小学奥数知识点分类 22页

小学奥数知识点分类第一部分计算能力(万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！)基本公式1．运算顺序第一级：括号：（）→[]→{}第二级：×÷:同一级别可以交换运算次序第三级：＋－：同一级别可以交换运算次序2．去括号①a＋(b＋c)=a＋b＋ca＋(b－c)=a＋b－c②a－(b＋c)=a－b－ca－(b－c)=a－b＋c③a×(b×c)=a×b×ca×(b÷c)=a×b÷c④a÷(b×c)=a÷b÷ca÷(b÷c)=a÷b×c3．分配律/结合律乘法:a×(b＋c)=a×b＋a×ca×b＋a×c=a×(b＋c)除法：(a＋b)÷c=a÷c＋b÷ca÷c＋b÷c=(a＋b)÷c4．两个必须掌握的性质两个数的和一定，则两数越相近，积越大两个数的积一定，则两数越分散，和越大5．几个计算公式完全平方和（差）公式：（a±b）2=a2±2ab+b2平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)求和公式一:1+2+3+……+n=求和公式二：12+22+32+……n2=求和公式三：13+23+33+……n3=6．速算巧算基本方法凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7．等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。拆分裂项公式：等差数列公式：简单等比公式：例题分析1.393+404+397+398+405+401+400+399+391+4022.比较下面A,B两数的大小：A=2009×2009，B=2008×20103.结果末尾有多少个零？4.100＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1巩固练习5.376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋3786.1÷50+2÷50+3÷50+……50÷507.9999999×20097777×3333÷11118.9.比较下面A,B两数的大小：A＝987654321×123456789；B＝987654322×12345678810.1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978－1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2第二部分基础知识A归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。【例题】买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式：0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。11.3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？12.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？A归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。【例题】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解：（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）答：现在可以做904套。13.小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？14.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？A和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数＝（和＋差）÷2小数＝（和－差）÷2【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。【例题】甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。15.长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积?16.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。第22页共22页\n17.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？A和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵？解：（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。18.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？19.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？20.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？A差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解：（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。21.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？22.商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两个月盈利各是多少万元？23.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是10吨，多少天后，玉米是小麦的12倍？第22页共22页\nA植树问题基本类型及公式：①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。基本公式：棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。基本公式：棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长③在封闭曲线上植树：基本公式：棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。【例题】一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳？解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。24.一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？25.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的钢条，要求都按0.4米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？26.某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?27.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？A年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解:35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。28.母亲今年37岁，女儿7岁，几年后母亲年龄是女儿的4倍？29.3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？30.甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？A盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解：按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。31.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？32.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？A周期问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。周期现象：事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰；月份：1、3、5、7、8、10、12月大。解答周期问题的关键：①找出周期T,②考察余数，注意周期的首尾两数。【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几？【解】平年元旦到国庆节共有的天数：31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；循环的周期和余数：274÷7=39…1；平年的国庆节是星期日；[整周期的第一个数]闰年元旦到国庆节共有的天数：274+1=275；循环的周期和余数：275÷7=39…2；闰年的国庆节是星期一；[整周期的第二个数]【例2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶,甲第一次取奶是星期一,那么他第100次取奶是星期。【解】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期100÷7＝14……2，所以甲第100次取奶是星期二。基础务实33.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几？34.