hgbAAA2018初中数学中考模拟试卷 100页

绝密★启用前2018年04月21日lht112的初中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上　第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共6小题）1．如图.将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置.此时点D恰好与AF的中点重合.AE交CD于点H.若BC=.则HC的长为（　　）A．4B．C．D．62．在△ABC中.∠BAC=90°.AB=2AC.点A（2.0）、B（0.4）.点C在第一象限内.双曲线y=（x＞0）经过点C．将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度.使点A恰好落在双曲线上.则m的值为（　　）..\nA．2B．C．3D．3．如图.四边形ABCD中.AB=4.BC=6.AB⊥BC.BC⊥CD.E为AD的中点.F为线段BE上的点.且FE=BE.则点F到边CD的距离是（　　）A．3B．C．4D．4．如图.正方形ABCD中．点E.F分别在BC.CD上.△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H.若S△EGH=3.则S△ADF=（　　）A．6B．4C．3D．25．如图.若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k.则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　）A．B．C．..\nD．6．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1.把正方形放在正六边形中.使OK边与AB边重合.如图所示.按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转.使KM边与BC边重合.完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转.使MN边与CD边重合.完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中.点B.M间的距离可能是（　　）A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5　..\n第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题）7．如图.在△ABC中.∠A=90°.AC=3.AB=4．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动；同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动．当点Q到达点A时.P、Q两点同时停止运动.过点P的一条直线与BC交于点D．设运动时间为t秒.当t为　　秒时.将△PBD沿PD翻折.使点B恰好与点Q重合．8．如图.已知点A是一次函数y=x（x≥0）图象上一点.过点A作x轴的垂线l.B是l上一点（B在A上方）.在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC.反比例函数y=（x＞0）的图象过点B.C.若△OAB的面积为6.则△ABC的面积是　　．9．如图.D是等边△ABC边AB上的点.AD=2.DB=4．现将△ABC折叠.使得点C与点D重合.折痕为EF.且点E、F分别在边AC和BC上.则=　　．..\n10．如图1.E为矩形ABCD的边AD上一点.点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止.点Q从点B出发沿BC运动到点C停止.它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动.设运动时间为t（s）.△BPQ的面积为y（cm2）.已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时.△BPQ是等腰三角形；②S△ABE=48cm2；③当14＜t＜22时.y=110﹣5t；④在运动过程中.使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时.t=14.5．其中正确结论的序号是　　．11．如图.正方形ABCD的边长为2.AD边在x轴负半轴上.反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E.则k的值为　　．12．如图.△OAB中.∠OAB=90°.OA=AB=1．以OB为直角边向外作等腰直角三角形OBB1.以OB1为直角边向外作等腰直角三角形OB1B2.以OB2为直角边向外作等腰直角三角形OB2B3.….连接AB1.BB2.B1B3.….分别与OB.OB1.OB2.…交于点C1.C2.C3.….按此规律继续下去.△ABC1的面积记为S1.△BB1C2的面积记为S2.△B1B2C3的面积记为S3.….则S2017=　　．..\n　评卷人得分三．解答题（共28小题）13．如图.已知A（﹣4.）.B（﹣1.2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0.m＜0）图象的两个交点.AC⊥x轴于C.BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内.当x取何值时.一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点.连接PC.PD.若△PCA和△PDB面积相等.求点P坐标．14．如图.⊙O是△ABC的外接圆.AC是直径.过点O作OD⊥AB于点D.延长DO交⊙O于点P.过点P作PE⊥AC于点E.作射线DE交BC的延长线于F点.连接PF．（1）若∠POC=60°.AC=12.求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．..\n15．如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.BC=10cm.AD=8cm．点P从点B出发.在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动.与此同时.垂直于AD的直线m从底边BC出发.以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移.分别交AB、AC、AD于E、F、H.当点P到达点C时.点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时.连接DE、DF.求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中.所形成的△PEF的面积存在最大值.当△PEF的面积最大时.求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t.使△PEF为直角三角形？若存在.请求出此时刻t的值；若不存在.请说明理由．16．如图.抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）.与y轴相交于点C.顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC.与抛物线的对称轴交于点E.点P为线段BC上的一个动点.过点P作PF∥DE交抛物线于点F.设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长.并求出当m为何值时.四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S.求S与m的函数关系式．..\n17．如图.已知抛物线y=x2+x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）.与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标．（2）若点M为抛物线的顶点.连接BC、CM、BM.求△BCM的面积．（3）连接AC.在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．18．在平面直角坐标系中.直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0.3）、B（3.0）.C为线段OB上一动点.以AC为边向右作正方形ACDE.连接EB.EB与CD相交于点P．（1）求直线AB的解析式；（2）证明：BE⊥BC；（3）求点P到达最高位置时的坐标．19．如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.E是AB上一点.以CE为直径的⊙O交BC于点F.连接DO.且∠DOC=90°．..\n（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF=2.DC=6.求BE的长．20．某超市销售一种成本为每台20元的台灯.规定销售单价不低于成本价.又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数.如下表所示：x22242628y90807060（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润.这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？（3）设超市每月台灯销售利润为ω（元）.求ω与x之间的函数关系式.当x取何值时.ω的值最大？最大值是多少？21．已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置.点D在△ABC内.连接BD、CD和CE.且∠DCE=90°．（1）如图①.当△ABC和△ADE均为等边三角形时.试确定AD、BD、CD三条线段的关系.并说明理由；（2）如图②.当BA=BC=2AC.DA=DE=2AE时.试确定AD、BD、CD三条线段的关系.并说明理由；（3）如图③.当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时.请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．22．如图.在平面直角坐标系中.△ABC的一边AB在x轴上.∠ABC=90°...\n点C（4.8）在第一象限内.AC与y轴交于点E.