小升初 几何专项 55页

小升初　几何专题几何（一）平面图形一、知识地图二、基础知识小学奥数的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用，交织而成。攻克奥数平面几何，一定要从等积变形开始。1、等积变形。等积变形，它的特点是利用面积相等而进行相互转换，面积相等的两个图形我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形，三角形等积变形的中心思想是等底等高，因为三角形的面积=底×高÷2，所以说等底等高的两个三角形面积相等。另外，等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到的与等积变形相关的性质主要有以下几点：﹙1﹚直线平行于，可知；反之，如果，则可知直线平行于。（因为平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？）﹙2﹚两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；\n两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特别地，我们有等腰三角形底边上的高线平分三角形面积三角形一边上的中线平分这个三角形的面积。平行四边形的对角线平分它的面积﹙3﹚共边定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则；﹙4﹚共角定理：在△和△中，若或，则。﹙5﹚过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。﹙6﹚E为矩形ABCD内部的任意一点，则；当E落在矩形的某条边上时，也成立。\n特别地，（5）（6）两条性质对于平行四边形同样成立。2、五大模型。我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型，总的来说，这五个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感受一下模型的魅力吧！模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。S1︰S2=a︰b；拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的×=鸟头定理是对模型一的一个拓展，有兴趣的话，你可以试着证明一下哦！模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）\n蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab；③S的对应份数为（a+b）2梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性质_h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_A_S1_S2①；②S1︰S2=a2︰A2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形，（只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似），与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：﹙1﹚相似三角形的对应角相等，对应边成比例。﹙2﹚相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。﹙3﹚相似三角形周长的比等于它们的相似比。﹙4﹚相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。 ﹙5﹚特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角形的中位线我们有这样一个结论：三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。\n对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形的中位线。梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。﹙6﹚那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法：a：三个角对应相等的三角形相似，（事实上只要有两个角相等就可以了）。b：有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。c：三边分别对应成比例的三角形相似。注意：在小学奥数里，最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形，如模型四。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。模型五：燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△EGC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△FGC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。3、计算过程中连接辅助线的四个原则。几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四个原则：﹙1﹚把四边形或者多边形变为三角形，例如：﹙2﹚连接等分点，例如：\n﹙1﹚构造模型，例如：﹙4﹚做高线，构造直角三角形三、经典透析【例1】（☆☆☆）如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。审题要点：题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个三角形ABC的面积是已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。详解过程：\n解：连结AE、BF、CD（如上右图）由EB=2BC，得S△ABE=2。同理可得S△AED=2S△BEF=2×S△CBF=6。S△CFD=3×S△ACD=3。所以S△DEF=1+2+3+1+2+6+3=18。专家点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第32题，非常经典。解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。【例2】（☆☆☆）设，，，如果三角形的面积为19平方厘米，那么三角形的面积是_________平方厘米。审题要点：和【例1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑应用模型一。解：S△ABC=(++)S△ABC+19∴专家点评：这是2004年小学数学奥林匹克A卷的，其实竞赛题不一定都是很难，尤其是平面几何部分，但他们十之八九都是很巧妙的，拿这道题来说，图形长得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我们是不是可以考虑构造模型一呢？整体看，，除了，其余三个我们可以直接用“鸟头定理”。鸟头定理也是本题的一个中心考点。\n【例3】（☆☆☆）四边形的对角线与交于点（如图）所示。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。审题要点：在本题中四边形ABCD为任意四边形，且出现S△ABD：S△BCD=1：3。联想模型二蝴蝶定理结论。详解过程：解法一：∴∴解法二：∵∴∴∴∴∴专家点评：本题是2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛的试题。