小升初奥数讲义 98页

★小学六年级奥数的基本分类★一、工程问题★跟知识握握手1、顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。2、在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：　　工作总量=工作效率×工作时间，　　工作时间=工作总量÷工作效率，　　工作效率=工作总量÷工作时间。【工作总量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工作量，常用分数表示。例如工程的一半表示成..............工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。】★小试牛刀1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？98\n7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？★二．鸡兔同笼问题★跟知识握握手1、基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。2、基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。3、基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）4、关键问题：找出总量的差与单位量的差。5、解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。【概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是】：鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔数＝鸡兔总数－鸡数★小试牛刀1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，问鸡、兔各多少只？2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各多少只？3、每一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数计算，每只2角，如有破损，破损的不给运费，还要每只赔偿1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？98\n4、六年级甲班有50个同学向汶川灾区捐款共计2010元，其中捐50元的人有30人，其他同学捐20元或者30元，问捐20元和30元的同学各多少人？5、学校组织新年文艺晚会，用作奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，共花了300元，其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.6元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元，问三种笔个多少支？6、从甲到乙全长45千米，有上坡路、平路、下坡路，李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲到乙，李强走了10小时，从乙到甲李强走了11小时，问甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米？7、有堆硬币，面值为1分、2分和5分三种，其中1分硬币是2分硬币的11倍，已知这堆硬币的币值总和是1元，问5分有多少枚？8、有50名同学外出游玩，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地铁前往每人6元，这些同学共有车费110元，问其中乘小巴的共有多少人？9、鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?★三．数字数位问题1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.答案为857148．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.98\n10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?★四．排列组合问题★跟知识握握手1、排列：一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．【根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．】2、排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；3、【由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。】4、组合：一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．【从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．】5、从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。6、一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；　　第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．★小试牛刀1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A768种B32种C24种D2的10次方中98\n2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()A119种B36种C59种D48种3、小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。4、用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？5、用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？6、用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？7、用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？8、用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？9、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？10、两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？12、名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：[1]甲不在中间也不在两端；[2]甲、乙两人必须排在两端；[3]男、女生分别排在一起；[4]男女相间一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：[1]当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？[2]当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？98\n13、[1]从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）[2]从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？[3]3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？[4]8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？[5]一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？[6]8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？14、某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？16、由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。(2007年“迎春杯”高年级组决赛)17、个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？18、8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？19、小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?20、某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？21、从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？[1]恰有名女生入选；[2]至少有两名女生入选；[3]某两名女生，某两名男生必须入选；[4]某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。22、在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？[1]有3名内科医生和2名外科医生；[2]既有内科医生，又有外科医生；[3]至少有一名主任参加；[4]既有主任，又有外科医生.23、在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？24、有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另98\n人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？★五．容斥原理问题★跟知识握握手1、容斥原理的概念：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。2、有关容斥原理的公式：公式1.如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。公式2.如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。★小试牛刀1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()A43,25B32,25C32,15D43,112．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()A，5B，6C，7D，83．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？4、某大楼里有125盏灯，按1,2，3，…,125编号，每盏灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是4的倍数的灯的开关拉1次，再把所有号码是6的倍数的灯的开关拉1次，同时再拉1次号码是4的倍数、但不是6的倍数的灯开关，问：现在有多少盏灯是亮的？5、A、B、C三位质检员对流水线上的书包进行检查，A每3个书包抽查1个，B每5个书包抽查1个，C每7个书包抽查1个，一共有250个书包通过流水线，假定A、B、C首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求：(1)没被抽查到的书包数。(2)在A或B抽查到的书包中，没被C抽查到的书包数。6、校举行趣味运动会，班里的同学有20人报名。参加障碍过河比赛的有10人，参加自行车慢骑的有13人，参加“袋鼠跳”比赛的有15人，障碍过河、“袋鼠跳”98\n都参加的有9人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有6人，自行车慢骑、“袋鼠跳”都参加的有8人，你能画出参加比赛的人数文氏图吗？6、某体育学校的运动员中，会游泳的有15人，会跳高的有12人，会跳远的有9人，以上三个项目只会其中两种的有13人，会三种的有5人，则只会其中两种的人分别有多少可能？7、在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，则三种竞赛都参加过的学生有()人。请写出过程：★六．抽屉原理、奇偶性问题★跟知识握握手1、第一抽屉原理：原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件；【证明】（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1),这不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。　　【证明】（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能　　原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。【证明】.：根据原理1、2即可证明【原理123都是第一抽屉原理的表述】2、第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。　　【证明】（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能3、抽屉原理的一般表述：“把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”★奇数和偶数：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。【偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。】98\n5、奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。性质2：偶数±奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。★经典例题【表述】：在第二抽屉原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数=商×抽屉数+余数【如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。】例题1：幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？【解析】：把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=120×3+4，4＜120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。练习1：1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？例题2：布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？【解析】：把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9（个）球。列算式为（3—1）×4+1=9（个）练习2：1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？98\n例题3：某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？【解析】：参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1=15（种）类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46=3×15+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。练习3：1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在31个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？例题4：从1至30中，3的倍数有30÷3=10个，不是3的倍数的数有30—10=20个，至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。练习4：1、在1，2，3，……49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数？3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数？例题5：将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。【证明】：这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1，2，3，……，11张可片看做11个抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需1+2+3+……+10+11=66（张）卡片。而400÷66=6……4（张），即每个周体都有6个元素，还余下4张卡片没分掉。而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个元素，所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。