗透让学生遵守交通规则。这些内容通过小学生熟悉的生活场景，使学生受到了思想品德教育，培养良好的公民素质。8.3.2空间与图形的教学建议1．图形的认识的教学建议《标准》中在第一学段要求辨认长方体、正方体、三角形、平行四边形和圆等简单图形；在第二学段要求能认识上述图形。这都属于了解的水平，所以在教学中应大量结合生活实际，引导学生把在生活中感受到的图形与相应的知识联系起来，不断增强直观体验，认识图形。在教学中需要注意以下几个方面。312\n§10．2课堂教学工作①注意从学生的生活实际出发，选取学生熟悉的实物例子。如“物体分类”这一课，主要的任务是直观辨别物体的四种形状及其名称，结合学生日常见到的球、积木块、文具盒和茶叶罐等，引导学生通过搜集、观察、触摸、分类和讨论等活动，形成对一些常见的几何体的直观感受。该课为了直观地辨别物体的形状，除了分类活动外，还通过由实物或模型说出它的形状、由形状说出生活中这种形状的实物的练习活动，建立起四种几何体在头脑中的表象。②注意设计和组织从不同方位观察同一个物体，使学生感受观察方位不同所看到的物体的形状一般不同。这与学生的生活经验是一致的，在这一活动过程中，涉及学生的空间想像和对几何图形的记忆，这是发展空间观念的重要基础。这一活动随着年级的增加，不断扩大观察的范围和难度。如桌上放着一个茶壶，四位同学从各自的方向进行观察，请画出四位同学看到的图。③注意引导学生认识到有关图形的知识在生活和生产中的广泛应用。如正方形、长方形的展开图在物品包装盒的应用，各种花纹图案的应用等。让学生观察生活中的很多东西都是由这些基本几何图形和几何体构成的。2．测量的教学建议《标准》中对测量这部分的要求是，第一学段结合生活实际和具体情境，经历用不同方式测量物体的长度，体会建立统一度量单位的重要性，及能测量具体图形的周长、面积，能自选单位估计和测量图形的周长、面积，第二学段主要是探索并掌握圆的周长与面积公式，以及了解体积的意义及度量单位等。在教学中，需要注意以下几个方面。①注意从学生的生活情境或具体事物出发，展开教学内容。如让学生运用长方形、正方形的周长和面积的计算方法去解决生活中的简单问题，让学生体会到数学知识与日常生活的联系。②注意让学生在动手操作中，感受测量的意义，建立对测量单位的理解及对测量单位的选择，同时，培养学生的估测意识。如练一练中，有“对于你的铅笔盒的长度、你的橡皮的长度、你的课桌的长度，你的估计是多少?测量结果是多少?”这样的问题。312\n§10．2课堂教学工作③注重引导学生进行合作交流。在测量这部分内容，大部分是通过实践活动展开教学内容，教师可以引导学生进行交流。如测量一片树叶的周长，通过小组合作提出测量的办法，在合作交流中总结测量的策略。④借助测量活动，进一步发展空间观念。如“走一走”、“估一估”、“想一想”的活动，帮助学生体验1千米有多长，等括动，帮助学生逐步发展空间观念。3．图形与变换的教学建议《标准》中增加了图形与变换的内容。在第一学段，让学生感受平移、旋转、对称现象，都是属于图形变换范畴的；第二学段，进一步学习图形变换，继续采用观察、操作和实验等手段，加深对图形变换的规律的认识。在教学中需要注意以下几个方面。①挖掘和利用身边的实例，充分感知平移、旋转和对称现象。②让学生体验图形变换的知识，丰富对现实生活的认识，使学生的兴趣、爱好得到发展，同时培养学生的想像力和创造力，及对美的向往和追求。如让学生搜集一些对称的图形、图案、照片和生活中的例子；用长方形、正方形、三角形、平行四边形和平移、旋转、对称的知识设计一些美观的图案等。4．图形与位置的教学建议《标准》中增加了图形位置的内容，这部分主要是为了培养学生的生活能力。第一学段，要求会描述物体的相对位置，给定一个方向能辨认其余七个方向，会看简单的路线图。第二学段要求比第一学段更进一步，能根据方向和距离确定物体的位置，能描述简单的路线图。在教学中需要注意以下几点。①在具体的情境中进行教学，发展学生的空间观念。如在学生会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置的基础上，辨认东、南、西、北四个方向；让学生在操场上辨认方向。②根据当地的实际情况设计路线图，让学生在活动中加深体验。新教材的例子多数是以城市的生活场景为例，教师应结合自己当地的实际情况来设计教学，这样学生才会有亲切感、熟悉感，接受起来也更容易一些。8.3.3空间观念培养《标准》认为学生空间312\n§10．2课堂教学工作观念形成的主要表现是：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出事物的形状，进行几何体与三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述事物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，通过直观形象来思考。可以从以下几个方面培养学生的空间观念。1．再现生活经验，建立空间观念现实生活中丰富的原型是发展学生空间观念的宝贵资源，《标准》在有关培养空间观念的内容上加进了很多新的内容。第一学段会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置关系，会用方位词描述物体所在的方向，会看简单的路线图；第二学段知道物体的阴影是怎样形成的，并能根据光线的方向辨别实物的阴影。如利用生活中的实例来说明方向盘、车轮、硬币等都对认识圆有很大帮助。2．鼓励学生观察，形成空间观念教学中引导学生多观察，使学生逐步获得有关几何形体的表象，形成空间观念。如学习“长方形面积”时，观察一些实物的表面，也可以用手摸一摸，多种感官协同活动，使具体的事物形象在头脑中得到反映、形成表象，让学生对概念有个清晰和正确的理解。3．充分动手实践，培养空间观念空间观念的形成，光靠观察是远远不够的，教师还应该引导学生动手操作，让他们通过拼一拼、剪一剪、折一折和量一量等活动，调动多种感官，这样易于空间观念的形成。4．发挥丰富想像，发展空间观念想像是观察实验的发展，学生可以通过想像，绘制和比较放在不同位置的物体或实物图形，逐步形成各种表象，发展空间观念。8.3.4空间与图形教学典型课例介绍（一）认识图形教学目标312\n§10．2课堂教学工作①通过观察、操作与讨论感知长方形、正方形、三角形和圆的特征；初步认识什么样的图形是长方形、正方形、三角形和圆；能根据它们的特征从具体的情境中辨别这四种图形。②通过摸、画、找、说等活动，初步体会到解决问题的方法和策略的多样性，并在小组活动中培养探索意识和协作精神。③通过创设情境，在实际操作活动中体验学习数学的乐趣，激发学生积极探索新知和学好数学的欲望。教学过程1、创设情境，游戏导入师：小朋友们喜欢搭积木吗?现在想试试吗?那我们就把自己带来的盒子当成积木，合作搭一件作品。现在小组里商量一下准备搭什么，可能用到哪些形状的盒子?(教师可以控制一下时间)开始完成你们的作品吧!(小组合作)学生互相交流：你们的作品是什么?用到了哪些形状的物体?找两个小组介绍，引导学生发言(学生说时，教师将其用到的形状贴到黑板上)。2、组织活动，进行教学（1）“画”面①吸引学生注意力师：看看老师做了什么?(取盒子)这是老师最喜欢的盒子，你也拿一个你喜欢的盒子给老师看看(老师边摸其中的一个面边说)，请你也摸摸你拿的物体的一个面，有什么样的感觉?师：怎样才能得到你刚才摸的那个面呢?你来想个好办法。(学生回答：画的方法、在沙滩上盖的方法、印章的方法等。)师：小朋友们真爱动脑筋，想出了这么多种方法，请你现在选一种合适的方法得到你刚才摸的那个面吧!学生操作，教师搜集作品。②智力游戏312\n§10．2课堂教学工作师：老师邀请小朋友一起来玩一个智力竞猜的游戏。(教师出示一张作品，问：猜猜看，这个图形是从什么形状上画下来的?你知道它是什么形状吗?)这就是我们今天认识的四位新朋友：正方形、长方形、圆和三角形。请你观察一下，今天认识的图形与以前认识的物体有什么不同?今天我们学习的图形都是平平的，只有一个面。我们把这样的图形叫做平面图形，我们就一起来认识这些图形。（2）“找”面师：其实现在我们身边就有这些图形，不信我们找找看。看看从你的桌子上能不能找到一个长方形。师：(拓展内容)小朋友，看你还能不能从桌子上其他形状的物体上找到其他图形。（3）我说你想，试试你的本领老师说一个图形的名字，请你闭上眼睛想一想它的形状，然后用手画一画。3、练习（1）让我们到生活中去看一看，(出示课件)你看到了什么?老师把它搜集一下，你能从这些标志中发现什么数学问题?你知道这些标志是什么意思吗?它提醒我们要注意交通安全。（2）讨论：生活中在哪里还见过这样的图形?（3）涂颜色。指导学生发现图形，并按要求涂颜色。4、作业回家给爸爸、妈妈展示一下你的本领，找找看，你们家有哪些今天认识的图形。（二）“位置与顺序”教学设计片段1、体验自身的左与右师：大家说说，我们常常用右手做哪些事?312\n§10．2课堂教学工作生：用右手拿筷子吃饭。生：用右手写字。师：我们常常用左手做哪些事?生：写字时用左手压本子。生：吃饭时用左手拿碗。师：“左手、右手”是一对好朋友，配合起来力量可大了。你身上还有这样的一对好朋友吗?生：左耳朵、右耳朵。生：左眼、右眼。师：我们来做一个游戏，听口令做动作。(左手摸左耳、右手摸右耳、左手摸右耳、右手摸左耳……)(学生边做边开心地笑着)2、理解左边与右边(计算机演示：按顺序摆放好“铅笔、橡皮、尺子、文具盒和转笔刀”5样学具。)师：请大家也来摆一摆。(学生动手操作)师：摆在最左边的是什么?生：摆在最左边的是铅笔。师：摆在最右边的是什么?生：摆在最右边的是转笔刀。师：尺子的左边有什么?右边呢?生：尺子的左边有橡皮，尺子的右边有文具盒。师：有不同的意见吗?生：尺子的左边有橡皮和铅笔，尺子的右边有文具盒和转笔刀。生：这样说很好，没有遗漏。312\n§10．2课堂教学工作(教师用计算机演示：用尺子为标准确定左边有橡皮和铅笔，右边有文具盒和转笔刀。)师：请你们打乱学具摆一摆，再说一说。(要求学生还以尺子为标准，说一说尺子的左边与右边都有什么。小组交流后，请摆得不同的两个学生说一说。)3、体验“相对”，并加深理解师：我有一个问题想问问大家，我跟人家面对面地站着(教师举起右手)，问：老师举起的是右手吗?生：老师举起的是右手。生：不是右手。师：(教师把右手放下)请你们把右手举起来再判定一下老师举起来的是不是右手(教师又举起右手)。生：是右手。生：不是右手。生：老师你转过身去就跟我们举的右手一样啦!师：我就照你说的办法去做(教师举起右手转身与学生同向，证实结论。)我们面对面地站着，因为方向相对，举的右手就会刚好相反。……312\n§10．2课堂教学工作评析：小学一年级的学生，特别喜欢做游戏。如何运用游戏的方法促进他们的学习，让他们在游戏的过程中学习数学，对提高他们的学习动机和效果是有益的。《标准》中特别提出了情感与态度的发展目标。本案例在这一方面做出了积极的尝试，本案例集知识性、趣味性、活动性于一体，使学生在多种形式的游戏过程中体验到左、右的含义与相对性。本案例通过有趣的活动，使学生乐学、爱学。如组织学生利用自己身体上的左、右器官开展有趣的活动，整节课洋溢着愉快的学习气氛，提高了学习效果。本案例通过大量的生活实际，使学生获得和大量感情材料，使学生在玩中学、乐中悟，为正确理解左、右奠定了基础。让学生在活动中进行自主的探索，是学生发展创新意识的重要条件。本案例在这一方面略显不足，教师可以在这方面进行进一步研究。六、思考题1、小学数学空间与图形教学的主要内容是什么？教学目标是什么？2、什么是空间观念？怎样在教学中培养学生的空间观念？3、结合教学实际，谈谈空间与图形教学的原则。4、搜集关于小学数学空间与图形教学的案例，并写出一份小学数学空间与图形教学的教案。第九章小学数学统计与概率教学一、教学目的通过本章的学习，使学生明确小学数学统计与概率的教育价值，了解其内容构成及目标要求，了解儿童学习统计与概率知识的主要特征，掌握小学数学统计与概率教学的过程与方法。二、教学重点、难点重点是小学数学统计与概率教学的过程与方法；难点是小学数学统计与概率教学设计。三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献。四、教学内容本章主要内容：l小学数学统计与概率教学概述l儿童学习统计与概率知识的主要特征l小学数学统计与概率教学的过程与方法。五、教学过程§9.1小学数学统计与概率教学概述传统的小学数学课程体系中，只是在高年级编了一些简单的统计图表的知识，并且往往主要是将其当作工具性知识来学习的，因而也就将重点放在一些诸如绘制统计图表等的操作技能。而实际上，这部分知识不仅仅是一种技术，更是认识现实世界与处理日常生活的一种思想方法。9.1.1“统计与概率”内容的教育价值（一）有助于培养学生以随机的观点来理解世界，形成正确的世界观和方法论312\n§10．2课堂教学工作在以信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种重要的信息。为了更好地理解世界，人们必须学会处理各种信息，尤其是数字信息，收集、整理与分析信息的能力已经成为信息时代每一个公民基本素养的一部分。日常生活中，我们经常会听到“某地区受灾面积达到50%”“估计第三世界人口的增长率为每年4%”“这场足球赛，巴西队赢的可能性比较大”“坐火车旅游比较安全”“今天长沙地区的降水概率为60%”“买医疗保险对我有利”等语言，这实际上就是人们对客观世界中某些现象的一种描述，其中都涉及大量的数据。面对这些数据，人们就要作出分析和判断。也就是说，人们常常需要对大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断。随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法将越来越重要。统计与概率所提供的“运用数据进行推理”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。因此，义务教育阶段使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，从而使他们逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度。不仅如此，让学生了解随机现象，将有助于他们形成科学的世界观与方法论。（二）有助于发展学生解决问题的能力在学习统计与概率的过程中，将会涉及解决问题、计算、推理，以及整数、分数、比值等知识，这实际上是在学习新知识的同时复习和运用过去的旧知识，发展学生解决问题的能力。（三）有助于培养学生对数学的积极情感体验统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。动手收集与呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程，做概率游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程，这有助于培养学生对数学的积极情感体验。9.1.2“统计与概率”的内容构成及目标要求统计与概率是随着新一轮基础教育课程改革，在小学数学课程标准中重新组织进去的一个模块，尤其是增加了“概率”部分，因此，与传统的“统计初步”内容有着根本性的区别。（一）课程内容“统计与概率”的课程内容，在数学意义上是一个整体，它们都是通过对数据的收集、整理、分析与描述，获得一些整体性规律的认识，从而帮助人们对某些事件作出合理的推断与科学的预测。因此，两者在知识上构成相互关联的关系，例如，要认识某些随机现象，就必须运用某些统计的知识；而选用适当的方法收集一些数据，并对其进行统计学的处理后，人们就有可能从一些随机现象中寻找到某些规律性的认识。可见，它们都是将重心放在对数据意义的认识以及对数据收集的处理的能力上面。因此，在小学数学课程结构中，通常将这两部分内容融合在一起。具体地看，小学数学课程内容结构中的“统计与概率”主要有如下一些基本部分构成：（1）知道数据在描述、分析、预测以及解决一些日常生活中的现象与问题的价值。（2）学会一些简单的数据收集、整理、分析、处理和利用的基本的能力。（3）会解读和制作一些简单的统计图表。（4）认识一些随机现象，并能运用适当的方法来预测这些随机现象发生的可能性。（二）目标要求312\n§10．2课堂教学工作《数学课程标准》将“统计与概率”这部分知识的基本目标，按课程目标和内容目标两个部分分别予以表述。1．课程目标《数学课程标准》将课程目标按学段来表述，其中涉及“统计与概率”内容的，在小学阶段，分为两个学段的目标。（1）第一学段（1~3年级）。《数学课程标准》指出：“对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验，掌握一些简单的数据处理技能；初步感受不确定现象。”在这段文字的表述中，呈示着四个目标方向。第一，低年级的儿童学习统计与概率知识，以直观的活动为主，思考是伴随在诸如分类、排列等操作活动和直观观察之中的；第二，是以借助具体的操作和日常生活的例子，来获得数据的收集、整理和分析等过程体验为主的；第三，通过对实例的尝试性的操作活动逐步形成一些初步的数据处理技能；第四，以学生的经验为基础，并通过简单的尝试性试验来初步感受事件发生的确定性和不确定性。（2）第二学段（4~6年级）。《数学课程标准》指出：“经历收集、整理、描述和分析数据的过程，掌握一些数据处理的技能；体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，能计算一些简单事件发生的可能性。”在这段文字的表述中，呈示着三个目标方向。第一，中、高年级儿童的概率与统计知识学习，以直观的活动为主，同时还以体验为基本目标；第二，通过诸如抛硬币等操作活动来认识所谓的等可能性；第三，通过诸如掷骰子等操作活动来计算一些简单事件发生的可能性。2．内容目标与课程目标一样，小学数学中的“统计与概率”的内容目标也是分学段来描述的。（1）第一学段（1~3年级）。从课程内容看，第一学段的儿童将主要学习：能按照给定的标准或自己选择某个标准对物体进行比较、排列和分类，并在这种活动中体验活动结果在同一标准下的一致性与在不同标准下的多样性；知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息，从而对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验；能通过实例认识统计表和象形统计图与条形统计图，能根据统计图表中的数据提出问题并回答简单的问题，或能根据简单的问题，使用适当的方法（包括计数、测量、实验等）收集数据，并将这些数据记录在统计表中，并能完成相应的图表；通过丰富的实例来了解平均数的意义，会求结果为整数的简单的平均数；能初步体验到有些事件发生是确定的，而有些则是不确定的，而且能知道事件发生的可能性是有大小的，并能对一些事件发生的可能性作出简单的描述。（2）第二学段（4~6年级）。