小升初数学解题串讲 9页

小升初热点专题天天串讲（第1天）小升初考试中最热的专题是什么?我学过做过,怎么它变了马甲我就不认得它了?我认得它,如何抓住它?有没有套路?思考问题的套路?为什么我会这样思考？小升初的同学经常有这样的休I惑吧?家长在对辅导孩子的时候，这些问题想清楚了吗？我开了一个专栏，希望帮助大家解决上而的一些问题!同时希望大家尽管扔我鸡蛋，当然不拒绝鲜花！呵呵。在《小升初热点专题天天串讲》中，将从以下三个模块來解读相应专题。一、经典真题二、专题点评三、巩固练习第一天一次同余式的逐级满足法【真题】三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是。（题说：2008年2月23日“奥数网杯”综合测试数学部分第3题）答案：483【点评】这个专题古老而常新。可是有人可能会觉得没有见过这一类的题。其实，我们碰到的任何一道小升初的奥数难题，一定在小学奥数的十七块知识体系之内。命题者（我们大家的“敌人”，也是朋友），往往要把知识点进行包装得让人“不识庐山真面目”，我们的任务则是：通过类比联想，等价转化为自己掌握的知识点。联想要有联结点，要找到他的蛛丝马迹，然后逐步扩大战果！本题可以看出的明显的数量关系是有三个己知的除数出现了。于是，联想一下，是否出现了常见的下面三种类型的题：1、同余减余型2、同补加补型3、不按牌理型具体來说：例1：（同余减余型）有一个数，除以4余2,除以7余2,除以9余2。这个数最小是儿？解答：N-2=[4,7,9]N-2=252N=254点评：这里如果需要分析，请看：因为4|N-2；7|N-2；\n9|N-2o所以,[4,7,9]|N・2要注意一点：N-2=[4,7,9]n当求N・2的最小值时,N-2=[4,7,9]例2：（同补加补型）有一个数，除以4余2,除以7余5,除以9余7。这个数最小是几？解答：N+2=[4,7,9]N+2=252N=250例3：（不按牌理型）有一个数，除以4余2,除以7余1,能被9整除。这个数最小是几？本题马上再解，先看一下与今年的真题有什么联系？这里，在思考问题时有一个回路。好像是先知道结果了，才问是否相同。在竞赛过程中，谁来告诉我？或者说，我怎么会想到这一步的？再强调一下，有两点线索可以帮我们往这儿走，其一：三个已知除数4、7、9；其二：被除数好橡不止一个，而在我的知识储备库里好像只有同一个数被不同的数去除的类型。发现矛盾，就已经开始解决矛盾了。“转化思想”，派上用场。设其中一个数为N,不如设三者中最大的数为N.这次來硬的，一定用统一的数N來除以各数，从而会一一转化为如例3这道题。对于这道题，最一般的解法（不动脑筋的想法，或者说是套路）是一一逐级满足法。解答：满足条件一“除以4余2”的数，最小的一个是几？是2.再根据2看是否满足条件二“除以7余1”，显然不是。如何调整？这就要跟条件一屮的除数4协商：“能不能调整一下，无法变小，搞大一点？”小4有点不乐意：“可以是可以，但……，变大了我去除它还要能余2”老7强调：“当然当然，2以外所增加的部分，是你的倍数！”小4想了足足1秒，点点了头：“0K!”于是有：2+4m=7n+l.解不定方程，得m最小的一组值为m=5,n=3.（注：明天讲关于不定方程的“除余耍赖法”，将欣赏到这里得到不定方程的解是如何轻松与优美，包括一种漂亮转身的步伐！）于是，小4与老7握手——第一次合作成功，有一个数22（=2+4X5）冉冉从天而降。老9坐不住了，嘟曦着：“怎么着，它是我的倍数啊？22是吗？我也要它变大可以吗？”问小4,问老7,都没意见，但搁一句话：“可得保护咱的权利：咱们对应的余数不能变！”好，22打底，增加的数，既是4的倍数，也是7的倍数一一即4和7的公倍数（注意不是最小公倍数，是公倍数）。得：\n22+[4,7]a=9b解得：a=5b=18,（其实a与b只要知道其中一个,即可）4、7、9三人同声大叫：“耶！”并摆了一个poss.于是，从天再降一个数162（=22+28X5）.（4、7、9三位是人吗？不是。不是人吗？怎么这么通人性？是我们的朋友。）本题没完！咱说的是“奥数网杯”的竞赛题没完。162+161+160=483.小结一下：如果有三个条件，逐一满足：要点一在于增加的部分是前而儿个条件屮除数的倍数，（是两个以上的条件，则是它们的公倍数）。要点二在于列出不定方程并求解。拓展:如果有类似的四个条件，应该怎么办？补充：本题，王伟老师有妙招：第一步：满足被4整除的三个连续的数有：4,5,6.第二步：第二个数被7不能整除，所以5要增加。所以5要增加的数模7余2,同时是4的倍数。于是有4m=7n+2,m=4,所以大家都增加16（=4X4）,现在的三个连续的数是:4,5,6各加16,得20,21,22.