抛物线y=+bx+c经过A、B两点.与y轴交于点D（0.﹣6）．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）求ED的长；（3）点P是x轴下方抛物线上一动点.设点P的横坐标为m.△PAC的面积为S.试求出S与m的函数关系式；（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合）.抛物线上是否存在点N.使∠CAN=∠MAN．若存在.请直接写出点N的坐标；若不存在.请说明理由．23．如图.已知抛物线y=﹣x2+bx+与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.其中点A的坐标为（﹣3.0）（1）求b的值及点B的坐标；（2）试判断△ABC的形状.并说明理由；（3）一动点P从点A出发.以每秒2个单位的速度向点B运动.同时动点Q从点B出发.以每秒1个单位的速度向点C运动（当点P运动到点B时.点Q随之停止运动）.设运动时间为t秒.当t为何值时△PBQ与△ABC相似？24．如图所示.AB是⊙O的直径.P为AB延长线上的一点.PC切⊙O于点C.AD⊥PC.垂足为D.弦CE平分∠ACB.交AB于点F.连接AE．（1）求证：∠CAB=∠CAD；（2）求证：PC=PF；（3）若tan∠ABC=.AE=5.求线段PC的长．..\n25．如图.已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A.与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点B（﹣2.n）.过点B作BC⊥x轴于点C.点D（3﹣3n.1）是该反比例函数图象上一点．（1）求m的值；（2）若∠DBC=∠ABC.求一次函数y=kx+b的表达式．26．如图1.在四边形ABCD中.如果对角线AC和BD相交并且相等.那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中.　　一定是等角线四边形（填写图形名称）；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点.当对角线AC、BD还要满足　　时.四边形MNPQ是正方形．（2）如图2.已知△ABC中.∠ABC=90°.AB=4.BC=3.D为平面内一点．①若四边形ABCD是等角线四边形.且AD=BD.则四边形ABCD的面积是　　；②设点E是以C为圆心.1为半径的圆上的动点.若四边形ABED是等角线四边形.写出四边形ABED面积的最大值.并说明理由．..\n27．如图.在平面直角坐标系xOy.已知二次函数y=﹣x2+bx的图象过点A（4.0）.顶点为B.连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点.点Q在线段AB上.设点B关于直线CQ的对称点为B'.当△OCB'为等边三角形时.求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上.OD=2DB.点E、F在△OAB的边上.且满足△DOF与△DEF全等.求点E的坐标．28．如图.已知一次函数y=﹣x+4的图象是直线l.设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上.将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N.以点N为圆心.NA的长为半径作⊙N．①当⊙N与x轴相切时.求点M的坐标；②在①的条件下.设直线AN与x轴交于点C.与⊙N的另一个交点为D.连接MD交x轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q.当△APQ与△CDE相似时.求点P的坐标．29．如图.已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l.0）.B（﹣3.0）.与y轴交于点C.抛物线的顶点为D.对称轴与x轴相交于点E.连接BD．（1）求抛物线的解析式．..\n（2）若点P在直线BD上.当PE=PC时.求点P的坐标．（3）在（2）的条件下.作PF⊥x轴于F.点M为x轴上一动点.N为直线PF上一动点.G为抛物线上一动点.当以点F.N.G.M四点为顶点的四边形为正方形时.求点M的坐标．30．如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.且OA=2.OB=8.OC=6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发.在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动.同时.点N从B出发.在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动.当其中一个点到达终点时.另一个点也停止运动.当△MBN存在时.求运动多少秒使△MBN的面积最大.最大面积是多少？（3）在（2）的条件下.△MBN面积最大时.在BC上方的抛物线上是否存在点P.使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在.求点P的坐标；若不存在.请说明理由．31．如图.已知AB为⊙O的直径.AD、BD是⊙O的弦.BC是⊙O的切线.切点为B.OC∥AD.BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；..\n（2）若AE=1.ED=3.求⊙O的半径．32．如图.在平面直角坐标系中.坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行.点B（1.﹣2）.反比例函数y=（k≠0）的图象经过A.C两点．（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E.求以O.C.E为顶点的三角形的面积．33．如图1.在平面直角坐标系中.直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6.0）.N（0.2）.等边△ABC的顶点B与原点O重合.BC边落在x轴正半轴上.点A恰好落在线段MN上.将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移.边AB.AC分别与线段MN交于点E.F（如图2所示）.设△ABC平移的时间为t（s）．（1）等边△ABC的边长为　　；（2）在运动过程中.当t=　　时.MN垂直平分AB；（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时.若△PEF与△MNO相似．求t的值；②当点P在线段AC上运动时.设S△PEF=S.求S与t的函数关系式...\n并求出S的最大值及此时点P的坐标．34．如图.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点.B点坐标为（3.0）．与y轴交于点C（0.3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上.过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E.与y轴交于点F.求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时.求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形.求点D的纵坐标的取值范围．35．【操作发现】如图①.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°.点B的对应点为B′.点C的对应点为C′.连接BB′；（2）在（1）所画图形中.∠AB′B=　　．【问题解决】..\n如图②.在等边三角形ABC中.AC=7.点P在△ABC内.且∠APC=90°.∠BPC=120°.求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考.对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°.得到△AP′B.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°.得到△AP′C′.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法.完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③.在四边形ABCD中.AE⊥BC.垂足为E.∠BAE=∠ADC.BE=CE=2.CD=5.AD=kAB（k为常数）.求BD的长（用含k的式子表示）．36．如图①.在平面直角坐标系中.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A.B.C三点.其中点A的坐标为（﹣3.0）.点B的坐标为（4.0）.连接AC.BC．动点P从点A出发.在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时.动点Q从点O出发.在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动.当其中一点到达终点时.另一点随之停止运动.设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=　　.c=　　；（2）在点P.Q运动过程中.△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方.该二次函数的图象上是否存在点M.使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在.请求出运动时间t；若不存在.请说明理由；（4）如图②.点N的坐标为（﹣.0）.线段PQ的中点为H.连接NH.当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时.请直接写出点Q′的坐标．..\n37．如图1.抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2.0）、B（0.﹣2）两点.点C在y轴上.△ABC为等边三角形.点D从点A出发.沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.设运动时间为t秒（t＞0）.过点D作DE⊥AC于点E.以DE为边作矩形DEGF.使点F在x轴上.