小学数学知识点 34页

第一章数和数的运算一概念（一）整数1整数的意义口然数和0都是整数。2自然数我们在数物体的时候，用來表示物体个数的1,2,3・・・.・.叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿.…都是计数单位。每相邻两个计数单位Z间的进率都是10o这样的计数法叫做十进制计数法。4数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除*整数a除以整数b（bHO）,除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除ao*如果数a能被数b（b=0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。*倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。*一个数的约数的个数是冇限的，其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10。水一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12.・・.・・其中最小的倍数是3,没有最人的倍数。*个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除。*个位上是0或5的数,都能被5整除,例如：5、30、405都能被5整除。*一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。\n*一个数各位数上的和能被9幣除，这个数就能被9整除。*能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数-淀能被3整除。仪一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、2256都能被4整除,50、325、500、2675都能被25整除。*一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。*能被2整除的数叫做偶数。*不能被2整除的数叫做奇数。*0也是偶数。口然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。*一个数，如果只冇1和它木身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29>31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。权一个数，如呆除了1和它本身述有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。“不是质数也不是合数，自然数除了1夕卜，不是质数就是合数。如果把自然数按英约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。*每个合数都可以写成儿个质数相乘的形式。其小每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数,例15=3x5,3和5叫做15的质因数。★把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。*几个数公冇的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。*公约数只冇1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，冇下列儿种情况：1和任何口然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1吋，这两个合数互质，如果儿个数中任意两个都互质，就说这儿个数两两互质。*如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。\n*如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是lo*儿个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数，其中最小的一•个，叫做这儿个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、24、16>18......3的倍数有3、6、9、12、15、18......其中6、12、18......是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。。*如果较大数是较小数的倍数，那么较人数就是这两个数的最小公倍数。*如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。*儿个数的公约数的个数是有限的，而儿个数的公倍数的个数是无限的。（二）小数1小数的意义*把幣数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、「分之几……可以用小数表示。权一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之儿，三位小数表示千分之儿……*一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。*在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10O小数部分的最高分数单位“十分之一”整数部分的最低单位“一”Z间的进率也是10。2小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25、0368都是纯小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：433……3.1415926无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律月•位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.5550.033312.109109=*一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：3.99的循环节是“9”，0.5454的循环节是“54”。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656\n混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222……0.03333*写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个I员I点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。（三）分数1分数的意义*把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。*在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示冇这样的多少份。*把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分了比分母大或者分了和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3约分和通分*把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数叫做约分。*分了分母是互质数的分数，叫做最简分数。*把异分母分数分别化成和原來分数相等的同分母分数，叫做通分。（四）百分数*表示一个数是另一个数的百分之儿的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。*百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。\n二方法(-)数的读法和写法1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。毎一级末尾的0都不读出来，其它数位连续冇几个0都只读一个零。2•整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。3.小数的读法：读小数的吋候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出毎一位数位上的数字。4•小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右卜•角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5.分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。7•百分数的读法：读百分数时，先读百分Z,再读百分号前而的数，读数时按照整数的读法來读。&百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原來的分子后面加上百分号“％”来表示。(-)数的改写-个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。1•准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较人的数改写成以万或亿为单-位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430力;改写成以亿做单位的数12.543亿。2•近似数：根据实际需要，我们述可以把一个较大的数，省略某一位后而的尾数,用一个近似数來表示。例如1302490015省略亿后面的尾数是13亿。3•四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进U例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。4•大小比较*比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，明L位上的数大那个数就大。