中考数学复习初中数学知识概要 23页

初中数学知识概要第一部分数与代数主要内容包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界，以下分别将各模块知识点加以整理收集．一、实数(一)实数的组成1．有理数：任意一个有理数都可以写成分数的形式，其中p与q是整数且最大公约数是1，这是有理数的重要特征，例：是无理数而不是分数．2．无理数(1)它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者缺一不可．(2)它有三种形式：①开不尽方根，如②特殊常数，如圆周率π．③特定结构的无限小数，如0．…(每两个1之间依次多一个0)．3．判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断．要注意：“神似”或“形似”都不能作为判断的标准．(二)实数中的几个概念1．相反数(1)实数的相反数是．(2)和互为相反数．2．倒数(1)实数(≠0)的倒数是．(2)和互为倒数。\n(3)注意0没有倒数．3．绝对值(1)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即：(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离．☆(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零，例如：若，则，，．4．n次平方根平方根，算术平方根：设被开方数，称叫的算术平方根，叫的平方根．①正数有两个平方根，它们互为相反数．②0的平方根是0．③负数没有平方根．（2）立方根：叫实数的立方根．①一个正数有一个正的立方根．②0的立方根是0．③一个负数有一个负的立方根．（3）算术平方根与绝对值的联系：．（4）算术平方根的估算方法：两端逼近法．例如：估算．(精确到0．1)∵∴．又∵，又∵6更靠近5．76，∴（三）近似数与科学记数法1.科学记数法：把一个数写成的形式（其中，n是整数)，这种记数法叫做科学计数法。（1）确定：是只有一位整数数位的数．（2）确定n：当原数≥1时，等于原数的整数位数减1；；当原数<1时，是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）。\n2.近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。3.有效数字：一个近似数，从左起第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．4．按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来．二、代数式（一）代数式1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．3.代数式的分类：(二)整式的有关概念及运算1．概念(1)单项式：单项式是数与字母的积．其含义有：①不含有加、减运算符号．②字母不出现在分母里．③单独的一个数或者字母也是单项式．④不含“符号”．(2)多项式：多项式是几个单项式的和．其含义有：①必须由单项式组成．②体现和的运算．(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项．同类项必须同时具备两个条件：①所含字母相同．②相同字母的指数也分别相同．2．运算(1)整式的加减①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变．②去括号法则：括号前面是“+"号，把括号和它前面的“+"去掉，括号里各项都不变号：括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一"号去掉，括号里各项都变号．③添括号法则：括号前面是“+"号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“一"号，括到括号里各项都变号．④整式的加减运算，其实质是合并同类项，方法是在运算时，如果遇到括号，就依据去括号的法则或乘法分配律，先去括号，再合并同类项．(2)整式的乘除\n①幂的运算性质：（）（）（）②单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：④多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：．⑤单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：用这个多项式的每一项去除以这个单项式，再把所得的商相加．⑦乘法公式：平方差公式：(在平方差公式中，符号相同者为“"，符号相反者为“”)完全平方公式：(三)分解因式1．分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．常用分解因式的方法(1)提公因式法，即：．其分解步骤为：①确定多项式的公因式，公因式=各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．(2)运用公式法平方差公式：完全平方公式：运用时，应注意：①如果多项式中各项含有公因式，应该首先提取公因式，然后再考虑运用公式．②公式中的字母，既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式．☆(4)分组分解法严格地讲，分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式法或运用公式法创造条件，即先把多项式各项适当分组，以达到最后能用提公因式或运用公式分解因式的目的．3．分解因式的一般步骤\n(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式．(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解．(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解．(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．(四)分式1．分式定义：式子鲁叫做分式，其中A，B表示两个整式，且B中含有字母．(1)分式无意义：当B=0时，分式无意义；当B≠O时，分式有意义．(2)分式的值为0：当A=0且B≠0时，分式的值为0．(3)分式约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．其步骤是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．*(6)最简公分母：各分母所有系数的最小公倍数与因式的最高次幂的积叫最简公分母．2．分式的基本性质(1),（其中）(2)分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．3．分式的运算(1)加、减：(2)乘、除：(3)乘方：．*(4)繁分式：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．（五）二次根式*1.二次根式的概念：式子叫做二次根式。（1）最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式．②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．*（2）同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。*（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫分母有理化．*（4）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：与互为理化因式．2.二次根式的性质（1）\n（2）（3）（4）注：*3.二次根式的运算（1）加减运算的实质是合并同类二次根式，其步骤是先化简，后找“同类”合并．（2）乘除运算的法则是逆向运用二次根式的性质（2）（3）。做乘法时，要灵活运用乘法法则；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化。