在本题中，三角形和三角形的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是做垂直于H，于\n，面积比转化为高之比。再应用模型一的结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出AO=CO。【例4】：（☆☆☆☆）如下图所示，AE︰EC＝1︰2，CD︰DB＝1︰4，BF︰FA＝1︰3，三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是__________。审题要点：四边形AFHG的面积可以看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题。详解过程：以下各图为了强调相关部分，暂去掉另外线条。解：如下图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。如上图，我们设BFH＝x，则AFH＝3x；设AHE＝y，则CEH＝2y；于是有ABE＝4x+y＝ACF＝3y+3x＝有，则9x＝，所以x＝；\n如下图，我们设AEG＝a，则CEG＝2a；设CDG＝b，则BDG＝4b；于是有ACD＝3a+b＝BCE＝2a+5b＝有，则13a＝，所以a＝；这样，AFHG＝ABE－BFH－AEG＝－－＝。专家点评：求四边形，可由三角形的面积减去三角形的面积，再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形的面积可从三角形面积与底边的比例关系得到，于是问题转化为如何求及。与可由二元一次方程组分别解得。解法二：BH：HE=S△BFC：S△EFC=︰（×）=1︰2所以S△BFH=S△ABE×（×）=×（×）=同理：\nAG︰GD=S△ABE︰S△BDE=︰（×）=5︰8所以，S△AGE=S△ADC×（×）=×（×）=AG︰AD=5︰（5+8）=5︰13所以，S四边形AFHG＝S△ABE－S△BFH－S△AEG＝－－=专家点评：本题解法二应用的考点比较多，基本解题思路和解法一差不多，都是由S△FHG=S△ABE-S△BFH-S△AEG得出，而解法二首先应用蝴蝶定理，先求线段BH与HE的比例关系，再利用鸟头定理解出及，最后求出S四边形AFHG。比解法一略显简洁，而且计算上也比较方便。注意考点：鸟头定理和蝴蝶定理的应用【例5】（☆☆☆）设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、BD的中点，GC=FC。求阴影部分面积。审题要点：阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可解出面积。解：作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I根据相似三角形定理CG︰CF=CI︰CH=1︰3又∵CH=HB∴CI︰CB=1︰6即BI︰CB=（6-1）︰6=5︰6\nS△BGE=××=。专家点评：本题考查模型四，利用三角形相似的性质，求出三角形对应边的比例关系及长度，从而确定阴影部分的面积。【例6】（☆☆☆☆）ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿平方厘米。审题要点：题目中出现E、F分别为边的中点，可以考虑应用中位线定理。解：设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD。可得S△AED=S平行四边形ABCD对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，DO︰ED=BD︰BD=2︰3OE︰ED=（ED-OD）︰ED=（3-2）︰3=1︰3所以S△AE0=×S平行四边形ABCD=××72=6S△ADO=2×S△AEO=12。同理可得S△CFM=6，S△CDM=12。所以S△ABC-S△AEO-S△CFM=24于是阴影部分的面积=24+12+12=48专家点评：这道题是2000年小学数学奥林匹克竞赛A卷中的一道题。连接EF，BD，根据模型4以及三角形的中位线定理，判断出O，M分别是其所在线段的三等分点，由此求出S△AEO及S△CFM，最后得出阴影部分的面积。注意：本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质。【例7】（☆☆☆）如图，矩形ABCD被分成9个小矩形，其中5个小矩形的面积如图所示，矩形ABCD的面积为＿＿。\n审题要点：矩形被分割成9个小矩形，马上可以联想到矩形等积变形的两个重要结论。解：矩形PFMD中，矩形OHND的面积等于2×4÷3=8/3矩形ABCD中，矩形IBLH的面积等于（1+2）×（16+4）÷（8/3）=45/2所以矩形ABCD的面积=1+2+4+16+（8/3）+（45/2）=289/6专家点评：本题是南京市第三届兴趣杯的原题，难度不大，主要是考察对矩形等积变形两个重要结论之一：“过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：。”的应用。先求出矩形OHND的面积，再求出矩形IBLA的面积，而矩形ABCD的面积由矩形OHND和矩形IBLA以及题目中所给的其他4个已知矩形的面积和求得。读者可以自行通过求各边比例方法进行验证，进一步加深对定理的理解。【例8】（☆☆☆）如图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD=2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。审题要点：阴影部分的面积可以分解为两个三角形的面积之和，而E、F又是梯形两腰的中点，连接EF，对上下两个梯形分别应用蝴蝶定理。解法一：如图，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，连接EF，则EF=（a+2a）=a；\n所以AB︰EF=a︰a=2︰3，EF︰DC=a︰2a=3︰4；所以h1=×h=h；h2=×h=h；阴影部分=S△EFM+S△EFN=×a×h+×a×h=ah即ah=54，ah=140梯形ABCD的面积=×（1+2）ah=ah=×140=210（平方厘米）专家点评：阴影部分可以看为两个同底三角形的面积之和，根据梯形的面积公式，求出两个三角形的高和底，进一步求出梯形面积，思考方法很简单，但要注意计算的准确性。解法二：如图，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，连接EF，则EF=（a+2a）=a；所以AB︰EF=a︰a=2︰3，EF︰DC=a︰2a=3︰4；所以h1=×h=h；h1=×h=h；所以S△EFM︰S△EFN=h1︰h1=h︰h=7︰5根据梯形中的面积关系，得下图。因为9x︰9y=x︰y=7︰5且x+y=54÷9=6（平方厘米）所以x=6×=3.5（平方厘米），y=6-3.5=2.5（平方厘米）；所以梯形ABCD的面积=3.5×25+2.5×49=210（平方厘米）。\n专家点评：连接EF以后，我们也可以把它看成是两个梯形叠放在在一起，应用模型三梯形蝴蝶定理，可以确定各个小的三角形之中的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积。注意：应用梯形蝴蝶定理时注意比的运算。【例9】（☆☆☆）如图，在平行四边形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。求阴影面积与空白面积的比。审题要点：题目中阴影部分不规则，但是有边的倍比关系，BE=EC，CF=2FD可以考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系。