小学五年级奥数教案教案 8页

小学五年级奥数教案(一)由于数学学科的特点,通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.为了使同学们在思考问题时更严密更合理,会有很有据地想问题,而不是凭空猜想,这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题.解答这类问题,首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系,然后进行分析推理,排除一些不可能的情况,逐步归纳,找到正确的答案.例1公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市,有三辆开往B市;并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明,没有直接告诉他们的车是开往何处的,而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志,想了想说"不知道".第二辆车的司机看了看第一辆车的标志,又根据第三个司机的"不知道",想了想,也说不知道.第一个司机也很聪明,他根据第二,三个司机的"不知道",作出了正确的判断,说出了自己的目的地.请同学们想一想,第一个司机的车是开往哪儿去的;他又是怎样分析出来的解:根据第三辆车司机的"不知道",且已知条件只有两辆车开往A市,说明第一,二辆车不可能都开往A市.(否则,如果第一,二辆车都开往A市的,那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市).再根据第二辆车司机的"不知道",则第一辆车一定不是开往A市的.(否则,如果第一辆车开往A市,则第二辆车即可推断他一定开往B市).运用以上分析推理,第一辆车的司机可以判断,他一定开往B市.例2李明,王宁,张虎三个男同学都各有一个妹妹,六个人在一起打羽毛球,举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴.第一盘,李明和小华对张虎和小红;第二盘,张虎和小林对李明和王宁的妹妹.请你判断,小华,小红和小林各是谁的妹妹.解:因为张虎和小红,小林都搭伴比赛,根据已知条件,兄妹二人不许搭伴,所以张虎的妹妹不是小红和小林,那么只能是小华,剩下就只有两种可能了.第一种可能是:李明的妹妹是小红,王宁的妹妹是小林;第二种可能是:李明的妹妹是小林,王宁的妹妹是小红.对于第一种可能,第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林,这样就是张虎,李明和小林三人打混合双打,不符合实际,所以第一种可能是不成立的,只有第二种可能是合理的.所以判断结果是:张虎的妹妹是小华;李明的妹妹是小林;王宁的妹妹是小红.例3"迎春杯"数学竞赛后,甲,乙,丙,丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说:"如果我能获奖,那么乙也能获奖."乙说:"如果我能获奖,那么丙也能获奖."丙说:"如果丁没获奖,那么我也不能获奖."实际上,他们之中只有一个人没有获奖.并且甲,乙,丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是___.解:首先根据丙说的话可以推知,丁必能获奖.否则,假设丁没获奖,那么丙也没获奖,这与"他们之中只有一个人没有获奖"矛盾.其次考虑甲是否获奖,假设甲能获奖,那么根据甲说的话可以推知,乙也能获奖;再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖,这样就得出4个人全都能获奖,不可能.因此,只有甲没有获奖.例4数学竞赛后,小明,小华,小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌.王老师猜测:"小明得金牌;小华不得金牌;小强不得铜牌."结果王老师只猜对了一个.那么小明得___牌,小华得___牌,小强得___牌.\n分析逻辑问题通常直接采用正确的推理,逐一分析,讨论所有可能出现的情况,舍弃不合理的情形,最后得到问题的解答.这里以小明所得奖牌进行分析.解:①若"小明得金牌"时,小华一定"不得金牌",这与"王老师只猜对了一个"相矛盾,不合题意.②若小明得银牌时,再以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌,小强得铜牌,那么王老师没有猜对一个,不合题意;如果小华得铜牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,也不合题意.③若小明得铜牌时,仍以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌,小强得银牌,那么王老师只猜对小强得奖牌的名次,符合题意;如果小华得银牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,不合题意.综上所述,小明,小华,小强分别获铜牌,金牌,银牌符合题意.例5有三只盒子,甲盒装了两个1克的砝码;乙盒装了两个2克的砝码;丙盒装了一个1克,一个2克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码,放到天平上称了一下,就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗分析解决本题的关键是确定打开哪只盒子:若打开标有"两个1克砝码"的盒子,则该盒的真实内容是"两个2克砝码"或"一个1克砝码,一个2克砝码",当取出的是2克砝码时,就无法对其内容作出准确的判断.同样,打开标有"两个2克砝码"的盒子时,也会出现类似的情况.所以,应打开标有"一个1克砝码,一个2克砝码"的盒子.而它的真实内容应该是"两个1克砝码"或"两个2克砝码".①若取出的是1克砝码,则该盒一定装有两个1克砝码,从而标有"两个2克砝码"的盒子里,不可能是两个2克或两个1克的砝码,而只能是一个1克,一个2克的砝码了;标有"两个1克砝码"的盒子自然装有两个2克砝码.②若取出的是2克砝码,同理可知,此盒装有两个2克砝码;标有"两个1克砝码"的盒子里实际上是一个1克和一个2克的砝码;标有"两个2克砝码"的盒子里实际上是两个1克砝码.按以上的推理结果,小明就将全部标签改正过来了.例6四人打桥牌,某人手中有13张牌,四种花色样样有;四种花色的张数互不相同.红桃和方块共5张;红桃与黑桃共6张;有两张将牌(主牌).