从课程内容看，第二学段的儿童将主要学习：经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程，初步体会数据可能会产生误差，并能根据实际问题设计简单的调查表；通过实例认识折线统计图，根据需要选择不同的统计图来直观和有效地表示数据，并能解释统计结果；通过实例了解平均数、中位数、众数的意义，同时会求出并解释实际结果的意义，还能根据具体的问题选择适当的统计量来表示数据的不同特征；体验事件发生的等可能性以及游戏的公平性，会求一些简单事件发生的可能性或按要求设计一个方案；能对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由。9.1.3儿童学习统计与概率知识的主要特征312\n§10．2课堂教学工作在开始学习之前，大部分儿童在描述一个现象的时候，往往简单地通过对现象的直观认识来描述，他们往往还会通过收集数据，并利用数据对这些现象进行更为精确的描述或预测。而儿童的统计与概率思想的形成，不仅有赖于他们对知识的学习，还有赖于遵循他们发展规律的教学组织。（一）统计思想的形成统计思想的本质是从局部观察到的资料的统计特征来推断整个系统的状态，或去判定某一论断能以多大的概率来保证其准确性，它是一种由局部推断整体的思想方法，是一种探知某个系统的规律性的科学。儿童在形成统计思想方法的过程中，主要会表现出如下一些特征：（1）儿童的统计思想是在操作活动中逐步形成的。例如，一个学龄前的儿童，面对由许多香蕉和苹果组成的一堆水果时，在开始的时候，可能只会采用先数出香蕉的个数，再数出苹果个数的方法来比较哪种水果多。但是，当这些水果的数量足够多的时候，慢慢地，他可能就会想到将这些水果先分开来，然后再分别去数。随着经验的增长，他可能逐渐会想到将这些水果分类对应排列起来，于是，对这个儿童来说，基本的统计思想就产生了。（2）儿童对数据的分析与利用能力的发展是一个渐进的过程，对一个学龄前的儿童来说，数字往往只是表示单个物体量的一个符号，并不用来描述自己观察到的现象。因此，数字之间往往是不相关的。例如，他可能关注到，有一个小朋友一天里吃了1个水果，吃了5块巧克力糖。然而，在他眼里，这些只不过就是一些静止的和不关联的数字，他也只是获得了一些事实。可是，对于一个低年级的小学生来说，他可能已经能从这两个似乎不关联的数字中，推断出“这个小朋友可能偏爱巧克力糖而不太喜欢水果”这样的结论来。而对于一个更高年级的儿童来说，他可能已经会从中受到启示，然后通过某些调查获取数据的方式，去选择类似“在校园里究竟是卖水果好些，还是卖巧克力糖好些”这样的行为了。（3）在儿童的经验里，往往是通过对一组单一数据的比较，来作出简单的且具有唯一性的判断。当他们在最初接触到一组复杂数据的时候，往往就会采用经验中的方法来作出判断或无法作出判断。例如，小明一分钟拍了20下皮球，小红一分钟拍了25下皮球。这样的数据说明了什么？对于这个问题，一个学龄前的儿童也能作出准确的回答。可是，许多低年级的学生，面对如下一组数据的时候（表9-1），可能就不容易作出判断：“有A、B、C三个班举行长跑比赛，每个班级选出10人，其结果如下。现在你将如何确定这三个班级长跑比赛成绩的好坏？能不能排出这三个班级长跑比赛的名次并说明理由？表9-1名次123456789101112131415班级ABACBBCACCCBAAB名次161718192021222324252627282930班级BCACBCBBACAAACB312\n§10．2课堂教学工作（4）统计往往需要选择样本，选择什么样的样本？选择多大的样本才合理？对一个低年级的儿童来说，这些可能都是比较困难的。因为在儿童的经验中，收集的样本常常都是可以穷尽的总数，例如问一下班级的所有同学，就知道班级里有29个同学不喜欢穿运动鞋，因为班级里有35位同学，所以就可以得到这样的结论：班级里大部分同学都不喜欢穿运动鞋。可是，是不是全校同学中，也是大部分同学都不喜欢穿运动鞋呢？当学生调查另一个班级并发现只有9个人（班级人数也是35人）不喜欢穿运动鞋的时候，他们就会发现，这个结论并不适用于现在这个班级。当然，学生可能还是可以通过全部数据的调查来回答这个问题的，可是，当问及是整个城市中的同龄学生的时候呢？一个比较好的办法就是通过选择适当的对象和合适的范围进行调查，然后来推测。然而，这对一个儿童来说是比较困难的。因为他们的经验往往还不能有效地支持他们作出这种合适的选择。（5）儿童主要是从“大、小”开始认识数的，因而，对低年级的儿童说，他们往往对数据的“最大”或“最小”比较敏感，当他们对一组数据进行排序的时候，最关注的是“谁大”或“谁小”这样的数据特征，而还不能将这一组数据作为一个描述现象的整体来看待。到了中、高年级，儿童已经开始知道，面对一组数据，不仅需要关注单个数据的特征，还要关注整个数据组的特征。例如，通过调查A、B、C、D、E、F、G等七位同学在一年内上电影院看电影的情况后，得知分别为：7次、5次、7次、9次、2次、7次和11次。对一个低年级的儿童来说，他们所能描述的可能就是E同学每年上电影院的次数最少，而G同学每年上电影院的次数最多。而对于一个中、高年级的儿童来说，他们可能已经会关注到，数据主要集中在“7”的周围，而且，相对于一年的时间来说，同学们每年上电影院看电影的次数是不多的。因而，对于他们来说，认识“平均数”、“众数”等的意义就比较容易了。（二）对事件发生的可能性的认识虽然在现实世界中存在着大量的确定现象与不确定现象，但是，对于儿童来说，他们要真正认识事件发生的确定性以及事件发生的可能性大小等概念，还是有一个发展过程的，在这个过程中，儿童主要会表现出如下一些特点：（1）对儿童来说，对事件可能与不可能发生的情况，在低年级的时候已经经常遇到了。但是，他们还不能对事件发生的可能性情况作出一些预测。例如，面对一个一年级的学生，你将10个红球放入一个布袋，然后问他，现在老师随便从里面摸出一个球来，你能猜出是什么颜色吗？他当然能作出准确的回答，当你再问他，有没有可能摸出一个黑球来，他当然也能作出准确的回答。可是，当你将5个红球和5个黑球放入布袋，再问他相同问题的时候，他就可能无法对结果作出准确的表述了，因为在他看来，这个问题是无法回答的。（2）儿童对可能性的认识，主要源于他们的生活经验，因而在作出判断的时候，他们所处的环境与所经历的生活起着相当大的作用。例如，对于股市涨跌的可能性判断，对儿童来说是缺乏经验的，但对于自己能否在考试中取得好成绩，他们却能预测。又如，对生活在南方的儿童来说，对于“明天是否会下雪”这个问题，其回答与生活在北方的儿童可能是不同的。（3）儿童对事件发生的可能性大小以及等可能性的认识，需要通过大量的操作活动来建立。例如，只有当儿童自己反复抛掷一枚硬币，然后通过对记录的数据进行统计与观察，才有可能发现正面朝上与反面朝上的次数这两个数据逐渐接近，因而有可能体验到这两者发生的可能性是一样的。当然，这里还包含着一个基本的极限思想的问题，因为还需要学生懂得，只有当事件的频数（抛掷硬币的次数）趋向无限大时，正面朝上与反面朝上的机会是相等的。又如，问一个一年级的学生类似“当你一打开电视机，在5分钟内就会看到广告节目的可能性有多大”312\n§10．2课堂教学工作这样的问题时，他们往往只会凭借经验的模糊印象给出某些猜测。而对于高年级的学生来说，他们可能已经会想到，先去统计一小时内广告节目出现的频率，然后依据收集到的数据作出判断。§9.2小学数学统计与概率教学的过程与方法小学数学统计与概率的教学，必须注重儿童的日常经验，必须从儿童的生活出发，在儿童充分活动的基础上，在一个具体情境中的活动中去体验，去认识，去建构。因此，不能将这部分知识的学习，单纯当作统计量的计算、统计图表的制作以及概念识记等活动来组织。9.2.1统计知识的教学按新的课程标准要求，小学阶段的儿童学习统计知识，从数学活动看，主要应经历如下一些学习：对数据的统计活动有初步的体验；解读和制作简单的统计图表；在活动中获得对一些简单的统计量（如平均数、众数、中数等）的意义理解；等等。在这些学习内容的教学组织中，一般地看，有如下一些策略可以重点给予关注。（一）注重儿童的生活经验内容的组织与呈现要充分考虑到儿童已有的日常经验与他们的现实生活，使儿童在现实的和经验的活动中去获得初步的体验。例如，分类、排列和比较是统计的基础活动，但对初期接触数学学习的儿童来说，他们参与这类活动的对象不宜是些抽象的数据，而是一些具有现实意义的实物。因此，在组织教学的时候，应较多地考虑选择什么样的合适的情境，能更好地激发儿童投入到分类、排列和比较等这样的数学活动中去？一些比较有效的做法是，向儿童呈现一堆杂乱的物品，让他们去尝试进行分类，在分类活动的过程中，他们逐渐学会了如何将这些物品按一定的规则标准进行排列，并逐渐理解了按不同的规则标准就会有不同的分类结果，为今后对数据整理与分析的学习打下基础。又如，儿童对统计全过程的理解可能是有困难的，因为他们习惯的是面对已经给定的甚至是已经被处理过的一些数据进行思考和判断。因此，可以根据儿童的日常经验和兴趣，去设计并呈现一些特定情境下的现实问题，让他们通过自己的多次尝试去不断体验。一些比较好的方式是设计诸如“班级要组织‘六一’联欢会，买些什么样的水果更好呢？”等情境，开始时，儿童们可能会依照自己的喜好随意判断，但是，多次的交流后就会体验到这样是不行的，因为联欢会是大家一起参加的活动。于是，他们就会尝试着先调查每一个人的口味和喜好。可是，面对一大堆杂乱的数据怎么办呢？这时已经构建的分类与排列思想就会提供帮助，他们可能就会将调查得来的那些数据（甚至可能是代表具体实物的图片）贴在教室的黑板上，于是就构成了一幅象形统计图。接下来，学生们可能就会进一步讨论，喜欢哪一种水果的同学多些？同学们比较喜欢的集中在哪几种水果？喜欢哪一种（和几种）水果的同学最少？于是，不仅帮助学生对“购买水果”的行为选择提供了帮助，而且对统计与统计量的意义也提供了理解上的帮助。再如，在统计量中，描述数据集中趋势的特征的一个重要的概念就是“312\n§10．2课堂教学工作平均数”，如何来组织这个内容帮助儿童理解它的意义就显得非常重要。一些比较好的方式是，向学生呈现诸如“小明身高是1.4米，他根本还会游泳。那么，他到一个平均水深1.2米的游泳池中，会不会有生命危险？”“小强所在的班级平均身高是1.5米，而小明所在的班级平均身高是1.4米。能不能判断小强和小明谁更高些？”。等具有现实意义的实际问题，让学生通过多次辨识来真正理解平均数的意义。（二）强化数学活动课程所组织的教学要有利于学生的动手操作，使他们在经历一个数学活动的过程中去体验和理解知识的内在意义。因此在教学组织的过程中，不要将一些统计知识简单地当作对那些表示概念的词汇的识记，或者将它简单地当作一种程序性的技能来反复操练，而要尽可能地用一些活动来组织，以增加学生在学习过程中的体验。例如，统计图表的制作不只是一个简单的技能问题，而是有制作过程中体验和理解统计图表意义的问题。即不是一个简单的数据堆砌的过程，而是一个对数据理解的过程。当向学生呈现“调查一下自己出生时到六个月后，每个月体重变化的情况”这样一个问题时，对儿童来说，就不是一个简单的数据获得的问题，更重要的是如何处理这些数据的问题。一个最简单的方法，就是将这些数据列成一张统计表（表9-2）表9-2出生六个月的婴儿体重统计表年龄（月）0（出生）123456体重（kg）391113161720然而，这些数据被这样罗列后，只是反映一事实，却还不能反映出某种具有规律性的趋势。于是，学生可能就会去进一步尝试将这些数据用条形统计图的方式呈现出来。可是，这样的图虽然直观地反映了在不同月份的体重的不同，但还是不能反映某种变化的规律性趋势。因而，学生可能就会再进行尝试，将这些数据用另外一种方式呈现出来。就这样，在一定的时间段内，自己体重的变化情况被用更合适的方式呈现了出来（折线统计图）。因为折线统计图能够明显反映出从出生到1月，以及从5月到6月，是两个体重增长最快的时段。（三）将知识运用于现实情境儿童对统计知识的学习，重点并不是能记住几个概念，能计算几个习题，能制作几个统计图表，关键是要能学会一些初步的和简单的统计思想和统计方法，能将知识运用于现实情境。因为，一些普通的数学规则（知识）和特殊情境之间是有区别的，通常在特殊的情境中往往并不明确显示那些数学的规则性的成分。所以，在现实情境中发展儿童的数学素养是一个重要的途径。儿童可以在这些问题解决的过程中，有效地获取知识和技能，增进理解；运用数学知识发现和解决一系列现实生活问题；处理由课程其他领域或其他学科提出的问题；对数学内部的规律和原理进行探索研究等。例如，小明和小东进行投篮筐比赛，他们约定比赛六次，每次都是投掷10次，投进一次记1分，没有投进记0分。由于种种原因，小东比小明少投了一次。他们投掷的结果如下（表9-3）。你将如何比较他们投篮的成绩？能不能解释一下你的依据？312\n§10．2课堂教学工作表9-3第一次（分）第二次（分）第三次（分）第四次（分）第五次（分）第六次（分）小明4103723小东65455如果按总分算，当然小明成绩要好些，因为他投中的总数是29次，而小东却只是25次。但是，显然这样比较不合理，因为小东少投掷了一次。如果按平均每次投中率来算，两个平均成绩，一个是5分，一个是4.8分，几乎相等。但是，从比赛的角度看，小明成绩的离散程度很大，而小东的成绩主要都分布在5分左右，按这样的趋势算，如果小东第六次也投了，很有可能就会比小明的成绩高些。同样的，如果比赛不是投掷6次，而是投掷10次，那么，小东的成绩可能就会更好些。又如，学生应当了解收集与分析信息的价值，懂得如何去收集信息，如何去解读这些信息，是这部分内容学习的一项任务。因此，可以设计一些实地调查的任务，譬如调查每天上午7：30到8：00这30分钟内，经过学校门口的机动车辆的情况。学生就需要分析，为什么要选择早上的这段时间去调查？将这些机动车辆如何进行分类更能说明问题？要调查多少天才比较合理？得到的数据应如何来整理？从这些调查获得的数据中，可以获得什么样的解释？等等。9.2.2概率知识的教学按《数学课程标准》要求，小学阶段的儿童学习概率知识，从数学活动看，主要应经历如下一些学习：对不确定现象有初步的体验；知道事件发生的可能性有大小，并能体验事件发生的等可能性和游戏规则的公平性；能在活动中计算一些简单事件发生的可能性；等等。在这些学习内容的教学组织中，一般的看，有如下一些策略可以重点予以关注。（一）活动的体验性儿童对现实世界的不确定现象是通过大量符合日常生活经验的和有趣的活动来获得体验的。在开始学习这部分内容前，经验已经支持了学生对一些诸如“肯定”、“经常”、“偶尔”、“不可能”等词汇的理解与运用，一个比较好的教学组织策略就是，设计一些有趣的日常生活情境，让学生通过活动去进一步体验这些不确定事件的存在以及一些事件发生的可能性的大小。例如，组织一些让学生去尝试判断事件发生的可能性活动，诸如“下周一本地气温下降”、“小明外语朗诵成绩全班第一”、“从装满红球的袋子里摸出的都是红颜色的球”、“天阴沉沉的，马上要下雨了”、“小明有自己的父母”等来让学生体验有些事件的发生是确定的，而有些事件的发生是不确定的。需要指出的是，在组织这类活动的时候，要注意儿童的经验和已有的知识基础在里面起到了很大的作用，因此，像对“水加热到100摄氏度时就会沸腾”的判断，对一个低年级的儿童来说，可能就缺乏经验与知识的支持。又如，让儿童去反复抛掷一个三面写有数字4，其他三面分别写有数字1、2、3的正方体骰子，他可能就会体验到，每一次抛掷骰子后，正面朝上的数字是不确定的，但是，正面朝上的数字是4的可能性要大些。再如，让学生通过收集一些“民谚故事”，来了解为什么有“燕子低飞蛇过道，大雨马上要来到”312\n§10．2课堂教学工作这样的民谚，知道通过多次反复的观察，总结出一些带有规律性结果，则有些事件发生的可能性是可以预测的。例如，前面所说的小明和小东投篮比赛的事件便是如此。还可以设计一些“调查一下两支球队以往多次比赛胜负的情况，预测下一次比赛谁可能会获胜”的活动，来增加学生的体验。（二）游戏的引导性大量的实践表明，利用游戏来引导儿童体验事件发生的可能性以及等可能性是一个非常有效的策略。喜欢游戏是儿童的天性，很多时候，儿童是在游戏中体验与建构数学知识的。因为游戏不仅能激发儿童的思维，还能促进儿童策略性知识的形成。例如，设计一个“摸豆”游戏：预先在布袋中放入有色小豆（如三红七蓝），让两组儿童来做这种摸豆的游戏。每组在地上划一条长10米的线，等分成10格，上面分别标上1到10。每组分别让一个儿童站在5上面。规则是两个组的参赛学生依次去摸一粒豆，并猜豆子的颜色，猜对的，所在组的那个儿童就朝数字大的方向走一格，猜错的，所在组的那个儿童就朝数字小的方向走一格，看哪一组先到10。此外，让每一个组将每一次摸的颜色记录下来，到游戏结束后，再让各组猜袋子里各色豆子的数目，猜对的再得奖。这是概率和数据相结合的游戏，它贯穿课改的精神，让儿童体验和了解“可能事件”、“必然事件”、“机遇”等观念。（三）方案的尝试设计所谓方案设计，实际上就是将知识运用于现实情境的一种策略。儿童可以通过这种将知识运用于现实情境的活动，进一步体验知识的内在涵义，并进一步体验知识对现实生活的价值。例如，小明和小光玩跳棋游戏，他们决定用掷骰子的方法来确定谁先走。规则是，两人各掷骰子一次，哪一个骰子朝上面的数字大，谁就先走。小光的骰子上面有1、6、8各点，每点两个面。而小明的骰子上面有3、5、7各点，也是每点两个面。你认为他们用这样的骰子来决定谁先走合理吗？如果你认为不合理，可以做怎样的改进？又如，运动鞋厂在元旦的时候想进行一次产品促销活动，他们设想，每一位顾客在购鞋时，每购得一双鞋，都可以参加一次摸彩。又考虑到产品的成本以及销售的利润，因此，希望顾客在每10次的摸彩中，最多只能有3个人中奖。请你为他们设计一个方案（包括摸彩的用具和方法，如：相同质地但颜色不同的小纸卡；每种不同用具的个数；不同的转盘等）。9.2.3典型课例介绍——“统计”教学片段师：小朋友们好!小朋友们，我们先来听个故事好吗?生：好!(伴随着轻柔的音乐声和计算机演示，教师讲起了孩子们最爱听的故事——小猫钓鱼。)师：这一天是星期日。瞧!太阳公公早早地就起床了!快看!池塘边来了三位小客人，他们是谁呀?生：是小花猫、小白猫知小黑猫312\n§10．2课堂教学工作师：对!原来他们要比赛钓鱼。预备——开始!滴答、滴答、……时间过得可真快呀!不知不觉中比赛就要结束了。小朋友们，你们想知道比赛结果吗?生：想!师：那就让我们先来猜一猜三只小猫各钓了几条鱼，好吗?生：好!师：谁先来猜?生：小花猫钓了1条鱼，小白猫钓了8条鱼，小黑猫钓了4条鱼。生：小白猫钓了10条鱼，小花猫钓了6条鱼，小黑猫钓了5条鱼。生：小黑猫钓了2条鱼，小白猫钓了5条鱼，小花猫没有钓到鱼。师：为什么小花猫没有钓到鱼?生：因为小花猫一会儿捉蝴蝶，一会儿捉蜻蜓，三心二意地，所以一条鱼也没有钓到!师：那这说明了什么?生：这说明做事情要一心一意!师．你说得很对！师：现在，请大家想一想：为了记住三只小猫各钓了几条鱼，我们该怎么办?生：要认真看!生：要坐好!不乱说话!生：要把结果记在脑子里!师：那万一忘记了，怎么办?生：把结果写在纸上!师：对!为了记住三只小猫各钓了几条鱼，我们要认真记录，记录的过程就叫“统计”。(板书课题并领读：统计)师：下面就请每一位小朋友准备笔和纸!好了吗?生：好了!师：请大家仔细观察、认真统计!312\n§10．2课堂教学工作(计算机逐次演示三只小猫钓鱼的条数)师：谁来说说三只小猫各钓了几条鱼?