\n*比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……*比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小（三）数的互化1.小数化成分数：原來冇几位小数，就在1的后1侨写几个零作分母，把原來的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成冇限小数的，一般保留三位小数。3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成冇限小数；如果分母中含冇2和5以外的质因数，这个分数就不能化成冇限小数。4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5.百分数化成小数：把白分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（四）数的整除1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只冇公约数1为止，然后把所侑的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最人公约数。3.求儿个数的最小公倍数的方法是：先用这儿个数（或其小的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这儿个数的最小公倍数。4.成为互质关系的两个数：1和任何口然数互质；相邻的两个口然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只冇1时，这两个合数互质。（五）约分和通分约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。\n通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。\n三性质和规律（一）商不变的规律商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的人小不变。（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原來的数就扩大1000倍……2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……3.小数点向左移或者向右移位数不够时，耍用“0”补足位。（四）分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的人小不变。（五）分数与除法的关系1.被除数十除数二被除数/除数2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3.被除数相当于分了，除数相当于分母。\n四运算的意义(-)整数四则运算1整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+加数二和一个加数二和一另一个加数2整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做羌。被减数是总数,减数利差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。3整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。一个因数X—个因数二积一个因数二积十另一个因数4整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，己知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。被除数一除数二商除数二被除数♦商被除数二商X除数(二)小数四则运算1.小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义和同。是把两个数合并成一个数的运算。矽8页\n1.小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其屮的一个加数，求另一个加数的运算.2.小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的「分Z几、百分Z几、「分Z几……是多少。3.小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其小一•个因数，求另一个因数的运算。4.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如3X3=32(二)分数四则运算1.分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2.分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。己知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。3.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。5.分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其屮一•个因数，求另一个因数的运算。(三)运算定律1.加法交换律：两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。2.加法结合律：三个数相加，先把询两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第-•个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。\n1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即aXb=bXao2.乘法结合律：三个数相乘，先把询两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第-•个数相乘，它们的积不变，即(aXb)Xc=aX(bXc)。3.乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,B[J(a+b)Xc=aXc+bXc。4.减法的性质：从一个数里连续减去儿个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。(二)运算法则1.整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。2.整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。3・整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一•位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪-•位，然后把各次乘得的数加起來。1.整数除法计算法则：先从彼除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位,除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。2.小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位,点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。3.除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后而添“0”，再继续除。4.除数是小数的除法计算法则：\n先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然麻按照除数是整数的除法法则进行计算。1.同分母分数加减法计算方法：同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。2.异分母分数加减法计算方法：先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。3.带分数加减法的计算方法：整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。4.分数乘法的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。5.分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。（六）运算顺序1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。3.没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。4.有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里而的，最后算括号外面的。5.第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。6.第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。\n第二章度量衡一长度（一）长度是一维空间的度量。（二）长度常用单位*公里（km）*X（m）*分米（dm）*厘米（cm）*毫米（mm）*微米（um）（三）单位Z间的换算*1毫米=1000微米*1用米=10毫米*1分米=20厘米*1米=1000毫米*1千米=1000米二面积（一）面积就是物体所占平面的人小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。（二）常用的面积单位*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米（三）而积单位的换算*1平方厘米=100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1平方米=100平方分米*1公倾=10000平方米*1平方公里=100公顷三体积和容积（一）体积，就是物体所占空间的大小。