练习5：1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个。证明：无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。2、把61颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放5颗棋子。证明：至少有5个格子中的棋子数目相同。3、汽车8小时行了310千米，已知汽车第一小时行了25千米，最后一小时行了45千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千米。例题6：1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？例题7：一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？例题8：元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？98\n例题9：已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。例题10：如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？★小试牛刀1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？3．有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜。试证明：一定有两个运动员积分相同。5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？7．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。8．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了多少堆？9．从1，3，5，……，99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。10．某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。11．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有多少人得分相同？12．2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同?13．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有多少人植树的株数相同？14、有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？15、有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？16、求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。98\n17、把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。18、如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。（A）必为奇数，（B）必为偶数，（C）可能是奇数，也可能是偶数。请选择并写出过程：19、一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。20、有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？为什么？21、有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？22、电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？23、由14个大小相同的方格组成下列图形（右图），请证明：不论怎样剪法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.★七．行程问题★跟知识握握手1、发车问题[1]一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔[2]求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。98\n标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。[3]当出现多次相遇和追及问题——柳卡2、火车过桥【火车过桥问题常用方法】[1]火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.[2]火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.[3]火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.【对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.】3、接送问题：【根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型】：[1]车速不变-班速不变-班数2个（最常见）[2]车速不变-班速不变-班数多个[3]车速不变-班速变-班数2个[4]车速变-班速不变-班数2个【标准解法：画图＋列3个式子】：[1]总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；[2]班车走的总路程；[3]一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。4、时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。【时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。】5、流水行船问题中的相遇与追及[1]两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：【甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速】[2]同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.【甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速98\n也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.】说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.6、比例与行程问题综合问题：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：[1]当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。，这里因为时间相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比[2]当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。，这里因为路程相同，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。7、行程问题常用的解题方法有[1]公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；[2]图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；[3]比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；[4]分段法98\n在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；[5]方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．★小试牛刀1、某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？2、小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？3、小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?4、一条单线铁路上有A,B,C,D,E5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?5、乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?6、一条小河流过A，B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?7、现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？8、有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?9、某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？10、手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？98\n11、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？12、B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。13、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？13、在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？14、一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？15、狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？16、甲乙辆车同时从ab两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求ab两地相距多少千米？17、在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？18、慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？19、在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？20、一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）21、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。22、AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?98\n23、甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？24、一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？25、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。26、小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?★八．比例问题★跟知识握握手★【比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容。故学生应该掌握的知识有】：1、比和比例的性质性质1：若a:b=c：d，则(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性质2：若a:b=c：d，则(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性质3：若a:b=c：d，则(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．2、主要比例转化实例　　[1]　　；；；[2]　　；(其中)；[3]　；　；；[4]，；；[5]的等于的，则是的，是的．3、按比例分配与和差关系[1]按比例分配例如：将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.[2]已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别、，元素的数量比为(这里)，数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值．4、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：98\n[1]题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。[2]若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。[3]应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。[4]题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。[5]赋值解比例问题★小试牛刀1、已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求.2、已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为多少？3、如下图所示，圆与圆的面积之和等于圆面积的，且圆中的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的，圆的阴影部分面积占圆面积的．求圆、圆、圆的面积之比4、某俱乐部男、女会员的人数比是3:2，分为甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3.求丙组中男、女会员人数之比。5、某团体有名会员，男女会员人数之比是，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为、、，那么丙组有多少名男会员？6、(2007年华杯赛总决赛)、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？7、[1]某校毕业生共有9个班，每班人数相等．[2]已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；[3]四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?98\n8、一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到个，而甲、乙两班的人数比为，求一共有多少个苹果？9、一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为．求原来两班的人数。10、幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为，中班男生数与女生数的比为，那么大班有女生多少名？11、甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距点厘米的点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形的周长？12、甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？13、师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？14、、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满．求、、三个水桶容积各是多少公升？15、一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？16、一把小刀售价元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为．小明原来有多少钱？17、一项机械加工作业，用4台型机床，5天可以完成；用4台型机床和2台型机床3天可以完成；用3台型机床和9台型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下、型机床继续工作，还需要______天可以完成作业。18、动物园门票大人元，小孩元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了，儿童增加了，共增加了人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？19、某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是，第一天售出苹果的98\n，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是；第二天售出苹果吨，桃子吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？