《小学生数学报》每周星期五出版一期，1994年10月份第1期是10月7日出版的，1995年1月份第1期应在1月几日出版？35.果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。那么，最后一棵应种什么树？在这100棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？36.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接着有3盏彩灯。那么第73盏灯是什么颜色的灯？37.小明把节省下来的硬币先按四个1分，再按三个2分，最后按两个5分这样的顺序往下排。那么，他排的第111个是几分硬币，这111个硬币共多少元？38.如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几点钟？39.某年的10月里有5个星期六，4个星期日。问：这年的10月1日是星期几？40.学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、四每天两节。开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？41.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期几？42.有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第1991个数被3除，所得的余数是多少？第22页共22页\nA鸡兔同笼【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解：假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：有鸡23只，有兔12只。43.2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？44.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？45.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？46.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？A方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数内边人数＝外边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解：22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。47.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。48.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？49.一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？A抽屉原理【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。【解题思路】（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。【例题】育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？解：由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天的。50.有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在200个信号中至少有多少个信号相同？51.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种奖品。问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有4名同学得到的奖品完全相同？52.一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？A容斥原理公式法：直接应用包含与排除的概念和公式进行求解容斥原理一：C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC利用这一公式可计算三个集合圈的有关问题。图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，68.邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各横道、竖道之间的道路都是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走千米。A加法乘法原理X加法原理如果完成一件任务有n类方法，在一类方法中有m1种不同的方法，在第二个元素进行排列，方法有Pr。由乘法原理可得Pr=Cr×Pr，所以类方法中有m2种不同的方法……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件任务共有：m1+m2+m3+……＋mn种不同的方法。X乘法原理如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪一种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。69.下图中的“我爱希望杯”有种不同的读法。70.如图，把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有多少种不同的着色方法。71.从l、2、3、4、5中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少不同的真分数?A排列与组合X排列：一般地，从n个不同元素中取出r个不同元素的无重复排列的方法数叫排列数，记为Pr？，Pr＝n（n－1）（n－1）…（n－r＋1）。72.某铁路线共有14个车站，该铁路共需要多少种不同的车73.有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号，一共可以组成多少种不同信号？第22页共22页\n74.一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，在于某种原因，C不能做中锋．而其余四人面可以分配到五个位置的任意位置上，共有多少种不同的站位方法？75.七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：（1）七个人排成一排；（2）7个人排成一排，某人必须站在中间；（3）个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；（4）七个人排成一排，某两人必须站在两头；（5）七个人排成一排，某两人不能站在两头；（6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。X组合：一般的，从n个不同元素中任取r个不同元素，不考虑取出元素的顺序并成一组，这类任务叫做从n个不同元素中取出r个不同元素的无重复组合。组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位置或顺序。符号Cr表示从n个不同元素中取出r个不同元素的无重复组合数。利用排列数Pr可以给出Cr的计算方法。我们把任务“从n个不同元素中选出r个不同的元素的排列”分为两步：①从n个不同的元素中选取r个不同的元素，方法有Cr种；②对选出的r个元素进行排列，方法有Pr。由乘法原理可得Pr=Cr×Pr，所以我们记n！表示n的阶乘，即n！＝1×2×3×4×5×…×n。A商品利润【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】利润＝售价－进货价利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价＝进货价×（1＋利润率）亏损＝进货价－售价亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%【解题思路】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例题】某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？解:设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%答：二月份比原价下降了1%。76.某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？求亏（盈）率？77.成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？78.某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价？A存款利率【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。【例题】李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。解：因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率，所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大强的存款期是30月即两年半。79.银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？80.某厂向银行申请甲乙两种贷款一共40万元，每年需付利息5万元，甲种贷款的年利率是12%，乙种贷款的年利率是14%。该厂申请的甲乙两种贷款的金额各是多少？A浓度问题【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。