解法：连接CG，CH，AC交BD于O，设S△BEG=a，根据燕尾定理S△BEG=S△EGC=S△ABG=S△AGCS△DHF=S△CFH=S△AHD=S△ACH又因为S△AGC=S△ACH所以S△BEG=3S△DHFS△AGO=S△CGO=S△ABGS△AOH=S△HOC=S△AHD所以S□ABCD=4S△ABO=4×（a+2a）=12a阴影面积：S△BEG+S△AGH+S△DFH=a+2.5a+0.5a=4a空白面积：12a-4a=8a所以阴影面积与空白面积的比4a︰8a=1︰2另解：设S△BEG=a，则S△ECG=S△GCO=S△AGO=a,S△ABG=2a;设S△HFD=b,则S△HFC=2b,\n设S△HCO=x,则S△AHO=S△HCO=x==专家点评：连接CG，CA，CH，构造模型五，应用燕尾定理，分别求出三个阴影三角形面积，再求出平行四边形ABCD的面积，用四边形面积减去三个阴影三角形面积即为空白面积。亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比。注意：本题考点：燕尾定理的应用。拓展训练：1、（宁波小学数学竞赛1999），如图所示，已知三角形中，，，，连结、BZ和，三条线段分别交于，，。若（面积是1平方米，那么阴影的面积是多少平方米？初级提示：连接AM2，BM3，CM1。深度点拨：设、的面积分别为，，，分别解出，，全解过程：连结，，。设、、的面积分别为，，，得所以有同理有\nAEB=+=+4==+=3+3=∴阴影部分面积为2、如图，四边形的面积是66平方米，，，，，求四边形的面积。初级提示：连接DB、AC，构造模型一。深度点拨：找出四边形ABCD与四边形EFGH的面积关系。全解过程：连接。设∵，∴，又∵，∴，同理，∴连接AC，同理∴，（平方米）。\n3、如图，在梯形ABCD中，AD︰BE=4︰3，BE︰EC=2︰3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是平方厘米。初级提示：应用模型一求出三角形ABD的面积深度点拨：求出三角形BCD的面积全解过程：AD︰BE︰EC=8︰6︰9，-=-=10，=10，=40。4、如图，在一个边长为6正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原长正形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为。初级提示：将小正方形的四个顶点分别与大正方形的四个顶点连接深度点拨：应用梯形蝴蝶定理求出空白部分面积全解过程：解法一：设任意一个梯形（如图），上底为a，下底为b，则阴影\n部分的面积可以表示为S1、S2、S3的和，而S3︰S4=S1︰S2=（S1+S3）︰（S2+S4）=a︰b，同理S1︰S3=S2︰S4=a︰b，所以：S1︰S2︰S3︰S4=a2︰ab︰ab︰b2，所以阴影部分的面积等于。连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，每个梯形中阴影部分的面积都占到了，所以阴影部分面积是两个正方形之间的面积的，阴影部分的面积为，解法二：取特殊值，使得两个正方形中心相重合，由上右图可知，A、B、C、D均为相邻两格点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为1.5，因此空白处的总面积为，阴影部分的面积是。5、如图所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面积分别是2、3、4，问四边形ADFE的面积是多少？初级提示：连接AF，构造模型一\n深度点拨：应用三角形面积之比等于底边之比求出三角形AFD和三角形AFE的面积全解过程：设S△AFD=a，S△AFE=b2a=3+b4b=3（2+a）a=b=S四边形ADFE=a+b=6、如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？初级提示：连接CD，构造模型一深度点拨：S△DCF=S△DCA=2S△FCE=S△BCF=S△DEC=S△DCB=1全解过程：解法一：S△DCF=S△DCA=2\nS△FCE=S△BCF=S△DEC=S△DCB=1S△DEF=S△DCF+S△FCE+S△DEC=解法二：本题还可以用共角定理“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。∵在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，∴又；∴同理可得：∴7.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG。初级提示：三角形AHB和三角形DHF相似深度点拨：作OE垂直AD，交AF于O全解过程：根据三角形相似的性质AB︰DF=AH︰HF=5︰3又因为E为AD中点OE︰DF=1︰2所以AB︰OE=10︰3AG︰GO=10︰3所以AG=AO=\n8.在边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，DF=2FC；求四边形ABGD的面积。初级提示：连接EF、BD深度点拨：应用梯形蝴蝶定理全解过程：等腰梯形四部分面积比为1︰3︰3︰9所以等腰梯形的面积=所以得9、如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。\n初级提示：构造梯形蝴蝶定理。深度点拨：S△AMG：S△AGB：S△MCG：S△GCB=1︰2︰2︰4全解过程：∵梯形AMCB中各个三角形面积比1︰2︰2︰4∴阴影面积占梯形面积（2+2）/（1+2+2+4）=∴本题还可有其他解法（如下）解法二：连结、，设与交于，。∵∴又∵∴==x∴∴得，又，所以，。∴。解法三：做则，，，连接\n∵∴又∵∴∴解法四：∵与等底等高∴∴作，设∴解法五：∵∴∴∵∴==∴+=+=10：（07年仁华学校试题）已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲︰S乙=1︰8，a与b是两个正方形的边长，求a︰b=？\n初级提示：连接EO，AF，应用燕尾定理。深度点拨：做OM⊥AE，ON⊥EF，全解过程：如图，根据燕尾定理：S△AOF︰S△AOE=b︰a（1），S△AOF︰S△FOE=a︰b（2）所以S△AOE︰S△FOE=a2︰b2作OM⊥AE，ON⊥EF，∵AE=EF，∴OM︰ON=a2︰b2∴S△AOD︰S△HOF=a3︰b3=1︰8∴a︰b=1︰2\n几何（二）曲线图形一、知识地图二、基础知识小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提。﹙1﹚组合图形的面积在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不规则的变为规则的，把不可求的变为可以求的，把不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问题中，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝，甚至可以说是全部小学奥数几何问题的思想精髓。\n在求解组合图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转化我们所熟知的图形。1、加减法把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问题的方法，称为加减法。2、割补法把要求的图形通过切割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。3、旋转平移法。图形的一部分通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则图形，这种方法称为旋转平移法。4、重叠法要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原理求得图形的面积，这种方法称为重叠法。5、比例法把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例法。﹙2﹚图形旋转的问题在这里，我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题。