小升初数学练习 20页

小升初数学《重点难点全攻略》系列讲座在寒假期间已正式推出，此讲座内容对六年级数学上下册所学习的重点和难点内容全面梳理，并对小升初的考点进行针对性的分析和练习，帮助学生备战小升初。本系列共十讲，每期一讲。第七讲行程问题一、流水行船问题顺水速度=船速+水速.             逆水速度=船速-水速.船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，  水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。二、火车问题1、火车过桥：路程=桥长+车长2、火车之间：（1）错车问题，相当于相遇问题总路程=两车车长之和，       总路程=（快车速度+慢车速度）×错车时间（2）超车问题：相当于追及问题总路程=两车车长之和，       总路程=（快车速度-慢车速度）×错车时间三、相遇问题相遇问题的基本关系是：速度和×相遇时间=路程    路程÷速度和=相遇时间　　四、追及问题追及问题的基本关系是：追及路程÷速度差＝追及时间　　\n　　例1.客车和货车同时从A、B两地相向开出，客车每小时行60千米，货车每小时行80千米。两车在距中点30千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？　　【巩固练习】甲、乙两辆汽车同时从两地出发，相向而行。甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小行55千米。两车在距中点15千米处相遇。求两地之间的路程是多少千米?　　例2.甲村，乙村相距6千米，小张和小王分别从甲乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一个村后马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇，问小王和小张的速度各是多少？【巩固练习】甲乙二人在相距100米的直路上来回跑步，甲每秒钟跑2.8米，乙每秒钟跑2.2米，他们同时分别在直路两端出发，当他们跑了30分钟后，这段时间内相遇了几次？　　例3.一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达，如果以原来速度行驶120千米后，再把速度提高25%，则可提前40分钟到达，那么甲乙两地相距多少千米？　　【巩固练习】小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米，则家到公园有多少米？　　例4.马路上有一辆车身为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米，马路一旁的人行道上有甲乙两名年轻人练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑，某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑来的乙，又过了两秒钟，汽车离开乙，问再过几秒钟后，甲乙两人相遇？　　【巩固练习】甲．乙．丙三人在学校到体育场的路上练习竞赛走，甲每分钟比乙多走10米，比丙多走31米，上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙。问；（1）从学校到体育场的距离是多少？（2）乙的速度是多少？（3）甲与丙何时相遇？例5.某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需1小时，这位劳模在下午1点钟便离场步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达。汽车速度是劳模步行速度的几倍？【巩固练习】小明和小刚乘火车出外旅行，离开车时间只有2小时，他们家离车站12公里，两人步行每小时只能走4公里，按这个速度非误车不可，恰好小华骑自行车经过，就先将小明带了9公里，让小明继续步行，接着返回原路接小刚，小华在距他们家3公里处遇到小刚，带着小刚追小明，他们提前赶到了车站，你知道他们在开车前几分钟到达车站的吗？\n例6.有100名少先队员在岸边准备坐船去湖中离岸边600米的甲岛，等到最后一人到达甲岛15分钟后，再去离甲岛900米的乙岛，现有机船和木船各一条，机船和木船每分钟各行300米和150米，而机船和木船可各坐10人和25人。问最后一批少先队员到达乙岛，最短需要多长时间？（按小时计算）　　【巩固练习】游船顺流而下，每小时前进7公里，逆流而上，每小时前进5公里，两条游船同时从同一个地点出发，一条顺流而下，然后返回，一条逆流而上，然后返回，结果1小时后他们同时回到出发点，在这一小时内有多少分钟这两条船的前进方向相同？例7.