点G在AC或AC的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折.得矩形D'E'GF.当点D的对称点D'落在抛物线上时.求此时点D'的坐标；（3）如图2.在x轴上有一点M（2.0）.连接BM、CM.在点D的运动过程中.设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S.直接写出S与t之间的函数关系式.并写出自变量t的取值范围．38．如图.AB=16.O为AB中点.点C在线段OB上（不与点O.B重合）.将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD.AP.BQ分别切优弧于点P.Q.且点P.Q在AB异侧.连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=4时.求的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部.求OC的取值范围．..\n39．平面内.如图.在▱ABCD中.AB=10.AD=15.tanA=.点P为AD边上任意点.连接PB.将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．（1）当∠DPQ=10°时.求∠APB的大小；（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时.求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上.直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）40．如图.直角坐标系xOy中.A（0.5）.直线x=﹣5与x轴交于点D.直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣5分别交于点C.E.点B.E关于x轴对称.连接AB．（1）求点C.E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO.求S的值；（3）在求（2）中S时.嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置.而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC.这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算.发现S△AOC≠S.请通过计算解释他的想法错在哪里．　..\n..\n\n2018年04月21日lht112的初中数学组卷参考答案与试题解析　一．选择题（共6小题）1．如图.将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置.此时点D恰好与AF的中点重合.AE交CD于点H.若BC=.则HC的长为（　　）A．4B．C．D．6【分析】根据旋转后AF的中点恰好与D点重合.利用旋转的性质得到直角三角形ACD中.∠ACD=30°.再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°.进而得到∠EAC=∠DCA.利用等角对等边得到AH=CH.根据BC、AD的长.即可得到CH的长．【解答】解：由旋转的性质可知：AC=AF.∵D为AF的中点.∴AD=AC.∵四边形ABCD是矩形.∴AD⊥CD.∴∠ACD=30°.∵AB∥CD.∴∠CAB=30°.∴∠EAF=∠CAB=30°.∴∠EAC=30°.∴AH=CH.∴DH=AH=CH.∴CH=2DH.∵CD=AD=BC=6.∴HC=CD=4．..\n故选：A．　2．在△ABC中.∠BAC=90°.AB=2AC.点A（2.0）、B（0.4）.点C在第一象限内.双曲线y=（x＞0）经过点C．将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度.使点A恰好落在双曲线上.则m的值为（　　）A．2B．C．3D．【分析】作CH⊥x轴于H．由相似三角形的性质求出点C坐标.求出k的值即可解决问题；【解答】解：作CH⊥x轴于H．∵A（2.0）、B（0.4）.∴OA=2.OB=4.∵∠ABO+∠OAB=90°.∠OAB+∠CAH=90°.∴∠ABO=∠CAH.∵∠AOB=∠AHC.∴△ABO∽△CAH.∴===2.∴CH=1.AH=2.∴C（4.1）...\n∵C（4.1）在y=上.∴k=4.∴y=.当x=2时.y=2.∵将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度.使点A恰好落在双曲线上.∴m=2.故选：A．　3．如图.四边形ABCD中.AB=4.BC=6.AB⊥BC.BC⊥CD.E为AD的中点.F为线段BE上的点.且FE=BE.则点F到边CD的距离是（　　）A．3B．C．4D．【分析】过E作EG⊥CD于G.过F作FH⊥CD于H.过E作EQ⊥BC于Q.依据平行线分线段成比例定理.即可得到HP=CQ=3.FP=BQ=1.进而得出FH=1+3=4．【解答】解：如图所示.过E作EG⊥CD于G.过F作FH⊥CD于H.过E作EQ⊥BC于Q.则EG∥FH∥BC.AB∥EQ∥CD.四边形CHPQ是矩形.∵AB∥EQ∥CD.∴.∵E是AD的中点.∴BQ=CQ=3.∴HP=CQ=3.∵FP∥BQ.∴.∵FE=BE.∴FP=BQ=1...\n∴FH=1+3=4．故选：C．　4．如图.正方形ABCD中．点E.F分别在BC.CD上.△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H.若S△EGH=3.则S△ADF=（　　）A．6B．4C．3D．2【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF.从而得出∠BAE=∠DAF.BE=DF.由正方形的性质就可以得出EC=FC.就可以得出AC垂直平分EF.得到EG=GF.根据相似三角形的性质得到S△EFC=12.设AD=x.则DF=x﹣2.根据勾股定理得到AD=+3.DF=3﹣.根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴AB=BC=CD=AD.∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形.∴AE=EF=AF.∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中..∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.∴BE=DF.∵BC=CD.∴BC﹣BE=CD﹣DF.即CE=CF.∴△CEF是等腰直角三角形.∵AE=AF...\n∴AC垂直平分EF.∴EG=GF.∵GH⊥CE.∴GH∥CF.∴△EGH∽△EFC.∵S△EGH=3.∴S△EFC=12.∴CF=2.EF=4.∴AF=4.设AD=x.则DF=x﹣2.∵AF2=AD2+DF2.∴（4）2=x2+（x﹣2）2.∴x=+3.∴AD=+3.DF=3﹣.∴S△ADF=AD•DF=6．故选：A．　5．如图.若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k.则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　）..\nA．B．C．D．【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点.得出k=4.即可得出答案．【解答】解：抛物线y=﹣x2+3.当y=0时.x=±；当x=0时.y=3.则抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣1.1）.（0.1）.（0.2）.（1.1）；共有4个.∴k=4；故选：D．　6．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1.把正方形放在正六边形中.使OK边与AB边重合.如图所示.按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转.使KM边与BC边重合.完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转.使MN边与CD边重合.完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中.点B.M间的距离可能是（　　）A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5【分析】如图.在这样连续6次旋转的过程中.点M的运动轨迹是图中的红线.观察图象可知点B.M间的距离大于等于2﹣小于等于1.由此即可判断．..\n【解答】解：如图.在这样连续6次旋转的过程中.点M的运动轨迹是图中的红线.观察图象可知点B.M间的距离大于等于2﹣小于等于1.故选C．　二．填空题（共6小题）7．如图.在△ABC中.∠A=90°.AC=3.AB=4．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动；同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动．当点Q到达点A时.P、Q两点同时停止运动.过点P的一条直线与BC交于点D．设运动时间为t秒.当t为　或2或　秒时.将△PBD沿PD翻折.使点B恰好与点Q重合．【分析】先根据勾股定理求BC的长.分两种情况：①当Q在BC上时.如图1.证明△PDB∽△CAB.则.可得t的值；②当Q在AC上时.如图2.由勾股定理得：PQ2=PA2+AQ2.则（4﹣t）2=t2+（8﹣4t）2.可得t的值．【解答】解：∵∠A=90°.AC=3.AB=4.∴BC=5.分两种情况：①当Q在BC上时.如图1.由题意得：PA=t.BQ=4t...\n由B与Q对称可知：PD⊥BQ.BD=DQ=2t.∴PB=PQ=4﹣t∵∠PDB=∠A=90°.∠B=∠B.∴△PDB∽△CAB.∴.∴.∴t=；②当Q在AC上时.如图2.CQ=4t﹣5.∴AQ=AC﹣CQ=3﹣（4t﹣5）=8﹣4t.连接BQ.∵B、Q对称.∴PD是BQ的垂直平分线.∴PB=PQ=4﹣t.Rt△PQA中.由勾股定理得：PQ2=PA2+AQ2.（4﹣t）2=t2+（8﹣4t）2.2t2﹣7t+6=0.（t﹣2）（2t﹣3）=0.t1=2.t2=.∵Q在AC上.∴＜t≤2.t=2时.Q与A重合.如图3.综上所述.当t为秒或2秒或秒时.将△PBD沿PD翻折.使点B恰好与点Q重合．故答案为：或2或．..\n　8．如图.已知点A是一次函数y=x（x≥0）图象上一点.