一般情况下，我们所能遇到的有以下两种问题：1、求图形一边扫过的面积在遇到这类问题时，我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积，再看这条边是以哪个点为圆心运动，首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求转动，旋转停止后，这条边旋转所得的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。2、求图形扫过的面积在求图形一边扫过的面积的基础之上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形，我们在旋转的图形一边停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他部分就可以很容易的找到整个图形扫过的部分。﹙3﹚几个特殊问题1、活动范围的问题让我们先来看看下面几个问题：A、假设茫茫的草原上有一个木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊能吃到的草的面积是多大？B、草场的主人因为业务发展，准备建羊圈，但是因为资金短缺，所以只先建了一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的面积是多大？C、羊圈建成了，羊在平时被栓在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊这个时候能吃到的草的面积是多大？你注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊所能吃到草的范围活动的半径也在跟着变化。那么，我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一类问题重要思想。另外，数学源自生活，通过想象生活中的情景，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错的方法。2、滚硬币的问题\n请你一起动手来做一做：把两个一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把另一个延着其周围滚动。当滚动回到硬币原来的位置时，想一想滚动的那个硬币它自己自转了多少周？注意观察，滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几倍，即是硬币自转了几周。这也是一切硬币滚动类问题的特点。常见的还有齿轮，滑轮等。经典回顾【例1】（☆☆☆）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分面积是多少？（π取3.14。）审题要点：整个图形由正方形和半圆组成。P为中点，则PD=PC，要求阴影部分的面积，可以考虑我们前面讲的几种方法。解法一：阴影面积=整个面积-空白面积=（正方形ABCD+半圆）—（三角形+梯形）=（10×10+π×5×5÷2）-[15×5÷2+（5+15）×5÷2]=51.75专家点评：阴影面积的“加减法”。因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形。解法二：S1=小正方形-圆=5×5-×π×5×5上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5+×π×5×5下面阴影面积=三角形QPF-S2=10×5÷2-（5×5-×π×5×5）所以阴影面积=（15×5÷2-5×5+×π×5×5）+（10×5÷2-5×5+×π×5×5）=51.75\n专家点评：面积的“加减法”和“切割法”综合运用，思路出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2、圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积。解法三：半叶形S1=圆-小正方形=×π×5×5-×5×5上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+×π×5×5-×5×5下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+×π×5×5-×5×5阴影面积=（10×5÷2+×π×5×5-×5×5）+（5×5÷2+×π×5×5-×5×5）=51.75专家点评：面积的“切割法”出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2.圆，这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形。这道题是迎春杯真题。【例2】（☆☆☆）如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？审题要点：要求两个三角形的面积之差，题目没有给出可以直接求出两个三角形面积的条件，那么我们只能考虑应用差不变原理。\n解法一：GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2阴影BCM面积-阴影MDE面积=（BCM面积+空白面积）-（MDE面积+空白面积）=三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=3。专家点评：加减思想的应用，小升初中的常用方法，而找出公共部分是本题的解题关键。公共部分要与两个三角形都可以构成规则可求的图形才可以。解法二：GC=7，GD=10知道CD=3；BC=4，DE=2知道BC︰DE=CM︰DM所以CM=2，MD=1。阴影面积差为：4×2÷2-1×2÷2=3专家点评：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM。这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得。另外本题还可以构造如下解法，如图：解法三：连接BD【例3】（☆☆☆）求右图中阴影部分的面积。（取3）审题要点：△ABC可以看出为等腰直角三角形。解法一：我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积和即可，其中①、②面积相等。易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知。单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下右图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10。两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为1/2×10×10=50，所以阴影部分的面积为150-50=100（平方厘米）。\n解法二：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。专家点评：本题考点旋转平移法。图形通过旋转，得到阴影部分的面积=半圆的面积-等腰直角三角形的面积。【例4】（☆☆☆）如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。求阴影部分的面积。审题要点：题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓形的面积之差。解法：设J为弧GI的中点，则可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，所以，三角形GOI的面积=所以大弓形的面积：SGJI小弓形的面积：SFJE所以，总阴影面积=（138-64.125）×3=221.625（平方厘米）专家点评：本题难度在于判断四边形GJIO为菱形，圆中等长的弧所对的弦也是相等的，所以三角形GOJ为正三角形，其实三个阴影部分选择哪一个作为解题的模型都可以。基本上还是加减思想的应用。总阴影面积=每块阴影面积×3=（大弓形－小弓形）×3关键在于大弓形中三角形的面积。总结：本题考点加减法。【例5】（☆☆☆）如图，ABCD是一个长为4，宽为3。