三．方程与方程组（一）方程1.方程：含有未知数的等式叫做方程，它包含两层意思：一是含有未知数，二是等式，二者缺一不可。从定义可说明方程是等式，但等式不一定是方程。2.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根．3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程．*4.同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．*5.方程的同解原理（1）方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．(2)方程两边都乘以(或除以)同一不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程．6．方程的增根与遗根(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．(2)在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．7．方程的分类(二)一元方程1．一元方程(1)一元一次方程的标准形式：(2)一元一次方程的解法．(3)一元一次方程有唯一的一个解．\n说明：对于以为未知数的最简方程，若没有给出字母a和b的取值范围，其解有下面三种情况：①时一元一次方程，有唯一解．②，时，方程无解．③，时，方程有无数个解．2．一元二次方程(1)一元二次方程的一般形式：(2)一元二次方程的解法特殊解法：①直接开平方法：一般解法：①配方法②公式法：*(3)一元二次方程根的判别式：①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程无实数根．④方程有两个实数根。反之：①一元二次方程有两个不等实根②一元二次方程有两个相等实根③一元二次方程无实根④一元二次方程有两个实根结论：（1）若二次三项式是完全平方式，则方程的判别式=0。（2）方程有实数根，包括两种情况：①有两个实数根，②，只有一个实数根。说明：根的判别式最常见的用法有：①不解方程判别一元二次方程根的情况。②由方程根的情况确定某些字母的值或范围．*（4）、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：如果的两个根是，则，．\n①②，③（5）、一元二次方程的应用题（1）商品利润问题：每件商品利润=售价–进价涨价时：商品总利润=每件商品利润×商品件数=(原来利润+涨价)×（原来件数–减少件数）降价时：商品总利润=每件商品利润×商品件数=(原来利润–降价)×（原来件数+增加件数）（2）增长率问题：①（其中是原来数量，是增长次数，是次增长后到达数）②（3）矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法。3．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．(三)多元方程组1．二元一次方程组(1)一般形式：（不全为0）(2)解法：二元一次方程组一元一次方程组．2．三元一次方程组(1)一般形式：(2)解法：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组．3．二元二次方程组(1)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．(2)由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组．基本解法是：消元，转化为解一元二次方程；降次，转化为解二元一次方程组．\n(四)列方程(组)解应用题列方程(组)解应用题，千万不要死记硬背例题的类型及其解法，要具体问题具体分析，一般来讲，应按下面的步骤进行：1．审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够表示应用问题的全部含义的等量关系．2．设未知数：选择一个或几个适当的未知量，用字母表示，并根据题目的数量关系，用含未知数的代数式表示相关的未知量．3．列方程(组)：根据等量关系列出方程(组)．4．解方程(组)：其过程可以省略，但要注意技巧和方法。5．检验：首先检查所列方程(组)是否正确，然后检验所得方程的解是否符合题意．6．写答：不要忘记单位名称．四、不等式与不等式组(一)一元一次不等式的解法即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为(或)()的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．说明：在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：①当时，(或)．②当时，(或)．③当时，若，不等式无解(或不等式的解集为一切实数)．④当时，若，不等式的解为一切实数(或不等式无解)．(二)一元一次不等式组的解法即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中)．口诀不等式组解集在数轴上表示同小取小同大取大大小取中两背为空不等式组无解五、函数及其图象\n(一)平面直角坐标系在平面内画两条有公共原点且互相垂直的数轴，就建立了平面直角坐标系，该平面就叫坐标平面．1．坐标平面的结构：由四个象限和两条坐标轴构成．注意：两条坐标轴不属于任何象限．2．点的坐标：设点P是坐标平面内的任一点，由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上的一个实数；由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上一个实数，则点P的坐标就是()，其中叫点P的横坐标，叫做点P的纵坐标．说明：点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种非常重要的方法，要注意横坐标与纵坐标的顺序不能颠倒．☆3．不同位置点的坐标的特征(1)坐标轴上点的坐标的特征①轴上点的纵坐标为0，一般记为P(x，0)·②y轴上点的横坐标为0，一般记为Q(0，y)(2)各象限内点的坐标的特征如：点P(x，y)在第一象限x>0，y>0点P(x，y)在第二象限x<0，y>0点P(x，y)在第三象限x<0，y<0点P(x，y)在第四象限x>0，y<0☆4．点坐标的几何意义(1)点到x轴的距离是．(2)点到y轴的距离是．(3)点到原点的距离是．☆5．关于坐标轴、原点对称的两点坐标的特征：(1)点关于x轴的对称点是．(2)点关于y轴的对称点是．(3)点关于原点的对称点是．☆6．(1)若PQ∥x轴，则．(2)若PQ∥y轴，则．\n☆7．若，，当是线段AB的中点时☆8.若，，则9．坐标平面内的点和有序实数对(x，y)之间建立了一一对应关系．(二)函数的概念1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量．2．函数：在某一变化过程中的两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，其中x做自变量，y是因变量．(1)自变量取值范围的确定①整式函数自变量的取值范围是全体实数．②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数．③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义．(2)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．3．函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法．由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线．(三)几类特殊函数1．一次函数(见下表)函数解析式自变量取值范围图象增减性正比例函数全体实数①当k>0时，y随x增大而增大；②当k><0时，y随x增大而减小。一次函数全体实数☆说明：直线位置与常数的关系\n(1)决定直线的倾斜角(直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角的大小)．