生：我知道小白猫钓了5条鱼，小黑猫钓了4条鱼，小花猫钓了2条鱼。师：对吗?生：对!师：大家统计得非常准确!接下来，请大家用一块积木表示一条鱼在桌面上搭一搭，谁钓了几条鱼就在谁的上面搭几块积木!比一比看谁搭的又好又快!(学生动手操作，教师巡视，请一名学生上台演示，并说明自己是怎么搭的，然后进行集体订正。)师：刚才，我们用一块积木表示一条鱼，那老师想用一个方格表示一条鱼，行吗?生：行!师：那好!请看：像这样用来记录统计数据的图就叫“统计图”。(计算机出示“小猫钓鱼条数统计图”)师：图上有一条直线(闪动)，直线上面是“小猫钓鱼的条数”(闪动)。请注意：这里表示鱼的条数的小方格要同样大小!(随教师讲解，表示每只小猫钓鱼条数的小方格横向、纵向逐次闪动。)师：请仔细观察这张漂亮的统计图。谁能说说从这张统计图中，你都知道些什么?生：我知道小白猫钓的鱼最多，小花猫钓的鱼最少。生：我知道小白猫比小花猫和小黑猫一起钓的鱼少一条。生：我知道小黑猫给小花猫1条鱼，它俩钓的鱼就同样多了。生：我能把三只小猫钓鱼的条数按顺序排列：就是5条、4条、2条。生：我也能把三只小猫钓鱼的条数按顺序排列：就是2条、4条、5条。我是按照从少到多的顺序排列的。……312\n§10．2课堂教学工作评析：以上教学片段中，教师注重结合一年级儿童的心理特征和年龄特点创设了丰富多彩的教学情境，注重关注孩子们的兴趣态度与合作交流；关注孩子们的数学情感与情绪体验，最大限度地激发孩子们的学习热情和参与情绪；唤起他们的主体意识，引导他们自主探究、学习搜集和整理数据的简单方法；认识了最简单的统计图，经历用统计方法解决问题的过程。整节课上孩子们学得相当主动、积极、兴趣盎然、思维活跃。在这样充满活动的数学学习中，孩子们真正体验到了发现的喜悦和探索的快乐，进一步激发了他们强烈的求知欲！六、思考题1、在小学进行统计与概率知识教学有什么意义？2、小学数学中的统计与概率的课程目标是什么？它反映的是什么样的教育价值追求？3、小学数学课程中的统计与概率的内容构成是什么？4、搜集关于小学数学统计与概率教学的案例，并写出一份小学数学统计与概率教学的教案。312\n§10．2课堂教学工作第十章小学数学问题解决教学一、教学目的通过本章的教学，使学生认识数学问题解决教学的重要意义，掌握小学数学问题解决教学的过程特征，并能进行小学数学问题解决教学设计。二、教学重点、难点重点是小学数学问题解决教学的过程与方法；难点是小学数学问题解决教学设计。三、教学方法讲授、讨论与交流四、教学内容本章主要内容：l数学问题解决的教学意义l小学数学问题解决的教学过程。五、教学过程§10.1数学问题解决的教学意义10.1.1数学问题解决有利于提高学生数学知识的掌握水平312\n§10．2课堂教学工作数学问题解决，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程，因此数学问题解决的学习有利于学生提高数学知识和技能的掌握水平。如计算异分母分数加减法，要综合运用分数的基本性质、通分和同分母分数加减法法则等知识才能使问题得到解决，很明显，这个过程的本身就是一个提高分数基本性质、通分和同分母分数加减法法则掌握水平的过程。数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。前者主要使通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多的知识一种对已有知识的重复学习，它主要使通过巩固去加深知识的理解和掌握。10.1.2数学问题解决能培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力在数学问题解决的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动的将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。其次，数学问题解决促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。另外，数学问题解决能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。10.1.3数学问题解决能培养学生数学意识312\n§10．2课堂教学工作在数学问题解决的过程中，学生对面临的问题要运用哪些数学知识，怎样去运用这些知识才能使问题得到解决，他们都有明确的认识，因此数学问题解决能有效的培养学生的数学意识。首先，在数学问题解决中学生能更加明确的认识到过去所学数学知识的重要作用。如加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律，学生在学习这些定律时并没有完全意识到它们的作用，只有在用这些定律解决简便计算问题时，他们才真正体会到这些定律的重要性。其次，长期的数学问题解决学习，能培养学生用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。再次，在数学问题解决过程中学生还能切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，这不仅可以增强学生学好数学的信心，还可以使它们更加深刻的感受到自己所学的数学知识都有用的。10.1.2数学问题解决能培养学生的探索精神和创新能力数学问题解决中的问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法和途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。因此数学问题解决有利于学生探索精神的培养。另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决。它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。在教学中挖掘数学问题解决中的隐藏的培养学生探索精神和创新能力的巨大潜力，引导学生加强数学问题解决的学习，充分发挥其培养学生探索精神和创新能力的功能，在当前也是素质教育赋予小学数学学科教学的重要任务。§10.2小学数学问题解决教学的过程10.2.1小学数学问题解决教学的过程特征数学问题解决的教学过程，会受到学生的知识水平、思维水平、年龄特征、问题的内容、问题的难度、解决问题的环境等多种因素的影响。但就一般规律而言，基本可以确定为以下五个步骤：问题的感知和理解、方案的寻求和确定、方法的实施和矫正、结果的表达和反思、相互的评价和交流。（一）问题的感知和理解312\n§10．2课堂教学工作感知和理解问题是数学问题解决教学的第一步。学生面对问题的情境、语言、图画等信息，通过观察、阅读了解哪些是已知条件，哪些是可利用的信息？把这些条件、信息的表象在头脑中建立起来，看看还缺少什么？需要什么？明确问题的现有状态和想要达到的未知目标的状态。对于一些情景化的实际生活问题，可以利用原有知识的建构，转化成比较简洁、清晰的数学问题，便于调动已有知识技能去解决。例如有位教师结合六年级百分数的知识设计了“打折与策略”一课，问题情境是：麦当劳进行促销活动，有下列的优惠信息：套餐冰淇淋8．00元7．00元第一周：每套打九折，买一个冰淇淋回赠2元券。第二周：每套减价20%，买一个冰淇淋回赠2元券。第三周：买五套以上打七折，买一个冰淇淋回赠2元券。现在老师给每人20元钱，请你想三个问题：你打算在哪一周买？你打算怎么买？设计方案的优点是什么？学生面对问题，兴趣盎然的搜索有用的信息，并且和已有的折扣、百分数等知识联系起来，向着问题解决的目标努力探索。（二）方案寻求和确定经过问题的感知和理解，接下来重要的步骤就是寻求和确定解决问题的方案。问题解决的方案可能会有许多种，同一问题可采用不同的方法和策略来解决。方案的选择主要依据问题的性质、内容，学生的知识、经验、技能。学生在可以想到的方案中筛选出自己认为比较有把握、简洁、易操作的方案来实施。学生在寻求和确定解决问题的方案时，原有的认知结构将会作为问题解决新方案的基础。例如，在“小数乘法”的教学中，教师激发学生能不能根据已有的知识，研究出小数乘法的计算方法时，学生一要联系整数乘法的计算方法，二要联系小数点的移动规律，三要联系积的变化规律，使这些知识、技能处于激活状态，为解决小数乘法的计算问题做好准备。（三）方案的实施和矫正312\n§10．2课堂教学工作在确定了解决问题的方案后，就要按照方案的特点制定实施的步骤。学生的计划，很多时候并不需要写在纸上，更多的是在学生的头脑中，他们经常处于边想边做的状态下。同时，学生在解决问题的过程中，经常会出现不期而遇的新问题。此时的学生是否具有修正方案、矫正策略的意识和能力呢？这是数学素质中高层次的表现。例如有位老师在六年级上“平面图形”练习课时，设计了这样一个问题：“用100米的篱笆围一个面积不小于600平方米的羊圈。”当问题一呈现，学生就在多种图形中尝试，正方形可以，圆形可以，长方形有时可以有时不可以。其中哪些长方形是可以的，哪些长方形不可以呢？学生一次次地调整长与宽，最终获得概括性的、规律性的结论。（四）结果的表达和反思学生经过一系列的复杂心理活动，终于赢得了问题的解决。怎样把解决问题的结果，呈现出来呢？这也是培养和体现学生数学素质的一个重要环节。布鲁纳的“表象模式”理论认为，学生可以通过三种不同的层次：动作、图画、符号文字来促进数学认知的发展。这三种方式都可以表达数学问题解决的经过和结果。面对自己解决问题的结果，作为问题的解决者——学生应该处于一种什么状态呢？他们应该认真审视这一结果，联系已知条件和解决的最终目标，在实际情境中检验结果的合理性、科学性、准确性、推广性。如果发现不能自圆其说，应该重新审视。例如还是在六年级“平面图形练习课”上，对于“借墙”围的问题，当学生按照圆形面积大于正方形面积，正方形面积大于长方形的面积去设计解决时，他们突然发现结果不是这样的，这又是怎么回事呢？学生在反思中又有了新的发现，并且把这一发现和先前的规律一起来看，形成完整的知识体系。（五）相互的评价和交流数学问题解决以后，学生不仅借助动作、图画、符号文字把解决问题的结果呈现出来，更重要的是用这样的手段，加上听觉、视觉、触觉等感官，来接受和评价别人的数学思想。《标准》中明确提出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，教师要善于组织学生展开课堂讨论，学生是彼此的听众和评论员。他们既要用自己的观点说服别人，也要在接受别人观点的同时，产生疑问、提出质疑。在数学交流与碰撞中产生创新的火花，丰富数学素质。10.2.2小学数学问题解决教学过程设计(一)情境的设计创设问题情境是数学问题解决教学过程中的重要基础。它有利于激发学生的求知欲，有利于培养学生探索与创造精神、自信心、解决实际问题的能力等等。312\n§10．2课堂教学工作问题情境，就是在教学中设计这种问题——使学生想解决，但单纯利用旧知识又无法解决，由此引导学生加深对新的知识技能要“充电”的欲望，这股力量实际上就是求知欲。当然这种问题情境必须与学生现有的知识、经验、能力、技能等相适应。在设计时，要让学生去体验真正的问题，真正的问题是一种情境，它是比较复杂的、具有一定的挑战性的、尚未解决的问题；同时，还要注意层次性，使对简单情境下的探究会推广到另一个情境，或可用多种水平加以处理。情绪环境，当学生不能处理教师提出的问题时，往往需要教师创设情绪环境，它主要能培养学生的意志与自信心。比如，用语言挑起学生的好胜心、好奇心，鼓励或帮助学生下决心来解决问题；对原问题作适当的提示，以降低问题的难度，或把问题分解成几个当即能解决的小问题，并在取得成功时给予表扬、鼓励，让他们体验“发现”、“成功”的喜悦、乐趣，从而为进一步解决问题打下基础。教室环境，应当创设有利于培养学生的数学才能的教室环境：尊重和重视学生的想法和观念；为探索和掌握数学思想、方法和知识提供必要的时间；为数学技能的培养提供必要的相关资料；鼓励学生的每一个微小的进步，切忌责怪学生；鼓励学生独立地进行学习；鼓励学生积极参与小组或班级的集体学习活动，使班级形成一个彼此合作的智力团体。(二)问题的设计问题的设计，是数学问题解决教学过程设计的关键，必须先设计一些“好问题”，所谓“好问题”应该具有下面一些特点：1、问题具有较强的探索性。“好问题”能够体现出学生对问题的独立见解、分析与判断，对人的创新意识与创新精神的培养有帮助。2、问题具有较强的趣味性。即具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味和魅力。3、问题具有开放性。即有多种不同的解法或有多种可能的解答。要设计出能称为“好”的问题，还应注意以下几点：问题选择要靠近学生原有的基础知识与技能，又要接近准备进行教学的新知识；问题的提法要有新颖性、趣味性、艺术性、现实性，最好能使学生激发较强的解决问题的需要与欲望；312\n§10．2课堂教学工作问题的安排要合理、要由浅入深、要由易到难，使学生能多次体会“成功”的快乐，建立、巩固学生解决更“困难”的问题的信心与决心。(三)学生活动的设计数学问题解决教学，强调的是学生自主地进行学习活动。在整堂课中，什么时候让学生独立思考、独立操作，什么时候让学生讨论、交流信息，怎样组织讨论和交流等，教师在设计时都要做精心的安排。1、活动的顺序学生活动通常可以这样进行安排：(1)理解问题。可由学生自己读题和理解，也可以师生一起观察和磋商。(2)寻找问题与已有知识的联系。(3)讨论和个体探究。可先个体探究后讨论，也可先讨论后个体探究，也可以个体探究和讨论一起进行。(4)交流结果和心得。探究活动可以通过听、看、读、思考、动笔、利用计算器和计算机等方式进行。2、教学形式的选择数学问题解决教学主要通过个体探究和群体交流两种活动来进行。与此相适应的教学组织形式有：全班、个人和小组三种。全班集体活动的教学形式。即教师面向全体学生统一讲解、演示实验、组织讨论，但这种场面往往不易控制。这种教学形式的优点是较为节约时间，但要注意控制优等生、劣等生的脱队情况；个别独立活动的教学形式。即教师因人而异地为每个同学布置不同难度的学习任务与作业，让学生独立去发现、去探索。这种教学方法虽然有些浪费时间，但要是组织得好、学生的自律性较强时，有利于培养学生独立进行研究的精神与能力；小组小集体活动的教学形式。即教师把全体学生因时因势分成几个小组，在这种分配中，应注意适当进行搭配。当教师提出问题后，先由学生独立思考，再进行小组讨论、交流结果，最后总结出结论，从而完成学习任务。这种教学形式的局面较前两种方法要易于控制，而且有利于培养学生的语言表达能力、合作协作能力等等。312\n§10．2课堂教学工作教师在小组讨论中可引导学生做到：(1)提出问题和疑问。(2)作出猜想并求解。(3)对别人和教师的问题作出反应。(4)使用各种手段进行推理，找出关联，解决问题并交换看法。(5)用数学事实和论证判断正确性。10.2.3小学数学问题解决教学设计示例（一）“解决问题”教学设计1、创设提问题的情境，体会提问题在生活中的应用提生活中的数学问题，感受数学问题在生活中的存在。教师：我们经常有这样的体会，当我们遇到不懂的事情时，就会向别人提出问题。其实在日常生活中还藏着许许多多的数学问题，你能试着提一提吗？学生提出数学问题后，问学生：“你提的数学问题想请谁来回答？”（让学生合作解答所提问题）[根据低年级学生的心理特点，用亲切生动的谈话、提问题的活动形式引入，通过在对话活动中创设引人入胜的问题情境，自然过渡到本课学习的课题，为全课的教学创造了良好的开端。并且在学生提问题的过程中随意地请好朋友来回答自己的问题，激发了学生的学习兴趣与主动参与的意识，促进了合作与交流。]2、探究新知（1）教学例题，让学生主动探索新知。①教师：春天来了，小树长出了新叶，花儿也开了，大自然里美极了！小朋友们兴高采烈地到公园里游玩。瞧，他们玩得可开心了！（边说边演示主题图。）提问：你看到了什么？跟你的同桌说一说。②小组讨论：根据公园里小朋友的活动你能提出什么数学问题？你会解答吗？（喜欢说哪个活动就说哪个。）③小组汇报，提问并解答问题。（引导学生既能提出关于加法的问题又能提出关于减法的问题。）312\n§10．2课堂教学工作[注重让学生自主探求问题，使小组合作学习和学生的主体地位真正落到实处。这节课里的合作学习、小组讨论的学习方式，老师能根据学生的情况即时开展。这样，小组学习活动就用的恰倒好处，能体现如何进一步地面向全体，达成意见上的统一，资源共享互补，求同求异。这样的合作活动才是真实有效的。]（2）借助多媒体课件创设情境，自主练习，巩固所学。①教师：小朋友们做完游戏后，准备去参观动物园，你们想不想一起去看看呢？看，动物园到了！（边说边演示“做一做”的插图。）教师：说一说你看到了什么？[数学源于生活，没有生活的数学是没有魅力的数学。本课注意从学生喜闻乐见的逛公园、动物园的现实生活中挖掘素材，为学生提供丰富多彩、形象生动的感性材料。]②课件演示：有17只小鸟，飞走了8只。教师：你能提出什么问题呢？③课件演示：跑来了15只小鹿。出示课件：有15只小鹿。教师：你能根据这个条件提出问题吗？学生：有15只小鹿，跑了9只，还剩几只？有15只小鹿练习跑步，其中有6只在休息，请问跑走了几只小鹿？……[在数学学习中，提出一个数学问题比什么都重要。这一活动中放手让学生自己去提问题，再自己解决，充分相信学生，有助于拓宽学生的思维空间，培养学生的自主探究、独立思考和创新的精神，让学生从中体会到独立获取知识的乐趣，增强了数学内容的趣味性、开放性。]④教师：仔细观察这幅图，你还能提出什么问题？学生：有13条鱼，游走了7条，还剩几条？左边有6条鱼，右边有7条鱼，一共有几条鱼？……⑤教师从学生提的问题中选出若干个进行板演。教师：你喜欢解答哪题就解答哪题，你也可以自己提个问题进行解答。312\n§10．2课堂教学工作⑥教师请个别学生上台板演，其他在练习本上解答。[在这个开放性的活动设计中，教师放手让学生自己提问题，并且喜欢哪题就解答哪题，同时注意倾听学生的各种信息，随时捕捉交流中学生的数学语言，并善于组织这些信息，使之成为教与学的内容，让学生的发现和再创造成为他们的“现实财富”。从设计上可以看出，尊重学生有个性的思维方式，无论学生提出什么样的问题，用哪种方法思考都及时给予肯定。重要的是为学生提供一个充分交流、尝试、探索、解决问题的机会。这样把学习的主动权交给学生，为学生提供更多展示自己的思维方式和解决策略的机会，真正实现不同的人在数学学习中获得不同的发展。]3、知识应用，体验成功（1）教师：今天，哪位小朋友得到了“智慧鸟”，请你把它高高地举起来。真能干，有这么多的小朋友得到了奖品。观察这些美丽的“智慧鸟”，你能不能也提出一些数学问题呢？（引导学生从颜色、大小等不同角度提出问题。）（2）观察其中一个组的人数。提问：仔细观察，你能提出数学问题吗？[这一开放性活动设计不仅把学到的知识融入游戏中，而且可以让学生的个性发挥得淋漓尽致，数学课堂充满生机与活力。因为，儿童有一种与生俱来的探索性学习方式，这种探索性的基本形式是活动。通过活动，促进儿童产生积极的情感和态度，调动原有的知识和经验进行思考。学生在活动中学习，在游戏中获得愉快的数学体验。]