12、有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长方体的体积。13、（2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？14、枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬币摞在一起一样高，枚壹分硬币摞在一起与枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？15、某工地用种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方的路程之比为，三种车的辆数之比为．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？16、将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了块糖果．那么这位小朋友是(填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为块。17、一个周长是厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长方形面积的比是，．而在图⑵中相应的比例是，.又知长方形的宽减去的宽所得到的差与的长减去的长所得到差之比为．求大长方形的面积。（1）⑵18、北京中学生运动会男女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多人，则总运动员人数为多少？19、有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？98\n12、某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是．结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是．问报考的共有多少人？13、有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重千克，乙块重千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________。小学奥数分类型讲解资料1、最值问题【最小值问题】　　例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。　　　　（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）　　讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。　　由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。　　例2在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？　　（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）　　98\n　　讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。　　我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。　　　　所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。　　故，O点即为三只蚂蚁会面之处。【最大值问题】　　例1有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？　　　　（全国第二届“华杯赛”初赛试题）　　讲析：三个图的面积分别是：　　　　三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。　　故图（3）的面积最大。　　例2某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。　　（台北市数学竞赛试题）98\n　　讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。　　现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。　　所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。　　因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。2、最值规律　　【积最大的规律】　　（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是　　如果a1+a2+…+an=b（b为一常数），　　那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。　　例如，a1+a2=10，　　…………→…………；　　1+9=10→1×9=9；　　2+8=10→2×8=16；　　3+7=10→3×7=21；　　4+6=10→4×6=24；　　4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；　　5+5=10→5×5=25；　　5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；　　…………→…………；98\n　　9+1=10→9×1=9；　　…………→…………　　由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。　　三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。　　由“积最大规律”，可以推出以下的结论：　　结论1所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。　　例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。　　例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？　　解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得　　（a+b）×2=24　　即a+b=12　　由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为　　6×6=36（平方厘米）。　　（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）　　结论2在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。　　例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？　　解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得　　（a+b+c）×4=12　　即a+b+c=3　　由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为　　1×1×1=1（立方米）。　　（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。98\n　　例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？　　我们可将各种拆法详述如下：　　分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。　　分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。　　分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是3和4。　　分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别为4，6，8。　　分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为5，8，9，12，16。　　分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为6，10，12，16，18。　　分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为7，12，15，16。　　分拆成一个数，就是这个8。　　从上面可以看出，积最大的是　　18=3×3×2。　　可见，它符合上面所述规律。　　用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现　　6=3+3时，其积3×3=9为最大；　　7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；　　14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；　　　　由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。98\n　　【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1×a2×…×an=c（c为常数），　　那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。　　例如，a1×a2=9，　　…………→…………　　　　1×9=9→1+9=10；　　　　3×3=9→3+3=6；　　　　…………→…………　　由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。　　例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？　　解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。　　要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。根据“和最小规律”，取　　a=b=4（分米）　　时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。　　推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。　　例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而　　的周长小于正方形的周长。98\n　　【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。为0.433×6=2.598（平方分米）。　　方形的面积。　　推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：　　在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。　　例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。　　【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。　　例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米　　长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。98\n　　　　　　推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：　　在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。　　例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。　　【排序不等式】对于两个有序数组：　　a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，　　则a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）　　T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（乱序）≥a1b　　n+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n　　为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？　　解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。　　打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成　　1，2，3，……，9，10。　　根据排序不等式，最小积的和为倒序，即　　1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1　　=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2　　=（10+18+24+28+30）×2　　=220（分钟）98\n　　其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。3、最优方案与最佳策略【最优方案】　　例1某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？　　（中国台北第一届小学数学竞赛试题）　　讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（2a＋2b）不超过12。　　又（a＋2b）不超过8，　　4a不超过16，　　4b不超过12。　　由以上四个条件知，　　当b取1时，a可取1、2、3、4；　　当b取2时，a可取1、2、3、4；　　当b取3时，a可取1、2。　　这样，就是在以上情况下，求利润200a＋300b的最大值。可列表如下：　　　　所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。　　例2甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月98\n　　联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。　　（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　的时间生产上衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。　　如果甲厂全月生产裤子，则可生产　　　　如果乙厂全月生产上衣，则可生产　　　　把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣　　　　故现在比过去每月可以多生产60套。【最佳策略】　　例1A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？　　（《中华电力杯》少年数学竞赛试题）　　讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。　　当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。98\n　　例2桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？　　（1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）　　讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。　　谁抢到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。　　后者获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等于3。　　例3有分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜。问：若要先取者为获胜，应如何取？　　（上海市数学竞赛试题）　　讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持相等。这样，先取者一定获胜。4、直接思路　　“直接思路”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。　　【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。　　例1兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？　　分析（按顺向综合思路探索）：　　（1）根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？　　可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。　　（2）根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？　　可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。