【例题】爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？解：（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。81.要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克82.甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的浓度？A工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解题思路】变通后可以利用上述数量关系的公式。【例题】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：两队合做需要6天完成。83.一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？84.一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？第22页共22页\nA正反比例【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。【例题】修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解:由条件知，公路总长不变。原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为：300÷（4－3）×12＝3600（米）答：这条公路总长3600米。85.孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？86.一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A牛吃草问题【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。【例题】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解：草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量，同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量，由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50。因此草每天的生长量为50÷（20－10）＝5。（2）求原有草量原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5天内草总量5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125（4）求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数：125÷5＝25（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。87.有一块草场，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天。如果一群牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？88.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。可供25头牛吃几天？第三部分数论知识A定义新运算定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②µ每个新定义的运算符号只能在本题中使用。89.规定a※b=，则2※2※10的值是多少？90.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；（2）已知f（g（x））=8，求x的值。91.对于任意正整数，定义：n!=1×2×3×……×n。例如：5！=1×2×3×4×5。那么，1!+2!+3!+……+2003!和的个位数字是几？92.若用φ(a)表示a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，求φ(φ(18))的值？A约数与倍数约数倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。X最大公约数的性质：几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。几个数的最大公约数都是这几个数的约数。几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。X求最大公约数基本方法：¤分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。¤短除法：先找公有的约数，然后相乘。¤辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。X最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。X求最大公约数基本方法：¤短除法求最小公倍数；¤分解质因数的方法94.和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？95.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,则这个班共有学生多少人？96.有一根180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？97.定义一种新运算&满足：a&b=[a，b]+（a，b）求①14&4；第22页共22页\n②已知6&x=33，求x。备注：[]表示最小公倍数，（）表示最大公约数98.自然数360有多少个约数?所有约数的和是多少？A奇数与偶数所有自然数按能否被2整除分类，能分成奇数和偶数两类；奇数被2除余1，偶数能被2整除。最小的奇数为1，最小的偶数为0。奇数和偶数的一般计算性质：（1）奇数±奇数＝偶数（2）偶数±偶数＝偶数（3）奇数±偶数＝奇数（4）偶数±奇数＝奇数（5）奇数×奇数＝奇数（6）偶数×偶数＝偶数（7）奇数×偶数＝偶数（8）奇数÷奇数＝奇数（9）奇数的连乘积永远是奇数,若干个整数连乘,如果其中有一个是偶数,那么乘积一定为偶数。（10）相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数。（11）两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性。（12）奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。（13）奇数用2K＋1或2K－1（K是整数）表示；偶数用2K表示。99.10个不同的自然数之和等于80，在这10个自然数中，最多有多少个奇数？100.任意取出1996个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？101.已知a、b、c有一个为5，有一个为6，有一个为7，那么：（a-1）（b-2）（c-3）的积是奇数还是偶数？102.某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？103.某组连续自然数的和等于90，那么这样连续的自然数有几组？A质数与合数质数：一个数除了1和它本身外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=ar1ar2ar3arn，其中a1、a2、105.若A是质数，A+12是质数，同时A+18也是质数，求A的最小值？106.A、B、C为三个质数，A+B+C=30，且A2=〔a〕．若b=0.5，那么［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1；若b=0.1，那么［a＋b］=〔2.8〕=2<〔a〕＋1．〔a〕还有许多性质．例：若n是整数，则有：〔a+n〕=〔a〕+n．与〔a〕相关的是数a的小数部分，我们用符号{a}表示．高斯方程（取整）的性质：性质1对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.性质2对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).性质3取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].性质4若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.性质5若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.性质6若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x].性质7若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰有[x/n]个整数是n的倍数.第22页共22页\n125.解方程：［ｘ］+2x=10126.记符号n!=1x2x3x……n,求100！后面有多少个零？127.解方程：2x-［ｘ］=4A不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。不定方程的两种基本思路：*是否整除*分情况讨论128.不定方程3x+5y=1204有多少组自然数解。129.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？130.求方程7x+19y=213的所有正整数解．131.5x+10y=140.11x+3y=89A最值与优化本知识点难度非常高，不在课堂讲授，请同学们课外自行复习巩固。挑战华罗庚金杯决赛压轴题：132.（第十届决赛）已知A、B均为自然数，且满足求A+B的最大值。