第三步：现在要让22增加一个数后，是9的倍数。（要加大家一起加）于是增加的数模9余5[4,7]a=9b+5.a二5.所以大家要一起增加140（=28X5）于是,三个连续的自然数:160,161,162,出来。第四步：总和是483.【作业】1、一个数被5除余3,被7除余5,被8除余6,这个数最小是多少？2、今有物不知多少，三三数Z余一，五五数Z余四，七七数Z余三。该物至少多少？3、一-堆零件，取走3个，可以用五个一盒的包装盒正好装完；取走2个，可以用7个一盒的包装盒正好包装完；如果不取，用11个一盒的包装盒也正好包装完。这堆零件至少多少个？小升初热点专题天天串讲（第二天）不定方程的“除余耍赖法”【真题】2+4m=7n+l.（题说：这是昨天解题过程中，需要解决的问题）\n答案：m=5,n=3.(最小值)【点评】今天重点讨论计算问题。即在出现二元一次的方程后，我们如何快速地求解。不定方程，是由联立方程的个数少于未知数的个数时，出现的，也叫做“丢番图方程“。3世纪希腊数学家亚历山大城的丢帝图曾对这些方程进行研究。丢希图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。对于不定方程，严格说来，它有无数组解。但我们现在讨论的是求其整数解的情况。这就限定了范围。这样，我们的印象中，就从无数多解缩小到一定范围内。根据题目情境，对每组解进行验证。更多情况下，不定方程会结合最值问题，求其中最大(最小)的一组解。解不定方程的原则：试值。试值的要点：有序。试值的技巧：逐个试值法：认准大系数；跳着试值法：除余耍赖法；我们今天讨论的重点是如何用“除余耍赖法”，实现跳着试值，快速出结果。除余耍赖法的原理是方程的左右两边除以同一个数，余数相同。【解答】2+4m=7n+l解一：mod4(左右两边都除以4).左边三2(mod4)右边应该余2,所以7n三1(mod4)因为7=3,所以只要试一下n取多少吋，3n=l(mod4).现在所试的数字较小，再简单思考一下，3X3三1(mod4)所以n三3(mod4).【!!!】特别重要的地方，请注意n不只等于3,n=4a+3.所以在取最小值的时候，n=3.而作为不定方程的解，可以在其他条件的毗合下，在一定范围内取多组值。(在目前这个等式中，可以看ilia取0、1、2、3、……，所以也有无数多组整数解)拓展：请注意上题中的不定方程是开放的不定方程。另有一类形如：3m+2n=70这一类方程的整数解就有限了。解二：mod72+4m=7n+l右边三1,所以左边三1,所以4m三6所以m三5(mod7)请注意,m=7b+5,b=0>1、2^3、4m的最小值为5.总结：为什么叫除余耍赖法，是因为你不答应他不行。左右同模时，余数一定要相同。另外，每一部分而言，你必须符合已有余数的结论，不答应也不行。比如说：解二中当右边余1,左边就要余1,如果已有余数2,那么所要加的部分4m必须模7余6,以达到余8也就是余1的结果。而现在问题是4三4(mod7)，所以m三5才行。这样4X5=6(mod7)om不等于5,就有人耍赖，就出问题。呵呵。\n【作业】1、4+15a=7b+3,a与b的和最小是多少？2、有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要3（）天完成，丙单独做需要48天完成。现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天。那么丙休息了天。（07年十一学校考题）3、4x+7y=72写岀x,y的所有整数解。余数运算【真题】电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知A比B的速度快50%,根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距58厘米，这条轨道长厘米。（题说:2008年2月23日“奥数网杯”综合测试数学部分第3题）答案：145【点评】本题考点结合两方而，行程与数论结合，具体来说是行程屮的多次相遇与数论屮的余数问题的结合.一般而言,两个专题结合后的难度就成指数级增长.这道题错误率很高.今天，重点是余数问题多次相遇的数量关系模型简单交代一下.对于线段型的多次相遇，大家一定熟悉第N次相遇，两者共行单程数为2N・1倍单程的规律。我要强调这个倍数的实际意义在于它应理解为一个吋间比：共行2N・1个单程所用时间是共行一个单程所用时间的2N・1倍。这很简单，但是一个理解的桥梁，根据这个结论可以直接得到：单个的A所行路程的比（用了一个正比例关系：A的速度一定，所行路程与所用时间成正比）：“此吋A所行的路程是在共行一个单程吋A的行程的2N-1倍。”