98\n　　（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？　　可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。　　（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？　　狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。　　（5）已知狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？　　可以求出这时狗总共跑了多少距离？　　这个分析思路可以用下图（图2.1）表示。　　　例2下面图形（图2.2）中有多少条线段？　　分析（仍可用综合思路考虑）：　　我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数。　　（1）左端点是A的线段有哪些？　　有ABACADAEAFAG共6条。　　（2）左端点是B的线段有哪些？98\n　　有BC、BD、BE、BF、BG共5条。　　（3）左端点是C的线段有哪些？　　有CD、CE、CF、CG共4条。　　（4）左端点是D的线段有哪些？　　有DE、DF、DG共3条。　　（5）左端点是E的线段有哪些？　　有EF、EG共2条。　　（6）左端点是F的线段有哪些？　　有FG共1条。　　然后把这些线段加起来就是所要求的线段。　　【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。　　例1两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟30米，两船在静水中的速度都是每分钟600米，有一天，两船又分别从A、B两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米，求A、B两地间的距离。　　分析（用分析思路考虑）：　　（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？　　需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。　　（2）要求两船的速度和，必要什么条件？　　两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速（实为船在静水中的速度）　　（3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？98\n　　两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60米，由此可知两船相遇的时间为60÷30=2（小时）。　　此分析思路可以用下图（图2.3）表示：　　例2五环图由内径为4，外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图2.4），已知五个圆环盖住的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）　　　分析（仍用逆向分析思路探索）：　　（1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？　　曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道8个小曲边四边形的总面积，则只要用8个曲边四边形总面积除以8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。　　（2）要求8个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？　　8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。　　（3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？　　求出一个圆环的面积，然后乘以5，就是五个圆环的总面积。　　（4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？　　已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。98\n　　圆环面积公式为：　　S圆环=π（R2-r2）　　=π（R＋r）（R－r）　　其思路可用下图（图2.5）表示：　　【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用。　　例1一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份？　　分析（用一步倒推思路考虑）：　　（1）逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？　　因为有一只可装3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个2千克水。　　（2）按条件顺推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，这时10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，这时7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，这时10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，这时7千克桶里无水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下98\n2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因为原有2千克水，这时也正好是5千克水了。　　其思路可用下图（图2.6和图2.7）表示：　　问题：　　　　例2今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？　　分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：　　（1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？　　根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。98\n　　（2）从条件顺推。　　①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+……　　②当边长为7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一种组成方法。　　③当边长为8厘米时，各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成，也只有一种组成方法。　　④当边长为9厘米时，各边分别由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5种组成方法。　　⑤当边长为10厘米时，各边分别由1+9、2＋8、3＋7及4＋6组成，也只有一种组成方法。　　⑤当边长为11厘米时，各边分别由2+9、3＋8、4＋7及5+6组成，也只有一种组成方法。　　⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了。　　此题的思路图如下（图2.8）：　　问题：　　【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问题，这种解题思路叫还原思路。解这类问题，从最后结果往回算，原来加的用减、原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。运用还原思路解题的方法叫“还原法”。98\n　　例1一个数加上2，减去3，乘以4，除以5等于12，你猜这个数是多少？　　分析（用还原思路考虑）：　　从运算结果12逐步逆推，这个数没除以5时应等于多少？没乘以4时应等于多少？不减去3时应等于多少？不加上2时又是多少？这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案。　　其思路图如下（图2.9）：　　条件：　　例2李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？　　分析（用还原思路探索）：　　李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题。题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添1倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒1斗。这样他遇店、见花经过3次，便把所有的酒全喝光了。问：李白的酒壶中原有酒多少？　　下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。　　见花前——有1斗酒。　　第三次：见花后——壶中酒全喝光。　　第三次：遇店前——壶中有酒半斗。　　　　　　第一次：见花前——壶中有酒为第二次遇店前的再加1斗。　　遇店前——壶中有酒为第一次见花前的一半。98\n　　其思路图如下　　【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路。　　例1中山百货商店，委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费382.5元。问：损坏了花瓶多少只？　　分析（用假设思路考虑）：　　（1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？　　0.4×1000=400（元）。　　（2）而实际只有383.5元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元？　　0.4＋5.1=5.5（元）　　（3）总差额中含有一个5.5元，就损坏了一只花瓶，含有几个5.5元，就是损坏了几只花瓶。由此便可求得本题的答案。　　例2有100名学生在车站准备乘车去离车站600米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到达纪念馆45分钟以后，再去离纪念馆900米的公园搞活动。现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟300米和150米，而中巴和大巴分别可乘坐10人和25人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？　　分析（用假设思路思索）；　　假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600＋900）米。把在最后1人到达纪念馆后停留45分钟，假设为在公园停留45分钟，则问题将大大简化。　　（1）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时间？98\n　　中巴：（600+900）÷300×2=10（分钟）　　大巴：（600+900）÷150×2=20（分钟）　　（2）中巴和大巴在20分钟内共可运多少人？　　中巴每次可坐10人，往返一次要10分钟，故20分钟可运20人。　　大巴每次可坐25人，往返一次要20分钟，故20分钟可运25人。　　所以在20分钟内中巴、大巴共运45人。　　（3）中巴和大巴20分钟可运45人，那么40分钟就可运45×2=90（人），100人运走90人还剩下10人，还需中巴再花10分钟运一次就够了。　　（4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运90人所需的时间，运10人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可。　　【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。　　例1师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件，徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？　　分析（用消去思路考虑）：　　这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为1份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量，那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。　　例2小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮，共用0.36元，小军买4本练习本、3枝铅笔、2块橡皮，共用去0.60元，小庆买5本练习本、4枝铅笔、2块橡皮，共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？　　分析（用消去法思考）：　　这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。98\n　　如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下：　　小明2本2枝2块0.36元　　小军4本3枝2块0.60元　　小庆5本4枝2块0.75元　　现在把小明的各数分别除以2，可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡皮共0.18元。　　接着用小庆的各数减去小军的各数，得1本练习本、1枝铅笔为0.15元。　　再把小明各数除以2所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到1块橡皮0.03元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。　　【转化思路】解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度，或转化为另外一种问题，这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法。　　各养兔多少只？　　分析（用转化思路思索）：　　题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-16×3=52（只）　　　　分析（用转化思路分析）：98\n　　本题求和，题中每个分数的分子都是1，分母是几个连续自然数的和，好像不能把每个分数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数。但是只要我们按等差数列求和公式，求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式。　　　　所以例题可以转化为：　　　　然后再相加，抵消中间的各个分数即可。　　【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。　　例1有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完；钟敲12下，几秒敲完？　　分析（用类比思路探讨）：　　有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为10秒钟敲完，那就完全错了。其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（n-1）棵树，如果包括两个端点，共需植树（n＋1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了。98\n　　例2从时针指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。　　分析（用类比思路讨论）：　　本题可以与行程问题进行类比。如图2.11，如果用时针1小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。4为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。　　【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决，这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。　　例1如图2.12，共有多少个三角形？　　分析（用分类思路考虑）：　　这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了。本题根据条件，可以分为五类（如图2.13）。98\n　　例2如图2.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有多少种不同的走法？　　分析（运用分类思路分析）：　　小卒过河后，首先到达A点，因此，题目实际上是问：从A点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处，所谓最短，是指不走回头路。　　因为“将”直接相通的是P点和K点，所以要求从A点到“将”处有多少种走法，就必须是求出从A到P和从A到K各有多少种走法。　　分类。一种走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一种走法。　　二种走法：从A到H有两种走法。　　三种走法：从A到M及从A到I各有三种走法。