小学奥数(知识点梳理) 14页

袄小学奥数（知识点梳理）肈前言羆小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。肅概述一、二、蚃计算1．2．膈四则混合运算繁分数⑴⑵莇运算顺序⑶⑷螆分数、小数混合运算技巧蒂一般而言：①②蒂加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；③④螇乘除运算中，统一以分数形式。芄⑶带分数与假分数的互化蒄⑷繁分数的化简3．4．薂简便计算膈⑴凑整思想羆⑵基准数思想芃⑶裂项与拆分\n蚂⑷提取公因数蕿⑸商不变性质蒄⑹改变运算顺序①②肂运算定律的综合运用③④螂连减的性质⑤⑥螆连除的性质⑦⑧膆同级运算移项的性质⑨⑩螁增减括号的性质⑪⑫袁变式提取公因数膇形如：1．2．薄估算袄求某式的整数部分：扩缩法3．4．羁比较大小①②薈通分a.b.芆通分母c.d.薃通分子③④羁跟“中介”比⑤⑥罿利用倒数性质螄若，则c>b>a.。形如：，则。5．6．莂定义新运算7．8．肁特殊数列求和肆运用相关公式：\n蒅①膁②膁③蒆④羃⑤膃⑥芁⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n一、二、袇数论1．2．蚅奇偶性问题羂奇奇=偶奇×奇=奇莁奇偶=奇奇×偶=偶芈偶偶=偶偶×偶=偶3．4．肃位值原则蚁形如：=100a+10b+c5．6．蒁数的整除特征：虿整除数袅特征螄2薀末尾是0、2、4、6、8袆3薇各数位上数字的和是3的倍数蒃5薀末尾是0或5\n芇9羅各数位上数字的和是9的倍数节11蚀奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数蚈4和25蚇末两位数是4（或25）的倍数肁8和125螀末三位数是8（或125）的倍数聿7、11、13羇末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数1．2．袆整除性质①②蚂如果c|a、c|b，那么c|(ab)。③④羈如果bc|a，那么b|a，c|a。⑤⑥虿如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。⑦⑧蚅如果c|b,b|a,那么c|a.⑨⑩螂a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。3．4．荿带余除法膆一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r莃当r=0时，我们称a能被b整除。袂当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r蝿6.唯一分解定理袈任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即蒆n=p1×p2×...×pk7.8.羂约数个数与约数和定理膀设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：芆n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)\n芅n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）7.8.羂同余定理薁①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)肈②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。羄③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。肁④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。蚈⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。蒆9．完全平方数性质螃①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。膁②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。聿约数个数为3的是质数的平方。膈③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。螆④平方和。芁10．孙子定理（中国剩余定理）薀11．辗转相除法蚆12．数论解题的常用方法：薅枚举、归纳、反证、构造、配对、估计一、二、莁几何图形1．2．羁平面图形莈⑴多边形的内角和莄N边形的内角和=(N-2)×180°蒁⑵等积变形（位移、割补）\n①②莂三角形内等底等高的三角形③④袅平行线内等底等高的三角形⑤⑥莇公共部分的传递性⑦⑧薁极值原理（变与不变）蒈⑶三角形面积与底的正比关系薇S1︰S2=a︰b；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4膅⑷相似三角形性质（份数、比例）薁①;S1︰S2=a2︰A2衿②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=（a+b）2艿⑸燕尾定理袄S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；蚁S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；芀S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；蚇⑹差不变原理蚃知5-2=3，则圆点比方点多3。螀⑺隐含条件的等价代换蚁例如弦图中长短边长的关系。葿⑻组合图形的思考方法①②蚆化整为零③④袀先补后去⑤⑥螈正反结合1．