过点A作x轴的垂线l.B是l上一点（B在A上方）.在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC.反比例函数y=（x＞0）的图象过点B.C.若△OAB的面积为6.则△ABC的面积是　3　．【分析】本题介绍两种解法：解法一：设A（t.）、B（t.）.根据反比例函数关于y=x对称可得C（.t）.得：CE=.则DE=t=2CE.则发现△ABC和△ABO两个三角形是同底边.根据高的倍数可得：S△ABO=2S△ABC.可得结论；解法二：作辅助线.构建直角三角形.设AB=2a.根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE=AE=CE=a.设A（x.x）.则B（x.x+2a）.C（x+a.x+a）.因为B、C都在反比例函数的图象上.列方程可得结论．【解答】解：解法一：设A（t.）、B（t.）.∵△ABC是等腰直角三角形.且AB⊥x轴...\n∴直线BC与y轴夹角为45度角.所以根据双曲线的对称性可得.C（.t）.过C作CE垂直AB于E.交y轴于D.则CE=.则DE=t=2CE.则S△ABO=2S△ABC.∵△OAB的面积为6.∴S△ABC=3；解法二：如图.过C作CD⊥y轴于D.交AB于E.∵AB⊥x轴.∴CD⊥AB.∵△ABC是等腰直角三角形.∴BE=AE=CE.设AB=2a.则BE=AE=CE=a.设A（x.x）.则B（x.x+2a）.C（x+a.x+a）.∵B.C在反比例函数的图象上.∴x（x+2a）=（x+a）（x+a）.x=2a.∵S△OAB=AB•DE=•2a•x=6.∴ax=6.∴2a2=6.a2=3.∵S△ABC=AB•CE=•2a•a=a2=3．故答案为：3．　9．如图.D是等边△ABC边AB上的点.AD=2.DB=4．现将△ABC折叠...\n使得点C与点D重合.折痕为EF.且点E、F分别在边AC和BC上.则=　　．【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF.根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠A=∠B=∠C=60°.AB=AC=BC=6.由折叠的性质可知.∠EDF=∠C=60°.EC=ED.FC=FD.∴∠AED=∠BDF.∴△AED∽△BDF.∴===.∴==.故答案为：．　10．如图1.E为矩形ABCD的边AD上一点.点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止.点Q从点B出发沿BC运动到点C停止.它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动.设运动时间为t（s）.△BPQ的面积为y（cm2）.已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时.△BPQ是等腰三角形；②S△ABE=48cm2；③当14＜t＜22时.y=110﹣5t；④在运动过程中.使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时.t=14.5．其中正确结论的序号是　①③⑤　．【分析】由图2可知.在点（10.40）至点（14.40）区间.△BPQ的面积不变...\n因此可推论BC=BE.由此分析动点P的运动过程如下：（1）在BE段.BP=BQ；持续时间10s.则BE=BC=10；y是t的二次函数；（2）在ED段.y=40是定值.持续时间4s.则ED=4；（3）在DC段.y持续减小直至为0.y是t的一次函数．【解答】解：由图象可以判定：BE=BC=10cm．DE=4cm.当点P在ED上运动时.S△BPQ=BC•AB=40cm2.∴AB=8cm.∴AE=6cm.∴当0＜t≤10时.点P在BE上运动.BP=BQ.∴△BPQ是等腰三角形.故①正确；S△ABE=AB•AE=24cm2.故②错误；当14＜t＜22时.点P在CD上运动.该段函数图象经过（14.40）和（22.0）两点.解析式为y=110﹣5t.故③正确；△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB=AP时.ED上存在一个符号题意的P点.当BA=BO时.BE上存在一个符合同意的P点.当PA=PB时.点P在AB垂直平分线上.所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点.共有4个点满足题意.故④错误；⑤△BPQ与△ABE相似时.只有；△BPQ∽△BEA这种情况.此时点Q与点C重合.即==.∴PC=7.5.即t=14.5．故⑤正确．综上所述.正确的结论的序号是①③⑤．故答案是：①③⑤．..\n　11．如图.正方形ABCD的边长为2.AD边在x轴负半轴上.反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E.则k的值为　﹣4　．【分析】根据AB=AD=2.设B（.2）.由E是CD边中点.得到E（﹣2.1）.于是得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2.∴AB=AD=2.设B（.2）.∵E是CD边中点.∴E（﹣2.1）.∴﹣2=k.解得：k=﹣4.故答案为：﹣4．　12．如图.△OAB中.∠OAB=90°.OA=AB=1．以OB为直角边向外作等腰直角三角形OBB1.以OB1为直角边向外作等腰直角三角形OB1B2.以OB2为直角边向外作等腰直角三角形OB2B3.….连接AB1.BB2.B1B3.….分别与OB.OB1.OB2.…交于点C1.C2.C3.….按此规律继续下去.△ABC1的面积记为S1.△BB1C2的面积记为S2.△B1B2C3的面积记为S3.….则S2017=　×22015．　．..\n【分析】求出S1.S2.S3.S4.探究规律后.利用规律即可解决问题．【解答】解：∵AB∥OB1.∴==.∴S1=S△AOB=×.易知=1.S2==.S3=×2.S4=×22.…Sn=×2n﹣2.∴S2017=×22015．故答案为×22015．　三．解答题（共28小题）13．如图.已知A（﹣4.）.B（﹣1.2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0.m＜0）图象的两个交点.AC⊥x轴于C.BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内.当x取何值时.一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点.连接PC.PD.若△PCA和△PDB面积相等.求点P坐标．..\n【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时.一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式.然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t.t+）.利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣）.解方程得到t=﹣.从而可确定P点坐标．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时.一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4.）.B（﹣1.2）代入y=kx+b得.解得.所以一次函数解析式为y=x+.把B（﹣1.2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t.t+）.∵△PCA和△PDB面积相等.∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣）.即得t=﹣.∴P点坐标为（﹣.）．　14．如图.⊙O是△ABC的外接圆.AC是直径.过点O作OD⊥AB于点D.延长DO交⊙O于点P.过点P作PE⊥AC于点E.作射线DE交BC的延长线于F点.连接PF．（1）若∠POC=60°.AC=12.求劣弧PC的长；（结果保留π）..\n（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．【分析】（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）方法1、连接AP.PC.证出PC为EF的中垂线.再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD=BF.进而判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：∵AC=12.∴CO=6.∴==2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC.OD⊥AB.∠PEA=90°.∠ADO=90°在△ADO和△PEO中..∴△POE≌△AOD（AAS）.∴OD=EO；（3）证明：法一：如图.连接AP.PC.∵OA=OP.∴∠OAP=∠OPA...\n由（2）得OD=EO.∴∠ODE=∠OED.又∵∠AOP=∠EOD.∴∠OPA=∠ODE.∴AP∥DF.∵AC是直径.∴∠APC=90°.∴∠PQE=90°∴PC⊥EF.又∵DP∥BF.∴∠ODE=∠EFC.∵∠OED=∠CEF.∴∠CEF=∠EFC.∴CE=CF.∴PC为EF的中垂线.∴∠EPQ=∠QPF.∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP.∴∠QPF=∠EAP.∴∠QPF=∠OPA.∵∠OPA+∠OPC=90°.∴∠QPF+∠OPC=90°.∴OP⊥PF.∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB.∠ABC=90°.∴OD∥BF.∴△ODE∽△CFE又∵OD=OE...\n∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC∴BF=BC+FC=r+BC∵PD=r+OD=r+BC∴PD=BF又∵PD∥BF.且∠DBF=90°.∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF=90°∴OP⊥PF.∴PF是⊙O的切线．方法3、∵AC为直径.∴∠ABC=90°又∵∠ADO=90°.∴PD∥BF∴∠PCF=∠OPC∵OP=OC.∴∠OCP=∠OPC∴∠OCP=∠PCF.即∠ECP=∠FCP∵PD∥BF.∴∠ODE=∠EFC∵OD=OE.∴∠ODE=∠OED又∵∠OED=∠FEC.