试问这副牌以什么花色的牌为主解:①假设红桃为主.那么红桃有2张;方块有3张;黑桃有4张,因为共13张牌,所以草花有4张,这样,黑桃为草花张数相同.与已知条件"四种花色的张数互不相同"矛盾,即红桃不是主牌.②假设方块为主牌.那么方块有2张;红桃有3张;则黑桃也有3张,亦与已知矛盾.③假设草花为主牌.那么草花有2张.并且推得红桃+方块+黑桃共有11张牌.而已知"红桃和方块共5张,红桃与黑桃共6张",即得红桃+方块+红桃+黑桃共11张牌.由此得到红桃的张数应为零.与已知条件"四种花色样样有"相矛盾.说明草花不是主牌.由以上推理得知,黑桃必为主牌.即黑桃有2张;红桃有4张;方块有1张.那么草花有6张.例7S,B,J,R四人分别获数学,英语,语文和逻辑学四个学科的奖学金,但他们都不知道自己获得的是哪一门获学金.他们相互猜测:S:"R得逻辑学奖";B:"J得英语奖";J:"S得不到数学奖";R:"B得语文奖".最后发现,数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的,其他两人都猜错了.那么他们各得哪门学科的奖学金分析假设S猜对,即R得逻辑学奖.由已知条件"逻辑学获奖者所作的猜测是正确的",则R猜对,那么B得语文奖,并且J,B均猜错.而由B猜错,可知J得数学奖,S只好得英语奖,这又说明J猜"S得不到数学奖"是正确的.与前面的推理(J猜错)矛盾.所以S的猜测是错误的.\n解:S猜错,即R得不到逻辑学奖,S不得数学奖且不得逻辑学奖.由此可知,J的猜测是正确的.则J得数学或逻辑学奖.于是推得,B猜错,故R猜对,即B得语文奖,S得英语奖,所以R得数学奖,J得逻辑学奖.例8A,B,C三人进行小口径步枪射击比赛,每个人射击6次,并且都得了71分.三人共18次的得分情况,从小到大排列为:1,1,1,2,2,3,3,5,5,10,10,10,20,20,20,25,25,50.已知A首先射击两次,共得22分;C第一次射击只得3分,请根据条件判断,是谁击中了靶心(击中靶心得50分)解:我们先来推断A6次射击的情况.已知前两次得22分,6次共得71分,从71-22=49可知,击中靶心的决不会是A.另一方面,在上面18个数中,两数之和等于22的只可能是20和2.再来推算一下四个数之和等于49的可能性.首先,在这四个数中,如果没有25,是绝不可能组成49的.其次,由于49-25=24,则如果没有20,任何三个数也不能组成24.而24-20=4,剩下的两个数显然只能是1和3了.所以A射击6次的得分(不考虑得分顺序)应该是20,2,25,20,3,1.(可在前面18个数中,划去上述6个数).再来推断击中靶心的人6次得分的情况.从71-50=21可知,要在前面12个未被划去的数中,取5个数,使其和是21.可以断定,这5个数中,必须包括一个10,一个5,一个3,一个2,一个1.即6次得分情况为50,10,5,3,2,1.在前面12个未被划去的数中,划去上面这6个数.剩下的6个数25,20,10,10,5,1就是第三个人的得分情况了.从这6个数中没有3,而C第一次得了3分,可知这6个数是B射击的得分数.因此C是击中靶心的人.例9在一个俱乐部里,有老实人和骗子两类成员,老实人永远说真话,骗子永远说假话.一次我们和俱乐部的四个成员谈天,我们便问他们:"你们是什么人,是老实人还是骗子"这四个人的回答如下:第一个人说:"我们四个人全都是骗子."第二个人说:"我们当中只有一个人是骗子."第三个人说:"我们四个人中有两个人是骗子."第四个人说:"我是老实人."请判断一下,第四个人是老实人吗解:①四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子,则谁也不会说"我们四个人全都是骗子".所以第一个人为骗子.②第二个人为骗子.因为如果他是老实人,说实话,由于我们已经判断了第一个人是骗子,则第二,三,四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾,两人不可能是同类的,故第二个人说的是假话,他是骗子.下面再看第三个人的回答:如果第三个人是编子,则由①可知,第四个人一定是老实人;若第三个人是老实人,那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人,都可以推出第四个人是老实人.所以,第四个人是老实人.例10某医院内科病房,A,B,C,D,E,F,G七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道:A的夜班比C的夜班晚一天,D的夜班比E的夜班的前一天晚三天,B的夜班比G的夜班早三天;F的夜班在B和C的夜班的正中间,而且是在星期四.问每个护士分别在星期几值夜班\n解:除F以外,可将已知条件归纳如下:CA,E__D,B____G.这里的横线表示空位.可见CA不能排在B____G中间,否则F就无法排在BC的正中间了.又F必排在三个空位之一,因此还有两个空位必定是E__D和B__G交叉填空.于是可排出:EBDFG或BFEGD两种情况,而CA只能加在任何一端,那么就有CAEBDFG,EBDFGCA,CABFEGD和BFEGD-CA四种排位.其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件"F在BC的正中间".所以七名护士值班排序是:E星期一值班,B星期二值班,D星期三值班,F星期四值班,G星期五值班C星期六值班,A星期日值班小学五年级奥数教案(二)不规则图形面积的计算(一)我们曾经学过的三角形,长方形,正方形,平行四边形,梯形,菱形,圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表:我们已经学习了长方体和正方体,知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积.如果长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,那么,长方体的表面积=(ab+ah+bh)×2.如果正方体的棱长用a表示,则正方体的表面积=6a2.对于由几个长方体或正方体组合而成的几何形体,或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体,它们的表面积又如何求呢涉及立体图形的问题,往往可考查同学们的看图能力和空间想象能力.小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体,这些图形的特点都是可以从六个方向去看,特别是求表面积时,就是上下,左右和前后六个方向(有时只考虑上,左,前三个方向的平面图形的面积的总和.