2．袇立体图形蒅⑴规则立体图形的表面积和体积公式\n羀⑵不规则立体图形的表面积腿整体观照法蕿⑶体积的等积变形芄①水中浸放物体：V升水=V物芄②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水莆⑷三视图与展开图螂最短线路与展开图形状问题羃⑸染色问题膀几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。一、二、螆典型应用题1．2．蒄植树问题螁①开放型与封闭型膀②间隔与株数的关系3．4．膇方阵问题羂外层边长数-2=内层边长数薀（外层边长数-1）×4=外周长数芀外层边长数2-中空边长数2=实面积数5．6．芄列车过桥问题蚄①车长+桥长=速度×时间荿②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间莀③车长甲+车长乙=速度差×追及时间蚅列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题膂车长=速度和×相遇时间\n莂车长=速度差×追及时间1．2．葿年龄问题肆差不变原理3．4．袄鸡兔同笼膁假设法的解题思想5．6．蕿牛吃草问题蒇原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间7．8．节平均数问题9．10．袀盈亏问题虿分析差量关系11．12．蚄和差问题13．14．羄和倍问题15．16．虿差倍问题17．18．蝿逆推问题肅还原法，从结果入手19．20．蒁代换问题蚂列表消元法蝿等价条件代换一、二、蒅行程问题1．2．膃相遇问题蒀路程和=速度和×相遇时间3．4．衿追及问题袆路程差=速度差×追及时间5．6．蚁流水行船\n艿顺水速度=船速+水速罿逆水速度=船速-水速芇船速=（顺水速度+逆水速度）÷2莃水速=（顺水速度-逆水速度）÷21．2．节多次相遇聿线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1莄环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数肅其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数3．4．肁环形跑道5．6．膈行程问题中正反比例关系的应用螅路程一定，速度和时间成反比。薃速度一定，路程和时间成正比。螀时间一定，路程和速度成正比。7．8．芈钟面上的追及问题。①②膆时针和分针成直线；③④羄时针和分针成直角。9．10．芈结合分数、工程、和差问题的一些类型。11．12．羈行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。一、二、芆计数问题1．2．莂加法原理：分类枚举3．4．芁乘法原理：排列组合5．6．肈容斥原理：①②莃总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC③\n①肄常用：总数量=A+B-AB1．2．肀抽屉原理：膈至多至少问题3．4．螄握手问题薂在图形计数中应用广泛①②衿角、线段、三角形，③④芇长方形、梯形、平行四边形⑤⑥膅正方形一、二、芄分数问题1．2．袂量率对应3．4．莇以不变量为“1”5．6．薆利润问题7．8．蚂浓度问题蚁倒三角原理莇例：9．10．羇工程问题蒄①合作问题②③莀水池进出水问题11．12．蒇按比例分配三、四、膄方程解题1．2．袁等量关系①\n①腿相关联量的表示法薇例：甲+乙=100甲÷乙=3薅x100-x3xx薃②解方程技巧膁恒等变形1．2．蚇二元一次方程组的求解羅代入法、消元法3．4．肁不定方程的分析求解羀以系数大者为试值角度5．6．螇不等方程的分析求解一、二、莆找规律螃⑴周期性问题①②蝿年月日、星期几问题③④袇余数的应用螇⑵数列问题①②芁等差数列螂通项公式an=a1+(n-1)d羆求项数：n=薀求和：S=③④虿等比数列芇求和：S=⑤⑥螂裴波那契数列\n羁⑶策略问题①②莁抢报30③④肆放硬币袂⑷最值问题①②莂最短线路衿a.一个字符阵组的分线读法螅b.在格子路线上的最短走法数③④羂最优化问题螃a.统筹方法薀b.烙饼问题一、二、袈算式谜1．2．羂填充型3．4．罿替代型5．6．肈填运算符号7．8．薆横式变竖式9．10．肂结合数论知识点三、四、莀数阵问题1．2．螀相等和值问题3．4．莅数列分组蒆⑴知行列数，求某数螁⑵知某数，求行列数5．6．膈幻方蒈⑴奇阶幻方问题：\n薆杨辉法罗伯法膂⑵偶阶幻方问题：袀双偶阶：对称交换法膇单偶阶：同心方阵法一、二、薅二进制1．2．薃二进制计数法①②莈二进制位值原则③④羆二进制数与十进制数的互相转化⑤⑥蚅二进制的运算3．4．蚀其它进制（十六进制）三、四、肀一笔画1．2．螅一笔画定理：螅⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；肁⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；3．4．薈哈密尔顿圈与哈密尔顿链5．6．螈多笔画定理袅笔画数=五、六、芄逻辑推理1．2．肂等价条件的转换3．4．荿列表法5．6．螇对阵图蚅竞赛问题，涉及体育比赛常识七、八、葿火柴棒问题\n1．2．肈移动火柴棒改变图形个数3．4．袇移动火柴棒改变算式，使之成立一、二、袂智力问题1．2．芁突破思维定势3．4．袆某些特殊情境问题三、四、羇解题方法节（结合杂题的处理）1．2．虿代换法3．4．衿消元法5．6．羇倒推法7．8．蚃假设法9．反证法10．极值法11．设数法12．整体法13．画图法14．列表法15．排除法16．染色法17．构造法18．配对法19．列方程⑴方程⑵不定方程⑶不等方程另外补充说明：在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格，几何，数论等，属于综合性问题。