4、小结（1）说一说：今天这节课你有什么收获？（2）教师小结：今天我们学会了一个新本领，用数学知识解决了很多的生活实际问题。（边说边出示课题：解决问题）[本课小结一改过去“你学到了什么数学知识？”的提问方式，更注重学生的情感体验、自我感悟、自我评价和个性发展，并进一步体现了本课“用数学解决问题”的真正意义。]5、提出课后建议，将课堂所学知识进行延伸观察家里的物品，给爸爸妈妈或是好朋友提个数学问题。（二）“归纳”教学设计312\n§10．2课堂教学工作1、情景活动：建构数学方法学会观察，引发问题。（1）观察：①教师伸出食指让学生观察，并联想。提问：这是什么？能再具体描述吗？联想：看到食指你想到什么？（引导学生联想到数字“1”、方向、指示、指责等）②教师伸出并拢的食指、中指让学生再观察。提问；这是什么？能再具体描述吗？联想：你想到什么？（引导学生联想到数字“2”、剪刀、胜利等）追问：你还发现什么？1在哪里？你能用一句话来说明2和1的关系吗？（引导学生观察到两个手指之间有一个指缝，两个手指可以看作一个整体。）启发：什么是观察，观察一个物体时要注意什么？（板书：一个物体——仔细——全面）（2）观察：教师伸出并拢的3只手指。提问：你还发现什么？观察：观察刚才研究的三种情况，你还发现什么？（启发学生自主发现，并在小组内展开讨论，形成共识。对学生发现的规律及时肯定，不轻易评价。引导学生发现手指与指缝之间的规律。）板书：手指数－1＝指缝数追问：还可以怎样说？小结：观察一组物体时要注意什么？（板书：一组物体——共性——联系）指出：由多个一般事实，通过观察、分析总结出规律的过程就是简单归纳。用你自己的话说一说什么是归纳，归纳注意什么？（3）应用：五个手指几个指缝？3个指缝需几个手指？10个手指几个指缝？伸出手试试看？讨论：为什么？指出：一切数学问题都是条件问题，运用规律解决问题时要注意它的产生条件和使用范围。对条件和使用范围的改造是一种创造。312\n§10．2课堂教学工作追问：你有什么方法，可以产生10个指缝？（4）发展：你联想一下，这一规律，还可以在哪些地方应用。引导学生联想到植树、锯木段……指出：有时为了便于观察，我们可以先集样本和数据，利用列表的方法来发现规律。2、操作活动，演绎初步归纳出示：三角形的内角和是多少度？你用什么方法验证？学生讨论，选择方法，进行演示，讲清思路，确定名称。请学生思考：折角凑和，撕角拼和，……，这几种方法有什么共同点。（板书：量角求和，折角凑和，撕角拼和，……。）3、枚举归纳，主动探索规律（1）猜想：你用这些方法还可以求哪些图形的内角和？四边形、五边形内角和各是多少？（鼓励学生利用已有经验大胆猜测）（2）出示：◇这个图形的内角和是多少？你用什么方法验证？汇报证明方法：“量角求和”可以适用，指名演示。“剪角拼和”可以适用，指名演示。提问：折叠拼和为什么不用了呢？（淘汰一种方法，出现一种新方法）创新：还有其他方法吗？（引导学生沿对角线将四边形切成两个三角形）你能给这种方法起一个名字吗？板书：一分为二，180×2＝360（3）出示：正五边形这个图形的内角和是多少？你用什么方法验证？汇报证明方法：量角求和，一分为三。提问“剪角拼和”为什么不用了呢？（又淘汰一种方法）（4）启发：求5边形内角和又是多少度呢？你会用什么方法？（学生意识到量，拼，割都不是好方法，从而最终萌发出利用“分”的方法寻找规律的愿望。）引导：（1）学生思考三角形。四边形、五边形内角和，找出求多边形内角和规律，再算出5边形内角和。（2）可以使用列表的方法，总结出规律。312\n§10．2课堂教学工作（3）你发现规律后可以在小组内交流，学生小组内通过画一画、剪一剪等方式进行实践活动。图形边数方法度数三角形3180四边形五边形…………N变形   教师巡视指导。汇报：让学生填表后以组为单位汇报做的方法及规律。总结：n边形的内角和=180×（n－2）应用：（l）5边形内角和是多少？怎样验证？（2）内角和是1080度的多边形是几边形？4、总结方法，深化数学思想（1）组内研讨归纳的方法，总结注意问题。（2）谈活动收获，小结知识与方法的关系。（3）提供一个活动内容，提供研究方向。  评析：观察是最直接的认识方法，归纳是最基本的数学思想方法。本节课将观察和归纳两种方法有机地结合在一起，并有意识地渗透演绎方法的存在，合理地浓缩了人的认知过程，从而形成了完整的基本认知框架，并巧妙地利用身边的事例，实现了由学数学向用数学、做数学发展，从学科数学向生活数学发展。进而焕发出了他们对数学的爱这才是根本的学习动力。具体在以下几个方面。1、充满基于问题的研究而设计的有趣的数学情境。由一个问题的解决而逐步引发出新的问题的产生，始终围绕问题去研究，从而实现学生思维的攀升。学生思维中始终充满的是好奇的问号，学生在学习活动中寻找的是途径，感悟的是规律，掌握的是方法，而不是结果。312\n§10．2课堂教学工作2、本节课的教学设计重视数学实用性和规律性的体现，与生活实际紧密相关。使象手指与指缝的关系、锯木段、站队列、杨树以及求多边形的内角和都是用已有的知识加以改造、联想、分析、归纳，从而产生新规律，用以解决实际生活中的相关问题。尤其在数学的实用性方面体现：特别强调出一切数学问题都是条件问题，使学生清楚认识到使用数学规律解决数学问题的实际问题都要注意到数学条件的存在，从而有意识的引导学生关注知识的发生、发展的全过程。这一数学思想对学生的数学学习无疑是很有价值的。3、本课设计着力于对学生合作与选择能力的培养，本课的合作是建立在充分的。独立探究的基础上而进行的自发性的合作。在教学环节中，教师不断激励学生思考新的方法，众多的方法来自学生，并引导学生选择最佳的、或合适自己的方法。从而在比较中去鉴别，在多解中去优解，不断的提高自己的选择能力。总之，本课设计处处体现了学生的自主参与，合作创新，以及选择能力的培养，学生真正成了学习的主人。宽松的教学时空，到位的师生角色，使课堂充满了情趣、机智、创造，焕发出了生命的活力。 六、思考题1、什么是数学问题解决？小学数学问题解决有哪些特点？2、发展儿童数学问题解决能力的途径还有哪些？3、搜集关于数学问题解决教学的案例，并写出一份小学数学问题解决教学的教案。4、通过临床观察的方法，尝试对儿童数学数学问题解决的思维活动做些有价值的案例和案例分析。312\n§10．2课堂教学工作第十一章小学数学课堂教学艺术一、教学目的通过本章的学习，使学生了解数学课堂教学艺术的内涵、特征与功能，初步能运用数学教学语言艺术、导入的艺术、提问的艺术、教学情境的创设艺术进行教学。二、教学重点、难点重点是小学数学课堂教学的语言艺术、情境创设艺术等课堂教学艺术；难点是小学数学课堂教学艺术的运用。三、教学方法讲授、讨论交流与阅读文献四、教学内容本章主要内容：l数学课堂教学艺术概说l数学教学语言艺术l导入的艺术l提问的艺术l教学情境的创设艺术五、教学过程§11.1数学课堂教学艺术概说11.1.1数学课堂教学艺术的内涵312\n§10．2课堂教学工作数学课堂教学艺术，是指数学教师综合运用数学教学论、数学学习论等理论，遵循数学教学规律和学生的认知特点，在数学教学活动中，以富有个性特色的独特的方式方法，创造性地组织数学教学，使教学达到最佳效果的精湛的教学技巧。它是教师学识和智慧的结晶，是教师创造性地运用教学方式方法的升华，是教学合规律性与教学独创性的完满结合，是求美和求真的和谐统一。而这正是数学教学艺术的本质所在。11.1.2数学课堂教学艺术的基本特征1、独创性教育家第斯多惠曾指出：“教师必须有独创性”。数学教学的复杂性决定了教师劳动的创造性。教师面对的是属于变化的千差万别的学生，不可能用刻板的公式去解决课堂上出现的各种问题，无论是教案、内容处理、教法选择、教学手段的应用，教学过程的组织，数学解题的指导，都需要教师发挥自己的独创性。2、表演性课堂教学是教师通过口头表述、行为动作和面部表情等途径向学生传递知识信息的活动，这种活动本身就是一种表演艺术。所以，教育家罗伯特·特拉佛斯认为“教学之所以称为独具特色的表演艺术，它区别于其他任何表演艺术，这是由教师与那些观看表演的人的关系所决定的。”毫无疑问，掌握较高课堂教学艺术的教师，就能够取得较好的教学效果。3、情感性数学教学作为一门科学，主要运用理性，以理服人；作为一门艺术，则主要运用情感，以情感人，具体表现在各种情感手法的运用上。教学艺术水平高的数学老师，在教学中能表现出情感性的教态，创设出情感性的情境，挖掘出教学内容中的情感性因素，置学生于一般情感激发、陶冶的气氛中。情感不仅有动力作用，而且能消除疲劳、激发创造，学生可乐此不疲，思维敏捷灵活，富有创造性。4、灵活性312\n§10．2课堂教学工作数学课堂教学既是有意识有计划和有章可循的，有时又是即兴的和应变的。经验丰富的教师在教学过程中犹如演员进入艺术创作的角色，用自己的直觉和灵感即兴发挥。这种即兴发挥不在原来教学方案之内，但顺乎教学境境之自然或必然，有锦上添花之功效。教学艺术的灵活性还表现在处理课堂教学中长沙的突发性问题上，这常常出自学生意外的提问。教师对这些问题作出的恰当而迅速的回答，就是一种即兴发挥。即兴发挥是教师根据直觉进行大胆、简捷的推论、选择和判断。教学艺术的灵活性与教学的计划性并不矛盾，即使是周密的教学计划，真正运用或执行起来也需要有灵活性和创造性。因为，任何计划无论多么周密和精确，都不可能准确预测将要发生的一切具体细节，有计划而又不拘泥于计划，善于创造，这就是课堂教学的灵活性。11.1.3数学课堂教学艺术的功能1、高效功能2、激励功能3、育美功能4、整体功能§11.2数学教师语言的艺术11.2.1教学语言概述语言是人类最重要的交际工具，又是人们的思维工具。尤其是在现代信息社会中，语言是人们传递信息的重要媒介。教学语言，是一种专业语言，是教师在课堂上根据教学任务的要求，针对特定的学习对象，使用规定的教材，采用一定的方法，在有限的时间内，为达到预定的教学目标而使用的一种语言。教学语言一般分为有声系统的口头语言、无声系统的体态语言和符号系统的书面语言(主要指板书)。教学语言艺术，是指教师创造性地运用语言进行教学的实践活动。它是教师教学表达艺术的最重要的组成部分，是课堂教学艺术的核心。数学教学语言，是指教师在进行数学教学活动这一特定的环境中所使用的语言。它既具有专业语言和普通语言的双重性，又具有书面语言和口头语言的双重性。因为数学教学语言的内容主要表达本学科的知识，必然受数学学科语言性质的制约，具有专业语言的性质和特点；在教学中教师又需要把数学的学科语言经过加工转化为教学语言才会被学生理解和接受。这种转化就是将—312\n§10．2课堂教学工作些专业语言口语化，通俗化。这些非专业语言在教学中起着辅助理解，活跃教学气氛，激励教学过程的重要作用。没有这些普通语言，数学教学是难以进行的。从表达方式上说，教师应注意引导学生使用并逐步掌握数学语言。另一方面，数学课本中的概念、法则、规律和运算过程的表达都使用书面语言，因此教学语言中必然包含书面语言的成分。但是要使学生理解教学内容中的书面语言，就必须用通俗易懂，生动活泼的口头语言与学生进行交流。否则以词解词，死背教案，小学生是无法接受的。当然如果一味地使用口头语言，就会失去数学本身的科学性。因此，数学教师只有做到专业语言与普通语言有机结合，书面语言与口头语言有机结合，才能获得最佳教学效果。11.2.2课堂教学中教师的口头语言艺术(一)口头语言艺术的分类1、根据教学语言的功能性质分类(1)系统讲授语言系统讲授语言主要是指教师在课堂教学中以全班学生为对象系统讲解和传授科学文化知识的教学语言。这类教学语言的特点是：能够充分体现教师在教学过程中的主导地位和教学艺术才能，易于形成教师独特鲜明的教学语言艺术风格；教学语言表达的内容科学性强、专业特点突出；教学语言的形式逻辑性强、系统完整、层次分明，利于学生感知、理解和记忆；教师可以根据学科内容、学生特点预先精心设计、巧妙安排，增强教学语言表达的艺术效果；可以高效率、高质量地完成系统讲解和传授科学文化知识的教学任务，促进学生的知识、技能、品德等方面的发展。系统讲授语言可以适用于各级各类学校的各门学科的教学，是教师教学使用最广泛的语言类型。(2)个别辅导语言312\n§10．2课堂教学工作个别辅导语言主要是指教师在课内外教学中以个别学生为对象辅导学生学习的教学语言。这类语言的特点是：高度尊重学生的主体地位、充分调动学生的学习积极性、关注学生的个别差异和个性特点；教学辅导语言针对性强、利于因材施教，使学生能够了解自己的优缺点，以补偏疗弊、长善救失；要尽量适应学生的不同要求，语言形式灵活多变，一般难于事先设计；辅导语言要求精于启发、巧于点拨、善于激励、长于指导；可以帮助学生查缺补漏、解疑释惑，使学生形成正确的学习态度，掌握有效的学习方法，培养良好的学习习惯。个别辅导语言与系统讲授语言紧密配合，互为补充，相得益彰，是提高教学质量、促进所有学生全面发展的不可缺少的语言类型。(3)组织协调语言组织协调语言主要是指教师在教学中组织教学活动、协调教学关系、控制教学进程的语言。组织协调语言又可分为：(1)指令语言。如“请把书翻到第10页”、“请看黑板上的例题”、“××同学，请回答问题”、“大家一起来思考”，等等。指令语言应当明确具体、简短精炼、热情文明，切忌模糊抽象、冗长杂乱、冷淡无礼。(2)商讨语言。如“这堂课我们这样上好不好?”“你们希望老师讲什么呢?”“下面我们就做练习吧?”等等。商讨语言应当体现民主的精神、尊重学生的选择、培养学生的参与意识，使教学真正成为双边活动。(3)衔接语言，或称过渡语言。教学要点的衔接、教学活动的转换，都需要有中间过渡语言，才不致使教学要点间缺乏联系、教学活动的变化显得突兀。衔接语言应当前后呼应、穿线贯珠、起承有序、转合明度，才能将整堂课组织得严谨细密、天衣无缝。(4)调节语言。通过恰当的褒贬评价，强化或改变学生的学习活动，以调节控制教学进程。教学调节语言应当实事求是、程度适当，方法因人而异，形式丰富多样。正确利用评价的调节功能，是语言控制要深入研究的一大课题。2、根据教学语言的信息流向分类(1)单向传输语言 单向传输语言，又称独自性语言。是指教师在教学中向学生进行单向输出的语言。此类教学语言的特点是：语言信息密集、讯道流畅；能较好地体现教师的教学意图；语言传输的效率高、质量好；语言表达过程易于自主调控，因而可以精心设计；要求学生具有相应的语言接收能力；可以给学生以良好的语言示范，培养学生的语言鉴赏能力、语言感受能力和语言表达能力；语言信息的单向输出缺乏反馈能力；语言效果取决于教师的语言艺术水平高低等。单向传输语言的运用要十分讲求语言表达技巧，增强其语言本身的吸引力，才能激发学生的接收兴趣，避免因单调枯燥给学生造成的语言疲劳。312\n§10．2课堂教学工作(2)双向对话语言 双向对话语言，是指教师和学生以平等的身份，在民主融洽的气氛下，进行生动活泼的双向对话的语言。此类教学语言的特点是：语言的情境性增强，要求教师具备灵活机智的语言应变能力；语言流程出现曲折，语言信息传递效率受到影响；语言反馈的即时性增强了语言的实际效果；语言主体的平等地位，使师生双方都有了主动参与的积极性；语言信息的不断交换，提供了师生教学相长的可能性；可以增加学生语言实践的机会，锻炼学生思维的灵活性和即时口头表达能力。双向对话语言常用于课堂问答、个别辅导、交换意见、了解情况等教学活动。其运用要求注意语言的对象特点，和对话双方的互相尊重、默契配合。(3)多向交流语言多向交流语言是指教师在教学中有目的地组织学生进行交谈、讨论、争辩的语言。此类教学语言的特点是：教师以主持人的身份，组织和导演教学活剧；教师的语言具有鲜明的主导性和组织功能；语言流程具有不确定性，这增加了教学语言设计的难度；语言信息的多向流通，使教学活动结构呈现立体交叉网络状态；语言气氛的活跃，会激发师生思维的积极性和语言表达的兴趣；语言信息的碰撞，增加了语言活动的教育价值。多向交流语言的运用，要求教师具有较高的语言控制调节能力，使多向交流语言“形散而神不散”；通过激发兴趣、点拨思维、引导言路，而达到预定目的。 3、根据教学语言的表达方式分类(1)说明式语言(2)叙述式语言(3)描述式语言 (4)论证式语言 (二)系统讲授的语言艺术 1、科学性教学语言的科学性，体现在教学语言的准确、规范和逻辑性、系统性上。。教学时必须注意以下几点：(1)用词要确切312\n§10．2课堂教学工作数学教学语言必须以数学语言为基础，数学语言中的词汇是数学专用术语，具有严格的意义。因此，数学教学语言的用词必须确切。在实际教学中，经常看到有的教师出现用词不确切的现象。例如，一位教师在指导学生计算2.1×2/15时,这样说：“因为2.1与15有公约数3或0.3，所以可以先用3或0.3把它们进行约分再计算。”这句话中有两处用词不确切，一是前半句中的“公约数”，二是后半句中的“约分”。为什么说这两个词用得不确切呢?第一，违背了约数的定义。因为公约数包含于约数之中，而约数的概念只能在整数范围内使用。第二违背了“一个数的约数中最小的约数是1，最大的约数是它本身”的论断。如果说0.3可以是它们的公约数，那么0.03、0.003等，也都可以是它们的约数，这样和“最小的约数是1”相矛盾。如果说3可以是它们的公约数，那么30、300等也都可以是它们的公约数，这就和“最大的约数是它本身”不相符合。第三，违背了约分的本质。约分的实质是把一个非最简分数的分子分母同除以它们的公约数(1除外)，因此约分也是建立在整除的基础上的。那么，这里应该怎样说才算确切呢?可以这样说：“先把2.1化成分数21/10，将题变为21/10×2/15，然后经过约分化简后再计算。”(2)表述要清楚表述清楚，是数学教学语言的基本要求。如果表述不清楚，就可能产生歧义，出现似是而非的现象。例如，“甲数比乙数少1/5”这是一种不清楚的表述。因为其中的1/5是表示具体数，还是表示分率?不清楚!把这句话理解为“甲数＝乙数一1/5”或“甲数＝乙数一乙数×1/5”都有一定道理。为了避免产生歧义，应该补充适当的词语或变换一种说法。如果1/5表示具体的数，则可变换一种说法，说成“甲数比乙数少0.2”；如果1/5表示分率，则可补充适当的定语，说成“甲数比乙数少它的1/5”。这样的表述是很清楚的，谁也不会混淆。(3)推理富于逻辑性在教学简单的几何图形的面积公式推导过程中，一般应讲清：①剪拼或拼补的图形与原图形的面积关系(相等或是两倍)；②剪拼或拼补的图形的各部分长度与原图形各部分长度的对应关系；③312\n§10．2课堂教学工作在分析前面两点的基础上，利用已有的面积计算公式推得新的面积公式。此外，剪拼或拼补图形的实验虽不象几何论证那样要求严密，但在选择图形时，应注意一般性，不要用特殊图形(如直角三角形、等腰梯形)剪拼，以防止演示实验的局限性。圆面积计算公式的推导，还要强调：“当圆等分的份数越多，近似长方形的上、下两边就越接近直线段，组拼的图形就越接近长方形(渗透“无穷分割”)。在这些推导的过程中，要求教师重点突出、层次分明、环环紧扣，具有较强的逻辑论证性和概括性。(4)论述问题富于系统性2、简洁性教学语言的简洁性应像鲁迅先生说的那样：“用最简炼的语言表现最丰富的内容。数学教师的教学语言要干净利索，明白流畅。教学时，必须注意以下两点：(1)教学语言要“少而精”数学教师要非常注意提炼自己的语言，把握讲的尺寸，该长则长，该简则简，抓住重点关键，言简意赅，从容不迫。这样可以腾出更多的时间让学生充分思考，最大限度地发挥时间效益。