98\n　　其他各类的走法：因为从A到M、到I各有3种走法，所以从A到N就有3＋3＝6种走法了，因为从A到I有3种走法，从A到D有1种走法，所以从A到J就有3＋1=4种走法了；P与N、J相邻，而A到N有6种走法，A到J有4种走法，所以从A到P就有6+4=10种走法了；同理K与J、E相邻，而A到J有4种走法，到E有1种走法，所以A到K就有4+1=5种走法。　　再求从A到“将”处共有多少种走法就非常容易了。　　【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量之间的内在联系，求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路。　　例1如图2.15的正方形边长是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大6平方厘米，求CE长多少厘米？　　分析（用等量代换思路思考）：　　按一般思路，要求CE的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似乎无法入手。用等量代换思路，我们可以求出三角形ABE的面积，从而求出CE的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙：　　已知乙=甲+6　　丙+甲=6×6=36　　用甲+6代换乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42　　即三角形ABE的面积等于42平方厘米，这样，再来求CE的长就简单了。　　例2有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？　　分析（用等量代换的思路来探讨）：　　这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了。出现了下面这个等式。　　第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）98\n　　=第三堆（白子+黑子）（这里指的棋子数）　　份，则第二堆（全部黑子）为3份，这样就出现了每堆棋子为3份，3堆棋子的总份数自然就出来了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。第一堆换成了全部白子，所以白子总共是几份也可求出。最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。　　【对应思路】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几，这种关系叫做对应关系。找对应关系的思路，我们把它叫做对应思路。　　例1有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是91公亩，麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公亩，那么，菜地是几公亩？　　分析（用对应思路分析）：　　这是一道复杂的分数应用题，我们不妨用对应思路去思索。如能找出91公亩、84公亩的对应分率，此题就比较容易解决了。但题中有对应分率两个，究竟相当于总公亩数的几分之几呢？这是解题的关键。而我们一时还弄不清楚，现将条件排列起来寻找。　　　　可求出总公亩数是　　　　　求出总公亩数后，我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几，故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数。但我们把条件稍作组合，就可以求出　98\n　　　　分析到这一步，那么再去求菜地有多少公亩，则就变成了一道很简单的分数应用题了。　　例2蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排完一池水，单开乙管顺序，循环各开水管，每次每管开一小时，问多少时间后水开始溢出水池？　　分析（用对应思路考虑）：　　本题数量关系复杂，但仍属分数应用题，所以仍可用对应思路寻找解题途径。　　首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几，乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之几，然后才能计算。　　一池水→“1”　　　　通过转化找到了对应分率就容易计算了。假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的：　　　　加上池内原有的水，池内有水：98\n　　　　也就是20小时以后，池内有水 　　　　水池了，因此20小时后，只需再灌水　　　　所以这时甲管不要开1小时，只要开　　　总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗？5、整数的拆分【不连续加数拆分】　　例1将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？　　（1992年“我爱数学”邀请赛试题）　　讲析：做成的长方形，长与宽的和是　　144÷2=72（厘米）。　　因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，98\n　　所以，一共有36种不同的做法。　　比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。　　例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。　　（1992年武汉市小学数学竞赛试题）　　讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。　　所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。　　但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8，而3×3=9。　　所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。　　而1992÷3=664。故，这些自然数是664个3。　　例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）　　讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。　　因为a×2=b÷2，则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。　　那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。　　又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。　　则c、d可取的数组有：　　（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。　　由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，　　得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。　　同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。　　所以，最多有4种分法。98\n【连续加数拆分】　　例1把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？　　（第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题）　　讲析：因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。　　所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。　　例2几个连续自然数相加，和能等于1991吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。　　（全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题）　　讲析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。　　所以，1991可以分成几个连续自然数相加，并且有3种答案。　　由1991=1×1991得：　　1991=995＋996。　　由1991=11×181得：　　　　　　…+（80+101）　　=80＋81＋……＋100＋101。6、整除及数字整除特征　　【数字整除特征】　　例142□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。98\n　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）　　讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。　　设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。　　又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。　　所以a-b=3。　　又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。　　从而很容易求出商为427284÷99=4316。　　例2某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。　　而1993000÷2520=790余2200。　　于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。　　例3七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）　　讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。　　要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。　　则有b-a=8，或者a-b=3。　　①当b-a=8时，b可取9、8；　　②当a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。　　所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。98\n　　例4下面这个四十一位数　　55……5□99……9　　（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）　　讲析：注意到111111÷7=15873，所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。　　要使原四十一位数能被7整除，只需55□99这个五位数是7的倍数。　　容易得出，中间方格内的数字是6。　　【整除】　　例1一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是______。　　（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）　　讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。　　3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。　　例2一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是__。　　（《现代小学数学》邀请赛试题）　　讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。　　因为3、5和7的最小公倍数是105。　　3600÷105=34余30，105-30=75，　　所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。　　例3在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个。　　（中南地区小学数学竞赛试题）98\n　　讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。　　又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。　　结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。　　例4a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）　　讲析：a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。　　只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。　　联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。　　例5一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43（1）]，又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是2a[见图5.43（2）]，求这个自然数。　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）　　讲析：可从最后的商步步向前推算。　　由图5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然数是8×（64a+57）+1=512a+457　　由图5.43（2）得，所求的自然数是578a+259　　所以，512a+457=578a+259。　　解得a=3。　　故，这个自然数是512×3+457=1993。98\n　　例6某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、……、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数？　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）　　讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。　　因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数a能同时被1、2、3、……、12整除。　　而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时被1、2、3、……12整除的最小自然数是27720×4=110880　　现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。　　因为110880÷13，余数是12；27720÷13，余数是4。　　也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的数，就是所求的数。　　即12+4n，是13的倍数。　　显然，当n=10时，12+4n是13的倍数。　　所以，门牌号码是9的这家电话号码是：　　110889+27720×10=388089。7、运用图形间的等量关系　　【应用弦图解题】我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。98\n　　我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题：　　有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，1步=5尺），已知长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？　　杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864　共是60步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！　　有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。尤其是那一道决赛题：　　平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”　　仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图4.58。于是可知，大正方形的面积为　　　　　98\n　　　　【解纵横交错的复杂题】把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。例如　　如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米，求阴影部分的总面积。　　由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以　　2个纸片长=3个纸片宽　　1个纸片长=12×3÷2　　=18（厘米）　　进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）　　阴影部分的总面积便是　　6×6×3=108（平方厘米）　　又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长。”　　