容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。（二）常用单位体积单位*立方米*立方分米*立方厘米容积单位*升*毫升（三）单位换算体积单位*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米容积单位*1升=1000亳升*1升=1立方米*1毫升=1立方厘米四质量（一）质量就是表示表示物体有多重。（二）常用单位*吨t*千克kg*克g（三）常用换算*一吨=1000千克*1T•克=1000克五时间（一）时间是指有起点和终点的一段时间\n（-）常用单位世纪、年、月、日、时、分、秒（三）单位换算*1世纪"00年*1年=365天平年*一年=366天闰年*一、三、五、七、八、十、十二是大刀大刀有31天*四、六、九、十一是小月小月小月有30天*平年2月有28天闰年2月有29天*1X=24小时*1小时=60分*1分=60秒六货币（一）什么是货币货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。（二）常用单位*元*角*分（三）单位换算*1元"0角*1角=10分\n2用字母s=(a+b)h/2第三章代数初步知识一、用字母表示数1用字母表示数的意义和作用*用字母表示数，可以把数最关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果表示常见的数量关系、运算定律和性质、儿何形体的计算公式(1)常见的数量关系路程用S表示，速度V用表示，时间用t表示，三者Z间的关系：s=vtv=s/tt=s/v总价用a表示，单价用b表示，数最用c表示，三者之间的关系：a=bcb=a/cc=a/b(2)运算定律和性质加法交换律：a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c二ac+bc减法的性质：a-(b+c)=a-b-c(3)用字母表示几何形体的公式长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。c=2(a+b)s=ab正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。c=4as=a2平行四边形的底a用表示，高用h表示，而积用s表示。s=ah三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。\ns=ah/2梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，小位线用m表示,面积用s表示。s=mh圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，而积用s表示。c=nd=2nrs=FIr2扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示。s=nnr2y36O长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底而积用s表示，体积用v表示.s=6a2v=a3闘柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示，体积用v表示.s侧二chs表二s侧+2s底v=sh圆锥的高用h农刀G底面积用s农水，体积用v农刀PV=sh/33用字母表示数的写法*数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作或者省略不写，数字要写在字母的前而。*当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。*在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。*川含冇字母的式了表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式了中冇加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后曲写上单位的名称。4将数值代入式子求值*把具体的数代入式子求值吋，要注意书写格式：先写出字母等于儿，然后写出原式，再把数代入式子求值。字付表示的是数，后而不写单位名称。*同一个式了，式了中所含字母取不同的数值，那么所求出的式了的值也不相同。二、简易方程(-)方程和方程的解1方程：含有未知数的等式叫做方程。*注意:方程是等式，又含有耒知数，两者缺一不可。*方程和算术式不同。算术式是一个式了，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成\n立。2方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。三、解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程。四、列方程解应用题1列方程解应用题的意义*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。2列方程解答应用题的步骤*弄清题意，确定耒知数并用x表示；*找出题中的数量Z间的相等关系；*列方程，解方程；*检查或验算，写出答案。3列方程解应用题的方法*综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成冇关的代数式，再找岀它们之间的等最关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从己知到未知。*分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。4列方程解应用题的范I韦I小学范围内常用方程解的应用题：a—•般应用题；b和倍、差倍问题；c几何形体的周长、面积、体积计算；d分数、百分数应用题；e比和比例应用题。五比和比例\n1比的意义和性质（1）比的意义*两个数相除又叫做两个数的比。是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的询项除以后项所得的商，叫做比值。*同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。叫匕值通常用分数表示，也对以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。*根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。（2）比的性质比的丽项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基木性质。（3）求比值和化简比*求比值的方法：川比的前项除以后项，它的结果是一个数值町以是整数，也可以是小数或分数。*根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。（4）比例尺*图上距离：实际距离二比例尺*要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。*线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地而上相对应的实际距离。（5）按比例分配*在农业生产和LI常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比來进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。*方法：首先求出各部分占总量的儿分Z儿，然后求出总数的儿分之儿是多少。2比例的意义和性质（1）比例的意义*表示两个比相等的式了叫做比例。*组成比例的四个数，叫做比例的项。\n*两端的两项叫做外项，屮间的两项叫做内项。（2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例根据比例的基本性质，如果己知比例屮的任何三项，就可以求出这个数比例］11的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3正比例和反比例（1）成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成止比例的量，他们的关系叫做止比例关系。川字母表示y/x二k（一定）（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示xXy=k（一定）\n第四章几何的初步知识一线和角（1）线*直线直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。*射线射线只有一个端点；长度无限。*线段线段有两个端点，它是在线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。*平行线在同一平面内，不和交的两条直线叫做平行线。两条平行线Z间的垂线长度都相等。*垂线两条直线相交成肓角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。从总线外一点到这条总线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。（2）角（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。（2）角的分类锐角：小于90°的角叫做锐角。直角：等于90。的角叫做直角。钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。平角：角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平角180°o周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°o二平面图形1长方形（1）特征对边相等，4个和都是肓用的四边形。有两条对称轴。\n（2）计算公式c=2(a+b)s=ab2正方形(1)特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。冇4条对称轴。