有了这个原则,在解决类似问题时就十分方便了.例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体(右图),求这个立体图形的表面积.分析我们把上面的小正方体想象成是可以向下"压缩"的,"压缩"后我们发现:小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起,正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分:上下方向:大正方体的两个底面,解:上下方向:5×5×2=50(平方分米);侧面:5×5×4=100(平方分米),4×4×4=64(平方分米).这个立体图形的表面积为:50+100+64=214(平方分米).答:这个立体图形的表面积为214平方分米.实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合,拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形.那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补,剪拼等方法将它们转化为基本图形的和,差关系,问题就能解决了.例1如右图,甲,乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积.解:阴影部分的面积等于甲,乙两个正方形面积之和减去三个"空白"三角形(△ABG,△BDE,△EFG)的面积之和.又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244,所以阴影部分面积=244-(50+132+12)=50(平方厘米).例2如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE,△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积.解:因为△ABE,△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,所以四边形AECF的面积与△ABE,△ADF的面积都等于正方形ABCD\n在△ABE中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,∴△ECF的面积为2×2÷2=2.所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米).小学五年级奥数教案(三)不规则图形面积的计算(二)不规则图形的另外一种情况,就是由圆,扇形,弓形与三角形,正方形,长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为了计算它的面积,常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割,拼补,旋转等手段使之转化为规则图形的和,差关系,同时还常要和"容斥原理"(即:集合A与集合B之间有:SA∪B=SA+Sb-SA∩B)合并使用才能解决.例1如右图,在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积.解法1:把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右边的半圆,得到右图.这时,右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样,因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半.解法2:将上半个"弧边三角形"从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半.解法3:将下面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三角形的两侧,如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2如右图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B,D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积.解:由容斥原理S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD例3如右图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半CB=4厘米,求阴影部分的面积解:S阴影=S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD=13π-24=15(平方厘米)(取π=3).小学五年级奥数教案(四)游戏对策问题因常与智力游戏相结合,因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活,技巧性强,所以对开阔解题思路,提高分析问题解决问题的能力是很有益处的.例1在一个3×3的方格纸中,甲乙两人轮流(甲先)往方格纸中填写1,3,4,5,6,7,8,9,10九个数中的一个,数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和,乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和,得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略.分析把题中的九个格标上字母:a,b,c,d,e,f,g,h,i.甲的得分为:a+b+c+g+h+i=(a+c+g+i)+(b+h);乙的得分为:a+d+g+c+f+i=(a+c+g+i)+(d+f)要想使甲的得分高于乙的得分,必须且只需使b+h>d+f.要想使b+h>d+f,甲有两种策略:一是增强自己的实力——使b,h格内填的数尽可能地大;二是削弱对方的实力——使d,f格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论:取胜的总策略是"增强自己,削弱对方"两者兼顾.为了使叙述方便起见,我们分别用(甲2)和(a5)分别表示"甲第二轮"和"在a处填数字5",其余如(乙1),(甲1,b10)等含义类同.