小张骑自行车出发12分钟后，大李骑摩托车去追他，在距出发点9千米处追上了小张，然后大李立即返回出发点；随后又马上返回去追小张，再追上时恰好离出发点18千米，小张每分钟行多少千米，大李每分钟行多少千米？【巩固练习】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？　　　　1、甲乙两辆汽车同时从A,B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点32千米处相遇,求AB两地间的距离是多少千米？　　2、两车同时从A,B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地，乙车每小时行24千米，两地相距多少千米？　　3、绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行，小王4千米/小时，每走1小时后休息5分钟，小张6千米/小时，每走50分钟后休息10分钟，问两人出发多少时间第一次相遇？　　4、如图，A,B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米，在D点第二次相遇，D离B点60米，求这个圆的周长。　　\n5、小轿车的速度比面包车的速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一条路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离开城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？6、小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表。小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒。已知两电线杆之间的距离是100米。你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?7、一艘轮船顺水每小时行20千米，逆水每小时行15千米，轮船从甲城到乙城比从乙城到甲城少用8小时。问甲、乙两城相距多少千米？小升初数学《重点难点全攻略》系列讲座在寒假期间已正式推出，此讲座内容对六年级数学上下册所学习的重点和难点内容全面梳理，并对小升初的考点进行针对性的分析和练习，帮助学生备战小升初。本系列共十讲，每期一讲。　　第六讲经济问题　　　　随着我国社会主义市场经济的快速发展，市场经济问题也逐步进入了我们的数学课堂，像利息、利润等这类特殊的百分数应用题也就占据了小升初主要考点的一席之地。要想学好经济问题，必须要掌握以下基本概念和基本公式：　　一.基本概念　　1．本金：存入银行的钱叫做本金。　　2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。本息：本金与利息的总和叫做本息。　　3．利率：利息与本金的比值叫做利率。　　4．储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。　　5．存款的类型：存款分为活期、整存整取、零存整取等方式。\n　　6．纳税：纳税是根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全。纳税的种类：将纳税主要分为增值税、消费税、营业税、个人所得税等几类。　　7．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。　　8．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。9. 折扣：商品的现价是原价的百分之几。几折就是十分之几也就是百分之几十。“八折”的含义是：现价是原价的80%；“八五折”的含义是：现价是原价的85% 。　　10. 成数：表示一个数是另一个数十分之几的数，叫做成数。例如，今年的粮食产量比去年增产“二成”。“二成”即是十分之二，也就是今年的粮食产量比去年增加了20%。　　二.基本公式　　利息=本金X利率X时间      本金=利息÷时间÷利率　　利润=售价-成本           售价=进价+利润　　现价=原价×折数（通常写成百分数形式）     　　原价=现价÷折数          折数=现价÷原价　　应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率　　利率=利息/本金X100%      利润率=利润/进价X100% 　　税率=应纳税额/总收入X100%　　例1.商店以每双6.5元的价格购进了一批拖鞋，以每双7.4元的价格出售，卖到还剩5双时，除成本外还获利44元，这批拖鞋有多少双？　　【巩固练习】某商店购进一批皮凉鞋，每双售价比进价多15%，如果全部卖出，则可获利120元，如果只卖出80双，则差64元才够成本，皮凉鞋的购进价每双多少元？　　