对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积。（取3）审题要点：要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形。分析：1、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段\n长度为半径的圆的，如右图：因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米，BC边扫过图形的面积为平方厘米。2、研究AB边的情况。在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：下面来求这部分的面积。观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA,面积+三角形ABC面积-三角形ABC面积-扇形BCB,面积+三角形A,B,C,面积＝扇形ACA,面积一扇形BCB,面积；3、研究AD边扫过的图形。由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示：用与前面同样的方法可以求出面积为：\n专家点评：本题是祖冲之杯竞赛的一道试题。旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的。先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚。最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就“藏”在那儿，一定会有。我们可以作进一步的思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的。【例6】（☆☆☆）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。审题要点：阴影部分可以看作一个整体，那么大圆由四个阴影部分组成。解法：把阴影看作一个特殊图形，而大圆的面积恰好是4个这种特殊图形所以阴影面积︰大圆面积=1︰4设小圆半径为x，则大圆半径为2x阴影周长=小圆周长+小圆周长+小圆周长+大圆周长=小圆周长+大圆周长=×2x+×2×2x=x大圆周长=2×2x=4x所以周长之比=x︰4x=7︰8专家点评：应用图形比例关系求解图形，也是整体考虑问题思想的典型代表。【例7】（☆☆☆）如图，半圆半径=40CM，BM=CN=DP=22，每个阴影部分的弧长为半圆弧长的，求阴影部分面积？（=3）\n审题要点：图中上半部分的三个阴影图形并非真正的扇形，所以不能用扇形面积公式来解，只能应用加减法，把图形分解。那么每个阴影部分面积等于1/3半圆面积减去一大一小两个相似三角形面积。解法：∵△ABO为等边三角形又∵∠AMB=120度∴∠MAE=30度∴∠BAM=30度∴△BMA为等腰三角形即根据正三角形性质得BM=2EM∴BE=22+11=33（cm）阴影部分面积=3×（×40×40-×20×33-×20×11）=3×（800-330-110）=3×360=1080（平方厘米）专家点评：应用加减法，把图形化为我门常用的图形来解题是这道题的关键所在。另一个难点是如何求出三角形的高，其实M，N，P分别是它们所在正三角形的中心。中心将其所在线段分为两部分的比为1︰2，知道这一性质，便可应用面积公式求出阴影面积。【例8】（☆☆☆）如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为42.5平方米现在要绿化哨所所在地（哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地）为了防止狼狗践踏，则绿化的实际面积为多大合适？（=3）\n审题要点：首先确定两条狼狗的活动范围，利用加减法把活动范围为一个菱形+两个半圆，两个半圆即一个整圆。实际绿化面积=大圆面积-（菱形+小圆面积+2×哨所面积）解法：可以看出菱形面积为2倍的哨所面积，菱形面积=2×42.5=85实际绿化面积=×20×20-（85+×10×10+2×42.5）=1200-（85+300+85）=1200-470=730（平方米）专家点评：本题属于活动范围题，注意确定狼狗的活动范围为两个5/6圆减去其重合部分，即一个菱形+一个圆，另外哨台也是未绿化部分，注意以上两点本题就不难求解。【例9】（☆☆☆☆）如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置。问：这枚硬币自身转动了多少圈？审题要点：注意硬币滚动时圆心的轨迹。解法一：当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180º-60º-60º=60º。而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120º。当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360º-60º-60º-90º=150º。而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300º。\n长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边。120×8+300×4=2160，所以这枚硬币转动了2160º，即自身转动了6圈。解法二：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2即滚动了一周。对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在“角”上的转动，一是在“边”上的滚动。抓住关键方法：圆心轨迹长度÷2=自身转动圈数。专家点评：此题来源于小学数学ABC。圆运动的轨迹分两种，一种所谓的“跨圆”运动；另一种所谓的“绕圆”运动。掌握“跨圆”运动一次30+60+30=120度；“绕圆”一次180度。角上4次“绕圆”，边上12次“跨圆”，这样结果便一目了然。拓展训练1、如图，四边形是平行四边形，，，，高CH=4cm,、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，阴影部分面积是多少平方厘米？初级提示：深度点拨：=10×4=40()全解过程：=-=(2-)-(-2)2、下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；请计算图中两个阴影图形的面积比。\n初级提示：左图阴影可用加减法即正方形面积减去4个边上的三角形面积。深度点拨：右图阴影面积可先看小正方形里的阴影面积为2个小三角形面积之和，而每个小三角形面积恰好是它所在直角三角形面积的三分之二，只要求出直角三角形面积，阴影面积便不难求出了，直角三角形面积为大正方形面积的十六分之一。全解过程：左图阴影面积=正方形面积-4个等腰三角形面积=1×1-4×××1=1-=右图阴影面积=8个小三角形面积=8×（×××）=8×=所以左：右=：=3：23、（2004第二届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛3），如图，在平行四边形中，已知三角形、的面积分别是73、100，求三角形的面积。初级提示：+=深度点拨：全解过程：4、下图中除大圆外，所有的弧线都是半圆，且\n，图中有上、下两块阴影区域，如果上面的阴影区域面积为100平方厘米，那么下面的阴影域面积为________平方厘米。初级提示：分析题意本题用割补法。深度点拨：阴影面积可分为四部分，分别求之。全解过程：设AB=1，则AC=3，AD=6，AE=10，DE=4，CE=7，BE=9。上块阴影面积=（S半圆AE-S半圆AD）+S半圆DE=（1/2×25-1/2×9）+1/2×4=8+2=10下块阴影面积=（S半圆AC-S半圆AB）+（S半圆BE-S半圆CE）=（1/2×9/4-1/2×1/4）+（1/2×81/4-1/2×49/4）=+4=5因为上块阴影面积=100所以下块阴影面积=505．