∴∠FEC=∠EFC∴EC=FC在△PEC与△PFC中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC=∠PEC=90°∴四边形PDBF为矩形..\n∠DPF=90°.即PF为圆的切线．　15．如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.BC=10cm.AD=8cm．点P从点B出发.在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动.与此同时.垂直于AD的直线m从底边BC出发.以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移.分别交AB、AC、AD于E、F、H.当点P到达点C时.点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时.连接DE、DF.求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中.所形成的△PEF的面积存在最大值.当△PEF的面积最大时.求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t.使△PEF为直角三角形？若存在.请求出此时刻t的值；若不存在.请说明理由．【分析】（1）如答图1所示.利用菱形的定义证明；..\n（2）如答图2所示.首先求出△PEF的面积的表达式.然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示.分三种情形.需要分类讨论.分别求解．【解答】（1）证明：当t=2时.DH=AH=4.则H为AD的中点.如答图1所示．又∵EF⊥AD.∴EF为AD的垂直平分线.∴AE=DE.AF=DF．∵AB=AC.AD⊥BC于点D.∴AD⊥BC.∠B=∠C．∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B.∠AFE=∠C.∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF.即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示.由（1）知EF∥BC.∴△AEF∽△ABC.∴.即.解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t＜）.∴当t=2秒时.S△PEF存在最大值.最大值为10cm2.此时BP=3t=6cm．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点.如答图3①所示.此时PE∥AD.PE=DH=2t.BP=3t．..\n∵PE∥AD.∴.即.此比例式不成立.故此种情形不存在；②若点F为直角顶点.如答图3②所示.此时PF∥AD.PF=DH=2t.BP=3t.CP=10﹣3t．∵PF∥AD.∴.即.解得t=；③若点P为直角顶点.如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M.过点F作FN⊥BC于点N.则EM=FN=DH=2t.EM∥FN∥AD．∵EM∥AD.∴.即.解得BM=t.∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中.由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD.∴.即.解得CN=t.∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中.由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中.由勾股定理得：EF2=PE2+PF2.即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0.解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述.当t=秒或t=秒时.△PEF为直角三角形．　..\n16．如图.抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）.与y轴相交于点C.顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC.与抛物线的对称轴交于点E.点P为线段BC上的一个动点.过点P作PF∥DE交抛物线于点F.设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长.并求出当m为何值时.四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S.求S与m的函数关系式．【分析】方法一：（1）已知了抛物线的解析式.当y=0时可求出A.B两点的坐标.当x=0时.可求出C点的坐标．根据对称轴x=﹣可得出对称轴的解析式．（2）PF的长就是当x=m时.抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B.C的坐标求出BC所在直线的解析式.然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中.求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式.可得出E点的坐标.根据抛物线的解析式可求出D点的坐标.然后根据坐标系中两点的距离公式.可求出DE的长.然后让PF=DE.即可求出此时m的值．（3）可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC.以PF为底边.以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB.以PF为底边.以P、B两点的横坐标差的绝对值为高.即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积.可求出关于S、m的函数关系式．【解答】解：（1）A（﹣1.0）.B（3.0）.C（0.3）．..\n抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3.0）.C（0.3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时.y=﹣1+3=2.∴E（1.2）．当x=m时.y=﹣m+3.∴P（m.﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中.当x=1时.y=4．∴D（1.4）当x=m时.y=﹣m2+2m+3.∴F（m.﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2.线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE.∴当PF=ED时.四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2.解得：m1=2.m2=1（不合题意.舍去）．因此.当m=2时.四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M.由B（3.0）.O（0.0）.可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．..\n　17．如图.已知抛物线y=x2+x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）.与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标．（2）若点M为抛物线的顶点.连接BC、CM、BM.求△BCM的面积．（3）连接AC.在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）令y=0求A、B两点横坐标.令x=0求C点纵坐标；（2）由抛物线顶点坐标公式求M点坐标.过M作MN垂直y轴于N.根据S△BCM=SOBMN﹣S△OBC﹣S△MNC求△BCM的面积；（3）根据AC为腰.AC为底两种情况求P点坐标．当AC为腰时.分为A为等腰三角形的顶点.C为等腰三角形的顶点.两种情况求P点坐标；当AC为底时.作线段AC的垂直平分线交x轴于P点.利用三角形相似求OP．【解答】解：（1）令x2+x+2=0.解得x1=﹣1.x2=5．令x=0.则y=2.所以A、B、C的坐标分别是A（﹣1.0）、B（5.0）、C（0.2）；（2）顶点M的坐标是M（2.）．过M作MN垂直y轴于N...\n所以S△BCM=SOBMN﹣S△OBC﹣S△MNC=（2+5）×﹣×5×2﹣×（﹣2）×2=6；（3）当以AC为腰时.在x轴上有两个点分别为P1.P2.易求AC=.则0P1=1+.OP2=﹣1.所以P1.P2的坐标分别是P1（﹣1﹣.0）.P2（﹣1.0）；当以AC为底时.作AC的垂直平分线交x轴于P3.交y轴于F.垂足为E.CE=.易证△CEF∽△COA.所以.所以.CF=.OF=OC﹣CF=2﹣=.EF===．又∵△CEF∽△P3OF.所以..求得OP3=则P3的坐标为P3（.0）．AC=PC.则P4（1.0）．所以存在P1、P2、P3、P4四个点.它们的坐标分别是P1（﹣1﹣.0）、P2（﹣1.0）、P3（.0）、P4（1.0）．　..\n18．在平面直角坐标系中.直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0.3）、B（3.0）.C为线段OB上一动点.以AC为边向右作正方形ACDE.连接EB.EB与CD相交于点P．（1）求直线AB的解析式；（2）证明：BE⊥BC；（3）求点P到达最高位置时的坐标．【分析】（1）首先设直线AB的解析式为：y=kx+b.由直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0.3）.B（3.0）.利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；（2）首先过点E作EF⊥y轴于点F.易证得△AEF≌△CAO（AAS）.则可证得四边形OBEF是矩形.则可得BE⊥BO；（3）首先设点C（a.0）.则可得OC=a.BC=OB﹣OC=3﹣a.易证得△OAC∽△BCP.然后由相似三角形的对应边成比例.求得PB=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+.继而求得答案．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b.