例2.一件商品，商店的进价为50元，按进价的80%为利润出售，后来进行促销酬宾活动，这件商品打八折出售，售出这件商品实际获利多少钱？　　【巩固练习】一件商品如果打九折出售，则获利30元，如果打七折出售，则赔了10元，这件商品的原价是多少元？\n　　例3.我国最新个税法规定：个人工资薪金超过3500元将缴纳个人所得税，如果个人工资超过3500元但不超过5000元，那么超过的部分将按3%缴纳个人所得税。小明的妈妈上个月的工资是4300元，她将缴纳个人所得税多少钱？张叔叔上个月总共缴纳个人所得税12元，那么张叔叔上个月的工资是多少钱？　　【巩固练习】某公司为了激励员工，制定了分段奖励机制，就是根据员工每个月的销售业绩按一定的百分比进行提成。具体方案如下：　　普通员工每月的基本工资是2000元。　　月业绩在10000元以下的（包括10000元），没有提成；　　月业绩超过10000元的：　　A:超过的部分在0---10000元的（含10000元），超出部分按2%提成；　　B:超过的部分在10000---40000元之间的（含40000元），按4%提成；　　C:超过的部分在40000---100000元之间的（含100000元），按6%提成；　　D:超过的部分大于100000元的，按10%提成。　　根据以上奖金机制，回答下列问题：　　1，员工甲上个月的销售业绩是35000元，他将得到多少奖金？　　2，员工乙是上个月该公司的销售状元，销售业绩是40万元，他上个月的收入是多少？　　3，员工丙上个月得到的提成奖金是4400元，她上个月的业绩是多少？　　例4.服装店里卖一件衣服和一条裤子，衣服的售价是300元，赚了50%，裤子的售价是180元，亏了40%，衣服，裤子全部卖出后，老板是赚了还是亏了？【巩固练习】服装店同时卖出了两件衣服,每件衣服售价都是120元,但其中一件赚20%,另一件赔了20%,问服装店卖出的两件衣服是赚钱了，还是亏本了?　　例5.有一种商品，甲店进价比乙店进价便宜10%，甲店按20%的利润率来定价，乙店按15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜11.2元，问：甲店的进价是多少元？　　【巩固练习】一种商品，甲店的进价比乙店多了20%，甲店按50%的利润率来定价，乙店按60%的利润率定价，哪家商店售价更便宜？如果甲店再打九折出售，乙店售价不变，结果甲店售价仍比乙店贵了6元，那么这件商品乙店的进价是多少？\n　　例6.商场出售一批服装，每件售价60元，卖出全部服装的62.5%时，商场已经收回成本并盈利200元，剩下的服装全部卖出又盈利1800元，这批服装一共的成本是多少钱？　　【巩固练习】某商品的进价是3000元，标价为4500元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折售此商品？　　例7.某商店老板到苹果产地去收购苹果。收购价为每千克2.1元。从产地到商店的距离为400千米，运费为每吨货物每千米收1.5元，如果在运输以及销售过程中的损耗是10%，那么商店要想实现25%的利润率，每千克苹果应售价多少钱？　　【巩固练习】果品公司购进苹果50吨，每千克进价3.68元，付运费等开支8000元，预计损耗为4%，希望全部销售后获利20%，那么每千克苹果售价多少钱？　　　　1、某家具的标价为132元，若降价以九折出售，仍可获利10%，则该家具的进价是多少钱？　　2、一件商品如果打九折出售，则可获利120元，如果打七折出售，则亏损了100元，这件商品的进价是多少钱？　　3、一件商品按成本价提高50%后标价，又打8折销售，结果仍获利60元，这种商品的进价是多少？4、甲、乙两件商品的进价共600元，甲商品按45%的利润率定价，乙商品按40%的利润率定价，后来甲打八折售出，乙打九折售出，两件商品共盈利110元，两件商品的进价各是多少？　　5、商店购进一件皮衣，按照成本30%的利润定价，无人购买。打折处理后卖出，商店仍获得4%的利润，则商店对皮衣打几折？　　6、依法纳税是每个公民的义务，某项税款按下列方式累加：收入不超过500元的部分税率为5%，超过500元不超过2000元的部分税率为10%，超过2000元的部分税率为15%，某人纳税150.1元，则他收入多少元？\n　　7、某商店优惠规则如下：（1）一次性购物不超过50元不打折；（2）一次性购物超过50元但不超过200元，全部打9折；（3）一次性购物超过200元，其中200元的部分按（2）条给予优惠，超过200元的部分打八折，某人前后两次购物分别消费81元和196元，若他按一次消费同样的货物，能少多少钱？第五讲比和比例　　例1. 长=8厘米，宽=6厘米　　【巩固练习】　　解析：连接AC,因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.　　