（需详细解题过程）第四部分图形知识图形属于小学奥数三大专题之一，主要考察学生们对平面图形和立体图形的认识、建构、以及对周长、面积、表面积、体积的计算等方面的知识，图形问题的重点在于等积变换的直线型面积。A几何计数几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力。X规则图形序号知识点名称序号知识点名称1几何计数4体积与表面积2周长与面积5阴影面积3长方体与正方体6直线型面积134.图中有多少条不同的三角形？135.下图中有多少个不同的正方形？136.图中有多少个不同的长方形？137.图中有多少个不同的正方形？138.如图，有多少条线段，多少个三角形139.下图中有多少条线段？有多少个三角形？140.图中一共有多少个三角形？有多少个梯形？141.图中共有多少个正方形？142.如图，圆周上有五个点，最多可以画多少条线段？最多可以画多少个三角形？143.图中共有42个正方形，在这些正方形中，所含的数字之和能被5整除的有多少个？第22页共22页\n144.图中每个最小三角形的面积为1，求图中所有三角形面积之和。145.图中有多少个不同的三角形？A周长与面积本讲主要学习5种常见图形的面积求法：长方形，正方形，平行四边形，三角形，梯形。X长方形面积等于长乘以宽:S=a×b；X正方形面积等于边长乘以边长：S=a×a；X平行四边形面积等于底乘以高：S=a×h；X三角形面积等于底乘以高除以2:S=a×h÷2X梯形面积等于上底加下底的和乘以高除以2:S=(a+b)×h÷2【例题】大正方形面积比小正方形面积多24平方米，求小正方形的面积是多少？【解】设小正方形的边长为a，大正方形比小正方形多的面积，我们分割成两部分计算:则有（a+2）×2+a×2=24，a=5,小正方形的面积为25。巩固练习146.求如下图的面积。147.平行四边形ABCD（见右上图，单位：厘米）的周长是多少厘米？148.如下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？149.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形，求原正方形的面积？150.如右上图，7个面积不同的长方形组成一个大正方形，大正方形面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。151.如图，矩形ABCD被分割成9个小矩形，其中有5个小矩形的面积如图所示，矩形ABCD的面积为多少？152.图中的数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是多少？155.一个长方形长和宽各减少5厘米；得到的新长方形面积会比原来长方形减少125平方厘米。新长方形的周长是多少厘米？157.如图，周长为68的大矩形被分成7个相同的小矩形，大矩形的面积是多少？158.长方形各尺寸如下图（单位：厘米），计算所有长方形的面积总和。A长方体正方体体积：指物质或物体所占空间的大小，占据特定容积的物质的量表面积：能摸到的面的总面积叫做它的表面积。(V=体积，S=表面积，a=长，b=宽，c=高)体积公式：(V=体积，a=长，b=宽)长方体的体积=长×宽×高V=abc正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a表面积公式：长方体表面积：S=2(ab+ah+bh)正方体表面积：S=6(a×a)平面展开图正方体：沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，如下图：第22页共22页\n长方体：沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的。【例题】在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。【解】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面，上下：5×5×2=50（平方分米）：侧面：5×5×4＝100（平方分米），4×4×4=64（平方分米），则总表面积：50+100+64=214（平方分米）。答：这个立体图形的表面积为214平方分米。159.一张正方形的纸，边长12厘米，把它折成一个长方体的纸筒（如图），这个长方体的体积和表面积各是多少？160.一个正方体的棱长如果扩大3倍，那么表面积扩大多少倍？体积扩大多少倍？161.一个长方体的底面是边长为2厘米的正方形，高6厘米。如果将它切成3个完会相同的正方体，表面积会增加多少平方厘米？162.将一个底面是正方形的长方体分成两个完全一样的正方体，表面积会增加50平方厘米，求原来长方体的表面积？163.有一个长方体，它的侧面展开图是个正方形，它的底面也是个正方形，那么底面正方形的边长是长方体高的多少倍？164.两个完全一样的长方体，长8厘米，宽6厘米，高2厘米。拼成的长方体的体积是多少？表面积是多少？165.一块长方体的木料（如图），长100厘米，宽40厘米，高60厘米。如果把它锯成大小和形状完全相同的两个长方体，有几种锯法？得到的两个长方体的表面积之和最大是多少平方厘米？166.将两盒长20厘米、宽15厘米、高8厘米的饼干包装在一起，怎么包装表面积最小？包装后的表面积是多少？167.一个长方体长和宽相等，且高是它们的3倍（如右图），现在把这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体表面积和是1080平方分米。求这个大长方体的体积。168.用10块长7厘米,宽5厘米,高3厘米的长方体积木拼成一个长方体,问这个长方体的表面积最小是多少?169.一块长24分米的长方形铁皮，在它的四个角上都剪去一边长为3分米的正方形，然后将它焊成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是486立方分米，问这块铁皮原来面积是多少？170.有一个长方体，如果高增加2厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来增加了56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？171.两块长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米的长方体粘合成一个大的长方体，问粘合后的长方体体积是多少？表面积最大是多少？XA体积与表面积XX长方体：表面积：S=2(ab+ah+bh)正方体：表面积：S=6a2体积：V=abh=sh体积：V=a2X圆柱体：表面积：S=s侧+2s底S侧=ch体积：V=sh圆锥体：表面积：S=s侧+s底S侧=nrl体积：V=1/3ShX球体：表面积：S=4nr2体积：V=4/3nr3【例1】一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小值可能是多少厘米？【解】由1998＝2×3×3×3×37，得1998＝6×9×37。因此这个长方体的长、宽、高分别为37、9、6，它们的和的最小值是37＋9＋6＝52厘米。【例2】一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？【解】按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了，圆锥体化为圆柱体的高：底面积：体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．答：粮囤的体积是15.543立方米。第22页共22页\n巩固练习172.一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且，它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？173.把一根长1米的圆柱形铁棒锯成4段（每段仍是圆柱体），表面积比原来增加了24平方厘米。这根铁捧的体积是多少立方分米？174.一个圆柱形水桶的侧面积是底面积的6倍，水桶的底面半径是1分米，它的容积是多少立方分米？175.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤。今年改用了长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤。问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？176.将一个底面周长是20厘米的圆柱体木块沿底面直径竖着剖分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米，这个圆柱木块的体积是多少立方厘米？179.一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．180.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？181.下图为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．182.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？183.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?184.一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．185.在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高．186.如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米．求这个零件的体积？A阴影直线型面积X三角形、长方形、梯形、圆形、平行四边形周长和面积公式X结合实际，计算平面图形、立体图形的表面积；X根据圆的特性解题；理解并记忆弧长公式及扇形面积公式；X通过适当得辅助线,灵活采取加减法、平面翻转法、割补法、重叠法方程法、比例法解题；X充分利用三角形等底等高，平行四边形等底等高。基本公式1.图形问题是小学奥数三大知识点之一，图形问题主要考察学生的平面、立体视图及空间想象能力以及图形转换能力。