∵直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0.3）.B（3.0）.∴.解得：.∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3；（2）过点E作EF⊥y轴于点F.∵四边形ACDE是正方形.∴AC=AE.∠EAC=90°.∴∠EAF+∠OAC=90°.∵∠OAC+∠ACO=90°.∴∠EAF=∠ACO...\n在△AEF和△CAO中..∴△AEF≌△CAO（AAS）.∴EF=OA=4.AF=OC.∴EF=OB.∵EF∥OB.∴四边形OBEF是平行四边形.∵∠FOB=90°.∴四边形OBEF是矩形.∴BE⊥BO；（3）∵∠ACD=90°.∴∠ACO+∠BCP=90°.∵∠ACO+∠OAC=90°.∴∠BCP=∠OAC.∵∠AOC=∠CBP=90°.∴△OAC∽△BCP.∴=.设点C（a.0）.则OC=a.BC=OB﹣OC=3﹣a.∴=.∴PB=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+.∴当a=时.PB最大.最大值为.∴点P到达最高位置时的坐标为：（3.）．..\n　19．如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.E是AB上一点.以CE为直径的⊙O交BC于点F.连接DO.且∠DOC=90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF=2.DC=6.求BE的长．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到OD∥BE.根据平行线的性质、切线的判定定理证明；（2）连接EF、ED.根据等腰三角形的性质求出BF.根据勾股定理求出EF.根据勾股定理计算.得到答案．【解答】（1）证明：∵AB=AC.AD⊥BC.∴CD=DB.又CO=OE.∴OD∥BE.∴∠CEB=∠DOC=90°.∴CE⊥AB.∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接EF、ED.∵BD=CD=6.∴BF=BD﹣DE=4.∵CO=OE.∠DOC=90°.∴DE=DC=6.∵CE为⊙O的直径.∴∠EFC=90°.∴EF==4.∴BE==4．..\n　20．某超市销售一种成本为每台20元的台灯.规定销售单价不低于成本价.又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数.如下表所示：x22242628y90807060（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润.这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？（3）设超市每月台灯销售利润为ω（元）.求ω与x之间的函数关系式.当x取何值时.ω的值最大？最大值是多少？【分析】（1）根据表格中的数据可以求得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可以得到相应的方程.从而可以解答本题；（3）根据题意可以求得ω与x之间的函数关系式.当x取何值时.ω的值最大.最大值是多少．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y=kx+b..得.即y与x之间的函数关系式是y=﹣5x+200；（2）由题意可得.（x﹣20）（﹣5x+200）=375.解得.x1=25.x2=35（舍去）.y=﹣5×25+200=75.答：这种台灯的售价应定25元.这时每月应购进台灯75个；（3）由题意可得.ω=（x﹣20）（﹣5x+200）=﹣5（x﹣30）2+500.∵20≤x≤32...\n∴当x=30时.ω取得最大值.最大值是500．　21．已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置.点D在△ABC内.连接BD、CD和CE.且∠DCE=90°．（1）如图①.当△ABC和△ADE均为等边三角形时.试确定AD、BD、CD三条线段的关系.并说明理由；（2）如图②.当BA=BC=2AC.DA=DE=2AE时.试确定AD、BD、CD三条线段的关系.并说明理由；（3）如图③.当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时.请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE.进而判断出△ABD≌△ACE.最后用勾股定理即可得出结论；（2）先判断出△ABC∽△ADE.进而得出∠BAC=∠DAE.即可判断出△BAD∽△CAE.最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）CD2+BD2=AD2.理由：∵△ABC和△ADE是等边三角形.∴AB=AC.AD=AE=DE.∠BAC=∠DAE=60°.∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中..∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD=CE.在Rt△DCE中.CD2+CE2=DE2.∴CD2+BD2=AD2.（2）CD2+BD2=AD2...\n理由：∵BA=BC=2AC.DA=DE=2AE.∴.∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAD=∠CAE.∵.∴△BAD∽△CAE.∴=2.∴BD=2CE.在Rt△DCE中.CD2+CE2=DE2.∴CD2+BD2=AD2.（3）（mCD）2+（pBD）2=（nAD）2.理由：∵AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p.∴DE=AD.△ABC∽△ADE.∴∠BAC=∠DAE.∵.∴△ABD∽△ACE.∴.∴CE=BD.在Rt△DCE中.CD2+CE2=DE2.∴CD2+BD2=AD2.∴（mCD）2+（pBD）2=（nAD）2　22．如图.在平面直角坐标系中.△ABC的一边AB在x轴上.∠ABC=90°.点C（4.8）在第一象限内.AC与y轴交于点E.抛物线y=+bx+c经过A、B两点.与y轴交于点D（0.﹣6）．..\n（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）求ED的长；（3）点P是x轴下方抛物线上一动点.设点P的横坐标为m.△PAC的面积为S.试求出S与m的函数关系式；（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合）.抛物线上是否存在点N.使∠CAN=∠MAN．若存在.请直接写出点N的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）先确定B（4.0）.再利用待定系数法求出抛物线解析式为y=﹣x﹣6；（2）先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=x+.则可确定E（0.）.然后计算DE的长；（3）如图1.作PQ∥y轴交AC于Q.设P（m.m2﹣x﹣6）.则Q（m.m+）.则PQ=﹣m2+m+.然后根据三角形面积公式.利用S=S△PAQ+S△PCQ计算即可；（4）如图2.当点M在x的正半轴.AN交BC于F.作FH⊥AC于H.根据角平分线的性质得FH=FB.易得AH=AB=6.再利用∠ACB的余弦可求出CF=5.则F（4.3）.接着求出直线AF的解析式为y=x+1.于是通过解方程组得N点坐标为（.）；当点M′在x的负半轴上时.AN′交y轴与G.先在证明∴Rt△OAG∽Rt△BFA.在利用相似比求出OG=4.所以G（0.﹣4）.接下来利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=﹣2x﹣4.然后解方程组得N′的坐标．【解答】解：（1）∵BC⊥x轴.点C（4.8）.∴B（4.0）...\n把B（4.0）.C（0.﹣6）代入y=+bx+c得.解得.∴抛物线解析式为y=﹣x﹣6；（2）设直线AC的解析式为y=px+q.把A（﹣2.0）.C（4.8）代入得.解得.∴直线AC的解析式为y=x+.当x=0时.y=x+=.则E（0.）.∴DE=+6=；（3）如图1.作PQ∥y轴交AC于Q.设P（m.m2﹣x﹣6）.则Q（m.m+）.∴PQ=m+﹣（m2﹣x﹣6）=﹣m2+m+.∴S=S△PAQ+S△PCQ=•6•PQ=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）如图2.当点M在x的正半轴.AN交BC于F.作FH⊥AC于H.则FH=FB.易得AH=AB=6.∵AC===10.∴CH=10﹣6=4.∵cos∠ACB==.∴CF==5.∴F（4.3）.易得直线AF的解析式为y=x+1.解方程组得或.∴N点坐标为（.）；当点M′在x的负半轴上时.AN′交y轴与G.∵∠CAN′=∠M′AN′...\n∴∠KAM′=∠CAK.而∠CAN=∠MAN.∴∠KAC+∠CAN=90°.而∠MAN+∠AFB=90°.∴∠KAC=∠AFB.而∠KAM′=∠GAO.∴∠GAO=∠AFB.∴Rt△OAG∽Rt△BFA.∴=.即=.解得OG=4.∴G（0.﹣4）.易得直线AG的解析式为y=﹣2x﹣4.解方程组得或.∴N′的坐标为（.﹣）.综上所述.满足条件的N点坐标为（.）；（.﹣）．　23．如图.已知抛物线y=﹣x2+bx+与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.其中点A的坐标为（﹣3.0）（1）求b的值及点B的坐标；（2）试判断△ABC的形状.并说明理由；（3）一动点P从点A出发.以每秒2个单位的速度向点B运动.同时动点Q从点B出发.以每秒1个单位的速度向点C运动（当点P运动到点B时.点Q随之停止运动）.设运动时间为t秒.当t为何值时△PBQ与△ABC相似？..\n【分析】（1）把A点坐标代入y=﹣x2+bx+可得到b=﹣.从而得到抛物线解析式.然后解方程﹣x2﹣x+=0可确定B点坐标；（2）先确定C（0.）.再利用两点间的距离公式分别计算AC、BC和AB的长.然后利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形.∠ACB=90°；（3）先表示出AP=t（0≤t≤2）.BQ=t.BC=2.BP=4﹣2t.由于∠QBP=∠CBA.利用相似三角形的判定方法.当=时.△BQP∽△BCA.即=；当=.△BQP∽△BAC.即=.然后分别解关于t的方程即可．