三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）=3∶14.  答：AB∶CD=3∶14.　　例2. 解析：因为皮带的半径的比等于周长的比，转数的比等于周长比的倒数比。转数比：甲：乙：丙=1/5:1/3:1/7=(1/5X105):(1/3X105):(1/7X105)=21：35：15当甲转7周时：乙转:7X35/21=35/3（圈），丙转：7x15/21=5(圈）【巩固练习】解析：转数比：A:B=4：3=16：12，B:C=4：5=12：15，A:B:C=16：12：15，齿数比：A:B:C=1/16：1/12：1/15=15：20;16，三个齿轮齿数的最小数分别是15、20、16。例3.解析根据文艺书不变解题。1+4=5,3+7=10，文艺书：630×4/5=504（本）现在一共有书：504x10/7=7209(本)   买来科技书：720-630=90（本）【巩固练习】解析：根据其它球不变解题。买8个红球之前，红球是其它球的1÷（3-1）=1/2{C}{C}买8个红球后，红球占其它球的5÷（14-5）=5/9,其它球：8÷(5/9-1/2)=144个红球：144×5/9=80     共有球：144+80=224个例4. 解析：根据差不变解题。加水之前，两个水池水的差等于加水之后水池水的差。\n890-170=720立方米，小池有水：720÷（3-1）=360立方米，加水360-170=190立方米     共加水190×2=380立方米　　【巩固练习】解析：根据差不变解题。80-40=40米，40÷（7-2）=8米，短绳剩下：2×8=16米各剪掉：40-16=24米例5.解析：　　第一个容器盐和盐水的比:2:(2+3)=2:5=14:35，第一个容器中水和盐水比:　　3:(2+3)=3:5=21:35第二个容器盐和盐水的比:3:(3+4)=3:7=15:35，第二个容器中水和盐水比:4:(3+4)=4:7=20:35混合后盐与水的比:(14+15):(21+20)=29:41【巩固练习】　　解析：原来有盐200÷（1+24）=8（克），有水200-8=192（克）　　解设：加入水x克.8:(192+x)=1:29 　　192+x=8×29x=40      答：加入40克水。例6.解析：根据工作效率比和时间成反比，求出甲和丙完成工作总量的差，用“量”“率”根据工作效率比和时间成反比，求出甲和丙完成工作总量的差，用“量”“率”对应解题甲、乙、丙工作时间比=5：10:8，甲、乙、丙工作效率比=1/5:1/10:1/8=8:4:58+4+5=17  甲完成8/17, 丙完成：5/17  24÷(8/17-5/17)=136个【巩固练习】　　解析：根据工作效率比和时间成反比解题。　　甲、乙、丙工作时间比=5:6:4.5\n甲、乙、丙工作效率比=1/5:1/6:1/4.5=18:15:20  18+15+20=53甲分配：530×18/53=180个，乙：530x15/53=150个丙：530x20/53=200个　　课后作业　　1、答案：红27个，绿36个，黄45个2、答案：420千米　　3、答案：160米　　4、答案：500个5、答案：180米　　6、答案：10克　　7、答案：1890米　　8、答案：27:29　第四讲方程和方程组的应用　　对于应用问题，解答方法往往不唯一，列方程解应用题便是其中的一种方法，这种解法的优越性是比较符合人们的习惯，准确地找出题目中的等量关系，恰当地设出未知数后列出方程是解题的关键，特别是对于比较复杂的应用题，挖掘出题目中比较“隐蔽”的等量关系用于设未知数或列方程，就更为重要。一．列方程解应用题的方法（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程或方程组，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。　　（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程或方程组。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。　　二．列方程解应用题的步骤：\n　　（1）分析题意，弄清已知条件和所求问题；　　（2）根据分析设定未知数；　　（3）利用等量关系列出方程或方程组；　　（4）求解方程或方程组；　　（5）将结果代回原题检验，答。例1.有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。　　【巩固练习】有甲、乙两个水池，甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲池水以每分钟23立方米的速度流入乙池。求多少分钟后，乙池水是甲池水的4倍。例2.设有六位数1abcde，乘以3后，变为abcde1，求这个六位数？