解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由5个小长方形的宽等于98\n形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即5个小正方形面积为　　45÷9×4=20（平方厘米）　　每个小正方形的面积为　　20÷5=4（平方厘米）　　显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便是　　　　进而便可求得大长方形的周长为　　［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。　　此外，题目还可这样解答：　　因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。大正方形面积是　　　　它的边长便是10厘米，则小正方形的长为　　10÷4=2.5（厘米）　　小正方形的宽为　　10÷5=2（厘米）　　于是，原来的大长方形的周长就是　　（2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。98\n　　【用面积线段比的关系解题】利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。例如　　　为什么成立？　　由图中可以看出，△PBC和△ABC是同底的两个三角形，所以　　　　　　　　又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：　　“如图4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？”98\n　　图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。　　设阴影部分面积为x公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以　　　　即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。8、运算法则或方法　　【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本，此处略。　　【四则运算顺序】见小学数学课本，略。　　【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。　　（1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。　　　　（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。例如　　　　【求连分数的值的方法】由数列a0，a1，……及b1，b2，……所组成的表达式　　　　　称为“连分数”。它可简记为98\n　　　　　　为连分数的值。　　连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。例如，　　　　求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数：　　　　求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时，就愈接近它的值。　　注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。　　分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：98\n　　　　的任意两个约数a1，a2；　　（2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），　　（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来　　（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。　　　　注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。　　例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例　　（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。98\n　　　　拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1+a2+…+an）。　　　　解∵15=3×5　　∴15的约数有1，3，5，15。　　　　　有限个分数的和的形式。　　【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同。计算法则有以下三条：　　（1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算的结果就精确到这个数位）；　　（2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位；　　（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。98\n　　例如，求近似数25.4、0.456、8.738和56的和。　　　　25.4+0.456+8.738+56≈91　　又如，求近似数0.095减0.002153的差。　　解：　　　　　　0.095-0.002153≈0.093　　【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的相同。具体法则有以下三条：　　（1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多个有效数字）；　　（2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个；　　（3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个数。　　例如，（1）求近似数26.79与0.26的积。（2）求近似数9.7除以近似数25.78的商。98\n　　　　　　因24只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出中间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入到两个有效数字。　　　　再如，量得一个圆的周长约是3.73厘米，求这个圆的直径。　　题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。其中3.73是近似数，有三个有效数字；π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字：　　解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米）　　答：这个圆的直径约是1.19厘米。　　【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做。运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。例如，作近似数的混合计算：　　57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。　　解原式=11.23+3.689-7.4198\n　　≈7.5　　说明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中间结果11.23，3.689，7.41，都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。　　（2）11.23+3.689-7.41是加减法，各数中精确度最低的是7.41，这个数实际上只有两个有效数字，就是只精确到十分位。因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得7.5。　　又如，“有一块梯形土地，量得上底约为68.73米，下底约为104.20米，高约为9.57米。求这块土地的面积。　　　≈86.47×9.57　　≈828（平方米）（答略）　　说明：（1）68.73+104.20，所得的中间结果172.93，精确到0.01，没有多取的数位。果四舍五入到三个有效数字，得828。　　【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精确度，通常称其为“预定精确度的计算”。　　预定精确度的计算法则，一般有：　　（1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。　　如果预定结果有n个有效数字，那么原始数据一般取到n+1个有效数字。　　例如，圆形面积大约是140平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径r应达到怎样的精确度？π应取几个有效数字的近似值？　　解：为了使面积S具有两个有效数字，π和r就都要有三个有效数字。因为98\n　　　　r应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到0.01米。　　π应该取三个有效数字的近似值--3.14。　　（2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。　　例如，梯形上底a约50米，下底b约60米，高h约40米。测量时，应达到怎样的精确度，才能使算出的面积S有两个有效数字？　　　　要使S有两个有效数字，则（a+b）与h都应该有三个有效数字。所以，测量h应精确到0.1米，而测量上底和下底，只需要精确到1米（因a+b有三个整数数位。）　　在实际测量时，a、b、h都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。　　【一般验算方法】　　（1）加减法的验算方法。　　加法的验算方法有二：一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，所得的结果必须与原计算的结果相同，说明计算才是正确的。二是利用加法和减法的逆运算关系，把所得的和减去一个加数，所得的差必须等于另一个加数，计算才是正确的。　　减法的验算也有两种方法：一是利用加减互逆的关系进行验算，把所得的差与减数相加，所得的和必须等于被减数，计算才是正确的。二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进行验算，用被减数减去差，所得的结果必须等于减数，计算才是正确的。　　（2）乘除法的验算方法。　　乘法有两种验算方法：①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再相乘，所得的结果必须和原来的计算结果相同，计算才是正确的。②利用乘除互逆关系，把所得的积除以一个因数，结果必须等于另一个因数，计算才是正确的。　　除法也有两种验算方法：①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上余数），所得的结果必须等于被除数，计算才是正确的。②利用被除数、除数、商、余数之间的关系，把被除数减去余数所得的差（没有余数的不必去减），除以商，所得的结果必须等于除数，计算才是正确的。　　（3）四则混合运算式题的验算。98\n　　四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法去验算，但非常麻烦，不如采用重算的办法。由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算可分三步走：①检查运算顺序；②检查分小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。　　（4）解方程、解比例的验算方法。　　解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边的数值是否相等。　　（5）应用题的验算方法。　　应用题的验算可以采用下面三种方法：　　①用“一题多解”验算。有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。若解得的结果一致，说明解法是正确的。　　②用“还原法”验算。将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其他已知条件和数据都是成立的（即能“还原”），则表明题目的解法是正确的。　　③用分析、估算方法验算。根据生活经验等，可知：求总数，结果不应小于部分数；求人数、植树棵树等，得数通常为整数；计算出油率、合格率等，得数不会大于100％；计算各种速度、农作物单位面积产量，得数应基本符合实际情况；……否则，题目的解答便可能是错误的。　　不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还得用其他方法验算。　　【弃九验算法】利用被9除所得余数的性质，对四则运算进行检验的一种方法，称为“弃九验算法”，简称“弃九法”。　　用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数”（或称“弃九数”）。把一个数各位数字相加，如果和大于9，又再将和的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9的要减去9得0），这个数我们便称它为原数的“去九数”。例如　　8693：8+6+9+3=26-→2+6=8（去九数是8）；　　721：7+2+1=10-→1+0=1（去九数是1）。　　去九数也可以这样得到：把一个数中的数字9，或者相加得9的几个数字都划去，将剩下来的数字相加，得到一个小于9的数，这个数就是原数的去九数。　　例如：98\n　　“弃九验算法”也可以说，是利用“去（弃）九数”去进行验算的一种验算方法。例如，验算下面的加减法，可先求出等号左右每个数的去九数，然后将等号左边的去九数相加减，若去九数的和（或差），与等号右边和（或差）的去九数不相等，则可以肯定，原来的计算是错误的。例如　　　　　　（如果两个加数的去九数之和大于9，则应减去9）　　所以，可以肯定，原式的计算是错误的。的确，正确的答案是70168。　　假如最后的两个去九数之和或差，与等号右边和（或差）的去九数相等，那么在一般情况下，可以认为原来的计算大致没有错误。例如　　所以，可以认为原来的计算大致没有错误。　　减法的验算如　　　　　　所以，可以肯定，原计算是错误的。事实上，原式的差应该是146410。　　用弃九法验算乘法如下面的两个例子：　　（1）98\n　　可以肯定，原来的计算是错误的。确实，正确的答案应该是716478。　　（2）　　　可以认为，这道题大致没有错误。　　用弃九法验算除法，可利用下面的关系式来进行：　　除数×商=被除数；　　除数×商+余数=被除数。　　例如：　　（1）　　可以认为，这道题的计算大致没有错误。　　（2）98\n　　可以认为，这道题的计算，大致没有错误。　　不难发现，弃九验算法是既方便，又有趣的。但当弃九数的等式相等时，为什么要说“在一般情况下”，“可以认为”原式的计算”大致没有错误”呢？请看下面几个数的去九数：　　这就是说，当几个数的数字相同，仅仅是0的个数不同；或者是数字顺序颠倒；或者小数点的位置不同时，它的去九数却是相同的。这样就会导致用弃九法验算，不能查出去九数虽相同，而数的实际大小却并不相同的情况。这一点，在使用弃九法验算时，我们必须特别注意。　　尽管有以上这种情况，但一般说来，弃九验算法还是一个有特色、有趣味的和比较好的验算方法。　　【速算方法】（见第一部分“（五）数学公式”中的“速算公式”及第四部分中的“速算技巧”。）　　【名数化、聚方法】　　（1）名数的化法。把高级单位的单名数或复名数，化成低级单位的单名数的方法，叫做“名数的化法”。计算时，用进率乘以高级单位的数，再加上低级单位的数。　　例如，把6米32厘米化成以厘米为单位的数：　　因为厘米和米之间的进率是100，所以，解法是　　100×6+32=632（厘米），　　即6米32厘米=632厘米。　　（2）名数的聚法。把低级单位的单名数聚成高级单位的单名数或复名数的方法，叫做“名数的聚法”。计算时，用低级单位的数除以进率，所得的商就是高级单位的数，余数就是低级单位的数。98\n　　例如，把5700千克聚成以吨和千克为单位的复名数。　　因为吨和千克之间的进率是1000，所以解法是　　5700÷1000=5……700　　∴5700千克=5吨700千克。9、约数与倍数【约数问题】　　例1用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题）　　讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。　　而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。　　1155的约数共有16个。　　16÷2=8（对）。　　所以，有8种不同的拼法。　　例2说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？　　（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）　　讲析：将360分解质因数，得　　360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。　　所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）　　这24个约数的和是：　　　　例3一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？　　（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）98\n　　讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。　　