【解答】解：（1）把A（﹣3.0）代入y=﹣x2+bx+得﹣×9﹣3b+=0.解得b=﹣.∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+.当y=0时.﹣x2﹣x+=0.解得x1=﹣3.x2=1.∴B点坐标为（1.0）；（2）△ABC为直角三角形．理由如下：当x=0时.y=﹣x2﹣x+=.则C（0.）.∵AC2=32+（）2=12.BC2=12+（）2=4.AB2=16.∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC为直角三角形.∠ACB=90°；（3）AP=t（0≤t≤2）.BQ=t.BC=2.BP=4﹣2t.∵∠QBP=∠CBA.∴当=时.△BQP∽△BCA.即=.解得t=1；..\n当=.△BQP∽△BAC.即=.解得t=.综上所述.t的值为1或时.△PBQ与△ABC相似．　24．如图所示.AB是⊙O的直径.P为AB延长线上的一点.PC切⊙O于点C.AD⊥PC.垂足为D.弦CE平分∠ACB.交AB于点F.连接AE．（1）求证：∠CAB=∠CAD；（2）求证：PC=PF；（3）若tan∠ABC=.AE=5.求线段PC的长．【分析】（1）由切线得：OC⊥PC.再得平行.由同圆的半径相等：OA=OC.根据等边对等角可得结论；（2）证明∠PFC=∠PCF.根据等角对等边可得结论；（3）根据三角函数的比设未知数.利用勾股定理列方程可得结论．【解答】（1）证明：∵PC为⊙O的切线.∴OC⊥PC.∵AD⊥PC.∴AD∥OC.∴∠DAC=∠ACO.∵OA=OC.∴∠OAC=∠ACO.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵CE平分∠ACB...\n∴∠ACE=∠BCE.∴=.∴∠ABE=∠ECB.∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°.∴∠BCP=∠BAC.∵∠BAC=∠BEC.∴∠BCP=∠BEC.∵∠PFC=∠BEC+∠ABE.∠PCF=∠ECB+∠BCP.∴∠PFC=∠PCF.∴PC=PF；（3）解：∵=.∴AE=BE=5.又∵AB是直径.∴∠AEB=90°.AB=BE=10.∴OB=OC=5.∵∠PCB=∠PAC.∠P=∠P.∴△PCB∽△PAC.∴=.∵tan∠ABC==.∴=.设PB=2x.则PC=3x.在Rt△POC中.（2x+5）2=（3x）2+52.解得x1=0（舍）.x2=4.∵x＞0.∴x=4.∴PC=3x=3×4=12．　..\n25．如图.已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A.与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点B（﹣2.n）.过点B作BC⊥x轴于点C.点D（3﹣3n.1）是该反比例函数图象上一点．（1）求m的值；（2）若∠DBC=∠ABC.求一次函数y=kx+b的表达式．【分析】（1）由点B（﹣2.n）、D（3﹣3n.1）在反比例函数y=（x＜0）的图象上可得﹣2n=3﹣3n.即可得出答案；（2）由（1）得出B、D的坐标.作DE⊥BC、延长DE交AB于点F.证△DBE≌△FBE得DE=FE=4.即可知点F（2.1）.再利用待定系数法求解可得．【解答】解：（1）∵点B（﹣2.n）、D（3﹣3n.1）在反比例函数y=（x＜0）的图象上.∴.解得：．（2）由（1）知反比例函数解析式为y=﹣.∵n=3.∴点B（﹣2.3）、D（﹣6.1）.如图.过点D作DE⊥BC于点E.延长DE交AB于点F.在△DBE和△FBE中...\n∵.∴△DBE≌△FBE（ASA）.∴DE=FE=4.∴点F（2.1）.将点B（﹣2.3）、F（2.1）代入y=kx+b.∴.解得：.∴y=﹣x+2．　26．如图1.在四边形ABCD中.如果对角线AC和BD相交并且相等.那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中.　矩形　一定是等角线四边形（填写图形名称）；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点.当对角线AC、BD还要满足　AC⊥BD　时.四边形MNPQ是正方形．（2）如图2.已知△ABC中.∠ABC=90°.AB=4.BC=3.D为平面内一点．①若四边形ABCD是等角线四边形.且AD=BD.则四边形ABCD的面积是　3+2　；②设点E是以C为圆心.1为半径的圆上的动点.若四边形ABED是等角线四边形.写出四边形ABED面积的最大值.并说明理由．【分析】（1）①只有矩形的对角线相等.所以矩形是等角线四边形；②当AC⊥BD时.四边形MNPQ是正方形.首先证明四边形MNPQ是菱形.再证明有一个角是直角即可；（2）①如图2中.作DE⊥AB于E．根据S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC计算...\n求出相关线段即可；②如图3中.设AE与BD相交于点Q.连接CE.只要证明当AC⊥BD且A、C、E共线时.四边形ABED的面积最大即可．【解答】解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中.∵矩形的对角线相等.∴矩形一定是等角线四边形.故答案为矩形．②当AC⊥BD时.四边形MNPQ是正方形．理由：如图1中.∵M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点.∴PQ=MN=AC.PN=QM=BD.PQ∥AC.MQ∥BD.∵AC=BD.∴MN=NP=PQ=QM.∴四边形MNPQ是菱形.∵∠1=∠2.∠2=∠3.∠1=90°.∴∠3=90°.∴四边形NMPQ是正方形．故答案为AC⊥BD．（2）①如图2中.作DE⊥AB于E．在Rt△ABC中.∵∠ABC=90°.AB=4.BC=3...\n∴AC==5.∵AD=BD.DE⊥AB.∴AE=BE=2.∵四边形ABCD是等角线四边形.∴BD=AC=AD=5.在Rt△BDE中.DE==.∴S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC=•AE•DE+•（DE+BC）•BE=×+（+3）×2=3+2．故答案为3+2．②如图3中.设AE与BD相交于点Q.连接CE.作DH⊥AE于H.BG⊥AE于G．则DH≤DQ.BG≤BQ.∵四边形ABED是等角线四边形.∴AE=BD.∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=•AE•DH+•AE•BG=•AE•（GB+DH）≤•AE•（BQ+QD）.即S四边形ABED≤AE•BD.∴当G、H重合时.即BD⊥AE时.等号成立.∵AE=BD.∴S四边形ABED≤AE2.即线段AE最大时.四边形ABED的面积最大...\n∵AE≤AC+CE.∴AE≤5+1.∴AE≤6.∴AE的最大值为6.∴当A、C、E共线时.取等号.∴四边形ABED的面积的最大值为×62=18．　27．如图.在平面直角坐标系xOy.已知二次函数y=﹣x2+bx的图象过点A（4.0）.顶点为B.连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点.点Q在线段AB上.设点B关于直线CQ的对称点为B'.当△OCB'为等边三角形时.求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上.OD=2DB.点E、F在△OAB的边上.且满足△DOF与△DEF全等.求点E的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）先求出OB和AB的长.根据勾股定理的逆定理证明∠ABO=90°.由对称计算∠QCB=60°.利用特殊的三角函数列式可得BQ的长；（3）因为D在OB上.所以F分两种情况：i）当F在边OA上时.ii）当点F在AB上时.当F在边OA上时.分三种情况：①如图2.过D作DF⊥x轴.垂足为F.则E、F在OA上.②如图3.作辅助线.构建△OFD≌△EDF≌△FGE.③如图4.将△DOF沿边DF翻折.使得O恰好落在AB边上.记为点E.当点F在OB上时.过D作DF∥x轴.交AB于F.连接OF与DA.依次求出点E的坐标即可．ii）当点F在AB上时.分两种情况：画出图形可得结论．..\n【解答】解：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：﹣×42+4b=0.解得b=2.∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x．（2）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2.∴B（2.2）.抛物线的对称轴为x=2．如图1所示：由两点间的距离公式得：OB==2.BA==2．∵C是OB的中点.∴OC=BC=．∵△OB′C为等边三角形.∴∠OCB′=60°．又∵点B与点B′关于CQ对称.∴∠B′CQ=∠BCQ=60°．∵OA=4.OB=2.AB=2.∴OB2+AB2=OA2.∴∠OBA=90°．在Rt△CBQ中.∠CBQ=90°.∠BCQ=60°.BC=.∴tan60°=.∴BQ=CB=×=．（3）分两种情况：i）当F在边OA上时.①如图2.过D作DF⊥x轴.垂足为F.∵△DOF≌△DEF.且E在线段OA上.∴OF=FE.由（2）得：OB=2.∵点D在线段BO上.OD=2DB.∴OD=OB=.∵∠BOA=45°.∴cos45°=...\n∴OF=OD•cos45°==.则OE=2OF=.∴点E的坐标为（.0）；②如图3.过D作DF⊥x轴于F.过D作DE∥x轴.交AB于E.连接EF.过E作EG⊥x轴于G.∴△BDE∽△BOA.∴=.∵OA=4.∴DE=.∵DE∥OA.∴∠OFD=∠FDE=90°.∵DE=OF=.DF=DF.∴△OFD≌△EDF.同理可得：△EDF≌△FGE.∴△OFD≌△EDF≌△FGE.∴OG=OF+FG=OF+DE=+=.EG=DF=OD•sin45°=.∴E的坐标为（.）；③如图4.将△DOF沿边DF翻折.使得O恰好落在AB边上.记为点E.过B作BM⊥x轴于M.过E作EN⊥BM于N.由翻折的性质得：△DOF≌△DEF.∴OD=DE=.∵BD=OD=.∴在Rt△DBE中.由勾股定理得：BE==.则BN=NE=BE•cos45°=×=.OM+NE=2+.BM﹣BN=2﹣.∴点E的坐标为：（2+.2﹣）；ii）当点F在AB上时...\n①过D作DF∥x轴.交AB于F.连接OF与DA.∵DF∥x轴.∴△BDF∽△BOA.∴.由抛物线的对称性得：OB=BA.∴BD=BF.则∠BDF=∠BFD.∠ODF=∠AFD.∴OD=OB﹣BD=BA﹣BF=AF.则△DOF≌△DAF.