【巩固练习】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少1，如果十位上的数字扩大4倍，个位上的数字减去2，那么所得的两位数比原来大58，求原来的两位数是多少？例3.某班有43名同学，其中3名男生和女生的1/5_参加书法比赛，剩下的男生比女生少5人，则这个班男，女生各多少人?【巩固练习】少年宫合唱团有学生102人，其中女生的1/6比男生的1/2多1人，合唱队男、女生各有多少人？例4.七年前甲的年龄是乙的3倍，七年后甲的年龄是乙的2倍，则甲乙两人现在的年龄分别是多少岁？【巩固练习】小红的年龄是小丽年龄的4倍，再过20年小红的年龄比小丽年龄2倍小14岁，问：小红和小丽现在各几岁？例5.同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？\n【巩固练习】100个和尚吃100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃一个，那么一共有几个大和尚，几个小和尚？例6.某县农机厂加工车间有77个工人。已知每个工人平均每天可以加工甲种零件5个或乙种零件4个或丙种零件3个。但加工3个甲种零件、1个乙种零件和9个丙种零件才恰好配成一套。问：应安排生产甲、乙、丙种零件各多少人时，才能使生产的三种零件恰好配套。　　【巩固练习】丢番图是古希腊著名的数学家，他的墓志铭与众不同，碑文是：“过路人！这里埋葬着丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年；又活了一生的十二分之一，面部长起了胡须；随后是一生的七分之一的单身汉生活；婚后五年，他有了一个儿子；可是，儿子活到在丢番图一生年龄的一半时，不幸夭折；儿子死后，父亲在深深的悲哀中又过了4年也与世长辞……”你能计算出他一生中主要经历的年龄吗？　　1、某校736名同学外出参观，共租用了12辆客车，已知大客车可乘75人，小客车可乘34人，全部坐满，求大，小客车分别有几辆？2、甲数是乙数的6倍，若两数各增加30，则甲数是乙数的3倍，甲乙两数各是多少？3、小林做假期作业，如果每天做4道，按计划时间还有48道题不能完成，如果每天做6道，按计划做完后还有时间多做8道题，问共有多少道作业题，计划做几天？4、A,B两地相距20千米，甲乙两人分别从A,B两地同时相向而行，2小时相遇，然后甲向A返回，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙距离A地还有2千米，求甲乙二人的速度？5、2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的3/10，8个蟹将和10个虾兵就能打扫完整个龙宫，现在要清扫整个龙宫，只用虾兵或只用蟹将分别需要多少个？第三讲抓不变量解题　　知识导航:\n　　在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。为此，经过多年的实践和摸索，我总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。　　抓不变量问题主要分以下三种情况。　　一.抓住“和不变”　　在许多应用题中，看似很复杂，只要抓住某一个量是不变的，问题就好解决了。和不变，也就是总量不变，就以不变量为单位“1”，再用“量”“率”对应解题，就很简单了。　　例如：第一桶柴油的重量是第二桶的6倍，从第一桶取出12千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4倍，原来第一桶有柴油多少千克？　　分析：两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位“1”的量。则“取前”第二桶占两桶总量的1÷（1+6）=1/7，“取后”第二桶占两桶总量的1÷（1+4）=1/5，第一桶取前取后差12千克，占两桶总量的1/5-1/7＝2/35，故两桶总量为：12÷2/35=210（千克）。原来第一桶：210×6/7=180（千克）　　二.抓住“差不变”　　有些应用题中，原来两个量的总量不同，它们用去同样多后，所剩下的总量还是不同的，但是，原来总量的差等于现在两个量的差，它们的差是不变的。　　例如：新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48人，六年二班有学生56人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？　　分析：两个班的人数都发生了变化。谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出前后两班人数差是不变的，又未知，必须要先求出来。即两班人数差为：56－48＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多2/11。