如图，∠1=15°，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分面积？初级提示：连接AO，AB，作BC的垂线AD交BC于D深度点拨：S△ABC=S△ABE全解过程：则∠ACO=∠OAC=15°∴∠ACO=150°,∠AOB=30°∴=102×3.14×==5\n所以阴影部分面积=50-（-25）=（平方厘米）6、五环图由内径为4cm，外径为5cm的5个圆环组成，其中阴影部分的面积都相等。已知5个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。求每个阴影部分的面积。初级提示：注意重叠部分。深度点拨：五个圆环总面积-五环面积=阴影面积全解过程：5×（5×5-4×4）=45=141.3141.3-122.5=18.818.8÷5=2.357、（04年华罗庚金杯数学邀请赛）如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（取3）初级提示：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成，即两半圆加扇形环。深度点拨：扇形面积可由半径为4+2、圆心角为90度的大扇形减去半径为4、圆心角为90度的小扇形。全解过程：第一部分是半径为6厘米、中心角为90度的扇形减去半径为4厘米、中心角为90度的扇形，面积为；第二部分是半径为1厘米的2个半圆，总面积是3。所以扫过的面积为15+3=18平方厘米。\n8、有一个边长分别为4cm的等边三角形木块。现将三角板沿水平线翻滚，如下图，那么从B点开始到结束所经过的总长度为多少？初级提示：三角形为等边三角形。深度点拨：在翻滚过程中，B划过了两条圆弧，每段圆弧的圆心角大小都为120°。全解过程：（120°+120°）360°=2×4×=（cm）9、如下图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60，此时BC长5厘米。以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120，点A，C分别到达点E，D的位置。求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积。（取3）初级提示：如右下图所示，本图为扇形和三角形的组合图形。深度提示：将图形I移补到图形II的位置，则阴影部分为一圆环的。全解过程：面积为（AB一BC）÷3=（10一5）÷3=75×3÷3=75（平方厘米）。10、如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米。圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）。在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的。那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为3.14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位。如有多种答案请全部写出）\n初级提示：两线段垂点附近，圆不能到达（隐含的在题中的已知条件），即有四分之一的圆未接触线段，圆滚动的实际距离只有圆周长的四分之三或四分之七，利用圆周长公式算出半径。深度点拨：因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的。所以这个圆的运动情况有两种可能。全解过程：一种是圆滚动了不足一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270º。另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270º+360º=630º。因为两条线段共长30厘米，所以270º的弧长或者630º的弧长是30厘米。30÷÷3.14÷2=6.37（厘米），30÷÷3.14÷2=2.73（厘米），所以圆的半径是6.37厘米或2.73厘米。两线段垂点附近，圆不能到达，即有四分之一的圆未接触线段，圆滚动的实际距离只有圆周长的四分之三或四分之七，利用圆周长公式算出半径。\n几何（三）立体图形一、知识地图二、基础知识万丈高楼平地起。我们可以这样说：把平面图形从平面拎到空间，让平面图形在空间上产生高度就形成了这一讲我们要研究的立体图形。在现阶段，我们主要研究的立体图形有以下几种：立体图形表面积体积注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长。\n特别的：关于球体还有这样一个结论：如果一个球体的直径与一个圆柱的直径与高都相等，那么：球体的体积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱体积的三分之二；球体的表面积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱的侧面积；球体的体积还等于以球大圆为底，球的半径为高的圆锥的体积的4倍。这个图就是有名的阿基米德圆柱容球。二、求立体图形的表面积和体积规则立体图形的表面积和体积我们可以直接应用公式进行计算。不规则的立体图形的表面积和体积，一方面，我们可以应用和平面图形相同思考的方法来考虑把它转化为规则的立体图形进行计算；而另一方面，我们更注重的是观察图形从规则变为不规则的变化过程，通常这个过程我们需要以图形整体考虑为出发点。这也就是我们求解此类问题常用方法的思想基础：、方法一：阳光照面阳光照面法从图形整体考虑出发，观察图形表面积特点。方法二：与时俱进图形的变化，是从整体的变到不变的过程，找到变化的规律，注意图形的变化过程，观察求解，与时俱进，就是解决问题的秘籍宝典。方法三：面包切片我们都有这样的经验：一个大的桃李早餐面包，从上向下切一刀，横截面是一个正方形。如果是奶黄夹心面包，则横截面是一个环正方形。同样道理，解题过程中你可以想象，把图形切开，横截面的特点可以帮助我们了解图形内部结构，达到解题的目的。方法四：借来还去这里的借来还去可以说是平面几何加减思想的一种变形。可以这样解释，把一部分借来与原来的组成一个规则可以求得图形，再把借来的部分从规则中拿去。借来还去的思想在解决求解不规则立体图形的表面积和体积的问题中经常可以用到。例如：三、最短路线和展开图的形状\n立体图形的展开图形状总结如下：对于不规则的立体图形的展开图就要充分发挥我们的想象，用“脱衣服”方法，层层剥离展开。在解决这类问题的时候，要注意培养自己的空间想象能力，必要时可以借用纸片等辅助工具帮助想想理解。例如：和立体图形的展开图结合最为紧密的是图形侧面的最短路线问题。你需要把握的重要一点是：两点之间永远直线线段最短。四、染色问题﹙1﹚奥数的经典问题，重要的是掌握几个关于染色问题的数据，其余的问题需要具体问题具体分析，把握好什么地方染到了颜色，什么地方没有染到颜色是解决此类问题的关键。对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。例如：右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；一面涂红的表面中间部分：（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块。没涂红色的小方块有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24块。三面——顶点二面——棱一面——面0面——芯一句话：“角三棱二面唯一。”﹙2﹚欧拉公式\n严格的说，欧拉公式和我们这里所讲的染色问题关系不是很密切。但这个公式却是和多面体密切相关的完美公式。首先请同学们观察下面的几个图形的顶点数，面数和棱数之间的关系：顶点V面F棱EV-E+F=2正四面体4462正六面体86122正八面体68122正十二面体2012302正二十面体1220302通过观察，我们发现了多面体的顶点数，面数，棱数之间存在着如下的关系：V+F-E=2那么这个公式也就给我们提供了一种解决染色或者多面体问题的思考方法——分类思考由欧拉公式，我们可以很自然的想到，在解决如上问题的时候，我们思考问题可以从立体图形的顶点数，面数和棱数的角度出发，分类思考。