常考知识点有：几何计数、周长面积、体积表面积、直线型面积、阴影面积等，其中直线型面积是重点和难点。数论知识点列表A几何计数几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺ABCDEFG会通过观察、思考探寻事物规律的能力。X规则图形序去观察、思考问题、的良好习惯，逐步学1．数体段规律：一条直线上若有n个点，则有线段条数为1＋2＋3＋…＋n（n-1）134.图中有多少条不同的三角形？135.下图中有多少个不同的正方形？（n－1）=22．数角规律：若有n条边，则有角的个数为：1＋2＋3＋…＋（n－1）n（n-1）136.图中有多少个不同的长方形？3．数长方形规律：长上的线段的条数×宽上的线段条数m（m-1）=×2n（n-1）2137.图中有多少个不同的正方形？4．数正方形规律：最大边上的单位线段数为n，则有正方形12＋22＋32＋…＋n2X不规则图形1．方法：合理分类，进行枚举，不重复，不遗漏。2．分类方式：面积大小，图形形状，线段长度等分类。【例题】下图中有多少条不同的线段？【解】以A为起点的线段有AB，AC，AD，AE，AF，AG以B为起点的线段有BC，BD，BE，BF，BG以C为起点的线段有CD，CE，CF，CG以D为起点的线段有DE，DF，DG以E为起点的线段有EF，EG以F为起点的线段有FG共有线段：6+5+4+3+2+1=6(6+1)÷2=21条巩固练习133.图中共有多少条不同的线段？第22页共22页\n134.图中有多少条不同的三角形？135.下图中有多少个不同的正方形？136.图中有多少个不同的长方形？137.图中有多少个不同的正方形？4．数正方形规律：最大边上的单位线段数为n，则有正方形12＋22＋32＋…＋n2X不规则图形1．方法：合理分类，进行枚举，不重复，不遗漏。2．分类方式：面积大小，图形形状，线段长度等分类。【例题】下图中有多少条不同的线段？【解】以A为起点的线段有AB，AC，AD，AE，AF，AG以B为起点的线段有BC，BD，BE，BF，BG以C为起点的线段有CD，CE，CF，CG以D为起点的线段有DE，DF，DG以E为起点的线段有EF，EG以F为起点的线段有FG共有线段：6+5+4+3+2+1=6(6+1)÷2=21条巩固练习133.图中共有多少条不同的线段？138.如图，有多少条线段，多少个三角形？139.下图中有多少条线段？有多少个三角形？140.图中一共有多少个三角形？有多少个梯形？141.图中共有多少个正方形？A几何计数几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺ABCDEFG会通过观察、思考探寻事物规律的能力。X规则图形序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学134.图中有多少条不同的三角形？1．数体段规律：一条直线上若有n个点，则有线段条数为1＋2＋3＋…＋n（n-1）135.下图中有多少个不同的正方形？（n－1）=22．数角规律：若有n条边，则有角的个数为：1＋2＋3＋…＋（n－1）n（n-1）136.图中有多少个不同的长方形？=23．数长方形规律：长上的线段的条数×宽上的线段条数m（m-1）=×2n（n-1）2137.图中有多少个不同的正方形？4．数正方形规律：最大边上的单位线段数为n，则有正方形12＋22＋32＋…＋n2X不规则图形1．方法：合理分类，进行枚举，不重复，不遗漏。2．分类方式：面积大小，图形形状，线段长度等分类。【例题】下图中有多少条不同的线段？【解】以A为起点的线段有AB，AC，AD，AE，AF，AG以B为起点的线段有BC，BD，BE，BF，BG以C为起点的线段有CD，CE，CF，CG以D为起点的线段有DE，DF，DG以E为起点的线段有EF，EG以F为起点的线段有FG共有线段：6+5+4+3+2+1=6(6+1)÷2=21条巩固练习第22页共22页\n133.图中共有多少条不同的线段？138.如图，有多少条线段，多少个三角形？139.下图中有多少条线段？有多少个三角形？140.图中一共有多少个三角形？有多少个梯形？141.图中共有多少个正方形？142.如图，圆周上有五个点，最多可以画多少条线段？最多可以画多少个三角形？143.图中共有42个正方形，在这些正方形中，所含的数字之和能被5整除的有多少个？144.图中每个最小三角形的面积为1，求图中所有三角形面积之和。145.图中有多少个不同的三角形？A周长与面积本讲主要学习5种常见图形的面积求法：长方形，正方形，平行四边形，三角形，梯形。X长方形面积等于长乘以宽:S=a×b；X正方形面积等于边长乘以边长：S=a×a；X平行四边形面积等于底乘以高：S=a×h；X三角形面积等于底乘以高除以2:S=a×h÷2X梯形面积等于上底加下底的和乘以高除以2:S=(a+b)×h÷2【例题】大正方形面积比小正方形面积多24平方米，求小正方形的面积是多少？【解】设小正方形的边长为a，大正方形比小正方形多的面积，我们分割成两部分计算:则有（a+2）×2+a×2=24，a=5,小正方形的面积为25。巩固练习146.求如下图的面积。147.平行四边形ABCD（见下图，单位：厘米）的周长是多少厘米？148.如下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？149.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形，求原正方形的面积？150.如下图，7个面积不同的长方形组成一个大正方形，大正方形面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。151.如图，矩形ABCD被分割成9个小矩形，其中有5个小矩形的面积如图所示，矩形ABCD的面积为多少？152.图中的数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是多少？153.用四个相同的长方形拼成一个面积为100平方厘米的大正方形（见下图），每个长方形的周长是多少厘米？154.根据面积在下面填上适当的数。155.一个长方形长和宽各减少5厘米；得到的新长方形面积会比原来长方形减少125平方厘米。新长方形的周长是多少厘米？156.如右图，将一个大正方形分成6个长方形。如果这6个长方形周长的总和是80厘米，则大正方形的面积是多少平方厘米？157.如图，周长为68的大矩形被分成7个相同的小矩形，大矩形的面积是多少？158.长方形各尺寸如下图（单位：厘米），计算所有长方形的面积总和。A长方体正方体体积：指物质或物体所占空间的大小，占据特定容积的物质的量表面积：能摸到的面的总面积叫做它的表面积。第22页共22页\n(V=体积，S=表面积，a=长，b=宽，c=高)体积公式：(V=体积，a=长，b=宽)长方体的体积=长×宽×高V=abc正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a表面积公式：长方体表面积：S=2(ab+ah+bh)正方体表面积：S=6(a×a)平面展开图正方体：沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，如下图：长方体：沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，如下图。【例题】在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。【解】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面，上下：5×5×2=50（平方分米）：侧面：5×5×4＝100（平方分米），4×4×4=64（平方分米），则总表面积：50+100+64=214（平方分米）。答：这个立体图形的表面积为214平方分米。巩固练习159.一张正方形的纸，边长12厘米，把它折成一个长方体的纸筒（如图），这个长方体的体积和表面积各是多少？160.一个正方体的棱长如果扩大3倍，那么表面积扩大多少倍？体积扩大多少倍？161.一个长方体的底面是边长为2厘米的正方形，高6厘米。如果将它切成3个完会相同的正方体，表面积会增加多少平方厘米？162.将一个底面是正方形的长方体分成两个完全一样的正方体，表面积会增加50平方厘米，求原来长方体的表面积？163.有一个长方体，它的侧面展开图是个正方形，它的底面也是个正方形，那么底面正方形的边长是长方体高的多少倍？164.两个完全一样的长方体，长8厘米，宽6厘米，高2厘米。拼成的长方体的体积是多少？表面积是多少？165.一块长方体的木料（如图），长100厘米，宽40厘米，高60厘米。如果把它锯成大小和形状完全相同的两个长方体，有几种锯法？得到的两个长方体的表面积之和最大是多少平方厘米？166.将两盒长20厘米、宽15厘米、高8厘米的饼干包装在一起，怎么包装表面积最小？包装后的表面积是多少？167.一个长方体长和宽相等，且高是它们的3倍（如右图），现在把这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体表面积和是1080平方分米。求这个大长方体的体积。168.用10块长7厘米,宽5厘米,高3厘米的长方体积木拼成一个长方体,问这个长方体的表面积最小是多少?169.一块长24分米的长方形铁皮，在它的四个角上都剪去一边长为3分米的正方形，然后将它焊成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是486立方分米，问这块铁皮原来面积是多少？170.有一个长方体，如果高增加2厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来增加了56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？171.两块长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米的长方体粘合成一个大的长方体，问粘合后的长方体体积是多少？表面积最大是多少？1X圆锥体：表面积：S=s侧+s底S侧=nrl体积：V=sh3X球体：表面积：S=4nr2体积：V=4nr33【例1】一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小值可能是多少厘米？【解】由1998＝2×3×3×3×37，得1998＝6×9×37。