因此转出后一班人数为：８÷2/1144（人），转出人数是：48－44＝４（人）。　　三.抓住“部分量不变”　　抓住部分量不变为突破口进行分析数量关系，能使学生理清解题思路，突破难点，达到化难为易。　　例如：两个工程队，原来甲队人员比乙队少1/4，后来甲队增加21人，这时乙队人员是甲队的8/9，现在甲队有多少人？　　分析：题目中乙队人数是不变量，又不易直接求出，所以必须以乙队人员为单位“１”的量。　　第一句分率句以乙队人员为单位“１”的量不必变，第二句分率句是：“甲队增加21\n人以后乙队是甲队的8/9”是以甲队为单位“１”的量是变量。因此要转化不变量乙队为单位“１”的量，即“甲队人数是乙队的8/9”。找出对应：甲队增加21人，相当于乙队的9/8-（1-1/4）=3/8，故现在甲队人数为：21÷3/8×9/8＝63（人）。　　典型例题　　【例1】小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书多少本？　　【例2】学校阅览室有36名学生看书，其中女生占4/9，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的9/19。问：后来又有几名女生来看书？　　【例3】甲、乙两种电话的价格之比是7：3，如果他们的价格分别上涨70元后，价格之比是7：4。这两种商品原来的价格各是多少元？　　【例4】一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为98%，这时葡萄的质量是多少千克？　　【例5】某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人数的48％。现在有男生多少人？　　【例6】某校共有五，六年级学生210人，五年级有21人参加了七一文艺演出，六年级有25% 的学生参加了文艺演出，这时两年级剩下的人数相等。五，六年级各有学生多少人？　　【例7】甲，乙两个仓库存有若干吨玉米，如果从甲舱运24吨到乙仓，则甲仓的玉米比乙仓少3/7 ，如果从乙舱运24吨到甲仓，则乙仓的玉米比甲仓少5/8，甲乙两仓共存玉米多少吨？　　【例8】有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的2/7，两根绳各剪去多少米？　　课堂小测试　　1.小明读一本书，已读的页数是未读的页数的3/2，他再读30页，这时已读的页数是未读的7/3，这本书共有多少页？　　2.图书馆有科技书、文艺书共1200本，其中文艺书占60%，又买来一批文艺书，这时文艺书占全部图书的70%，又买来多少本文艺书？　　3.要从40克含盐16%的盐水中蒸发出一部分水，制成含盐20%的盐水，应蒸发出多少克水？　　4.甲乙共存款4560元，若甲从存款中给乙360元后，甲存款正好是乙存款的3/5，求乙原来存款多少元？\n　　5.哥哥存款80元，弟弟存款60元，哥哥给弟弟多少元后，哥哥存款是弟弟的3/7？　　6.大池有水890立方米，小池有水170立方米，若往两池中注入同样多的水后，小池水正好是大池水的1/3，求往两池中共注了多少水？　　7.甲车间比乙车间多20人，两车间各抽调25人去参加公益活动，这时乙车间剩下人数是甲车间剩下人数的2/3，原来两车间各多少人？　　8.一桶油，用去一部分后，用去的正好是剩下油的1/4 ，又用去了2千克，这时用去的是剩下的2/3，求桶内原有油多少千克？　　课后作业　　【作业1】六年级数学兴趣小组活动时，参加的同学是未参加的3/7 ，后来又有30人参加，这时参加的同学是未参加的2/3，六年级一共有多少人？　　【作业2】某班女生占全班人数的3/7，又转来4个女生后，这时女生占全班人数的一半，求班中原来有多少女生？　　【作业3】甲箱存苹果100个，乙箱存苹果90个，从甲箱取出多少个苹果放入乙箱，才能使甲箱的苹果正好是乙箱苹果的7/12。　　【作业4】两块同样长的布料，从第一块上卖出44米，从第二块上卖出12米，剩下布第一块正好是第二块的1/3，求两块布各剩下多少米？　　【作业5】甲仓存粮是乙仓的5/3倍，从甲仓运走35吨，从乙仓运走20吨，两仓剩下的粮相等，两仓原来各存粮多少吨？　　【作业6】柳荫街小学的校园里，原来柳树的棵树是全校树木总棵树的2/5。今年又种了50棵柳树。这样，柳树的棵树就占全校树木总棵树的5/11。柳荫街小学原来一共有多少棵树？　　作业7】有红黄两种颜色的球共130个，拿出红球的1/5，再拿出4个黄球，剩下的红球和黄球个数正好相等，原来红球和黄球各有多少个？　　【作业8】某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍。这个车间的女工有多少人？　　【作业9】盒里装着各色圆珠笔，其中红色占1/4，后来又往盒里放了8支红色圆珠笔，这时红色圆珠笔占总数的5/12，则原有红色圆珠笔多少支？　　