一,甲首先使b,h处填的数尽可能大.譬如,(甲1,b10).\n1.乙为了不输,(乙1)必须在h处填数.(否则,即如(乙1)不在h处填数,(甲2)在h处填余下来的最大数后,无论(乙2)怎么填,最后总有b+h≥10+8=18>16=9+7≥d+f,甲胜).这样,必须(乙1,h1).(乙当然在h处填最小数)2.(甲2)不能在d处或f处填数.(否则,如(甲2,dx),x为任一数,则(乙2)在f处填余下来的最大数后,即有d+f≥3+9=12>11=10+1=b+h,乙胜).当然(甲2)填9,譬如(甲2,eg).(以后,只要甲不填错,即只要把余下数中的最小者填入d或f,就不会输了)3.显然,(乙2,d8),乙就不会输了.因此不分胜负(此时(甲3)必须(f3)).同样,若(甲1,h10),只要乙应对正确,乙就不会输.因此,只有二,甲首先使d,f处填的数尽可能小(才有可能必胜).譬如,(甲1,d1).1.若(乙1)不在f处填数时,(甲2)在f处填余下来的最小数,则最后必有b+h≥3+5=8>5=1+4≥d+f,甲胜.2.若(乙1,f10)(乙当然在f处填最大数),则(甲2,b9),最后必有b+h≥9+3=12>11=1+10=d+f,甲胜.因此,只要(甲1,d1),且以后甲每次应对正确,则甲必胜.解:甲第一轮采用削弱对方策略,把1填入d格(或f格)内,以后无论乙怎样填,甲第二轮"随机应变",只要把尽可能大的数填入b或h格内,或者把尽可能小的数填入f格(或d格)内(在乙没有在f或d格内填数的情况下),甲都能获胜.小学五年级奥数教案(五):同余的概念和性质你会解答下面的问题吗问题1:今天是星期日,再过15天就是"六·一"儿童节了,问"六·一"儿童节是星期几这个问题并不难答.因为,一个星期有7天,而15÷7=2…1,即15=7×2+1,所以"六·一"儿童节是星期一.问题2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期几这个问题也难不倒我们.因为,1993年有365天,而365=7×52+1,所以1994年的元旦应该是星期六.问题1,2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中,时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除,所得的余数问题.这样就产生了"同余"的概念.如问题1,2中的15与365除以7后,余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余.同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为:a≡b(modm).(*)上式可读作:a同余于b,模m.同余式(*)意味着(我们假设a≥b):a-b=mk,k是整数,即m|(a-b).例如:①15≡365(mod7),因为365-15=350=7×50.②56≡20(mod9),因为56-20=36=9×4.③90≡0(mod10),因为90-0=90=10×9.由例③我们得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为:a≡0(modm).例如,表示a是一个偶数,可以写a≡0(mod2)表示b是一个奇数,可以写b≡1(mod2)补充定义:若m(a-b),就说a,b对模m不同余,用式子表示是:\nab(modm)我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a,b,c,d是整数,而m是自然数).性质1:a≡a(modm),(反身性)这个性质很显然.因为a-a=0=m·0.性质2:若a≡b(modm),那么b≡a(modm),(对称性).性质3:若a≡b(modm),b≡c(modm),那么a≡c(modm),(传递性).性质4:若a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±c≡b±d(modm),(可加减性).性质5:若a≡b(modm),c≡d(modm),那么ac≡bd(modm)(可乘性).性质6:若a≡b(modm),那么an≡bn(modm),(其中n为自然数).性质7:若ac≡bc(modm),(c,m)=1,那么a≡b(modm),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数).注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的.例如6≡10(mod4),而35(mod4),因为(2,4)≠1.请你自己举些例子验证上面的性质.同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言.例1判定288和214对于模37是否同余,74与20呢解:∵288-214=74=37×2.∴288≡214(mod37).∵74-20=54,而3754,∴7420(mod37).例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数.分析若先求乘积,再求余数,计算量太大.利用同余的性质可以使"大数化小",减少计算量.解:∵418≡2(mod13),814≡8(mod13),1616≡4(mod13),∴根据同余的性质5可得:418×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13).答:乘积418×814×1616除以13余数是12.例3求14389除以7的余数.分析同余的性质能使"大数化小",凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律.解法1:∵143≡3(mod7)∴14389≡389(mod7)∵89=64+16+8+1而32≡2(mod7),34≡4(mod7),38≡16≡2(mod7),316≡4(mod7),332≡16≡2(mod7),364≡4(mod7).∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod7),∴14389≡5(mod7).答:14389除以7的余数是5.解法2:证得14389≡389(mod7)后,\n36≡32×34≡2×4≡1(mod7),∴384≡(36)14≡1(mod7).∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod7).∴14389≡5(mod7).