因此这个长方体的长、宽、高分别为37、9、6，它们的和的最小值是37＋9＋6＝52厘米。第22页共22页\n【例2】一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？【解】按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了，圆锥体化为圆柱体的高：底面积：体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．答：粮囤的体积是15.543立方米。巩固练习172.一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且，它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？173.把一根长1米的圆柱形铁棒锯成4段（每段仍是圆柱体），表面积比原来增加了24平方厘米。这根铁捧的体积是多少立方分米？174.一个圆柱形水桶的侧面积是底面积的6倍，水桶的底面半径是1分米，它的容积是多少立方分米？175.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤。今年改用了长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤。问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？176.将一个底面周长是20厘米的圆柱体木块沿底面直径竖着剖分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米，这个圆柱木块的体积是多少立方厘米？177.有一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器（如右图），圆柱体的高是10厘米，圆锥体的高是6厘米，容器内的液面高7厘米。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的尖到液面的高是多少厘米？178.求下图组合体的体积。179.一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．180.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？181.下图为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．182.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？183.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?184.一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．185.在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高．186.如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米．求这个零件的体积？A阴影直线型面积X三角形、长方形、梯形、圆形、平行四边形周长和面积公式X结合实际，计算平面图形、立体图形的表面积；X根据圆的特性解题；理解并记忆弧长公式及扇形面积公式；X通过适当得辅助线，灵活采取加减法、平面翻转法、割补法、重叠法方程法、比例法解题；X充分利用三角形等底等高，平行四边形等底等高。基本公式1.图形问题是小学奥数三大知识点之一，图形问题主要考察学生的平面、立体视图及空间想象能力以及图形转换能力。常考知识点有：几何计数、周长面积、体积表面积、直线型面积、阴影面积等，其中直线型面积是重点和难点。常用方法：割补法、平移法、等积法、辅助线法、旋转法、相似全等。巩固练习187.如图，阴影部分的面积是多少？188.下图中的三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，图中的数字是相应线段的长度，求两部分的面积之比。第22页共22页\n189.如图有两个一样的直角三角形重叠在一起，如果C`B`=12厘米，DC=3厘米，CD=4厘米，求图中阴影部分的面积。190.如图：ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？191.如图把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍？192.如图所示，三角形ABC中，BD=DC，ED=2AE，BF=FD，三角形ABC的面积是1，三角形DEF的面积是多少？193.如图所示，四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点分成四等份，已知阴影部分面积之和是24平方厘米。则四边形ABCD的面积是多少平方厘米？195.已知两个正方形的边长分别为4分米和6分米，则图中阴影部分的面积是多少平方分米。197.如下图，7个面积不同的长方形组成一个大正方形，大正方形面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。198.图中，大正方形边长是10厘米，小正方形边长是6厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米．199.如下图所示，将一个圆的竖直位置的直径向右移动3厘米，水平直径向上移动2厘米，这两条线将圆分成四份。图中阴影部分与空白部分的面积相差多少平方厘米？200.直径均为1m的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起（如图），试求金属带的长度和阴影部分的面积。金属带的长度为4+n。201.如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF的面积比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？第五部分行程问题行程问题是研究物体运动的速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间;关键问题：确定运动过程中的位置。相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。流水问题：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速平均问题：平均速度=总路程÷总时间基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。序号知识点名称序号知识点名称1相遇问题4流水行船第22页共22页\n2追及问题5钟表问题3火车过桥6发车间隔A相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。【例1】甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙小时走4千米，问：二人几小时后相遇？【解】30÷（6＋4）＝3（小时）答：3小时后两人相遇.【例2】甲、乙两人分别沿周长为400米的操场，同时出发同向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，问两人多少分钟后再次相遇？【解】两人相遇的情况是：甲领先乙以后，超过乙1圈再度赶上乙。则此题转化为追击问题了。追击路程为1个周长。400÷（60-40）=20（分钟）答：20分钟后两人再度相遇.巩固练习212.甲乙两地相距300千米，一辆客车和货车同时从两地相向而行，5小时后，在途中相遇，客车每小时行40千米，货车每小时行多少千米？213.从北京到沈阳的铁路长738千米．两列火车从两地同时相对开出，北京开出的火车，平均每小时行59千米；沈阳开出的火车，平均每小时行64千米．两车开出后几小时相遇？214.两人同时从相距6400米的两地相向而行．一个人骑摩托车每分行600米，另一人骑自行车每分行200米，经过几分两人相遇？215.一辆货车和一辆客车同时从相距299千米的两地相向而行，货车每小时行40千米，客车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？216.甲乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行52千米，乙车每小时行56千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？217.甲乙两地490千米，甲每小时40千米，乙每小时60千米，甲出发后一小时乙才出发，问乙经过多少小时与甲相遇？218.东西两镇相距240千米，一辆客车上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12时，两车恰好在两镇件的中点相遇。如果两车都从上午8时由两地相向开行，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？219.甲、乙两车分别从A、B两城同时出发，相向而行，8小时相遇。已知甲车单独行全程需12小时，乙车每小时行60千米。求A、B两城之间的距离？220.两地相距380千米，有两辆汽车从两地同时相向开出，原计划甲汽车每小时行36千米，乙汽车每小时行40千米，但开出时甲汽车改变了速度，以每小40千米的速度开出，问：相遇时乙汽车比原计划少行了多少千米？221.A、B两地相距61千米，甲乙两人分别以每小时5千米和每小时6千米的速度同时从A、B两地出发，相对而行。途中甲碰到一件意外的事，停留了1小时。问经多长时间两人才能相遇？222.一列快车和一列慢车同时从甲、乙；两站出发，相向而行，经过6小时相遇。相遇后快车继续行驶了3小时后到达乙站，已知慢车每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米？223.环形跑道400米，甲、乙两名运动员同时自起点顺时针出发，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑375米，问：多少时间后，甲、乙再次相遇？