【作业10】今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的5/12时，儿子多少岁？　第二讲单位“1”转化的应用题\n　　知识导航:　　一.三个量之间相互转化　　如果甲是乙的a/b，乙是丙的c/d，则甲是丙的ac/bd；如果甲是乙的a/b，则乙是甲的　　b/a；如果甲的a/b等于乙的c/d，则甲是乙的c/d÷a/b＝bc/ad，乙是甲的a/b÷c/d.　　例如：乙数是甲数的2/3，丙数是乙数的4/5，丙数是甲数的几分之几？　　方法（一）把甲数看成单位“1”，乙数是甲数的2/3，丙数是乙数的4/5，丙数是甲数的：2/3×4/5＝8/15　　方法（二）求连比（抓住中间量，根据比的基本性质，将中间的量换成相同的份数）　　乙：甲=2/3:1=2:3=10:15；乙：丙=1：4/5=5:4=10：8；丙：甲=8:15丙是甲的8/15。　　二.将部分转换整体统一单位“1”　　在某些题中，两个单位“1”是整体和部分之间的关系，我们可以将单位统一，再用“量”“率”　　对应解题就简单多了。　　例如：一根管子，第一次截去全长的1/4，第二次截去余下的1/2，两次共截去全长的几分之几？　　第一次截去的是全长的1/4，单位“1”是全长，第二次截去的单位“1”是余下的，也就是　　（1-1/4）=3/4，第二次截去3/4×1/2=3/8，即截去全长的3/8。1/4+3/8 =5/8 ，两次共截去全长的5/8。　　典型例题　　【例1】橘子的千克数是苹果的2/3，香蕉的千克数是橘子的1/2，香蕉和苹果共有220千克，橘子有多少千克？　　【例2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的1/4，第二周修的相当于第一周的4/5，第二周修了多少米？\n　　【例3】仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的1/5，第二次取出余下的1/3，第二次取出多少吨？　　【例4】修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的1/4，第二天修了余下的2/3，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？　　【例5】加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着乙加工了余下的4/9。已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？　　【例6】甲数是乙数的5/6，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？　　【例7】已知甲校学生数是乙校学生数的2/5，甲校的女生数是甲校学生数的3/10，乙校的男生数是乙校学生数的21/50，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？　　【例8】某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的2/5，第二天修了剩下部分的5/9　　又20米，第三天修的是第一天的1/4又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？　　课堂小测试　　1.一根绳子，第一次剪去全长的1/4，第二次剪去余下的2/3，两次共剪去全长的几分之几？　　2.小芳三天看完一本书，第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/4，第二天比第一天多看了20页，这本书共有多少页？　　3.运送一批水泥，第一天运了这堆水泥的1/4，第二天运的是第一天的2/3，还剩84吨没有运，这堆水泥有多少吨？　　4.学校体育室有篮球、排球和足球，篮球的只数占三种球总数的3/5，足球的只数是排球的2/3，足球比篮球少11只，这三种球一共有多少只？　　5.修路队修一条公路，第一天修了这条公路的2/5，第二天修了余下的1/3，已知这两天共修路120米，这条公路全长多少米？　　6.佳佳水果超市运进一些苹果，第一天卖出苹果总量的1/6，第二天卖出余下的2/5，第三天卖出苹果总量的1/4后，还剩下140千克。“佳佳”水果超市共运进多少千克苹果？　　7.小英三天看完一本故事书，第一天看了全书的1/3还少4页，第二天看了全书剩下的1/2还多14页，第三天看了90页。这本故事书共有多少页？\n　　课后作业　　【作业1】修一条路，第一周修了这条路的20%，第二周修了余下的30%，第二周比第一周多修了80米，这条路全长多少米？　　【作业2】甲数的3/4等于乙数的2/5，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？　　