例如，在教平行四边形时，为了使知识系统化，一般要把平行四边行和长方形、正方形进行比较。比较时，教师只要指出“长方形是四个角都是直角的平行四边形，正方形是长与宽相等的长方形”就行了。这样，不仅语言精炼，而且能使学生抓住它们各自的主要特征，进而形成完整的认知结构。(2)教学语言要流畅教学语言要明白流畅，不拖泥带水，不带口头弹。有的教师在课堂上，常“哼”、“哈”不断，“呀”、“吧”不绝，“这个”、“那个”不停，不管紧要不紧要，一句话重复好几遍，这样不仅使单位时间内信息传递量减少，影响学生听课，而且还可能给学生造成不好的印象，影响教师的威信，常常看到学生以此作为笑料，或有的学生在课堂上计数教师的口头弹，严重影响课堂教学质量。3、生动性312\n§10．2课堂教学工作教师要使自己的语言富有魅力，光有语言的准确和简洁还不够，还必须具有生动性。要根据学生的年龄心理特征，用生动、形象的语言去激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。这就要善于把抽象的东西具体化，深奥的道理形象化，枯燥的知识趣味化。为此，要注意如下两点：(1)要使语言形象生动按照直观教学原则，除了利用实物、模型等直观教具以外，很重要的一条就是使语言形象，以唤起学生的想象，增加思维空间，构架起感性认识和理性认识的桥梁。例如，为了让学生理解“分子相同的两个数，分母小的分数比较大”，可用形象化的语言先让学生获得感性认识：“猪八戒和孙悟空分吃一个西瓜，悟空给八戒分二分之一，八戒想多吃一点，硬要吃三分之一，悟空大笑不止。大家想一想，悟空为什么会大笑不止呢?”接着让学生理解“等分的份数越多，每份越小，等分的份数越少，每份越大。”然后再讲“同分子分数大小的比较”，就可以使学生获得深刻的印象。又如，数学兴趣课上，教师出了一道古老的题目给学生解答：“鸡兔同笼，有头14个，腿32条，鸡兔各有几只？”学生议论纷纷，有的心算，有的笔算，……，算不出来。解题的突破口在哪里呢？鸡的2条腿和兔的4条腿在捣乱，如果让鸡和兔的腿数一样，那么题目就容易解答了。于是，这位教师一声令下：“全体兔子立正提起前面两腿。”“现在，兔子和鸡的腿数一样多了。上面有14个头，下面该有多少腿呢？”“2×14=28(条)”学生齐生回答。“和先前相比，少了多少条腿呢？”“少了4条。”反映快的学生马上叫了起来。“这4条腿哪里去了呢？”“被兔子们提起来了。”“那么，你们现在该知道笼子里有几只兔子？”312\n§10．2课堂教学工作“有2只兔子！”学生们欢叫着。烦人的数学题目，在教师那生动、形象的讲解中，变得那么有趣、明白。在教学中。可适当使用故事、儿歌、比喻、顺口溜、谜语等儿童喜闻乐见的形式来表述教学内容，增强教学语言的生动性。例如，教学“10以内数的认识”时，为了帮助学生掌握数字特征；可编下列儿歌来引发学生联想，帮助学生记忆。1像小棒斜着放，2像天鹅脖子长；3像耳朵长又大，4像红旗迎风扬；5像小钩横在上，6像哨子嘟嘟响；7像锄头竖着放，8像葫芦瓜一样；9像气球放城飘，0像球儿稍稍长。(2)要使语言诙谐有趣谐趣性的语言可以增加幽默感，使人听之入神，记之不忘。我们听过侯宝林、郭启儒合说的相声《夜行记》，说自行车哪个机件都响，唯有车铃不响，真是独出心裁，令人难忘。因此，教师上课在恰当的时候用几句恢谐的话，不仅能引起学生兴奋，而且由兴奋变成兴趣，产生联想，有利于记忆。例如，一个教师在纠正学生2/4-1/2＝1/2的错误时，提出了一个有趣的问题，“半个西瓜，吃掉了半个，还剩下半个对吗?”这样的问话不仅有趣，而且能使学生迅速地发现问题的症结，富理于趣，回味无穷。又如，据《中国教育报》载，一次，在常州举行的全国协作区第六届尝试教学法研讨会上，邱学华老师上了一节小学四年级《三角形面积的计算》的示范课。这节课的前半部分上得很平稳，到这节课教学时间过半时，学生基本上掌握了三角形面积计算公式。并能运用这个公式求—般三角形面积。正当学生充满成功的喜悦时，邱老师抛出了一道“奇特”的题目：计算右下图三角形的面积。并有意采用竞赛的形式把课堂气氛搞得很热烈，学生个个跃跃欲试，抢着回答。结果几乎全班学生的答案都是这个三角形的面积是12平方厘米，即4×6÷2=12(平64方厘米)。正当学生又一次为自己的“胜利”而感到喜悦时，邱老师诙谐地说：“你们都上当啦!”312\n§10．2课堂教学工作一语出口，尤如在已有涟漪的湖中投入一块巨石，学生情绪为之亢奋。这时邱老师才在学生思维异常活跃的情况下揭示其中的奥秘，从而收到了良好的教学效果。4、韵律性教学语言的韵律性，是指教学语言要正确运用各种语调、语气，并注意语言的恰当速度和合适的停顿。教学时，要注意三种变化。(1)抑扬顿挫的语调变化。(2)有强有弱的响度变化。(3)快慢有度的节奏变化。（三）课堂提问的语言艺术1、明确性明确性是指课堂提问要明确具体，提的问题只有明确具体，才能使学生明确思维的方向。有位新教师教学“异分母分数减法”，引入1/2+1/3后提问：“1/2与1/3这两个分有什么特点？”有的答：“都是真分数”，还有的答：“分子都是1”。显然这一提问不明确，因而没有达到教师的提问意图。如果提问改为：“这两个分数的分母相同吗？分母不同的分数能不能直接相加？为什么？”这样的提问既明确，又问在关键处，有助于学生理解为什么要通分的算理。 2、思考性思考性是指提出的问题要有思维价值，不要提那些“是不是”、“对不对”等毫无思考价值的问题。例如，一位新教师在教“3的乘法口诀”时，先出示图片，接着采用这样的逐步提问的方式进行：师：老师手里拿着的这幅画画的是什么?生：铅笔。师：有几只铅笔呢?312\n§10．2课堂教学工作生：有3支铅笔。师：这3支铅笔画在哪里呢?生：画在一个圆圈内。师：老师在一个圆圈内画了3支铅笔，就是1个3支铅笔，1个3支铅笔怎样列出乘法算式来呢?生：3×1。很明显，前面三个问题都过于简单，太细大碎，学生可以毫不思索地随口答出，不利于培养学生的思维能力，浪费了宝贵的时间。实际上，只要有第四个问题就够了。在此基础上，教师可进一步指出：1个3就是3，因此得3×1＝3，为了记住这个乘法算式的结果，我们可以编一句乘法口诀，怎么编呢?因为这个算式表示1个3得3，我们可编为一三得三。再问：“乘法口诀中各个数分别是乘法算式中的什么数?”这就问到了点子上，启发到了关键处，有利于学生掌握编写乘法口诀的规律。又如，一位六年级老师教“稍复杂的分数应用题：“某工厂有2400千克煤，用去了3/5，还剩多少千克？” “同学们，这道题告诉了我们什么？要求什么？用去了3/5，是用去了谁的3/5？把谁看作单位1？还剩几分之几？要求还剩多少千克，就是要求什么？怎样求？谁能列式？学生列出算式后又问怎么计算？计算完之后，又问这道题目做完了没有？……”一共问了20多个问题，很多问题毫无思考价值。 其实，教这个例题只要提出下面的6个问题就够了： (1)这道题告诉了我们什么？要求什么？(识记性问题)(审题) (2)解答这个问题的关键是什么？(理解性问题)(分析题意) (培养学生的分析能力，扩散思维能力) (3)你们自己能够做出来吗？试试看。(掌握性问题)(列式计算) (培养学生的计算能力，解决简单实际问题的能力) (4)你是怎么做的？为什么这样做？(理解性问题)(回顾解答过程) (培养学生的说理能力，论证能力) 312\n§10．2课堂教学工作(5)同学们，你们认为哪种方法好？(概括解答方法) (培养学生的评价能力) (6)这种问题有什么特点？(作结论) 3、针对性课堂提问要有针对性，要做到有的放矢。这里所讲的针对性有两方面含义：一方面是针对学生的知识水平和思维水平，设计适应学生年龄特征和个性特点的多种水平的问题，使多数学生能参与回答；另一方面是针对本节课的重点和难点，(1)在知识的关键处设问，(2)在理解的疑难处设问，(3)在思维的转折处设问，(4)在规律的探求处设问。 例如，教学除数是小数的除法时，有位教师先让学生计算“10.25÷125”，接着过渡到“10.25÷12.5”，再设问：①这道题与以前学的小数除法有什么不同？(思维转折处设问)②你怎样把它变为除数是整数的除法计算？(关键处设问)③要使商不变，被除数应该怎么办？为什么？(规律探求处设问)。§11.3导入的艺术导入的重要艺术特征是能引起学生的认知冲突，激发学生学习数学的兴趣，创设出紧紧抓住学生心弦的教学情景，是一堂课的开始。学生在精心设计的教学情景中或趣味横生，或悬念于怀，或处于新旧认知冲突之中，或徘徊在知与不知的矛盾圈内，产生探奇觅胜的求知欲，从而让学生很自然地进入最佳的学习状态。11.3.1导入的作用1、激发兴趣，产生学习动机。2、引起注意，迅速集中思维。3、铺设桥梁，衔接新知与旧知。4、揭示课题，体现教学意图。5、勾通感情，创设学习情境。11.3.2导入的基本要求1.原则上要突出一个“趣”字2.形式上要突出一个“新”字312\n§10．2课堂教学工作3.内容上要突出一个“疑”字11.3.3导入的方法1、情境导入有些概念、性质等基础知识比较抽象，不易理解。通过教师创设的情境，可使学生产生强烈的感情认识。如教学有关“行程问题”时，有位教师是这样导入新课的：首先，问学生，你们喜欢看节目表演吗？然后，将课前已排练好“双簧”节目表演给学生看。由两名学生面对面地站在讲台前（表示一段路程的两端）相对而行，老师旁白。此时，他引导学生注意观察他们所走的方向。相遇后提问：“现在出现了什么情况？”“他们走的路程是多少？”通过具体形象的观察，学生自然对“同时”、“相向”、“相遇”等几个概念有了感性认识。这样导入新课，不仅为学生学习新知扫清了障碍，而且激起了学生探求新知的热情。2、设疑导入在学生产生疑问时引入新课。这种方法容易引起学生的注意力，使学生的注意力集中于所要解决的疑问之中，提高学生强烈的求知欲。如教学“循环小数”时，教师先让学生计算1÷3＝？和60÷9＝？两道题，当学生除不尽产生疑惑时，教师抓住这个时机说：“今天我们要在除不尽的算式中认识一种数－－循环小数”。然后开始这一课的教学。这样教师利用了学生的求知欲，紧紧抓住了学生的注意力，很顺利地讲完了循环小数的概念，教学任务在学生的急切需要中完成了。（1）析题导入法。（2）以旧引新法。（3）悬念导入法。 3、直观导入 （1）实物启示法。 （2）教具演示法。 （3）实验导入法。312\n§10．2课堂教学工作 （4）录音导入法。 （5）图示描述法。 （6）录像导入法。 4、趣味导入 （1）谜语导入法。 （2）歌谣导入法。 （3）故事导入法。有与教材有关的故事引入，课堂会出现“洗耳恭听”的势态。有一教师在讲“相遇问题”时说：今天我先给大家讲一个考教授的故事。小学生一下被吸引住了，因为他们想知道谁考教授？教授被考住了没有？教师接着开始讲：我国著名的数学专家苏步青教授，在一次去德国非学术访问的时候，一位同车的外国名数学家在电车上给他出了个题目，要求他在下车前答出。这个题目是：甲乙两个人相对而行。距离是100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里，甲带着一只狗，狗每小时走10里，狗比人走的快，它同甲一起出发，当碰到乙时它就往回走向甲，碰到甲时又折回走向乙，这样在甲和乙之间来回走，那么甲和乙相遇时这条狗走了多少里？教室里很安静，每个同学都在想。教师继续说：那位外国数学家说完题目后问苏教授，要不要再说一次题？苏教授说：“不用了”。苏教授稍微考虑了一下说：“狗走了100里”，那位外国朋友激动地说OK！苏教授如此敏捷的回答使外国朋友对对他更敬重了。同学们这个题目就是我们今天所要学习的“相遇问题”，这样新课颇具吸引力地开始了。（4）游戏导入法。根据小学生活泼、好动、好奇心强的特点，通过做游戏或演小品，容知识性、趣味性、思想性于一体，寓教于乐，使学生在轻松、愉快的教学氛围中积极投入到新课的学习。如《圆的认识》一课导入：师：老师先和大家做一个游戏（老师示范，一段细绳一端系着小球，另一端用手拽着甩小球）。 师：请大家玩一玩（学生各自甩小球）。312\n§10．2课堂教学工作 师：我把刚才大家做的游戏用演示器显示出来，请大家注意看：相当于“小球”的这一个是怎样移动的？形成一个什么图形？（教师演示）我把小球移动形成的图形画出来。这移动的点,绕着固定的点旋转一周就得到一个圆（教师画图），大家可以再甩一甩手中的球，看一看是不是形成一个圆？ 师：今天我们就学习圆的有关知识（板书课题）。§11.4提问的艺术《数学课程标准》指出：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者，教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程。创造性地设计课堂提问是设计教学过程的重要组成部分，正确认识课堂提问的功能，讲究课堂提问的艺术，在数学教学中具有十分重要的意义。11.4.1课堂提问的功能数学课堂提问的功能，主要表现在激发学习兴趣、启迪思维活动、反馈学习信息、强化知识记忆、培养口头表达能力和增进情感交流等方面。l、增进情感交流新课标强调要关注学生在数学活动中所表现出来的情感和态度。课堂提问是师生互动的一个过程，在这个过程中，表达了教师的教学需要和学生的认知现状以及态度，这种不断对话、交换思维活动的过程，实际上也是一个沟通的过程，这种沟通由浅入深，由不了解到了解，包含了情感的推进与融合，从中增进了师生的情感交流。同时，向学生提出具有思考价值和挑战性的问题，能激发学生的学习兴趣和积极的学习情感。在“跳一跳”摘到“果子”的过程中，学生享受到成功的喜悦。2、启迪思维活动促进学生思考，教会学生思考方法是课堂提问中最主要的、最突出的功能。提问的过程，学生充当教学活动的主体角色，思维活动呈激发状态。教师以问题为线索，引导学生围绕教学目标，按照一定的教学顺序展开思维活动，教师或学生根据思维结果进行评价，从而促进学生思维活动的有序而高效。312\n§10．2课堂教学工作3、反馈学习信息教与学是辩证统一的一个整体，素质教育要求教与学相互协调，和谐共进。通过课堂提问学生，同教师评价后再提问，学生再回答这一系列的多向信息反馈过程，教师可以了解掌握学生的学习动态，根据课堂教学的实际情况，及时对预设的教学内容、程序和方法作出适当的调整。4、培养口头表达能力在课堂上，教师设疑提问，要求学生用准确而简练的语言条理清楚地回答，教师对学生的正确回答加以肯定，对词不达意或表达有逻辑错误的学生面对面地给予指出更正，有利于培养学生的口头表达能力。为了实现课堂提问的上述功能，教师在教学实践中有必要讲究课堂提问的操作技巧，以期顺利地完成数学教学的任务。11.4.2课堂提问的原则1、精心设计，注意目的性课堂提问的目的必须清楚、明确。教师有目的的提问可以激发学生的主体意识，鼓励他们积极参与教学活动，从而增强学习数学的动力。根据课堂教学的需要，设计目的性明确的提问。比如：复习型提问，包括对概念、公式、法则、定理和方法的回忆；理解型提问；应用型提问；评价型提问等等。2、难易适度，注意科学性课堂上问题的设计必须准确、清楚，符合学生认知特点，适应学生认识水平，切忌含糊不清、模棱两可的问题。问题的答案应该是确切和唯一的，即使是发散性问题，其答案的范围也应在教师预料之中，要避免答案不确定或超出学生认知水平的问题。对学生的回答，教师要用明确的反应，或肯定，或否定，或点拨或追问，恰当的反应可强化提问的效果，同时教师还要把握时机，当学生思维处于积极状态时，要安排具有启发意义的提问。要善于了解学生的疑难，鼓励他们质疑问难，作深层次思考。使学生从有疑到无疑，逐个解决疑点、难点问题。3、新颖别致，注意趣味性4、循循善诱，注意启发性312\n§10．2课堂教学工作教师恰到好处的提问，不仅能激发学生强烈的求知欲望，而且还能促其知识内化。课堂教学中教师的主导作用发挥得如何，取决于教师引导启发作用发挥的程度，因此课堂提问必须具备启发性。通过提问、解疑的思维过程，达到诱导思维的目的。要注意设计展现思维过程的提问，不应满足学生根据初步印象得出的判断，而要强调学生说明怎样分析理解的道理。问题提出后，适当地停顿，给学生思考的时间，以达到调动全体学生积极思维的目的。学生答完问题后再稍停数秒，往往可以引出该生或他人更完整确切的补充。5、因势利导，注意灵活性围绕教学中心、重点难点而精心设计几个提问是十分必要的。但教学过程是师生双方信息交流的过程，因而不排除在师生交流过程中出现一些教师在备课时没有想到的事情发生，一旦问题出现，这时就要灵活地根据教学活动中的情况，当场设计出一些提问，以调整和改善教与学的活动。对教师的提问，学生回答有错误是正常情况，教师应能迅速准确地判断出学生的回答错在哪里？为什么会错？从而灵活地提出针对性强的新问题。6、正确评价，注意鼓励性7、面向全体，注意广泛性课堂提问的目的在于调动全体学生积极的思维活动，要使全体学生都积极准备回答教师所提出的问题，不应置大多数学生而不顾，而形成“一对一”的问答场面，或只向少数几名学生发问。不要先提名后提问，也不要按一定次序轮流发问，教师提问的机会要平均分配给每一个学生，这样才能调动全体学生的学习积极性。11.4.3课堂提问的方法1、启发式提问2、铺垫性提问3、对比式提问4、理解性提问11.4.4设计课堂提问的注意点(一)课堂提问要符合儿童心理特点1.课堂提问要吸引学生的注意力2.课堂提问要引导学生观察312\n§10．2课堂教学工作3.课堂提问要促进学生思考(二)要围绕教材的重点难点设计课堂提问1.针对教学的重点设计提问所谓教学重点，就是学生必须掌握的基本知识和基本技能，如意义、法则、性质、计算等，教师的任务就是把这些知识传授给学生，使学生不仅学会它、掌握它，并能理解它和灵活地运用它。教师要善于根据教学要求，抓住问题的本质，针对教材的重点提出问题。　　例如，在学习“分数的初步认识”时，为了让学生理解“平均分”和分数所表示的意义这一教学重点，教师安排了这样几个问题：①“老师这里有一个苹果，要平均分给两个同学，每人分到多少？”②“这个1/2表示什么呢？”引导学生回答：1/2表示把一个苹果平均分成两份，每份是这个苹果的1/2。）　　③于是老师又出示这样一个图形（见图1），问：“这个圆中的阴影部分成两份。这样分能用1/2表示吗？”学生答：“不能用1/2表示，因为它不是把这个圆平均分。”这样，就加深了对“平均分”的理解。④教师进一步启发学生：“谁能把这个图改动一下，使它能用1/2表示呢？让学生把图形变成平均分（见图2）　　教师在设计课堂提问时，还要把握这样原则：学生已会的知识不问，稍加启发就会的知识要少问。常言道：“好钢用在刀刃上”，在教学的本质问题上要精心设计，准确提问。例如在学习“异分母分数加减法”时，为了使学生理解异分母分数加减法的计算法则这一教学重点，教师安排了这样一组分母分数相加减，而这个题的分母不同）②分母不同说明什么不同？（平均分的份数不同，即分数单位不同）③312\n§10．2课堂教学工作分数单位不同不能直接相加减，怎么办呢？（变成分数单位相同的分数）④怎么去变？（引导学生知道要先通分）。最后让学生概括出：“异分母分数加减法，先通分，再按照同分母分数加减法的法则进行计算。”　　课堂教学中教师针对教材重点设计提问，不仅避免了提问中的杂乱无章，而且节省了时间，使学生能够在课上充分进行反馈练习，提高了课堂教学效率。2.针对教学的难点设计提问数学知识比较抽象，要让学生真正理解和自觉掌握所学的知识，并形成能力，关键是要让学生掌握他们认为难以理解的知识。