具体到本题，可以先求出A在共行一个单程时与乙的路程之比：（由两者的速度比决定）（1+50%）：1=3：2多次相遇问题中出现两个时刻的相遇点的类型，解决的要点是精确定位。要定位，这里就有周期性问题。解决周期性问题的要点在于余数（有吋跟商有关）求余数，一种方法是硬算。（有时结合找规律）另一类方法是余数运算。【解答】A、B两车速度比为（1+50%）：1=3：2第次相遇点的位置在：3X（2X-1）=5（modlO）；第次相遇点的位置在：3X（2X-1）=3（modlO）；所以这条轨道长584-（5-3）X5=145（厘米）对于上述解答，要强调一点，为什么除以10?（“modlO”指以10为除数，读作模10）这是本题数量关系的要点所在，很多同学在这里错在周期没有搞清楚，以为周期是5,其实不是，周期应该理解为10是完整的周期，按照周期是5算的话，还要考虑商的奇偶性从而才能确定是从甲到乙方向上的，还是从乙到甲方向上的余数，而本题很难求簡。实质上，应该把A从原地出发又回到原地(一个來回正好是10份路程)，看作一个周期，\n把这个周期内的各个点作一个标注，如图。求得的结果位置如图：现在的问题在于，我如何算出这两个余数，为什么可以这样算？补充余数问题的“四大同余定理”：前三条可以归为一类：1、如果M=rl,N=r2.(niodA)那么：(1)M+N=rl+r2(modA；(2)M-N=rl-r2；(3)M・N三rl・r2；第四条可以由第二条推导：2、如果M=N(modA)那么A|M-N.这一条在很多地方有应用。【！！！】强调一下，如果注意一下“三”在这里的“效果”，与”i有一种对应，那么，模A的余数在进行加减乘的运算后，一定“二”原来的运算结合模A的余数。这种等于关系，用”三“来连接而己。比如说：2+35X62-29=1(mod4)这里的余数为什么等于1?如图：(我把三竖着写了，以助理解)那么为什么？3X(2X-1)=5(modlO)；看下图：那么为什么72007三3(modlO)?这里用小学奥数的方法就是找规律，7n的个位数字规律(也就是7n模10)为：7、9、3、1。如果再拓展一下，如果要求72007三(mod8)怎么算呢？注意到72=1(mod8)了吗？贝I」有72X72X72X……72X7=1X1X1X1X7=7(mod8).【总结】今天主要讲两方面，重点讲同余运算，补充同余四大定理。\n要点：余数运算对应于加减乘的运算。数学美感：以小御大，用余数来替原数进行运算。【作业】(mod7)1、20072007X20082008X20092009的个位数是2、(23+145)X20072007X20082008X20092009=3、用“同余四大定理”第二条，推导：如果M三N(modA)那么A|M-N.平面几何【真题】己知ABCD是平行四边形，BC:CE二3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米。则梯形ABCO的面积是平方厘米。(题说：2008年2月23日〃奥数网杯〃数学部分第五题)答案：21【点评】就平面几何来说，求阴影部分类型的题如何打开思路？无外乎两种思维模式：加法思维与减法思维。加法思维：S二Sl+S2+・・・+Sn.减法思维：S二S总-S空另外，对于添加辅助线，请注意不是灵感一现，也是聪明人的专利，而是有迹可寻的：(1)在哪里多一条线段，可以得出我们熟悉的模型？就可以用上已知的条件？(2)在哪里多一条线段，只要它出现〃不良四边形"，一般就在"不良四边形〃的内部整一条线段！添加辅助线的目的与原则是实现转化，建立与已学过的熟悉的几何模型之间的关联！从知识点来看，本题调用了相似三角形的相似比、蝶形定理、平行四边形与三角形等底等高模型等知识点。【解答】因为AAOD与AEOC相似，BC:CE二3:2,所以0D:003:2,所以SACOE=SAADOX=6X=4连接AC,SAA0C=6.\nSAABC:SAACE=3:2.SAACE=6+4=10需要强调的是，用比和比例的知识解题非常重要，它更多地依赖于相似三角形的相似比,而在小学阶段，相似三角形有一非常明显的背景，就是图中至少会岀现一组平行线。无独有偶，在3月2日的QHF的考试后，学生问我的一道题，只要按照上面的思维方法,就可以轻松作答。我们在这里当作作业，大家不妨一做。【作业】1、己知长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE二2ED.则阴影部分的面积为？ED2、如图，正方形ABCD的边长为1,E、F分别是BC、DC的中点，求四边形MEC7的面积为多少？F3、如图，长方形ABCD中，E为AD中点,AF与BE、BD分别交于G、II,已知AH=5cm,HF二3cm,\n求AG.