经典透析：【例1】（☆☆☆）一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态。右图中剩下的小正方体有多少个？解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由侧面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5=20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+2×1+2×2=8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1×3+2×2=7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+1×1+2×2=7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个。根据容斥原理，25+25+20-8-7-7+4=52，所以共抽出了52个小正方体。125-52=73，所以上图中剩下的小正方体有73个。注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事。但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”。这里，化虚为实的思想方法很重要。解法二：（用“切片法”来解）可以从上到下切五层，得：（1）从上到下五层，如图：\n（1）或者从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向。比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第（1）步，把中间这些位置的四块挖走如图：第（2）步，把从右向左的两块成线地挖走。（请注意挖通的效果就是成线挖去），如图：第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块！）挖成线！如图：总结一下“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样）挖块成线（例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖）。这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【例2】（☆☆☆）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。审题要点：大正方形减去右边图形就是我们要求的体积。\n解法：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8。内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16。总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）。计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可。挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24。所求几何体体积为：10×10×10-（256+24）=668.64（立方厘米）。专家点评：打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面。这道题是人大附中分班考试题目。总结：本题考点不规则图形的表面积及体积。【例3】（☆☆☆）一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm。酒瓶的容积是多少？审题要点：观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变。解法：酒的体积：15π×（10/2）×（10/2）=375π瓶中剩余空间的体积（30-25）π×（10/2）×（10/2）=125π酒瓶容积：375π+125π=500π=1500（ml）专家点评：当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积。注意：本题考点立体图形的等积变形。【例4】（☆☆☆☆）如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线AC，BD相交0.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？审题要点：以CD为轴确定阴影部分旋转后的形状。\n解法：设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，V等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即：（立方厘米），专家点评：这个立体图形可看为两个圆锥削掉上半部然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。可以考虑多种方法，比如应用容斥原理或者加减的思想都是不错的选择。。总结：本题考点平面图形旋转为立体图形的体积问题。【例5】（☆☆☆）左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。审题要点：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。解法：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。　　（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：　　顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图\n专家点评：对照立体图形展开图上，线的位置，取点确定。总结：本题考点展开图的形状。【例6】（☆☆☆☆）一个3×3×3的正方体。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？审题要点：涂色与图形结合，首先确定染色范围。解法：一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）。因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格。其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）。因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格。最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）。所以，红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）。专家点评：注意，单面最多只能为五个，与其对称的面也可为五个，与其相邻的面最多为四个，相邻面的对称面也为四个，剩下的两个对称面每面最多为2个，总计22个。【例7】（☆☆☆☆）将一个棱长为整数的（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体。在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一面涂红色的有____块。原来长方体的体积是____立方分米。审题要点：芯是本题的关键从芯入手。解法：12被3个整数整拆只有4种情况1×1×121×2×61×3×42×2×3两面涂红的有28块，因为正方体长，宽，高都有4条，所以长宽高之和为284=7符合条件的只有2+2+3=7所以芯为2×2×3的长方体一面涂红的为（2×2+2×3+2×3）×2=32（个）原体积（2+2）×（3+2）×（2+2）=80（立方分米）专家点评：无色必为芯，根据已知12个芯，确定芯的大小，应用“角三，棱二，面唯一”计算出三面、二面、一面的数量。