这就需要教师在设计课堂提问时，抓住教学的难点，为学生铺路搭桥，逐步突破这些难点，使学生学好这部分知识。　　例如教学“最小公倍数”一课时，为了让学生理解“两个数的最小公倍数要包含这两个数全部公有的质因数，还要包含它们各自独有质因数”这一教学难点，教师分下面几步提问学生：①12的倍数中至少要包含哪些质因数？②18的倍数中至少要包含哪些质因数？③12和18的公倍数中至少要包含哪些质因数？（请学生先算一算有何发现？）④为什么12和18的最小公倍数中至少要包含它们全部公有的质因数，还要包含它们各自独有的质因数？⑤为了更进一步深化所学知识教师再提问：“在最小公倍数中所包含的这些质因数中，如果少一个会出现什么问题？如果多一个又会出现什么问题呢？”以上设问，逐步加深，在学生掌握知识，突破了难点的同时还揭示了知识的来龙去脉和前因后果，使学生不仅获得知识的结论，更重要的是培养了学生的逻辑思维能力。　　教师在教学中还应强化学生对难点的掌握，精心设计问题，达到突破难点的目的。例如：在学习三角形的认识时，为了使学生真正理解和掌握三角形按角分类，教师出示了一个图形，如图3。间：“①一个三角形露出一个角是直角时，这个三角形是什么三角形？”（学生根据直角三角形的定义很容易判别是直角三角形。）②“一个三角形露出一个角是钝角时，这个三角形是什么三角形？”（学生同样说出是“钝角三角形”。）③“一个三角形露出一个角是锐角，这个三角形是什么三角形？”这时学生各说不一，有的说直角三角形，有的说钝角三角形，还有的说锐角三角形。在学生争议中，教师展示出三种不同的三角形如图4—图6。312\n§10．2课堂教学工作　　④问：“为什么当一个三角形露出一个角是锐角时，会出现三种情况呢？”抓住这个难点，引起学生思考，使学生认识到：“因为任何一个三角形至少有两个锐角，所以当露出一个锐角时不能辨别它是什么三角形”的道理。　　教师在针对教学的难点设计提问的同时，还要针对学生的薄弱环节设计问题。学生的薄弱环节往往是教学的难点，教师在周密了解学生情况时，首先要知道学生的薄弱环节在哪里，设计提问，予以解决。这样就为突破难点创造了条件。3.针对新旧知识的联系点设计提问数学是一门系统性很强的学科，知识之间的联系是紧密的，前面的知识是后面知识的基础，后面知识是前面知识的延续、深化和发展。一般情况下，小学数学是没有全新的和绝对孤立的内容，这就要求教师在讲授新知识时，通过课堂提问，巧妙地把新知识纳入到学生已有的知识网络之中，为学生架起由旧知通向新知的桥梁，使学生顺利达到知识的彼岸。　　例如，在学习除数是小数的除法时，教师首先让学生计算102.5÷125，并回答除数是整数的小数除法的法则。然后导入新课10.25÷12.5，提出下面问题：①除数是几位小数？②怎样使除数转化成整数？③要使商不变，被除数应怎么办？④想一想，如何计算除数是小数的除法。学生在复习102.5÷125的基础上，运用已有的知识主动地领悟了新知识。　　又如，在学习三角形面积计算时，教师让学生准备好两个完全一样的三角形动手操作，并提问思考：①将两个完全一样的三角形可以拼成一个什么图形？（平行四边形）②拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？③拼成的平行四边形的面积和三角形的面积有什么关系？④如何求平行四边形的面积？⑤那么三角形的面积应怎样计算？这样在新旧知识之间的衔接处，设计提问，运用知识的“迁移”规律，沟通了新旧知识的联系，使学生运用旧知识探究出新知识。312\n§10．2课堂教学工作§11.5数学课堂教学情境的创设艺术情境是知识赖以产生意义的背景，是认知活动的学习来源。数学情境是含有数学知识和数学思想方法的情境，它是数学知识产生的背景，一般可以用文字语言、符号语言或图像语言表示。数学教学要引导学生进行数学活动，经历数学化的过程，在自主探索、交流合作中建构数学知识，课堂上就要创设合适的数学教学情境。11.5.1数学教学情境创设的基本要求1.原则上要突出一个“趣”字2.形式上要突出一个“新”字3.内容上要突出一个“疑”字11.5.2数学教学情境创设的方法（一）利用学生身边的事实创设情境学生的生活环境中能找出不少与数学有关的情境素材，教师可充分利用。例：利用学号复习“约数和倍数”（二）用故事创设情境新课伊始，教师把数学知识编成童话故事、寓言故事等，使学生随着故事情节产生喜怒哀乐的情感变化。学生身心投入了，注意力自然就集中，这时引入新课，水到渠成。如：《分数基本性质》一课的导入，教师编了这样一段童话：一天，猴妈妈得到了三个同样大小的饼（演示三个圆纸片），她把三个饼分别平均分成了4份。8份、12份，让三个孩子分别取其中的3份、6份、9份（板书3/4、6/8、/12），话音刚落，三只小猴子瞪大眼睛望妈妈，好像在说：妈妈今天怎么啦？3/4、6/8、9/12，一个个各不相同，以前妈妈可从不偏心呀？猴妈妈看透了小孩子们的心思，神秘地笑了笑说：“孩子们，妈妈的分配公平吗？为什么呢？你们好好想想吧？”这时，老师让学生把事先准备好的三个圆纸片，分别平均分成4份、12份，然后取其中的3份、6份、9份（分的份数和取的份数要对应好）进行比较，最佳的教学情境创设成功，该是讲授新课的时候了。（三）用游戏创设情境1、趣题竞解式312\n§10．2课堂教学工作2、挑战抢答式3、接力式4、对弈式5、开商店式6、操作玩具式7、击鼓传花式（四）用操作创设情境动手操作是激发学生兴趣，发展学生思维，完成学习任务的良好手段，它可以变抽象的知识为具体的内容，如教学《长（正）方形的初步认识》时。我让每一个学生准备一把小刀和一只山芋，然后跟着老师操作，先切下山芋的前面一边，让学生摸一摸，问学生摸到了什么？（面）；再把山芋的右面一边切下，让学生摸一摸两个面相交的部分（梭）；再把山芋上面一边切下，让学生找出三个面相交的地方（点）。学生有了这样一个非常具体、直观的操作过程，就自然而然地想到刚才摸到的三个部分是什么，就会在兴趣的感召下，去多了解一些长（正）方形的知识。（五）用实验创设情境（六）设置悬念创设情境思维从疑问中来，古人云：“学起于思，思源于疑。”学习中如果有疑问，旧会引起学生的求知欲望。因此，再教学中要有意识地设置一些与本节有关的悬念，创设“情境问题”，使学生产生疑问，有效地激发起学生在获取知识过程中，强烈地探求问题奥妙的积极性。如讲相似三角形判定定理一节时，授课前，先给同学们讲一个故事：古希腊有一个哲学家泰勒斯旅行到埃及，在一个晴朗的日子里，埃及伊西达神殿的司祭长陪同他去参观胡夫金字塔，泰勒斯问司祭长：“有谁知道金字塔有多高吗？”司祭长告诉他：“没有，我的孩子，古代草片文字没有告诉这个，而我们今天的知识使我们甚至不可能大概地判定这金字塔究竟有多高。”泰勒斯说：“可是，这是马上可以测出来的，我可以根据我的身高测得金字塔的高度。”说完，泰勒斯随即从白长袍下取出一条结绳，在他的助手帮助下，测得塔高是131米。古事讲完了，在学生们还沉浸在故事之中时，问：“312\n§10．2课堂教学工作谁能说出泰勒斯是如何测出塔高的？”学生们面面向视，回答不出，我告诉学生：“下面将要学习的相似三角形的判定定理就能帮助你回答。”这一悬念的设置，使学生产生好奇心和浓厚的兴趣，急于释疑，很自然地把学生引入到生机盎然的学习情况中去。（七）用数学谜语创设情境一上课，就用“猜谜语”吸引学生的学习注意力，使浅显平淡、枯燥无味的教学内容转化为妙趣横生的学习活动，容知识教学于情趣之中，激起学生浓厚的学习兴趣，自然进入对新课的学习。六、思考题1.数学课堂教学语言应满足一些什么样的基本要求？数学教学语言的艺术性主要体现在哪些方面？2.设计一个新课引入的实例，结合实例说明你的设计意图及使用的引入方法。3.课堂提问的原则什么？设计一个课堂提问的实例，并说明所用的方法。4.任选一教学内容，设计一个教学情境，并说明设计意图。第十二章小学数学教学评价312\n§10．2课堂教学工作一、教学目的通过本章的学习，使学生对数学教学评价的一般理论有所认识，并让学生了解小学数学课堂教学评价的基本程序以及小学数学学习评价的主要内容。二、教学重点、难点重点是小学数学课堂教学评价；难点是小学数学教学评价的实际运用。三、教学方法讲授、讨论与交流四、教学内容本章主要内容：l数学教学评价概述l小学数学课堂教学评价l小学数学学习评价五、教学过程§12.1数学教学评价概述12.1.1评价与数学教学评价评价的定义是多种多样的，如斯塔弗尔比姆（Stuffle-beam）等人把评价表达成“是为了进行问题选择判断而描述获得和提供有用信息的过程”。在这一意义上，评价既包含了测验的意思，又包含了测量的意义。关于评价的第二种通俗的解释是学业成绩与目标一致性的测定。其他更简单的定义，则把评价看成是专业判断或是一种允许人们对有价值的事物所作判断的过程，它不是评价定性资料或数据，就是评价定量资料或数据。总之，无论是在英语、日语中，还是在汉语中，评价都包含有“价值与判断”的意思。价值是客体满足主体需要之间的一种特定关系，它通过人们的社会实践予以实现。价值判断则是价值关系在人脑中的反映，它是以一定的事实判断为依据，对事物的价值程度进行判断的思维过程。因此，作为完整的评价活动来说，不仅要根据评价目标收集定量与定性方面的信息进行量与质的分析，而且还要根据这些信息对评价对象作出最终的价值判断。312\n§10．2课堂教学工作教学评价是对实现教学目标程度的教学行为进行系统的定量与定性描述，最终作出价值判断的过程。数学教学评价可表述为：根据数学教学目标的要求，通过系统地收集有关信息，对数学教学活动的社会价值进行判断的过程。从这个定义可知：1．数学教学评价有三个要素：数学教学目标、有关信息和价值判断。2．数学教学评价对其要素有特殊的要求：其目标应该是确定的教学目标；信息应该是系统的，而不是零星的；价值判断标准应当是社会价值，而不是评价者个人的价值标准。所谓数学教学活动的社会价值，就是看数学教学满足社会需要的程度。3．数学教学评价与数学教学测量、数学测验是意义相近而又有区别的概念。主要区别在于数学教学测量只是用数学方法对学生行为描述而不管其价值如何；而评价则以这种描述为基础并超出这种描述而试图确定学生行为的价值，即根据资料就学生行为作出价值判断；测验是测量一个行为样本的系统程序，“行为样本”就是对所欲测量的心理属性具有代表性的一组行为反应，“系统程序”是指测验在编制、实施和评分等方面都是根据一定的原则和标准确定的有序过程。测量以评价为结果，评价以测量为手段。在学习评价的全过程中，测量是重要方面，当我们说到教学评价时，一般已把测量包括在内。12.1.2数学教学评价的功能数学教学评价以数学课程标准为依据，它所制定的目标，是为了实现数学课程标准的各项要求。评价的功能是多重的，而且在不同的条件下或有不同的需求时，它可以偏重于发挥其中的某些功能而忽略另一些功能。数学教学评价的功能一般有以下几个方面：1、导向功能数学教学评价的内容、要求和方式都是根据数学教学目标来确定的，所以数学教学评价的标准往往对教和学都起着“指挥棒”的作用。如果评价的标准和数学测验的内容能有效地反映数学课程标准对学生的要求，就能正确引导教学实践，促进教学目标的实现。2、诊断功能312\n§10．2课堂教学工作教师了解学生是确保教学有效的必要条件，这种了解是提出现实的学习目标，使用合适的教学方法去帮助学生达到既定目标的基础。通过在学期、学年或新课程开始教学之前的数学测验，教师可以了解学生在某阶段中知识、技能和能力已达到的水平和存在的问题，并据此确定具体的教学措施、以利于设计合适的数学教学目标。3、激励功能对教师来说，客观、公正的教学评价可使教师既看到成绩，也看到存在的问题，能提高教师工作的积极性，激励他们对工作精益求精。心理学研究表明，肯定的评价会对学生的学习起鼓励作用。通过评价，学生学习上的进步获得教师和家长的承认，心理上获得满足，从而会提高其学习的积极性。否定的评价往往会使学生产生焦虑，但心理学家认为：“当紧张和焦虑的程度处于中等水平时，学习进展最快。”因此，有关的数学教学评价若能使学生保持这种“适度的紧张”，则对学生的数学学习会有很好的激励作用。4、反馈-调控功能在数学教学评价的过程中，评价者按预先设定的评价目标，依靠大量的教学信息，通过信息反馈，调节和控制教学，使之尽快地达到目标要求，我们称这个评价的过程为“反馈-调控”过程。通过调控过程，可以成功地获得教与学的理想效果，对教师来说，可以调整自己的教学工作，包括修改教学目标、改进教学方法等；对学生来说，可以知道学习中存在的问题，确定今后的努力方向，调整自己的学习活动。“调控”主要调节教学内容的密度和难度、控制教学活动的速度和节奏等。在实施数学教学评价时，各种功能总是综合地起作用，不能把它们截然分开。此外，也应该注意到各种功能都有两重性，只有良好的评价，才会产生积极的效果，反之就会带来消极的影响。评价的作用也不能过分夸大，因为学生学习的进步和优异成绩的获得产生于合理组织的教学，而不仅仅产生于测试和评价。12.1.3数学教学评价的原则数学教学评价的原则，是指人们在数学教学评价中的评价语言、评价活动和评价行为必须遵守的规则。它是人们在长期的评价实践中对评价的规律的不断研究和总结的结果。因此，它具有客观性，又有人为的约定性，是主客观的统一体。数学教学评价的基本原则有如下四条：312\n§10．2课堂教学工作1、统一性“统一性”是指数学教学评价的要求与培养目标和教学目的要求应该统一起来。要把影响评价标准的外部因素和背景综合起来。2、教育性强调在教学过程中的每一个重要环节，针对每一个可进行教育的内容，通过设定目标，用目标的到达度去实现。一个教育价值判断，要依据在每一个学生身上所体现出来的教育成果，要看每一个学生的数学素质的提高。这就要求把握学习中发生的变化，有哪些成功的做法需要肯定、巩固和提高；哪些不足之处需要及时改进；有哪些不利因素需要抵制和防患等。3、科学性数学教学评价要遵循科学规律，采取实事求是的科学态度，讲究科学的评价方法和手段，从客观实际出发，全面考虑制约评价的各个要素，把定量测量与定性评估综合起来，进行科学分析，作出切合实际的评价。4、可行性这一原则要求在对学生进行数学教学评价时，其内容和标准应明确、具体，有统一的评价指标，保证被评价项目的可测性；不能含混不清或捉摸不定；要简化评价程序，使广大教师都能实施，并使实施方法切实可行。12.1.4数学教学评价的方法数学教学评价方法可以按不同的标准分类。（一）按照评价的参照标准不同，可分为绝对评价法、相对评价法和个体内差异评价法。1.绝对评价法绝对评价法是在被评价对象的集合之外确定一个评价标准，将评价对象与评价标准进行比较，以测定评价对象与评价标准的差距。这里所说的评价标准通常指数学教学目标，所以绝对评价法又称目标参照评价。传统考试所采用的百分制评分法，以得100分为满分，得60分或60分以上为合格,60分以下为不合格，就是采用的绝对评价的观点。这种评价的方法有助于测定各个阶段实现数学教学目标的程度，确定是否要进行下一个目标的教学，也有助于对每一个学生的指导。这种评价方法的缺点在于：作为体现教学目标的数学试题，学生要完成多少才算312\n§10．2课堂教学工作“达标”？这些试题是否概括了全部数学教学目标和数学教学内容？这些问题都难以肯定。2.相对评价法相对评价法是在被评价对象的集合内确定一个评价标准，将集合内的每个被评价对象与这个标准进行比较，或用某种方法排出先后顺序，以测定每个被评价对象在集合中的相对位置。确定的评价标准通常是所有的被评价对象的平均成绩，这个平均成绩我们称之为“常模”，所以相对评价也叫常模参照评价。相对评价重视每个评价对象在集合中的相对位置，可以评出名次，分出等级。相对评价的优点在于相互比较之下可以确定每个评价对象的位置或名次，比较客观、公正，可作为选优、编班、分组等依据。其缺点是重在排队选优，未考虑个人的努力及进步程度，缺乏激励作用。3.个体内差异评价法个体内差异评价法就是把评价集合中各元素的过去和现在相比较，或一个元素的各个侧面相互比较。个体内差异评价充分照顾了个体的差异，对被评价对象无多大压力，有利于教师了解学生的个体差异，贯彻因材施教原则。然而这种评价缺乏与外部进行比较的标准，难以了解个体在总体中的相对位置。以上三种评价方法各有优缺点，在进行评价时要根据实际需要选用合适的方法，而且还可将各种方法结合起来使用。（二）按照评价的目的不同，可分为诊断性评价。形成性评价和终结性评价1.诊断性评价诊断性评价一般是在学年、学期开学前或开学时施行，其目的是了解学生是否具有达到新的数学教学目标所必需的基础知识和技能，以便确定数学教学内容的起点和进度。诊断性评价不是给学生贴上“好”与“不好”的标签，而是根据诊断结果设计一些能发挥学生长处并补救或克服其短处的活动方式，在了解学生的基础上帮助学生在原有的基础上和可能的范围内获得最大的进步。2.形成性评价312\n§10．2课堂教学工作这种评价一般是在数学教学过程中进行的。可以通过课堂提问、单元测验、期中或期末数学测验来实施。这种评价的目的在于了解数学教学的结果以及学生学习数学的情况，以便教师及时了解数学教学中取得的成绩和存在的问题，调整或改进数学教学工作，使数学教学在不断的测评、反馈、调整的过程中趋于完善，最后达到数学教学目标。3.终结性评价终结性评价一般是在学期或学年结束时进行，其目的主要是了解学生经过一学期或一学年的学习，是否达到数学教学目标，据此作出终结性评价。终结性评价除了给学生评定学习成绩外，对后阶段学习还具有预测、评估的作用，能确定学生在后继课程中的学习起点。这说明终结性评价还能发挥部分形成性评价和诊断性评价的功能。传统的教学评价观把完整的教学评价体系简化成单一的“终结性评价”，进而简化为简便易行的纸笔检测。它的评价是面向“昨天”的，只是从学生已经掌握知识和技能的多少方面去寻找差异，分等排序，所强调的是评价的鉴定、分等作用。因此，它的评价标准单一而刻板，难以科学地检测学生的智慧和才能。体现素质教育理念的评价观则把教学评价体系作为一个统一的整体来加以运用，其中特别重视“诊断性评价”和“形成性评价”，注重学生个体过去和现在的比较，着重于学生成绩和素质的增值，不是简单的分等排序。它承认人与人之间的发展存在差异，但只是从这些差异的分析中去发掘适合个人发展的教育方法，从而激励学生的学习热情、求知欲望、促进学生快速全面的发展。换句话说，体现素质教育理念的评价是发展性的评价，其目的在于促进课堂教学的改进、促进学生的进步；其职能在于诊断教学中和学生学习中存在的问题，提出改进的措施。12.1.5数学教学评价的新理念（一）多元化多元化是指数学教学评价要实现评价指标的多元化和评价主体的多元化。实现评价指标多元化即从过分关注学业成就逐步转向对综合素质的考查。学业成就曾经是考查学生发展、教师业绩和学校办学水平的重要指标。但随着社会的发展，知识爆炸、竞争加剧、网络与信息时代的来临，仅仅掌握数学知识与技能已远远不能适应社会对人发展的要求，于是全球都在进行关于“教育与人”312\n§10．2课堂教学工作的大讨论，学业成就作为评价单一指标的局限突显出来。在关注学业成就的同时，人们开始关注个体发展的其他方面，如积极的学习态度、创新精神、分析与解决问题的能力以及正确的人生观、价值观等，从考查学生学到了什么，到对学生是否学会学习、学会生存、学会合作、学会做人等进行考查和综合评价。