(2)计算公式c=4as=a23三角形(1)特征由三条线段围成的图形。内角和是180度。三介形具有稳定性。三和形有三条高。(2)计算公式s=ah/2(3)分类*按角分锐角三角形：三个角都是锐角。直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。*按边分不等边三角形：三条边长度不相等。等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。4平行四边形(1)特征两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数Z和为180度。平行四边形容易变形。(2)计算公式s=ah5梯形(1)特征\n只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。(2)公式s=(a+b)h/2=mh6圆(1)圆的认识平而上的一种Illi线图形。圆中心的一点叫做圆心。一•般用字母o表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个I员1里，冇无数条半径，每条半径的长度都相等。通过圆心并目网端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2ro閲的大小由半径决定。圆冇无数条对称轴。(2)圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径)；把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。(3)圆的周长围成圆的dii线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母□表示。(4)圆的而积圆所占平而的大小叫做圆的而积。(5)计算公式d=2rr=d/2c二Tldc=2TIrs=rir27扇形(1)扇形的认识一条弧和经过这条弧两端的两条半径所F貝成的图形叫做扇形。圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。\n顶点在圆心的角叫做圆心如。在同一个圆中，扇形的人小与这个扇形的圆心角的人小有关。扇形有i条对称轴。(2)计算公式s二nf［叨3608环形(1)特征由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。(2)计算公式s=n(R2-r2)9轴对称图形(1)特征*如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。*折痕所在的这条直线叫做对称轴。匸正方形冇4条对称轴，长方形有2条对称轴。*等腰三介形有2条对称轴，等边三介形有3条对称轴。*等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。*菱形有4条对■称轴，扇形有一•条对■称轴。\n三立体图形（一）长方体1特征*六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。*相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。*有8个顶点。★相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。*两个面相交的边叫做棱。*三条棱相交的点叫做顶点。*把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。★长方体或者正方体6个面的总而积，叫做它的表而积。2计算公式*s=2（ab+ah+bh）*V=sh*V=abh（二）正方体1特征*六个面都是正方形*六个面的面积相等"2条棱，棱长都相等*有8个顶点匸正方体口J以看作特殊的长方体2计算公式*S表二6a2*v=a3（三）圆柱*圆柱的上下两个面叫做底面。*圆柱有一个曲血叫做侧血。*圆林两个底面Z间的距离叫做高。\n*进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的吋候，省略的位上的是4或者比4小，都要向而-•位进lo这种収近似值的方法叫做进一法。2计算公式*s侧二ch*s表二s侧+s底X2*v=sh/3（四）圆锥1圆锥的认识★圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲而。*从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。*测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖肓地量111平板和底面Z间的距离。★把圆锥的侧面展开得到一个扇形。2计算公式*v=sh"（五）球1认识★球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球而。*球和圆类似，也冇一个球心，用0表示。*从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。*通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示，每条直径都相等，直径的长度等于半径的2倍，即d=2r°2计算公式d=2r\n第五章简单的统计一统计表（一）意义*把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。（-）组成部分*一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表H期；表格内部包括表头、横标冃、纵标FI和数据四个方面。（三）种类*单式统计表：只含有一个项冃的统计表。*复式统计表：含有两个或两个以上统计项冃的统计表。*百分数统计表：不仅表明各统计项FI的具体数量，而R表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。（四）制作步骤1搜集数据2整理数据：要根据制表的冃的和统计的内容，对数据进行分类。3设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需儿格，每格长度。4正式制表:把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表口期。二统计图（一）意义*用点线而积等来表示相关的量Z间的数量关系的图形叫做统计图。（二）分类1条形统计图\n*用一•个单位长度表示一-定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按一定的顺序排列起来。*优点：很容易看出各种数量的多少。*注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。*取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；*复式条形统计图屮表示不同项目的肓条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图口期下面注明图例。*制作条形统计图的一般步骤：（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。（3）在与水平射线垂玄的深线上根据数据人小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数屋。2折线统计图*川一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点川线段顺次连接起来。*优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。*注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等吋间吋，不同吋间之间的距离要根据年份或刀份的间隔来确定。*制作折线统计图的一般步骤：（1）根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线。（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和I'可隔。（3）在与水平射线垂总的深线上根据数据人小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。3扇形统计图用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数Z间的关系。制扇形统计图的一般步骤：（1）先算出各部分数量占总量的百分之儿。（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。\n（3）取适当的半径iini—个I员I,并按照上面算出的関心角的度数，在関里画出各个扇形。（4）在每个扇形屮标明所表示的各部分数最名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。五应用（一）整数和小数的应用1简单应用题2复合应用题*常见的数量关系：总价二单价X数量路程二速度X时间工作总量三丁作时间X工效总产量二单产量X数量3典型应用题（1）平均数问题解题关键：在于确定总数最和与之相对应的总份数。算术平均数：已知儿个不相等的同类量和与Z相对应的份数，求平均每份是多少。*数量关系式：数量之和十数量的个数二算术平均数。加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。*数量关系式（部分平均数x权数）的总和o（权数的和）二加权平均数。差额平均数：是把各个人于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差Z和的平均数。*数量关系式：（大数一小数）=2二小数应得数最大数与各数之差的和三总份数二最大数应给数最大数与个数Z差的和一总份数二最小数应得数。例：一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“1”，则汽车行驶的总路程为“2”，从甲地到乙地的速度为100,所用的吋间为，汽车从乙地到甲地速度为60千米，所用的时间是，汽车共行的时间为+二，汽车的平均速度为2宁=75（千米）\n（2）归一问题：己知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随Z而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。