224.甲每小时行12千米,乙每小时行8千米.某日甲从东村到西村,乙同时从西村到东村,以知乙到东村时,甲已先到西村5小时，求东西两村的距离。225.一辆客车从甲城开往乙城要10小时，另一辆货车从乙城开往甲城要15小时.两车同时相对开出，相遇时货车比客车少行100千米.甲、乙两城间的公路长是多少千米？226.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时后相遇，甲车再行3小时到达B地。已知甲车每小时比乙车每小时快20千米，A、B两地相距多少千米？227.甲乙两工程队分别从两端开挖一条水渠，甲工程队每天挖100米，乙工程队每天比甲多挖50米，10天后胜利挖通水渠，问水渠长多少米？第22页共22页\n228.甲乙两地相距258千米。一辆汽车和一辆拖拉机同时分别从两地相对开出，经过4小时两车相遇。已知汽车的速度是拖拉机速度的2倍。相遇时，汽车比拖拉机多行多少千米？229.甲乙两站相距360千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。客车到达乙站后以原速返回甲站，两车相遇地点离乙站多少千米？230.南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？231.小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？232.甲乙二人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。A追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接用公式，复杂的题目变通后利用公式。【例1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定学校到家足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.【解】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200；40×5÷（60-40）=10（分钟）答：哥哥10分钟可以追上弟弟。【例2】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。【解】先画图如下若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求A、B间的距离。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）（80+50）×6＝130×6=780（米）答：A、B间的距离为780米。巩固练习233.好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？234.一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。235.甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲？236.甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？237.甲乙二人同地同方向出发，甲每小时走7千米，乙每小时走5千米。乙先走2小时后，甲才开始走，甲追上乙需要几小时？238.小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影。小聪每分行60米，他出发后10分小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分行多少米？239.甲以每小时5千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行10千米，乙几小时可以追上甲？240.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一列火车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地。在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？241.甲、乙两匹马相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后。如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：何时两马相距70米？242.甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若乙比甲先跑2秒钟，则甲跑4秒钟能追上乙。问：两人每秒钟各跑多少米？243.甲、乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80第22页共22页\n米，如果有一只狗与甲同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止。这时狗共跑了多少米？244.甲船每小时行驶30千米，乙船每小时行驶26千米，两船同时同地背向出发巡逻，2小时后，甲船返回追乙船，几小时可以追上乙船？245.甲、乙二人同时从A、B两地出发，同向行走，甲在前，乙在后，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，途中甲因故休息了1小时，5小时后两人相距26千米，A、B两地相距多少千米？246.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一列火车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地。在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？247.小红家有12个鸡蛋，小红家养的鸡每天下2个蛋；小玲家有30个鸡蛋，每天吃掉1个鸡蛋。经过多少天，小红家与小玲家的鸡蛋数相等？248.一只猎狗正在追赶前方6米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？249.甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每小时行5千米，乙第一小时行1千米，第二小时行2千米，以后每行1小时都比前1小时多行1千米。经过多长时间乙追上甲？250.甲、乙同时从某地同向前进，甲在乙前200米，甲每分钟走70米，乙每分钟走80米，几分钟后乙追上甲？251.一种导弹以音速（每秒330米）前进，已知两架飞机相距1500米同向飞行，前面一架飞机的速度是每秒210米，后面一架飞机的速度是每秒180米。当后面的飞机发出导弹时，多长时间可以击中前面一架飞机？（注意导弹的速度）252.甲、乙二人同一天从北京出发骑车到广州。甲每天行进100千米，乙第一天行进70千米，以后每天比前一天多行3干米。乙在出发后第多少天追上甲？A火车过桥【例1】一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。这列火车长多少米？分析与解：画出示意图解：火车8秒钟行的路程是火车的全长，20秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长（360米）所用的时间是（20-8）秒钟，即可求出火车的速度。火车的速度是360÷（20-8）=30（米/秒）。火车长30×8=240（米）。答：这列火车长240米【例2】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？解：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。解得x=14。所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）。法二：直接设火车的车长是x,那么等量关系就在于火车的速度上。可得：x/26＋3＝x/22＋1这样直接也可以x=286米法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。两次的追及时间比是：22：26＝11：13所以可得：（V车－1）：（V车－3）＝13：11可得V车＝14米/秒所以火车的车长是（14-1）×22=286（米）答：这列火车的车身总长为286米。巩固练习253.一列火车经过一盏信号灯用了10秒，通过一座长900米的大桥用了46秒，求这列火车的长度254.一座桥长1800米，一列火车以每秒25米的速度通过这座桥，火车长200米。火车从上桥到离桥需用多少时间？255.两列火车，一列车长320米，另一列长280米，两车都以每秒30米的速度相向而行，两车从相遇到离开，要多少秒？256.小张站在铁路旁，一列火车从他身边开过用了40秒。这列火车长880米，以同样的通过一座大桥，用了3分钟。这座大桥长多少米？257.小明站在立交桥上，一公交车以每秒10米的速度经过立交桥，小明发现公交车驶过立交桥的时间恰好为3秒，已知立交桥宽度比公交车长1倍，求公交车有多长？A流水行船流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。流水问题有如下两个基本公式：（1）顺水速度=船速+水速（2）逆水速度=船速-水速这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度第22页共22页\n等于船速与水速之和。公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：水速=顺水速度-船速（3）船速=顺水速度-水速（4）由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度（5）船速=逆水速度+水速（6）这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2（7）水速=（顺水速度-逆水速度）÷2（8）【例1】一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少？