原体积为芯的长宽高各加2再相乘。这道题是第八届小学生数学报数学竞赛决赛的题。注意：染不到颜色的地方只能在里面哦！【例8】（☆☆☆）如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？审题要点：整体观察发挥想象。\n解法：本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么十一个，这是不能再少的。第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块，第三步，再根据侧视图，说明另一侧至少要加上一块，最后，注意“最少”，把“躲”在后面的去掉，即成如图所示。当然，这里的形状不唯一。专家点评：以俯视图为标准，三行当中，中间行至少有2块，上行至少6块，下行至少10块,此时才能满足正视图和侧视图。注意：本题考点切片法。【例9】（☆☆☆）现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽各为1cm，高为2cm的长方体，三个长宽各为1cm，高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。审题要点：用阳光照面的方法展开图形。　　解法：立体图形的形状如下图所示。（此题十分经典）　　从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；　　从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；　　从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；\n　　隐藏着的面积有2cm2。一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。专家点评：画法可先横后竖。表面积可根据上、下、左、右、前、后分别求，最后再作和。注意：本题考点是不规则立体图型表面积和空间想象力。真题实战1、（2004，第二届走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛）将NNN（N是正整数）正方体的一些面涂上颜色以后，再将它切割成111的小正方体。已知至少有一面涂色的小正方体恰好占总数的52%，N是多少？初级提示：一个正整数×52%=另一个正整数，那么这个正整数必须能被25整除。深度点拨：那么N必须能被5整除。全解过程：当N取最小N=5正方体有5×5×5=125个小正方体涂色的小正方体5×5×5×52%=65（个）不可能被涂色的小正方体3×3×3=27（个）27+65小于125成立当N=2×5=10时，正方体有10×10×10=1000个小正方体涂色的小正方体10×10×10×52%=520（个）不可能被涂色的小正方体8×8×8=512（个）512+520大于1000不成立同理N大于10都不成立所以N=52、小红的生日舞会，做了一顶圆锥形帽子，要将帽子涂成红色和蓝色，O点为顶点，BC为底面圆直径30cm，A点是OB的下三分之一处，OB=30cm，从A点出发，CA之间最短的距离之上涂成红色，下边涂成蓝色。那么小红的帽子有多大地方涂的是蓝色？（=3）初级提示：底面周长为圆锥展开后扇形的弧长深度点拨：蓝色面积=圆锥侧面积-红色面积全解过程：底面周长=30×=30×3=90侧面展开后扇形所在圆的周长=2××30=180所以侧面展开图为半圆\n蓝色面积=×30×30×-×（20+20）×30=1350-600=750（平方厘米）3、一个正方形纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大？（=3.14）初级提示：设纸盒棱长为深度点拨：圆柱体积=全解过程：整理上边式子得即为纸盒容积。4、图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积？初级提示：用透视法观察上、下两个面的面积相等深度点拨：4个侧面的每个侧面面积为6个小正方形面积全解过程：底面棱长5×3=15上、下两个面的面积=15×15×2=4504个侧面面积=4×6×5×5=600总面积=450+600=1050（平方厘米）5、圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口。问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？初级提示：窗口上下的弧长为底面圆周长的六分之一深度点拨：窗口的高为圆柱的高的二分之一全解过程：挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的×=6、（北京市第十二届迎春杯）\n一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个木块剩下部分的表面积最少是多少？初级提示：截去一个小正方体，表面积不变。深度点拨：只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少。全解过程：所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体（如图所示），这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多。剩下部分的表面积最小是：15×15×6-7×7×2=1252。想想为什么不是15×15×6-7×7-8×8？7、如下图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？初级提示：我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积。深度点拨：现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9刀，而原正方体一个面的面积1×1=1（平方米），所以表面积增加了9×2×1=18（平方米）。原来正方体的表面积为6×1=6（平方米）。全解过程：所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）。8、下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？初级提示：俯视图发现上表面积就是大正方体的一个面的面积深度点拨：表面积为大正方体表面积加上3个小正方体的侧面积全解过程：2×2×6+1×1×4+××4+××4=24+4+1+=29.25（平方厘米）9、（2006年香港数学奥林匹克竞赛）如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。立体图形的体积（　　　　）立方厘米。(A)2（B）2.5（C）3（D）3.5\n初级提示：首先确定此图形为“不完整的圆柱”，先求出圆柱体积，再求出缺失的半个小圆柱，最后作差。深度点拨：如图，从给定的正视图、左视图和俯视图可以看出，该立体图形由一个半径为1厘米、高为1厘米的圆柱和一个半径为1厘米、高为2厘米的半圆柱组成。。全解过程：×1×1×（1+2）-×1×1×2=2这里的要点在于还原，还原的技巧在于先补全，再细雕刻10、把一个棱长为2CM正方体在同一平面的边的中点用线段连接起来，如图。然后把正方体顶点上的三角锥锯掉，请问最后所得的立体图形的表面积的多少平方厘米？（1.732×1.732=3）初级提示：所得立体图形表面为6个正方形和8个等边三角形深度点拨：勾股定理等边三角形的高的平方=底边的平方-半个底边的平方=底边的平方\n全解过程：6个正方形面积=6×（1×1+1×1）=6×2=12等边三角形的高的平方=×2=等边三角形的高的平方×底边的平方=×2=3所以等边三角形的高×底边=1.732，等边三角形的面积=1/2×1.732=0.866立体图形的表面积=12+8×0.866=18.928