数量关系式：单一量X份数二总数量（正归一）总数量宁单一量二份数（反归一）例一个织布工人，在七刀份织布4774米，照这样计算，织布6930米，需要多少天？分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。69304-（47744-31）=45（天）（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。数量关系式:单位数量X单位个数三另一个单位数最二另一个单位数量单位数最X单位个数一另一个单位数量二另一个单位数量。例修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完。实际4天修完，每天修了多少米？分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一最，再求总最，归总问题是先求出总量，再求单—量。800X64-4=1200（米）（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。解题关键：是把人小两个数的和转化成两个人数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。解题规律：（和+差）^2=大数大数一差二小数（和一差）—卜数和一小数二大数例某加工厂卬班和乙班共冇工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少12人，求原来甲班和乙班各侑多少人？分析：从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2个乙班，即94-12,由此得到现在的乙班是（94—12）十2=41（人），乙班在调出46人之询应该为41+46=87（人），甲班为94-87=7（人）（5）和倍问题：解题规律：和一倍数和二标准数标准数X倍数二另一个数\n例:汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货乍和小汽车各有多少辆？分析：大货车比小货车的5倍述多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115・7）辆。列式为（115-7）4-（5+1）=18（辆），18X5+7=97（辆）（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。★解题规律：两个数的差宁（倍数一1）=标准数标准数X倍数二另一个数。例甲乙两根绳了，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，结果卬所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的3借，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29）4-（3-1）=17（米）…乙绳剩下的长度，17X3=51（米）…卬绳剩下的长度，29-17=12（米）…剪去的长度。（7）行程问题：解题关键及规律：★同时同地相巧而行：路程二速度和X时间。*同时相向而行：相遇时间二速度和X时间*同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间二路程速度差。*同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程二速度差X时间。例甲在乙的后而28千米，两人同时同向而行，甲每小时行16千米,乙每小吋行9千米，甲几小时追上乙？分析：卬每小时比乙多行（16-9）千米，也就是卬每小时可以追近乙（16-9）千米,这是速度差。已知甲在乙的后面28千米（追击路程），28千米里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式284-（16-9）=4（小时）（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比鮫特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。船速:船在静水11'航行的速度。*水速：水流动的速度。\n*顺水速度：船顺流航行的速度。*逆水速度：船逆流航行的速度。★顺速二船速+水速*逆速二船速一水速解题关键：I大1为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的旁，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。解题规律：船行速度二（顺水速度+逆流速度）三2★流水速度二（顺流速度■逆流速度）一2*路程二顺流速度X顺流航行所需时间*路程二逆流速度X逆流航行所需时间例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小吋行28千米，到乙地后，又逆水航行,回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。己知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为284X2=20（千米）20X2=40（千米）40F（4X2）=5（小时）28X5=140（千米）。（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。*解题关键：要弄清每一•步变化与未知数的关系。★解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采川逆运算的方法计算推导出原数。*解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。例某小学三年级四个班共有学牛168人，如果四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班调6人到一•班，一班调2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？分析：当四个班人数相等时，应为168一4,以四班为例，它调给三班3人，又从一班调入2人,所以四班原冇的人数减去3再加上2等于平均数。四班原有人数列式为168三4-2+3=43（人）\n一•班原有人数列式为1684-4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为1684-4-6+6=42（人）三班原有人数列式为168三4-3+6=45（人）。（10）植树问题：*解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。*解题规律：沿线段植树棵树二段数+1棵树二总路程一株距+1株距二总路程*（棵树・1）总路程二株距X（棵树・1）*沿周长植树棵树二总路程三株距株距二总路程一棵树总路程二株距X棵树例沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。后来全部改装，只埋T201根。求改装后每相邻两根的I'可距。分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为50X（301-1）4-（201-1）=75（米）（11）盈亏问题：*解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配屮分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物站的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数,进而再求得物品数。*解题规律：总差额一每人差额二人数*总差额的求法可以分为以下四种情况：第一次多余，第二次不足，总差额二多余+不足第一次正好，笫二次多余或不足，总差额二多余或不足第一次多余，第二次也多余，总差额二大多余•小多余第一次不足，第二次也不足，总差额二大不足■小不足例参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组10人,则多25支,如果小组有12人，色笔多余5支。求每人分得儿支？共有多少支色铅笔？\n分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人，比10人多2人，而色笔多出了（25-5）=20支，2个人多出20支，一个人分得10支。列式为（25-5）4-（12-10）=10（支）10X12+5=125（支）。（12）年龄问题：*解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种''差不变”的问题,解题时，耍善于利用差不变的特点例父亲48岁，儿了21岁。问几年前父亲的年龄是儿了的4倍？分析：父子的年龄差为48・21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。列式为：21（48-21）（4-1）=12（年）（13）鸡兔问题：*解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差，对推算出某一种的头数。*解题规律：（总腿数一鸡腿数X总头数）一一只鸡兔腿数的差二兔了只数兔子只数二（总腿数・2X总头数）4-2如果假设全是兔子，可以有下面的式子：鸡的只数二（4X总头数•总腿数）-2兔的头数二总头数•鸡的只数例鸡兔同笼共50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只？兔子只数（170・2X50）4-2=35（只）鸡的只数50-35=15（只）（二）分数和百分数的应用1分数加减法应用题：分数加减法的应丿IJ题与整数加减法的应川题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数屮含何分数。\n2分数乘法应用题：是指已知一个数，求它的儿分之儿是多少的应用题。特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。