【解】此船的顺水速度是：25÷5=5（千米/小时）因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。5-1=4（千米/小时）答：此船在静水中每小时行4千米。【例2】某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？【解】此船逆水航行的速度是：18-2=16（千米/小时）甲乙两地的路程是：16×15=240（千米）此船顺水航行的速度是：18+2=20（千米/小时）此船从乙地回到甲地需要的时间是：240÷20=12（小时）【例3】一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。【解】此船顺水航行的速度是：208÷8=26（千米/小时）此船逆水航行的速度是：208÷13=16（千米/小时）船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：（26+16）÷2=21（千米/小时）由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：（26-16）÷2=5（千米/小时）巩固练习258.一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米？259.一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？260.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？261.甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？262.一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。这只船沿岸边返回原地需要多少小时？263.一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时？264.A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？265.从甲地驶往乙地顺水而行，每小时行28千米，到达乙地后，又逆水上行到甲地，逆水上行比顺水下行多用2小时，已知水流速度为每小时4千米，甲乙两地相距多远？266.一艘小船第一次顺流航行32千米，逆流航行4千米，共用10小时；第二次用10小时，顺流航行12千米，逆流航行14千米．这艘小船在静水中每小时航行多少千米？水流每小时多少千米？267.两个码头相距352千米,一艘客轮顺流而下行完全程11小时,逆流行全程需要16小时.求这条河的水流速度.268.一艘轮船从甲地顺流而下到乙地，顺水速度是每小时30千米，然后又逆流而行回到甲地．逆水比顺水多用2小时，又已知水流速度为每小时3千米，甲、乙两地相距多少千米？269.一只船从甲港到乙港顺水而行，每小时行30千米，到乙港后又逆水而行回到甲港，逆水航行比顺水航行多用了5小时．已知水流速度为每小时5千米，甲、乙两地相距多少千米？270.一只船在河里航行，逆流而上，每小时行20千米，已知船顺流航行2小时恰好与逆流航行3小时的路相等．求船速和水速。271.一只轮船在两个码头之间航行，顺流需要4小时，逆流需要5小时．已知水流速度是每小时2千米，求两个码头的距离。272.AB两码头相距若干千米，某船由A码头顺水行至B码头需3小时，返回时多用半小时。若船在静水中速度为26千米/小时，试求水流速度。273.某河上下两港相距80千米，每天定时有甲乙艘船速相等的客轮从两港相向而行，甲船顺水而行每小时行12千米，乙船逆水每小时行8千米。这天甲船在出发时，从船上掉下一物，此物顺水漂流而下，当甲乙两船相遇时，此物距相遇地点有多远？274.一游客上午9时在码头租了一条小船划出，按规定他必须在12时之前回到码头。已知小船的静水速度是每小时5千米，河水流速是每小时2千米。游客每划半小时就要休息10分钟，中途不允许改变方向，并且恰好在某次休息后开始往回划。这位游客最远可划离码头多少千米？275.一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为每小时8公里，平时逆行与顺行所用时间的比为2:1。某天恰逢暴雨，水流速度变为原来的2倍，这条船往返共用9第22页共22页\n小时。甲、乙两港相距多少公里？276.甲、乙两港相距120千米，一轮船往返两港一次需10小时．逆流航行比顺流航行多用2小时．现有一机帆船，静水中的速度是每小时11千米．机帆船往返两地要多少小时？277.一只小船第一次顺流航行32千米，逆流航行16千米，共用8小时．第二次用同样的时间顺流航行24千米，逆流航行20千米．这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？278.甲乙两个码头相距420千米,一艘货轮从乙码头逆水行驶21小时到达甲码头,又知道这艘货轮在静水每小时行驶24千米.货轮从甲到乙需多少小时?279.（2009年5年级组初试）A地位于上游，B地位于下游。每天早上，甲船从A地、乙船从B地同时出发相向而行。从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米。由于天气原因，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化了多少千米？280.（2009年高年级组复试）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处，甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航，水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同，如果两船两次相遇地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是多少？A时钟问题基本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：①确定分针与时针的路程差；②确定分针与时针的初始位置；基本方法：分格法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。度数法：从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360度.【例1】钟表上8点到9点钟之间，时针和分针在什么时刻重合？当分针经过时针后，在什么时刻两针成15°角？方法1：分格法：虚线表示分针与时针在8时整的位置。分针和时针重合，即分针追上时针，8点时时针位置到追上，但时针的起点是在8点40分格处，那么分针和时针的路程差是x-(x-40)=40(分格)，根据方法2：度数法：设分针走了y分钟经过时针且与时针成15°角，此时分282.3点开始，分针与时针第二次形成30度角的时间是3点多少分？283.10点1刻分针和时针成多少度？如果要使分针和时针在10点与11点之间成直角时是什么时刻？【例2】四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？【解】钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。（5×4－15）÷（1－1/12）＝5（分钟）（5×4＋15）÷（1－1/12）＝38（分钟）答：4点05分及4点38分时两针成直角。巩固练习286.小张家有甲乙两面钟，甲每8小时快1分，乙每5小时快1分。若甲在10月1日的正午对正，乙在10月2日的正午对正，问何时两钟指向同一时刻？287.现在是3点与4点之间的某一时刻，若在这之后8分钟，分针的位置与在这之前4分钟时针的位置反向成一直线。求现在时刻？288.5日上午7时，这块表比标准时间快了3分钟，那么这块表正好指向正确的时间是在11月几日几时？289.一只钟一天中时针和分针重合几次？如果中午12时两针重合为第一次重合，那么第四次重合应在何时？两次重合的时间间隔为多少？290.时钟上的时针和分针：①在3点和4点之间什么时候成直角？在8点和9点之间呢？②在3点和4点之间什么时候两针成一直线（不包括重合）？在8点和9点之间呢？291.第三节课在10点到11点之间，在这以后6分钟分针的位置与这以前3分钟时针的位置反向成一条直线。问第三节几点几分上课？292.在6点到7点之间，什么时候分针的位置在时针的前面，并且和时针成15°角？293.一只旧钟的分针和时针每65分（标准时间的65分）重合一次。问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分？A发车间隔294.（2007年迎春杯初试）某人乘坐观光游船沿河流方向从A港到B港前行。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过。已知A、B第22页共22页\n两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中的速度相同，均是水速的7倍。那么货船的发出间隔是多少分钟？295.（人大附中入学测试题）一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？巩固练习296.一条公路上，有一个骑车人和步行人，骑车人的速度是步行人3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果汽车站发车的时间间隔保持不变，那么间隔多少分钟发一辆公共骑车？297.在一条街AB上，甲由A向B以不变的速度步行，乙的速度是甲的3倍，同时乙骑车由B向A匀速行驶，此时公共汽车由始发站A开出向B匀速行驶，且每隔x分钟发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分钟有一辆公共汽车追上他，乙发现每隔5分钟就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间是多少？298.某人以匀速行走在一条公路上,公路前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面擦身而过.公共汽车每隔多少分钟发车一辆?第22页共22页