例如，美国许多著名中学设立的奖项之多、范围之广让人目不暇接，几乎涉及学生发展的方方面面，而与学业成绩相关的奖项只占到五分之一左右。法国则非常强调对学生学业态度的评价，而对学习成绩的评价则放到了第二位。日本对小学生的评价包括考试成绩、学习情况、品行与性格三个方面。英国则在1999年新颁布的国家课程标准中强调四项发展目标和六项基本技能，传统的学业成就只是其中的一部分。与此同时，多元智力理论对迈克尔·乔丹和比尔·盖茨同样是成功的论证，再一次使评价深刻地认识到尊重个体发展的差异性和独特性的价值，于是在综合评价的基础上提出评价指标的多元化，以适应社会对人才多样化的需求。这一点也逐渐在世界各国获得认同。实现评价主体多元化。即被评价者从被动接受评价逐步转向主动参与评价。一改以往以管理者为主的单一评价主体的现象，目前世界各国的教育评价逐步成为由教师、学生、家长、管理者，甚至包括专业研究人员共同参与的交互过程，这也是教育过程逐步民主化、人性化发展进程的体现。例如，美国马里兰州，对教师的评价是以学生多人组合的方式进行的。在英美等国家，学生和家长还可参与评价体系和指标的建立，学生还可就教师对自己做出的评价结果发表不同的意见、进行申诉等。这样，传统的被评价者成为了评价主体中的一员，在评价主体扩展的同时，重视评价者与被评价者之间的互动，在平等、民主的互动中关注被评价者发展的需要，共同承担促进其发展的职责。在以往被动地接受评价中，评价者与被评价者扮演的基本上是管理者与被管理者的角色，被评价者对于评价结果大多处于不得不接受的被动状态，对于评价本身更是拒绝大于欢迎，或者处于“例行公事”312\n§10．2课堂教学工作的被动状态。与此相比，成为评价主体中的一员，并加强评价者和被评价者之间的互动，既提高了被评价者的主体地位，将评价变成了主动参与、自我反思、自我教育、自我发展的过程；同时在相互沟通协商中，增进了双方的了解和理解，易于形成积极、友好、平等和民主的评价关系，这将有助于评价者在评价进程中有效地对被评价者的发展过程进行监控和指导，帮助被评价者接纳和认同评价结果，促进其不断改进，获得发展。（二）多样化多样化指数学教学评价要强调质性评价，定性与定量相结合，实现评价方法的多样化。对科学的顶礼膜拜，使人盲目认为量化就是客观、科学、严谨的代名词，于是追求客观化、量化曾经是各国教学评价的发展趋势。但在今天，随着评价内容的综合化，以量化的方式描述、评定一个人的发展状况时则表现出僵化、简单化和表面化的特点，学生发展的生动活泼和丰富性、学生的个性特点、学生的努力和进步都被泯灭在一组组抽象的数据中。而且，对于教育而言，量化的评价把复杂的教育现象也简单化了或只是评价了简单的教育现象，事实上往往丢失了教育中最有意义、最根本的内容。质性评价的方法则以其全面、深入、真实再现评价对象的特点和发展趋势的优点受到欢迎，成为近30年来世界各国教学改革倡导的评价方法。例如，在美国《国家科学课程标准》中提供的评价方法除了纸笔测试以外，还包括平时的课堂行为记录、项目调查、书面报告、作业等开放性的方法。美国各著名高校在录取学生时不仅要求学业成绩，通常还要求学生提交一份短文（选题通常极具开放性）、有关人士的推荐信和面试等。英国则强调以激励性的评语促进学生的发展，并在教师评价中注意运用面谈、行为观察和行为记录的方法。而“成长记录袋”“学习日记”和“情景测验”等质性评价的方法，目前也受到较为广泛的重视和认可。需要强调的是，质性评价从本质上并不排斥量化的评价，它常常与量化的评价结果整合应用。因此，将定性与定量评价相结合，应用多种评价方法，将有利于更清晰、更准确地描述学生、教师的发展状况。（三）过程化过程化指数学教学评价要注重过程，将终结性评价与形成性评价相结合，实现评价重心的转移。关注结果的终结性评价，是面向“过去”的评价；关注过程的形成性评价，则是面向“未来”312\n§10．2课堂教学工作、重在发展的评价。传统的评价往往只要求学生提供问题的答案，而对于学生是如何获得这些答案的却漠不关心。这样学生获得答案的思考与推理、假设的形成以及如何应用证据等，都被摈弃在评价的视野之外。缺少对思维过程的评价，就会导致学生只重结论，忽视过程，就不可能促使学生注重科学探究的过程，养成科学探究的习惯和严谨的科学态度与精神，反而易于形成一些似是而非的认识和习惯，不利于其良好思维品质的形成，限制其解决问题的灵活性和创造性。因此近年来，评价重心逐渐转向更多地关注学生求知的过程、探究的过程和努力的过程，关注学生、教师和学校在各个时期的进步状况。只有关注过程，评价才可能深入学生发展的进程，及时了解学生在发展中遇到的问题、所做出的努力以及获得的进步，这样才有可能对学生的持续发展和提高进行有效地指导，评价促进发展的功能才以真正发挥作用。与此同时，也只有在关注过程中，才能有效地帮助学生形成积极的学习态度、科学的探究精神，才能注重学生在学习过程中的情感体验、价值观的形成，实现“知识与技能”“过程与方法”以及“情感态度与价值观”的全面发展。质性评价方法的发展为这种过程式的形成性评价提供了可能和条件，注重过程，将终结性评价和形成性评价相结合，实现评价重心的转移，成为世界各国评价发展的又一大特点。§12.2小学数学课堂教学评价12.2.1小学数学课堂教学评价的理念与维度（一）评价的理念数学课堂教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学课堂教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣。学生是数学课堂教学的主体，教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。教师要正确地认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到充分的发展；要关注学生的学习过程，不仅要关注学生观察、分析、自学、表达、操作、与人合作等一般能力的发展，以及运算、空间观念、统计、解决问题等数学能力的发展，更要关注学生在情感、态度与价值观等方面的健康和谐的发展；不仅要关注课堂教学的结果，更要关注课堂教学的过程。数学课堂教学是教师依据数学课程标准的理念与基本要求，在全面驾驭教科书的知识体系、知识结构和编写意图的基础上，根据学生的具体情况，对教学内容进行再创造的过程。312\n§10．2课堂教学工作数学课堂教学是数学教师的教学技能、教学能力、业务水平、文化修养、教育观点、师德和思想素质的综合表现。数学课堂教学评价的目的在于，总结教师优秀的教学经验，诊断教学的不足，以便更有效地改进教学。数学课堂教学评价的过程也是教师进行教学反思、开展教学研究、促进自我发展的过程。（二）评价的维度对数学课堂教学过程，可以从以下三个维度来进行评价：学生在课堂教学中的情意过程、学生在数学学习中的认知过程、教师的因材施教过程。这是评价数学课堂教学过程的最基本的三个方面。1、情意过程评价一个数学课堂教学过程，首先应当关注数学课堂教学。（1）教学环境：是否营造了一个平等、民主、和谐的师生关系、生生关系，教师是否鼓励学生发现问题、提出问题，学生是否敢于质疑、大胆尝试、乐于交流与合作；（2）学习兴趣：教师能否充分地调动学生的学习积极性，使全体学生都能够主动、有效地投入到数学活动之中：学生是否对数学有好奇心与求知欲；（3）自信心：教师能否让学生在数学学习活动中获得成功的体验，学生能否在学习过程中建立自信心。2、认知过程有效的数学课堂教学还应关注学生的认知过程。评价数学课堂教学要关注教师在实施数学课堂教学过程中，能否使学生有效地经历数学知识的形成过程，使学生在获得必要的基础知识与基本技能的同时，发展实践能力与创新意识。可以从以下三个方面进行评价。（1）学习方式：教师能否根据具体的教学内容，引导学生开展有效的学习，是否体现动手实践、自主探索、合作交流等有效的学习方式；（2）思维的发展：教师能否发展学生的形象思维、抽象思维能力、统计观念、合情推理能力、初步的演泽推理能力与初步反思的意识；（3）312\n§10．2课堂教学工作解决问题与应用意识：教师能否有效地组织学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决简单的实际问题，发展应用意识:能否使学生形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。3、因材施教义务教育阶段的数学课程应面向全体学生的，数学课堂教学要体现因材施教的原则，使得每一个学生都能获得必需的数学知识，使得不同的学生在数学上有着不同的发展。数学课堂教学应当是一个师生互动、生生互动、共同发展的过程。教师应当能够根据数学问题情境的特点，组织教学。有些问题需要学生独立解决；有些问题需要在学生独立思考的基础上，组织学生进行小组合作交流；有些问题需要通过小组合作共同完成。12.2.2小学数学课堂教学评价的实施（一）确立符合改革需要的评价标准对于数学课堂教学评价，一个重要的问题还在于我们树立什么样的评价观念和评价标准。按照《基础教育课程改革纲要》和《全日制义务教育数学课程标准》中所提出的基本理念，从考查课堂教学活动入手，对如何评价一节数学课，如何看待课堂教学活动中学生的表现，有人提出一节好的数学课，应具备以下几个基本特征。1．确定符合实际的内容范围和难度要求。每一节课都应当是有针对性的，没有一个适合任何学生的教材和教案。教师设计一节具体的课时，应当把它当做一个创造性的活动。只有根据学生实际和充分考虑当时当地的教学条件，确定恰当的内容范围和难度要求，才能达到预期的教学目标。不考虑学生实际，不分析和利用现有条件的课堂教学设计，不会有好的教学效果。2．为学生创设宽松和谐的学习环境。好的课应当有宽松和谐的学习气氛，使学生能在探索和学习过程中产生丰富的情感体验。上板着面孔的课，学生可能会掌握有关的知识技能，但他们不会对学习数学产生兴趣，也不会有积极主动的探索热情。宽松和谐的环境并不意味着只有通过游戏或生动的情境才能实现，教师生动的语言、和蔼的态度、富有启发性和创造性的问题、有探索性的活动等都可以为学生创造和谐的环境。如“大数目的认识”，让学生说出生活中的大数目，提供一万人、几万人的情境，让学生亲自数一数一万粒大米有多少。这样一些活动，都为学生提供了和谐的气氛。312\n§10．2课堂教学工作3．关注学生的学习过程，让学生有体验数学的机会。新课程的一个重要理念就是为学生提供“做”数学的机会，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学。数学学习，特别是新概念、新方法的学习，应当为学生提供具体的情境，让学生在实际的操作、整理、分析和探索中去体会数学。如认识圆时，给学生不同的工具，让学生选择几种，通过交流合作画出一个圆来。在画的过程中，学生既体会到圆的特征，也体验了“做”数学的乐趣。4．尊重学生的需要，保护学生的自尊心和自信心。不同班级的学生会有不同的特征，同一个班级的学生也存在一定的差异。好的课程应当关注学生的差异，尊重不同学生在知识、能力、兴趣等方面的需要。应当有针对性地设计不同层次的问题、不同类型和不同水平的题目，使学生都有机会参与教学活动，都能在学习过程中有所获。应恰当处理学生学习活动中不同类型的反馈信息，保护学生的自尊心和自信心。如，注意倾听各种学生的回答，即使知道学生可能回答不对，也应让学生表达出自己的见解。相信学生的每一个回答都会对学生自己和别人带来一些启示，这些启示有的来自正面，有的可能来自反面。5．运用灵活的方法，适应学生的实际和内容的要求。教学方法的选择和运用应根据不同年龄和不同发展水平学生的需要，同时也要符合不同的学习内容。探索与发现的方法是值得提倡的，但并不是所有的内容都应当用这样的方法。教学新概念、新方法的内容时需要学生去探索，但有些规定性的内容也可以用接受式的方法。为高年级学生设计的活动情境与为低年级学生设计的也会有很大的差别。6．为学生留下思考的时间。好的课堂教学应当是富于思考的，学生应当有更多的思考的余地。学习归根结底是学生自己的事，教师是一个组织者和引导者。学习的效果最终取决于学生是否真正参与到学习活动中，是否积极主动地思考。而教师的责任更多的是为学生提供思考的机会，为学生留有思考的时间与空间。最简单的一个指标是教师提问以后是否给学生一定的思考时间，至少用几秒钟让学生思考，而不是急于下结论，判定学生会不会，特别是那些需要较深入理解和需要一定的创造性才能解决的问题，更要让学生有一定的思考时间。312\n§10．2课堂教学工作上面几点是从教学活动的整体上考查一节课时应当提倡的活动方式和具体特征。考查一节课还可以从另外一些角度入手，如从学生在课堂中的表现入手，主要评价以下几个方面的问题：学生的参与程度(特别是在操作、小组活动、讨论等环节中学生的表现)，学生对数学的兴趣、情感和自信心方面的表现，学生在课堂活动中的交流情况(回答问题、提出问题和讨论问题)，学生在思维水平上的表现(创造性、灵活性等)。（二）数学课堂教学评价的实施步骤1．做好准备认真听课听课前，评价人员应对教学评价的基本知识有所了解和掌握。要熟悉小学数学课程标准，明确教学要求，理解课本的内容。可能的话，评价人还应当阅读执教者撰写的教案。听课时，评价人要集中精力听课、思考，按照评价表中的项目和重点认真做好摘要记录和初步评价。2．简要记录分项评分听课之后，评价人应当根据自己的记录并回顾全堂课的实施过程，从整体出发，全面衡量各项指标达到要求的程度，认真评出分数，填入评价表中。应该注意的是评价人必须熟悉评价标准，理解指标含义，认真分析实施过程偏离标准的程度、性质及后果，实事求是、公正合理地评出分数。3．计算总分综合评价将各项实际得分相加，得出总分，按规定给出等级。如果是多人评课，则可以求出各评价人所得的总分的算术平均值，作为这堂课评价的总分。课堂教学评价不能以评价人根据听课笔记给出一个分数就完事，还应该听取主讲教师介绍本堂课的设计构思和实施过程的自评意见。如果可能，还可以征求学生的课后反映，查看学生的作业，对学生进行口头或书面测验。在全面了解和考察的基础上，评价人应对这堂课的优、缺点从总体上作出全面的分析，并扼要地写出综合性评语，明确地指出这堂课的主要优。缺点和进一步改进教学的意见。（三）数学课堂教学评价中要注意的若干问题对课堂教学进行评价是一项细致、复杂的工作，为了客观公正、全面地评价课堂教学，应该注意以下几点：1、注意评价学生是否主动参与学习312\n§10．2课堂教学工作学生主动参与是素质教育课堂教学的重要特征。素质教育提倡实行启发式和讨论式教学，是为了有效地调动学生的参与，激发学生独立思考和创新的意识，以及让学生感受、理解知识产生和发展的过程，让学生达到深层次的理解。根据我们对有效教学的分析结果，要让大多数学生达到深层次的理解，必须使学生主动参与学习。因此，评价课堂教学是否体现素质教育，首先要看学生是否主动、积极地参与学习过程。可以考虑以下几个方面的评价指标：（1）学生参与的时间和广度①学生主动活动的总时间。学生在课堂上主动参与的时间（读、写、译、算、操作、演示、板书）占整节课的大部分。根据各地学生参与活动探索研究的结果，一般要求学生主动参与时间为1/2以上，学生参与程度比较高的课应有2/3以上的学生主动参与时间。②学生独立思考和个别学习的时间。个别学习包括学生独立思考和解题、独立阅读课文，不包括个别课堂发言的时间。课堂发言应算作集体交流的时间。③回答问题与示范的人次。（2）学生参与与他人的合作①学生参与小组学习的时间、次数。②小组学习和讨论是实质性的交流。小组学习和讨论不停留在形式上，而是确实起到了交流想法、丰富见解的作用，学生通过讨论确实解决了问题或产生了新的认识。（3）学生参与高水平的认知活动，在解决问题中学习。素质教育提倡学生参与高水平的认知学习。这不仅包括解决复杂的、综合的问题，提出自己有创造性的见解，以及将知识应用于新的情境，也包括解决创造性的问题，主动提问与质疑。日本学者伊藤隆二认为，传统教育中所谓“很有才能”的孩子、“学习成绩好”的孩子，指的是能够很好地、迅速地回答老师事先准备好答案的孩子。但这算不上学问，不过是“学答”而已，真正学问的出发点在于问，也就是在于怀疑。鉴别学生是否参与了高水平的认知活动可以考虑以下指标：①学生能否用自己的话去解释、表述所学的知识。②学生能否综合几方面的相关知识解决比较复杂的综合问题，学生自己解决综合问题有多少。③学生参与解决的开放性问题数或一题多解的问题数。312\n§10．2课堂教学工作④对于开放性问题或一题多解问题，学生提供多种解题方法或答案的次数。⑤学生回答有创意的人次。⑥学生主动提问的次数。（4）学生参与过程中有情感因素的投入，学生被学习内容和学习过程所吸引。2、注意评价教学过程中对学生创造性的培养素质教育以培养学生的创新精神和实践能力为重点，要培养学生的科学精神和创新思维习惯。素质教育评价的核心就是对课堂教学中培养学生创造性的评价。传统教学中，许多教师在教学中首先注意的是学生掌握知识的情况，有余力才注意其主体性和思维方式。要培养学生的创造性，就应该反过来，首先注意学生的主体性、思维方式，其次才是双基。联合国教科文组织委托编写的一份报告将传统的教育目标和新的教育目标作了对比，认为传统的教育目标是按以下顺序排列的：第一，知识；第二，实用技能；第三，态度和能力。新的教育目标则将上述顺序完全颠倒过来：第一，态度和能力；第二，实用技能；第三，知识。创造力评价一般采用发散性思维测量、态度与兴趣量表、人格量表等，但是这些手段不适合在课堂教学评价中应用。课堂教学评价一般采用观察的方法，可以注意观察两个方面，一是看教师有没有在教学中贯彻创造性思维教学的基本原则，二是看学生回答问题以及学生自己的提问有没有独创性。在课堂观察中，学生回答的问题的质量也是评价学生课堂表现的创造性的依据。学生回答可以从四个方面来评价：（1）表达意义是否丰富、流畅；（2）是否从多种角度思考问题；（3）回答是否有新意和独特性；（4）分析是否深刻、深入。参考以上原则以及其他的一些研究，在课堂教学中观察教师对创造力的培养和学生创造性表现时可以考虑以下几个问题：（1）教师提出了几个开放性的问题？（2）对于开放性问题，学生提供了几种解答？教师提供了几种解答？（3）学生回答问题有创意的人次是多少？（4）学生主动提问的次数是多少？（5）学生提问有创意的人次是多少？（6）课堂教学中有多少时间用于集体自由讨论？312\n§10．2课堂教学工作（7）课堂教学中有多少时间用于学生独立思考、独立学习或研究？（8）教师提出一个问题后，容许学生思考的时间平均是多少？教师批评学生或否定学生的次数是多少？我们还可以根据教学目标的时间分配来评价课堂教学，例如，数学课上的概念理解和练习可以分为三类：常规问题/练习、创造性问题/练习、综合问题/练习，可以分别统计三类“问题/练习”教学时间的百分比。根据统计结果可以把课分为三类：常规问题和练习时间占大多数的课称为常规课，创造性问题和练习占大多数的课可称为创造型课，综合问题和练习占大多数的课可以称为综合型课。3、注意评价教师的教学设计学生学习效果和参与程度，不仅取决于学生自身的主体意识和活动能力，还取决于教师的教学观念和教学设计，教师对学生发展水平的了解程度，教师对教学内容、方法的整体把握，教师能否为学生提供主动参与的时间和空间等。要充分调动学生的参与，教师必须具备丰富的知识以及能够灵活地运用教学方法；要培养学生的创造性和独立思考能力，教师首先对教学内容进行深入思考，并能够提出自己独立的见解。