把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：　　99=3×3×11；98=2×7×7；　　97是质数；96=2×2×2×2×2×3。　　发现，96是上面数的约数。　　所以，两位数的约数中，最大的是96。　　例4有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。　　（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）　　讲析：一个自然数N，当分解质因数为：　　　　　　因为8=1×8=2×4=2×2×2，　　所以，所求自然数分解质因数，可能为：　　27，或23×3，或2×3×5，……　　不难得出，最小的一个是24。【倍数问题】　　例16枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）　　讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。　　6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。98\n　　因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有：　　1×36+2×30+5×25=221（分）。　　4元4角2分=442（分），442÷221=2。　　所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。　　例2从1、2、……、11、12中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。　　（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能是任何整数的2倍。剩下的数有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，则4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、4不能取，故只可取8。所以至多能选取8个数。　　例3小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、……13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有______个。　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）　　讲析：因为6=2×3，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。　　当一边取6，另一边取1、2、……、13时均成立，有13个积；　　当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积；　　当一边取10，另一边取9时，有1个积。　　所以，不相等的乘积中，被6整除的共有：　　13+7+1=21（个）。　　例4设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有______种不同的值。　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）　　讲析：因为72=23×32，它共有约数　　（3+1）×（2+1）=12（个）98\n　　这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不同的值；　　当a=22×32=36时，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2种不同的值；　　当a=23×3=24时，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2种不同的值。　　当a=2×32=18时；b可取23=8，a、b之和有1种不同的值。　　所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。10、余数问题　　【求余数】　　　　　　（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）　　一组，就可得到331组，尚余4个6。　　而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。　　例29437569与8057127的乘积被9除，余数是__。　　（《现代小学数学》邀请赛试题）　　讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。　　9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。　　7×3=21，21÷9=2……3。　　所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。　　例3在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。　　（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）98\n　　讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。　　要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。　　但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。　　所以，最多能选出77个。　　【同余问题】　　例1一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。　　（全国第一届“华杯赛”初赛试题）　　讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。　　不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。　　例2小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）　　讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。　　例3五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。　　（哈尔滨市小学数学竞赛试题）　　讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。　　加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。　　因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。98\n　　例4在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）　　讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。　　余数是0：7、14、21、28　　余数是1：1、8、15、22、29　　余数是2：2、9、16、23、30　　余数是3：3、10、17、24　　余数是4：4、11、18、25　　余数是5：5、12、19、26　　余数是6：6、13、20、27　　要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。　　所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。　　故最多可以取15个数。11、有关数的法则或方法　　【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。）　　“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。　　“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‰”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰”，读作“千分之七”。　　【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。　　利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n（1≤a≤10，n是整数）”的形式。例如：98\n　　25700，把小数点向左移动四位，得1＜2.57＜10，但2.57比25700小了10000倍，所以　　25700=2.57×104。　　0.00867，把小数点向右移动三位，得1＜8.67＜10，但8.67比0.00867大了1000倍，所以　　　　【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。　　四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。　　例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。　　去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。　　进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。　　显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。　　值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60，即1.5972≈1.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。98\n　　【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。　　（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。　　（2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。　　例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、5、7、11、13、17、19……等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。　　由161÷7=23，可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。所以，161是合数，而不是质数。　　由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197÷17=11……10，这时的除数17已大于不完全商11，于是可以肯定：197是质数，而不是合数。因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。假定有，商也一定比11小。这就是说，197同时还要有比11小的约数。但经过试除，比11小的质数都不能整除197，这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。　　【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。　　（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。例如，求2940、756和168的最大公约数：　　∵2940=22×3×5×72，　　756=22×33×7，　　168=23×3×7；　　∴（2940，756，168）=22×3×7=84。　　注：“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756和168的最大公约数是84”。　　（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。　　（3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。　　例如，求792和594的最大公约数。98\n　　∵（792，594）=（792-594，594）　　=（198，594）=（594-198，198）　　=（198，396）=（198，396-198）　　=（198，198）=198，　　∴（792，594）=198。　　用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公约数。　　例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。　　∵（1260，1134，882，1008）　　=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）　　=（126，126，882，252）　　=（126，126，882-126×6，252-126）　　=（126，126，126，126）=126，　　∴（1260，1134，882，1008）=126。　　（4）辗转相除法（欧几里得算法）。　　用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：　　光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；　　再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；　　又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；　　这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。　　求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。　　例如，求437和551的最大公约数。具体做法是：先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做：98\n　　（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为114。　　（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。　　（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。　　（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。　　（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19，就是437和551的最大公约数。　　又如，求67和54的最大公约数，求法可以是　　由余数可知，67和54的最大公约数是1。也就是说，67和54是互质数。　　辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。98\n　　辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。　　【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。　　求一组分数的最大公约数的方法是：　　（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；　　（2）再求出各个分数分母的最小公倍数a；　　（3）然后求出各个分数分子的最大公约数b；　　　　　　　　　再求出三个分母的最小公倍数，得72；　　然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；　　【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。　　（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。　　例如，求120、330和525的最小公倍数。　　∵120=23×3×5，　　330=2×3×5×11，98\n　　525=3×52×7；　　∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200　　注：“[120，330，525]=46200”表示“120、330和525三个数的最小公倍数是46200”。　　（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。　　（3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即　　a·b=（a，b）·[a，b]　　所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即　　　　　　例如，求[42，105]。　　　　若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。　　例如，求[300，540，160，720]98\n　　　　　∴[300，540，160，720]=21600　　【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。　　