①倾斜角为锐角．②直线过点(0，b)且平行于x轴的直线．③倾斜角为钝角．(2)b决定直线与y轴交点的位置．①b>0直线与y轴交点在x轴的上方．②b=0直线过原点．③b<0直线与y轴交点在x轴的下方；(3)如图l，图2图1(4)如图2，(5)设直线上有两点，，，则2．二次函数开口方向对称轴直线直线直线顶点坐标()增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；最值当，当，当，求用代入法注意：抛物线位置由决定．(1)决定抛物线的开口方向①开口向上．②开口向下．(2)决定抛物线与y轴交点的位置．①图象与y轴交点在x轴上方．②图象过原点．③图象与y轴交点在x轴下方．\n(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)①同号对称轴在y轴左侧．②对称轴是y轴．③异号对称轴在y轴右侧．(4)顶点坐标．(5)决定抛物线与x轴的交点情况．、①△>0抛物线与x轴有两个不同交点．②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)．③△<0抛物线与x轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值．②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．（7）的符号的判定：表达式，请代值，对应y值定正负；对称轴，用处多，三种式子相约；轴两侧判，左同右异中为0；1的两侧判，左同右异中为0；-1两侧判，左异右同中为0.（8）函数图象的平移：左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。（9）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）。（10）结论：①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0；②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称；③二次函数(经过原点，则。（11）二次函数的解析式：①一般式：(，用于已知三点。②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。③交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。3．反比例函数（1）反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数，称为反比例函数。其中自变量的取值范围为\n。与成反比例（2）、反比例函数的图象和性质k的符号k＞0k＜0图像的大致位置经过象限第象限第象限性质在每一象限内，y随x的增大而在每一象限内，y随x的增大而（1）反比例函数的图象是两支双曲线。（2）图象过一、三象限在每一象限内，的值随值的增大而减小；图象过二、四象限在每一象限内，的值随值的增大而增大。顺口溜：反比性质很特殊，一三k正二四负；一增一减k为正，同增同减k是负。（3）反比例函数是既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称中心是原点。（4）的几何意义（3）设是反比例函数图象上任一点，过点P作轴、轴的垂线，垂足为A，则（1）△OPA的面积．（2）矩形OAPB的面积。这就是系数的几何意义．并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。矩形PCEF面积=，平行四边形PDEA面积=说明：k决定双曲线的位置．\n(1)k>0图象在一、三象限内．(2)k<0图象在二、四象限内．第二部分统计与概率主要内容是学习现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生的可能性的刻画，来帮助人们做出合理的推断和预测，以下分别从各个知识点加以整理概述．一、统计初步(一)总体和样本1．总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．2．样本和样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．样本容量没有单位。3．数据收集与处理的有关概念(1)普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查；(2)从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查。(3)利用抽样收集数据时应注意考虑以下三点：①被调查的对象不得太少．②被调查的对象应有随机性．③被调查的数据应是真实的．(二)反映数据集中趋势的特征数1．平均数(1)，，…的平均数：(2)加权平均数：如果n个数据中，出现次，出现次，……，出现次(这里)，则(3)平均数的简化计算：当一组数据，，…中各数据的数值较大，并且都与常数接近时，设，，…的平均数为，则．2．中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数．3．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据的众数可能不止一个．4．极差：最大值减去最小值的差．(三)反映数据波动大小的特征数1．方差\n(1)，，…的方差：（2）说明：当，，…为较小的整数时，用该公式计算方差较简便．(3)，，…方差为，设、为常数，则，，…的方差为；，，…的方差为说明，，…各数据较大且与常数较接近时，用该法计算方差较简便．2．标准差：方差()的算术平方根叫做标准差(s)．(四)频率分布1．有关概念(1)分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5—12组．(2)频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于数据总数n．(3)频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l．(4)频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表．(5)频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果，．以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图．①图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。②每个小长方形的面积等于该组的频率。③所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1．④样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另IJ占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布．2．研究频率分布的方法：得到一组数据的频率分布的方法，通常是先整理数据，后画频率分布直方图．其步骤是：①计算最大值与最小值的差．②决定组距与组数．③决定分点④列频率分布表．⑤绘频率分布直方图．(五)各种统计图的特点1．条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目．2．折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况．3．扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比．二、概率\n1．必然事件：对于一个事件，如果每一次都能发生或者百分之百发生的事件称为必然事件．不可能事件：对于一个事件，一定不能发生的事件称为不可能事件．2．等可能事件：一个事件只有两种结果，即一正一反，并且他们的可能性相同则称为等可能事件．等可能事件必须具备条件均等及随机性．3．概率简记作4．几种概率(1)必然事件概率为1，记作P(必然事件)=1(2)不可能事件概率为0，记作P(不可能事件)=0(3)如果A为不确定事件，那么0Rd=RdR+rd=R+rR-r