如果教师没有自己的思考，照搬教案，那么这种千人一面的教学如何能培养出有特色有创造力的学生呢？因此，课堂教学评价还需要考虑教师教学设计的创造性，在高年级教学中，还要考虑到教师思考的深度和广度等。评价教学设计的创造性是为了鼓励教师独立思考、百花齐放。在实际教学中往往有这样的现象，有的教师模仿别人的教学能够达到很好的教学效果，有的教师想尝试改革创新，但是初期效果并不理想。我们认为，完全模仿的课不能算优秀的课，必须有所改革和发展；而对于那些进行了自己的思考和探索的教师，不管最后的效果如何，都应该肯定他敢于创新的精神。评价课堂教学并不仅仅看教学的结果，还要看教师的设计思想。§12.3小学数学学习评价12.3.1小学数学学习评价的理念（一）评价的理念312\n§10．2课堂教学工作对学生数学学习评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学。应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程。要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度。帮助学生认识自我，建立信心。对学生数学学习的评价，既要关注其对知识与技能的理解和掌握，更要关注学生情感与态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。评价的手段和形式应多样化，应重视过程评价，以定性描述为主，充分关注学生的个性差异，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。教师要善于利用评价提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。具体地说，对学生数学学习评价体现为如下几个方面的变化。关于学生数学学习评价应加强与削弱方面对照表加强的方面削弱的方面评价的诊断和促进功能评价的甄别功能评价是教学过程中一个有机组成部分评价简化为单一的终结性评价对学生知道什么、是怎么思考的评价评价学生不知道什么关注学生自身的发展与他人的比较(分等排序)数学情感与态度的形成和发展仅关注数学知识和技能的理解和掌握学生在学习过程中的变化和发展仅关注学生数学学习的结果使用多样化的手段仅使用纸笔测验评价主体多样化仅有教师对学生的评价定性评价与定量评价相结合只有定量评价（二）评价中要注意的若干问题1、注重对学生数学学习过程的评价根据《标准》的要求，对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。评价应注重学生发展的进程，强调学生个体过去与现在的比较，通过评价使学生真正体验到自己的进步。《标准》中三个学段的评价建议中都强调了注重对学生数学学习过程的评价，基本理念是一致的，但在具体要求上有所不同。第一学段主要强调“312\n§10．2课堂教学工作考察学生是否积极主动地参与数学学习活动，是否乐意与同伴进行交流和合作，是否具有学习数学的兴趣”，并提倡为学生建立成长记录袋，记录那些反映学生学习进步的重要资料；第二学段在第一学段的基础上，还强调要重视了解学生思维的合理性和灵活性，考察学生是否能够清晰地用数学语言表达自己的观点等，学生成长记录的内容也更加丰富，所记录的内容能够反映学生自己探索数学的过程和取得的进步，如在日常生活中发现的数学问题、收集的有关资料、解决问题的方案和过程、活动报告或数学小论文、解决问题的反思等；第三学段要求评价学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识，以及独立思考的习惯、数学思考的发展水平等，而成长记录的内容也更加丰富和深入，包括学生自己特有的解题方法、印象最深的学习体验、提出的有挑战性的问题等。2、恰当评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以每一学段的知识与技能目标为基准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。所谓恰当评价主要是指评价时应将学段目标作为学段结束时学生应达到的目标来评价，学段目标不是学习某一部分内容之后每一个学生都应立即达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着知识与技能的积累逐步达到。如对一些运算技能掌握情况的评价，多数学生可能在单元或学期结束时达到规定的程度，有些学生可能要经过一段时间的学习才能达到这一水平。在第一学段中，学生往往需要借助具体事物或实物模型完成学习任务。因此，对学生评价时，应重点考察学生结合具体材料对所学内容实际意义的理解。第二学段和第三学段，评价应结合实际背景和解决问题的过程进行，对概念、公式和法则的评价应当更多地关注对知识本身意义的理解和在理解基础上的应用。3、重视对学生发现问题和解决问题能力的评价对发现问题和解决问题能力的考察实际上强调的是对数学学习过程和方法的考察。学生的数学学习不能仅仅是掌握一些概念和技能，而必须经历探索、猜想、推理等过程，解决有关的问题。《标准》明确把“形成解决问题的一些基本策略”作为一个重要的课程目标，为此，数学教学中必须通过讲解、示范和实践等方式帮助学生获得有关解决问题的策略，并对学生掌握这些策略的情况进行评价。312\n§10．2课堂教学工作单从答案是否正确很难对学生解决问题的能力进行正确评价。要评价学生解决问题的能力，一种方法是以波利亚那样的框架作为指导：学生是如何理解这个问题的？是否有证据证明他们有一个解题计划？答案是否正确或合理？每一步是否正确？他们是否对解法进行了检查或概括？它是否符合问题的条件？然后对框架中每一个指标赋予一定的分值，比如理解3分，计划3分，步骤2分，答案2分等等。另一个方法是基于一个更一般的对问题解决性质的理解。比如，期望学生能够使用解决问题的方法调查和理解学习内容，即从解决问题的过程中学习数学；从数学内部或外部的情境中发现并提出数学问题；尝试从不同角度分析问题，发展和应用各种策略解决问题；体会到与他人合作解决问题的重要性；用数学语言清楚地表达解决问题的过程，并尝试用不同的方式（文字、字母、图表等）进行表达；根据最初的问题情境证实和解释结果的合理性；对解决问题的过程进行反思，获得解决问题的经验或将解法和策略概括到一个新的问题情境；从有意义地使用数学中获得信心。教师可以根据学生在这些问题上表现，给予定性评价。当然，除了对发现问题和解决问题的过程加以评价，我们也可以通过纸笔测验对学生分析和解决问题的能力加以考察。对学生分析和解决问题能力的考察意味着对学生较高层次的思维水平进行考察。4、评价主体和方式要多样化评价的手段和形式应是多样化的，应以过程性评价为主，既可以用书面考试、口试、活动报告等方式，也可用课堂观察、课后访谈、作业分析、建立学生成长记录袋等。一次考试决定学生终身的现象得到有效地杜绝。同时教师在评价学生学习时，既可以让学生开展自评和互评，也可以让家长和社区有关人员参与评价过程，而不仅仅局限于教师对学生的评价。5、评价结果的呈现应以定性和定量相结合的方式评价结果的呈现应以定性和定量相结合的方式。应采用鼓励性语言，发挥评价的激励作用。让人人体会到只要你在某个方面付出了努力就能获得公正的、客观的评价。另外，评价要关注学生的个性差异，保护学生的自尊心和自信心。12.3.2小学数学学习评价的形式312\n§10．2课堂教学工作对学生数学学习进行评价的工具应涉及到用于评价学生的进步，调节教师的教学以及为家长们提供他们孩子在校学习数学的情况等几个方面。对学生数学学习情况的评价应注意多种评价形式相结合，采用课堂观察、课后访谈、作业分析、操作、实践活动等多种形式。下面介绍几种评价形式。对此，教师在实施中应针对不同的需要进行选择，并将各种形式有机地结合起来。教师在实践中应灵活变通、创造性地使用。（一）课堂观察在课堂观察时，教师不仅要关注学生知识、技能的掌握情况，而且要关注学生其他方面的表现。课堂观察可采取随时记录一些重要信息的方式，也可以运用课堂观察检核表对学生进行比较系统的观察。当学生在回答提问或进行练习时，通过课堂观察，教师便能及时了解学生学习的情况，从而给予鼓励和强化，或给予指导与矫正。教师也可以根据实际需要，关注学生突出的一二个方面。课堂观察检核表学生姓名：观察项目因素123说明知识和技能的掌握情况数与代数1=真正理解并掌握；2=初步理解；3=参与有关的活动。空间与图形统计与概率解决问题是否认真听讲1=认真；2=一般；3=不认真。作业是否积极举手发言1=积极；2=一般；3=不积极。提出问题并询问讨论与交流阅读课外读物是否自信提出和别人不一样的问题1=经常；2=一般；3=很少。大胆尝试并表达自己的想法是否善于听别人的意见1=能；2=一般；312\n§10．2课堂教学工作与人合作3=很少。积极表达自己的意见思维的条理性能有条理地表达自己的意见1=强；2=一般；3=不足解决问题的过程清楚做事有计划思维的独创性善于用不同的方法解决问题1=能；2=一般3=很少。独立思考总评（二）成长记录袋在评价学生的学习过程中，可以采取建立学生成长记录袋的形式，以反映学生学习数学的进步历程，增加他们学好数学的信心。有些学生在正规的测验中由于焦虑而不能正常发挥他们的数学能力；有些学生的思维方式是趋向于深思型的那一种，对问题的思考往往比冲动型的学生慢，但对问题的解答可能更全面，而正规测验规定的时间限制使他们不能很好地发挥；还有些学生在动手实践能力上更擅长，正规测验中的纸笔形式并不能全面正确地评估他们的能力。成长记录袋的形式，不仅有助于收集学生这方面的信息，保证评价的全面性和科学性，使更多的学生获得成功的体验，而且还为学生的成长过程提供了一个很好的形成性评价。成长记录袋的内容可以包含学期开始、学期中和学期结束三个阶段的学习材料，材料要真实并定期更新，使学生感受到自己的不断成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也有助于教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教。成长记录袋的材料应让学生自主选择，并与教师共同确定。事实上，让学生参与建立成长记录袋的整个过程与其中所收录的内容一样重要，这有助于培养学生对自己的数学学习进行监控的能力和负责的态度。（三）开放性任务开放性任务意味着一个较为复杂、开放性的问题情境，解决这样的任务需要提出假设、对数学情境作出解释、计划解题的方向、创造一个新的相关问题或进行概括等等，也就是说在该任务的解决过程中可以收集到学生多方面的信息。312\n§10．2课堂教学工作开放性任务不仅要求学生给出问题的解答结果，而且要求学生在完成任务中学会探索，使用各种方法，综合应用各种数学知识和技能，并且在具体的情境中调整它们以适应新的情境。例如，一家餐馆有能坐4人的方桌。如果多于4个人，餐馆老板就把桌子摆成一行，2张桌子拼成一行能坐6人（如下图）。（1）3张桌子拼成一行能坐多少人？（2）完成下表拼成一行的桌子123410人数461824（3）如果已知拼成一行的桌子数，你能快速算出一共能坐多少人吗？用语句和图表达你的方法以便别人能理解。用数学符号表达这个关系。（4）当已知要坐的人数时，你需要算出所需桌子数。（当有人向餐馆订餐时这种情况经常发生）◆如果订餐的人要求坐在一起，怎样算出需要多少张桌子？用语句和图解释你的方法。◆用数学符号表达这个关系。（四）调查和实验调查和实验是一种表现性评价形式。让学生进行调查和实验，有助于培养学生的动手实践能力，有助于学生对数学内部的整体把握，有助于加强数学与外部世界的联系。请看下面的一个例子：假如一个家庭有2个成人和1个13岁的男孩，请为他们设计营养均衡的一周食谱。使用食品广告，估算你所提供的一周营养食谱的费用。312\n§10．2课堂教学工作这样的调查和实验任务，为我们考察学生提出假设、分析和综合数据，以及推断能力提供了依据。同时，这些任务还有助于学生发挥主动性、创造性以及在一个长期任务中坚持不懈的精神，从而也为我们评价学生这些方面的发展提供了依据。（五）数学日记数学日记不仅可用于评价学生对知识的理解，而且可用于评价学生的思维方式。通过日记的方式，学生可以对他所学的数学内容进行总结，可以像和自己谈心一样写出他们自己的情感态度、困难之处或感兴趣之处。新课程强调发展学生数学交流的能力，而写数学日记无疑提供了一个让学生用数学的语言或自己的语言表达数学思想方法和情感的机会。而且，数学日记还可发展成为一个自我报告，评价自己的能力或反思自己问题解决的策略。从这个意义上说，数学日记有助于数学教师培养和评价学生的反省能力。一般来说，大多数学生会发现这种形式的写作有些困难。所以刚开始的时候可以要求学生写一写他们解决某一个问题的过程或记录某一天问题的解决活动。比如，可以要求学生设想给一个朋友写信，谈谈自己在数学课堂上的活动；或者假想一个比自己年级低的同学，想办法用比较简单易懂的语言向他解释解决某一个问题的过程等等。为了便于学生操作，可以给他们提供一个数学日记的格式，规定一些需要写的内容，比如下面就是数学日记的一种格式：日期姓名：今天数学课的课题：所涉及的重要数学概念：理解得最好的地方：不明白或还需要进一步理解的地方：所学的内容能否应用在日常生活中，举例说明：总之，每种评价形式都有自己的特点，评价时应结合评价内容与学生学习的特点加以选择。比如，教师可以选择课堂观察的形式，从学习数学的认真程度、基础知识和基本技能的掌握情况、解决问题和合作交流四个方面对学生进行考察。教师还可以从学生成长记录中了解学生提出问题和解决问题能力的发展。12.3.3小学数学学习评价结果的呈现312\n§10．2课堂教学工作概括地讲，评价结果的呈现有定性与定量两类方式。在第一学段应以定性描述的方式呈现，在第二学段应以定性和定量相结合的方式呈现，以定性描述为主，在第三学段应以定性与定量相结合的方式呈现。评价时应采用鼓励性语言，以发挥评价的激励作用，让每一位学生体会到只要自己在某个方面付出了努力就有获得公正客观的评价。另外，评价要充分关注学生的个性差异，保护学生的自尊心和自信心。具体来说，评价的呈现方式包括评分或等级、评语、成长记录等。（一）评分根据对分数的解释，评分可分为绝对评分和相对评分。过去常用的百分制属于绝对评分，因为每个学生的分数都是用同样的标准来衡量的。相对评分（等级）则是指学生的分数和等级在整个群体中所处的位置，如标准分数、百分等级等。定量评价可采用等级制的方式，它又可以分为标准参照（任务参照）、群体参照（常模参照）和自我参照（变化的多少）三种。无论哪种评价方式，都有优点，也不可避免地存在缺点。但如果采用多样化的评价方式，并且正确处理评价的结果，就能够使评价更公平、公正和合理。为此，教师在解释学生数学测验分数或等级时，应遵循以下原则：1．测验分数或等级描述的是学生学会的行为或目前所具有的水平。由于种种原因，学生在数学测验中所得的分数有高有低，但无论是什么原因造成学生之间的差异，测验分数或等级提供的信息只能说明他们学会了什么。分数或等级表明的是学生目前所具有的水平，而并不预示他们的未来。学生一直在变化，思维水平在变化，学习方法在变化，学习态度和情感也在变化，教师应该用发展的眼光正确看待每一次的数学测验分数或等级。2．分数或等级提供的是对学生数学学习成效的一种估计，而不是确切的标志。教师在任何情况下都不能确认某一次的测验分数或等级是非常精确的。因此，对学生在测验分数或等级上少量的差异或变化，教师在解释分数或等级时不宜夸大。3．单独的一次数学测验分数或等级不以作为对学生数学学习能力评判的可靠依据。312\n§10．2课堂教学工作学生的数学能力不仅表现在测验分数或等级的高低上，还反映在探索、推测或猜想、推理等解决有关问题的过程中。另外，由于试卷本身的结构问题或学生当时的生理和心理状况，一次测验的分数或等级并不总是可信的。通过评价目标的多元化和评价方式的多样化，虽然不能一定保证评判不犯错误，但是至少可以把犯错误的概率减少到最小。4．数学测验分数或等级表明的是学生数学学习中的行为表现，而不是解释表现的原因。当测验分数或等级不理想时，只是说明该生在这次考试中某些方面没有发挥出预期的水平，但不能由此得出该生学习不认真、不努力或数学学习能力上存在什么问题的结论。教师必须了解和收集卷面以外的信息，才能作出适当的解释。（二）评语评语是用简明的评定性语言叙述评定的结果。评语可以补充评分的不足。一个分数或等级所能反映出的信息毕竟是有限的，对于难以用分数或等级反映的问题，可以在评语中反映出来。评语无固定的模式，但针对性要强。语言力求简明扼要、具体，要避免一般化。要尽量使用鼓励性的语言客观、全面地描述学生的学习状况，充分肯定学生的进步和发展，同时指出学生在哪些方面具有潜能，哪些方面存在不足，使评语有利于树立学生学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，明确自己努力的方向，促进学生进一步的发展。请看下面的评语：“本学期我们学习了收集、整理和表达数据。你通过自己的努力，能收集、记录数据，知道如何求平均数以及它的实际意义，你制作的统计图也是班上最出色的。但你在使用语言解释统计结果还不够准确。老师相信你通过努力会在这方面做得更好！”在这里，教师的着眼点已从分数或等级转移到了对学生已经掌握了什么内容、获得哪些进步、具备了什么能力的关注。学生在阅读了这个评语之后，获得更多的是成功的体验和学好数学的自信心，同时也知道了自己在哪些方面存在着不足，明确了自己今后继续努力的方向。（三）成长记录312\n§10．2课堂教学工作评语中虽然也包含了教师对学生成长记录的成果的评价，但是成长记录作为一种物质化的资料，在显示学生学习成果，尤其是显示关于学生持续进步的信息方面具有不可替代的作用。使用成长记录作为评价结果的呈现方式，具有以下几个优点：1．使学生参与评价，成为评价过程的一部分；2．使学生、家长和教师形成对学生进步的新看法；3．促进教师对表现性评价的重视；4．便于向家长展示，给家长提供全面、具体的关于孩子数学学习状况的证据；5．将数学的教学重点集中在重要的表现活动上；6．有助于评价数学课程和教学需要改进的方面；7．提供诊断用的特殊作品或成果，为实施因材施教提供重要依据；8．汇编累积起来的学生学习的证据和看法，全面了解学生的数学学习过程。通过“分数或等级+评语+成长记录”的方法，教师所提供的关于学生数学学习情况的评价就会更客观、更丰富，使教师、学生、家长三方都能更全面地了解学生数学学习历程，同时也有助于激励学生的学习和改进教师的教学。教师要善于利用评价所提供的大量信息，诊断学生的困难，同时分析与反思自己的教学行为，适时调整和改善教学过程。因此，在评价学生的同时，也要对自己的教学实践做出诊断和反思，这对教师改进教学、提高水平具有重要的促进作用。六、思考题1、在不同的历史时期，人们的数学教学评价观有何不同？2、绝对评价法、相对评价法和个体内差异评价法各有什么优缺点？3、简述教学评价中如何贯彻“多元化、多样化、过程化”的理念。4、谈谈你对本章中提出的数学教学评价模式的特点的认识。5、数学课堂教学评价指标有哪几项？每一项的要求是什么？6、到附近中小学去听一堂数学课，然后对该堂课进行评价，并写一个评课稿，字数不少于1000字。312