求一组分数的最小公倍数，方法是：　　（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；　　（2）再求出各个分数分子的最小公倍数a；　　（3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；　　　　再求各分数分子的最小公倍数，得　　[35，21，56]=840；　　然后求各分数分母的最大公约数，得　　（6，8，9）=198\n　　【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。　　化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如　　　　由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：（1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9，“9”的个数同循环节的位数相同。（2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是9，末几位数字是0，“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。　　【分数化有限小数判断法】98\n　　若进一步研究，它又有以下的三种情况：　　　　　　　　　5（即与10互质），或者除2和5以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。　　这里，又有以下的两种情况：　　和5时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列　　9，99，999，9999，……98\n　　各项中，能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。　　分母37去除9，99，999，9999，……，能整除的最小的数是999，即　　99937（即“999能被37整除”，“”是整除符号；亦可逆读为“37能整除999”）　　也可以表示为37｜999（即“37能整除999”，“｜”也是整除符号；亦可逆读为“999能被37整除”。）　　这里“999”，含有3个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是3个：　　　　=0.513　　以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，跟2和5在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列　　9，99，999，9999，……　　各项中，能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相同。　　质因数11，所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是3个（最高乘方23的指数为3），循环部分的循环节数字是两个（11｜99，“9”的个数为2个）：　　　　概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种：98\n　　（1）若分母只含质因数2，5，则化得的小数是有限小数；　　（2）若分母不含质因数2，5，则化得的小数是纯循环小数；　　（3）若分母既含质因数2，5，又含2和5以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。　　注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。　　【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百分比浓度。求法是　　　　例如，用白糖（溶质）1千克，开水（溶剂）4千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百分比浓度是　　　用对称关系找约数　　【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决这一问题。方法是：　　（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例如，找出36的全部约数：　　因为36=62，6是所有约数的“中心数”。比中心数6小的约数很容易找到，它们是1、2、3、4四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是36（与1对应）、18（与2对应）、12（与3对应）和9（与4对应）。如下图（图4.7）：　　（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。例如，找出102的全部约数：　　因为102＜102＜112，所以可选10或11为“近似中心数”。然后找出比这个近似中心数小的所有约数——1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数——102、51、34、17。如下图（图4.8）：98\n　　（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。）　　【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如　　求24和36的最小公倍数。如图4.9：　　　24和36的最小公倍数是24×3=72，或36×2=72。　　这样做的道理很简单。因为　　　　所以，用24乘以36独有的质因数3，或者用36乘以24独有的质因数2，都能得到24与36的最小公倍数72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“×”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。　　又如，求20、12和18三个数的最小公倍数。如图4.10：　　∵20和12的最小公倍数是20×3=60，　　60和18的最小公倍数是60×3=180，　　∴20、12和18三个数的最小公倍数便是180。　　如果先求20和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与12去求三个数的最小公倍数；或者先求12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与20去求三个数的最小公倍数，也是可以的。98\n12、用补充数速算　　末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（100—2）、（50＋1）等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100叫做98的“大约强数”，2叫做98的“补充数”；50叫做51的“大约弱数”，1叫做51的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，这种方法叫做“运用补充数法”。例如　　（1）387＋99=387＋（100—1）　　=387＋100—1　　=486　　1680—89=1680-（100—11）　　=1680—100+11　　=1580+11　　=1591　　4365-997=4365-（1000-3）　　=4365-1000＋3　　=3368　　69×9=69×（10-1）　　=690-69　　=621　　69×99=69×（100-1）　　=6900-69　　=6831　　87×98=87×（100-2）　　=8700-87×298\n　　=8700-200+26　　=852613、一般应用题　　【和差的问题】　　例1六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人。四个班的总人数是_____。　　（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　讲析：因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多1人。则乙、丙两班总人数的3倍就等于（131+134-l）=264人。所以，乙、丙两班共有246÷3=88（人）。然后可求出甲、乙两班总人数为88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为88+89=177（人）。　　例2东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，因此，其它年级的画共有____幅。　　（1988年北京市小学数学奥林匹克决赛试题）　　讲析：由“16幅画不是六年级的，15幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多1幅画。所以六年级共有12幅画。然后可求出其它年级的画共有（15-12）幅，即3幅。　　例3甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有100个故事。每人都认某一个故事开始按顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有_____个。　　（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。　　乙、丙两人最少共同读故事60+52-100=12（个）。因为每人都从某一故事按顺序往后读,所以甲读了75个故事。他无论从哪一故事开始读，都至少重读了上面12个故事。故答案是12个。　　例4某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（1人1天为1个工作日），且无1人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共____人。　　(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题。）98\n　　讲析：到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为240×30=7200（个）。　　而8070-7200=870（个）。　　可知这870个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。　　设每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；a人做29天，a人做28天，a人做27天，……a人做1天。　　所以，（1+29）×a×29÷2=870，可解得a=2。　　故，共派到分厂的工人为2×30=60（人）。　　【积商的问题】　　例1王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18小时。改进技术前后每小时加工多少个零件？　　（1989年《小学生数学报》小学数学竞赛决赛试题）　　讲析：改进技术后的工效提高到原来的2.5倍，后来加工1500个零件时，比改进技术前少用18小时，则改进技术后加工1500个零件的时间是18÷（2.5-1）=12（小时）。　　原来加工1500个零件的时间是12+18=30（小时）　　于是，改进前每小时加工的便是1500÷30=50（个），　　改进后每小时加工的便是1500÷12=125（个）。　　例2现有2分硬币、5分硬币各若干个，其中2分的比5分的多24个，如果把2分硬币等价换成5分硬币，所得的5分硬币要比原有的5分硬币少6个。原来两种硬币各有多少个？　　（1993年“光远杯”小学数学竞赛试题）　　讲析：我们用方程来解，设原来有x个5分的硬币；则2分硬币共有（x+24）个。　　由题意得：2（x+24）÷5=x-6。　　解得：x=26，即5分币有26个。　　于是，2分币便有　　26+24=50（个）98\n循环小数　　【循环小数化分数】　　小学数学竞赛试题）　　讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与　　　数推出？　　（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）　　讲析：　　循环节有6位数字。　　而（89-3）÷6=14余2。即小数点后第89位以后的数是230769循环。　　【循环小数的计算】　　　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）　　讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得　　　　　　例2图5.3列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位98\n________。　　（1989年全国小学数学奥林匹克决赛试题）　　讲析：要想这个数最大，整数部分必须选9。它有四种：9.291892915，9.189291592，9.291592918，9.159291892。无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。所以，以上四数中最大的是9.291892915。再考14、旋转变换　　【旋转成定角】例如下面的题目：　　“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”　　按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大98\n　　（8×2）×（8×2）÷2　　=16×16÷2　　=128（平方厘米）　　又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）　　表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略）　　【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，　　计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是　　42×3.14÷2-（4+4）×4×2　　=25.12-16　　=9.12（平方厘米）　　又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。98\n　　将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即　　（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2　　=6.28-2　　=4.28（平方厘米）15、小数和分数　　【小数问题】　　例1某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65，原数是_______。　　（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）　　讲析：小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。所以，原数为25.65÷9=2.85。　　例2甲、乙两个数之和是171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是________。　　（1993年广州市小学数学竞赛试题）　　讲析：由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10倍。所以，乙数是171.66÷（10+1）=15.6，甲数是15.6。　　例3用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点，使它变成小数，差就增加154.44，这个整数是________。　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）　　讲析：因为差增加154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即这个整数比原数增加了99倍，由154.44÷99=1.56可知，这个整数是156。　　【分数问题】98\n　　　　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）　　讲析：　　　　　　　　　20×11+2=222，15×11=165。　　　　　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　　　7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用余下的54个数作分子，可得到54个最简分数。　　c，则三个分数的和为6。求这三个真分数。　　（第三届《从小爱数学》邀请赛试题）98\n　　　　　　因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2，b只能取1、3，C只能取1、5。　　经检验，a=2，b=3，c=5符合要求。故三个真分数分别是　　　　例4地同时满足下列条件的分数共有多少个？　　　　（2）分子和分母都是质数；　　（3）分母是两位数。　　请列举出所有满足条件的分数。　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）　　讲析：100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、　　即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。　　　　　　　　　　98\n　　　　　　所以，符合条件的分数有12个：　　16、特殊解题方法　　【穷举法】解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。　　例1从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3．28）　　分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。　　解：3×4＝12　　答：共有12条路线。98