小学奥数知识点梳理 13页

小学奥数知识点梳理学而思教材编写组侍春雷前言　　小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。概述一、计算1．四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；②乘除运算中，统一以分数形式。　　⑶带分数与假分数的互化　　⑷繁分数的化简2．简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质\n④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数　　　　形如：3．估算　　求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小①通分a.通分母b.通分子②跟"中介"比③利用倒数性质　　　　若，则c>b>a.。形如：，则。5．定义新运算6．特殊数列求和　　　运用相关公式：①②③④⑤⑥⑦1+2+3+4...（n-1）+n+（n-1）+...4+3+2+1=n二、数论1．奇偶性问题奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶2．位值原则\n形如：=100a+10b+c3．数的整除特征：整除数特征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数8和125末三位数是8（或125）的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数4．整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。②如果bc|a，那么b|a，c|a。③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。5．带余除法一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r当r=0时，我们称a能被b整除。\n　　当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q......r,0≤r＜ba=b×q+r6.唯一分解定理　　任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即　　　　　　　n=p1×p2×...×pk7.约数个数与约数和定理　　设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：（1+P1+P1+...p1）（1+P2+P2+...p2）...（1+Pk+Pk+...pk）8.同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。9．完全平方数性质①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。④平方和。10．孙子定理（中国剩余定理）11．辗转相除法12．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计\n三、几何图形1．平面图形⑴多边形的内角和　　　N边形的内角和=(N-2)×180°⑵等积变形（位移、割补）　①三角形内等底等高的三角形　②平行线内等底等高的三角形　③公共部分的传递性　④极值原理（变与不变）⑶三角形面积与底的正比关系S1︰S2=a︰b；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4⑷相似三角形性质（份数、比例）①;S1︰S2=a2︰A2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=（a+b）2⑸燕尾定理　　　S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；　　　S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；　　　S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；⑹差不变原理知5-2=3，则圆点比方点多3。⑺隐含条件的等价代换\n例如弦图中长短边长的关系。⑻组合图形的思考方法①化整为零②先补后去③正反结合2．立体图形　　　⑴规则立体图形的表面积和体积公式　　　⑵不规则立体图形的表面积整体观照法　　　⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V升水=V物②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水　　　⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题　　　⑸染色问题几面染色的块数与"芯"、棱长、顶点、面数的关系。四、典型应用题1．植树问题①开放型与封闭型②间隔与株数的关系2．方阵问题外层边长数-2=内层边长数（外层边长数-1）×4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3．列车过桥问题　①车长+桥长=速度×时间　②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间\n　③车长甲+车长乙=速度差×追及时间　列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题　车长=速度和×相遇时间　车长=速度差×追及时间4．年龄问题　差不变原理5．鸡兔同笼　假设法的解题思想6．牛吃草问题　原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间7．平均数问题8．盈亏问题　分析差量关系9．和差问题10．和倍问题11．差倍问题12．逆推问题还原法，从结果入手13．代换问题列表消元法等价条件代换五、行程问题1．相遇问题路程和=速度和×相遇时间2．追及问题路程差=速度差×追及时间3．流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速\n船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷24．多次相遇　　线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1　　环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数　　其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数5．环形跑道6．行程问题中正反比例关系的应用　　路程一定，速度和时间成反比。　　速度一定，路程和时间成正比。　　时间一定，路程和速度成正比。7．钟面上的追及问题。①时针和分针成直线；②时针和分针成直角。8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。9．行程问题时常运用"时光倒流"和"假定看成"的思考方法。六、计数问题1．加法原理：分类枚举2．乘法原理：排列组合3．容斥原理：①总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC②常用：总数量=A+B-AB4．抽屉原理：　　至多至少问题5．握手问题　　在图形计数中应用广泛①角、线段、三角形，②长方形、梯形、平行四边形③正方形\n七、分数问题1．量率对应2．以不变量为"1"3．利润问题4．浓度问题倒三角原理例：5．工程问题①合作问题②水池进出水问题6．按比例分配八、方程解题1．等量关系①相关联量的表示法例：甲+乙=100甲÷乙=3x100-x3xx　　②解方程技巧恒等变形2．二元一次方程组的求解代入法、消元法3．不定方程的分析求解　　　　以系数大者为试值角度4．不等方程的分析求解九、找规律⑴周期性问题\n①年月日、星期几问题②余数的应用⑵数列问题①等差数列　　　　　　通项公式an=a1+(n-1)d　　　　　　求项数：n=求和：S=②等比数列求和：S=③裴波那契数列⑶策略问题①抢报30②放硬币⑷最值问题　①最短线路a.一个字符阵组的分线读法　　　b.在格子路线上的最短走法数　②最优化问题　　　a.统筹方法　　　b.烙饼问题十、算式谜1．填充型2．替代型3．填运算符号4．横式变竖式5．结合数论知识点十一、数阵问题\n1．相等和值问题2．数列分组　　⑴知行列数，求某数　　⑵知某数，求行列数3．幻方　　⑴奇阶幻方问题：　　　　　杨辉法罗伯法　　⑵偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法单偶阶：同心方阵法十二、二进制1．二进制计数法　①二进制位值原则　②二进制数与十进制数的互相转化　③二进制的运算2．其它进制（十六进制）十三、一笔画1．一笔画定理：　　　⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；　　　⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链3．多笔画定理笔画数=十四、逻辑推理1．等价条件的转换\n2．列表法3．对阵图竞赛问题，涉及体育比赛常识十五、火柴棒问题1．移动火柴棒改变图形个数2．移动火柴棒改变算式，使之成立十六、智力问题1．突破思维定势2．某些特殊情境问题十七、解题方法（结合杂题的处理）1．代换法2．消元法3．倒推法4．假设法5．反证法6．极值法7．设数法8．整体法9．画图法10．列表法11．排除法12．染色法13．构造法14．配对法\n15．列方程⑴方程⑵不定方程⑶不等方程另外补充说明：　　在华校课本六年级中有"棋盘上的数学"三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格，几何，数论等，属于综合性问题。