【作业3】甲数是乙数的，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？　　【作业4】某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的20%。第二车间人数是第三车间的2/3，已知第一车间比第二车间少·30人，三个车间一共有多少人？　　【作业5】小敏读一本书。第一天读了全书的1/5，第二天又读了余下的1/2，这时还剩80页没有读，这本书共有多少页？　　【作业6】一筐苹果，分给甲、乙、丙三人，甲分到总数的1/5多5千克，乙分到总数的1/4多7千克，丙分到其余下的一半，最后剩下的是总数的1/8，这筐苹果共多少千克？介绍的两道题是著名的托尔斯泰割草问题。　　其中第1题是割草问题的原本题目，第2题是前几年某名校考试倒数第二道题。由于题目较复杂，是当年失分率很高的一道题目。希望学生在阅读后能掌握这类题的做法。　　1.一组人要把两块草地的草割完，大的一块比小的一块大一倍。上午全部的人在大草地上割草，下午一半的人仍留在大草地上，到傍晚时把草割完；另一半人去割小草地的草，到傍晚时还剩下一块。这一块由一个人再用一天的时间刚好割完。问：这组割草的人共有多少？　　2.一批工人到甲乙两工地工作。甲工地的工作量是乙工地工作量的3/2倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍。下午这批工人的7/12去甲工地，剩下的人去乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。那么，这批工人有多少人？　　这两道题目是是同一类型的。难度在于题目没有明确的告诉我们“1”，需要自己假设并通过假设把题目中的几个量联系起来。　　我们只知道最后剩下的工作量需要工作的时间跟人数，明显需要通过这个具体的数字找出整组的人数。　　对于“1”的不同假设，我们对于这道题的做法就是多种多样的。这里我们讲其中一种相对好理解的。\n　　题目一：　　假设这组割草人一天所能割得草量为“1”。　　这里需要注意的是，我们同时限定了人数与天数。整组人数，一整天。因为，题目中时间分上午下午，也把整组人拆开分别去往两片草地。　　因为上午全部的人在大草地割草，所以，所完成的工作量为：1×1/2=1/2　　前面的1表示整组人；后面的1/2表示上午，即一天的一半。那么整组人半天所完成的工作量就是整组人一天所完成工作量的一半，我们假设整组人一天完成的工作量为“1”。所以整组人一天完成工作量的一半为“1/2”　　同理，下午一半的人仍留在大草地，所能完成的工作量为：1/2×1/2=1/4　　即，一组人的一半，用了一天时间的一半，就能完成“1”的1/4.　　因为，到傍晚时，把草割完。这里指的是，一天结束的时候，大草地的草已经割完了。通过上面的计算，我们知道，大草地上午割草的量是1/2,下午割得草量是1/4.　　所以可以表示出大草地的草量为：1/2+1/4=3/4.　　找到大草地的工作量后，因为大草地比小草地大一倍，所以小草地的工作量我们也可以算出来：3/4÷(1+1)=3/8　　因为一组人一天工作量为“1”，已经在大草地上用掉了3/4,所以剩余的1/4的工作量用在小草地上。　　小草地共需完成的工作量为3/8,已经完成的工作量为1/4.　　还剩下3/8－1/4=1/8的工作量没有完成。这部分工作量可以表示为，一组人的1/8在工作一天所能完成的工作量。　　而这部分正好还需一人做一天完成。　　所以，一个人正好是一组人的1/8.　　所以这组人共有1÷1/8=8（人）。　　题目二　　假设这批工人一天所能完成的工作量为“1”。\n　　上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍。我们把乙工地的人数看成一份，甲工地就是3份。也就是说，把整组人分成了3＋1=4份，其中，甲工地占了3份。即上午去甲工地的人数是整组人数的3/4.　　这些人所能完成的工作量是这批工人一天所能完成工作量的：3/4×1/2=3/8　　下午这批工人的7/12去甲工地，所能完成的工作量为：7/12×1/2=7/24　　到傍晚时，甲工地的工作已完成。所以甲工地的工作量为：3/8＋7/24=9/24＋7/24=16/24=2/3　　因为，甲工地的工作量是乙工地工作量的3/2倍。　　可以知道，乙工地的工作量为：2/3÷3/2=2/3×2/3=4/9.　　因为，这批工人一天所能完成的工作量为“1”。已经在甲工地用去了2/3把甲工地的工作量完成了。所以剩下的工作量用于完成乙工地工作　　那么，乙工地已经完成的工作量为：1－2/3=1/3　　乙工地共需完成的工作量为4/9，已经完成了1/3　　还需要完成的工作量为：4/9－1/3=1/9　　这部分工作量相当于这批工人的1/9一天所能完成的工作量。　　而这部分工作量需要正好4名工人做一天才能完成。　　即4名工人对应了这批工人的1/9.　　所以这批工人共有：4÷1/9=36（人）