∴E和A重合.则点E的坐标为（4.0）；②如图6.由①可知：当E与O重合时.△DOF与△DEF重合.此时点E（0.0）；综上所述.点E的坐标为：（.0）或（.）或（2+.2﹣）或（4.0）或（0.0）．..\n　28．如图.已知一次函数y=﹣x+4的图象是直线l.设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上.将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N.以点N为圆心.NA的长为半径作⊙N．①当⊙N与x轴相切时.求点M的坐标；②在①的条件下.设直线AN与x轴交于点C.与⊙N的另一个交点为D...\n连接MD交x轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q.当△APQ与△CDE相似时.求点P的坐标．【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标.利用勾股定理可求得AB的长度；（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB==.设EM=3x.AE=4x.则AM=5x.得M（3x.﹣4x+4）.证明△AHN≌△MEA.则AH=EM=3x.根据NG=OH.列式可得x的值.计算M的坐标即可；②如图2.先计算E与G重合.易得∠QAP=∠OAB=∠DCE.所以△APQ与△CDE相似时.顶点C必与顶点A对应.可分两种情况进行讨论：i）当△DCE∽△QAP时.证明△ACO∽△NCE.列比例式可得CO=.根据三角函数得：tan∠QNA=tan∠DNF=.AQ=20.则tan∠QAH=tan∠OAB==.设QH=3x.AH=4x.则AQ=5x.求出x的值.得P（0.14）；ii）当△DCE∽△PAQ时.如图3.先证明B与Q重合.由AN=AP可得P（0.﹣6）．【解答】解：（1）当x=0时.y=4.∴A（0.4）.∴OA=4.当y=0时.﹣x+4=0.x=3.∴B（3.0）.∴OB=3.由勾股定理得：AB=5；（2）①如图1.过N作NH⊥y轴于H.过M作ME⊥y轴于E...\ntan∠OAB==.∴设EM=3x.AE=4x.则AM=5x.∴M（3x.﹣4x+4）.由旋转得：AM=AN.∠MAN=90°.∴∠EAM+∠HAN=90°.∵∠EAM+∠AME=90°.∴∠HAN=∠AME.∵∠AHN=∠AEM=90°.∴△AHN≌△MEA.∴AH=EM=3x.∵⊙N与x轴相切.设切点为G.连接NG.则NG⊥x轴.∴NG=OH.则5x=3x+4.2x=4.x=2.∴M（6.﹣4）；②如图2.由①知N（8.10）.∵AN=DN.A（0.4）.∴D（16.16）.设直线DM：y=kx+b.把D（16.16）和M（6.﹣4）代入得：.解得：.∴直线DM的解析式为：y=2x﹣16.∵直线DM交x轴于E.∴当y=0时.2x﹣16=0.x=8.∴E（8.0）.由①知：⊙N与x轴相切.切点为G.且G（8.0）.∴E与切点G重合.∵∠QAP=∠OAB=∠DCE.∴△APQ与△CDE相似时.顶点C必与顶点A对应...\n分两种情况：i）当△DCE∽△QAP时.如图2.∠AQP=∠NDE.∵∠QNA=∠DNF.∴∠NFD=∠QAN=90°.∵AO∥NE.∴△ACO∽△NCE.∴.∴.∴CO=.连接BN.∴AB=BE=5.∵∠BAN=∠BEN=90°.∴∠ANB=∠ENB.∵EN=ND.∴∠NDE=∠NED.∵∠CNE=∠NDE+∠NED.∴∠ANB=∠NDE.∴BN∥DE.Rt△ABN中.BN==5.sin∠ANB=∠NDE=.∴.∴NF=2.∴DF=4.∵∠QNA=∠DNF.∴tan∠QNA=tan∠DNF=.∴.∴AQ=20.∵tan∠QAH=tan∠OAB==.设QH=3x.AH=4x.则AQ=5x...\n∴5x=20.x=4.∴QH=3x=12.AH=16.∴Q（﹣12.20）.同理易得：直线NQ的解析式：y=﹣x+14.∴P（0.14）；ii）当△DCE∽△PAQ时.如图3.∴∠APN=∠CDE.∵∠ANB=∠CDE.∵AP∥NG.∴∠APN=∠PNE.∴∠APN=∠PNE=∠ANB.∴B与Q重合.∴AN=AP=10.∴OP=AP﹣OA=10﹣4=6.∴P（0.﹣6）；综上所述.△APQ与△CDE相似时.点P的坐标的坐标（0.14）或（0.﹣6）．..\n　29．如图.已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l.0）.B（﹣3.0）.与y轴交于点C.抛物线的顶点为D.对称轴与x轴相交于点E.连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P在直线BD上.当PE=PC时.求点P的坐标．（3）在（2）的条件下.作PF⊥x轴于F.点M为x轴上一动点...\nN为直线PF上一动点.G为抛物线上一动点.当以点F.N.G.M四点为顶点的四边形为正方形时.求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出点E的坐标.利用待定系数法得出直线BD的解析式.利用PC=PE建立方程即可求出a即可得出结论；（3）设出点M的坐标.进而得出点G.N的坐标.利用FM=MG建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1.0）.B（﹣3.0）.∴.∴.∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）由（1）知.抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；∴C（0.﹣3）.抛物线的顶点D（﹣1.﹣4）.∴E（﹣1.0）.设直线BD的解析式为y=mx+n.∴.∴.∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6.设点P（a.﹣2a﹣6）.∵C（0.﹣3）.E（﹣1.0）.根据勾股定理得.PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2.PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2.∵PC=PE.∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2...\n∴a=﹣2.∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2.∴P（﹣2.﹣2）.（3）如图.作PF⊥x轴于F.∴F（﹣2.0）.设M（d.0）.∴G（d.d2+2d﹣3）.N（﹣2.d2+2d﹣3）.∵以点F.N.G.M四点为顶点的四边形为正方形.必有FM=MG.∴|d+2|=|d2+2d﹣3|.∴d=或d=.∴点M的坐标为（.0）.（.0）.（.0）.（.0）．　30．如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.且OA=2.OB=8.OC=6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发.在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动.同时.点N从B出发.在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动.当其中一个点到达终点时.另一个点也停止运动.当△MBN存在时.求运动多少秒使△MBN的面积最大.最大面积是多少？（3）在（2）的条件下.△MBN面积最大时.在BC上方的抛物线上是否存在点P.使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在.求点P的坐标；若不存在...\n请说明理由．【分析】（1）由线段的长度得出点A、B、C的坐标.然后把A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c.解方程组.即可得抛物线的解析式；（2）设运动时间为t秒.则MB=6﹣3t.然后根据△BHN∽△BOC.求得NH=.再利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN=﹣（t﹣）2+.利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=﹣x+6．由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为（m.﹣m2+m+6）．过点P作PE∥y轴.交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△PBC=．则根据图形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP•m+•EP•（8﹣m）.把相关线段的长度代入推知：﹣m2+12m==．【解答】解：（1）∵OA=2.OB=8.OC=6.∴根据函数图象得A（﹣2.0）.B（8.0）.C（0.6）.根据题意得.解得.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6；（2）设运动时间为t秒.则AM=3t.BN=t．∴MB=10﹣3t．由题意得.点C的坐标为（0.6）．..\n在Rt△BOC中.BC==10．如图.过点N作NH⊥AB于点H．∴NH∥CO.∴△BHN∽△BOC.∴=.即=.∴HN=t．∴S△MBN=MB•HN=（10﹣3t）•t=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+.当△MBN存在时.0＜t＜.∴当t=时.S△MBN最大=．答：运动秒使△MBN的面积最大.最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．把B（8.0）.C（0.6）代入.得.解得.∴直线BC的解析式为y=﹣x+6．∵点P在抛物线上．∴设点P的坐标为（m.﹣m2+m+6）.如图.过点P作PE∥y轴.交BC于点E.则E点的坐标为（m.﹣m+6）．..\n∴EP=﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）=﹣m2+3m.当△MBN的面积最大时.S△PBC=9S△MBN=.∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP•m+•EP•（8﹣m）=×8•EP=4×（﹣m2+3m）=﹣m2+12m.即﹣m2+12m=．解得m1=3.m2=5.∴P（3.）或（5.）．　31．如图.已知AB为⊙O的直径.AD、BD是⊙O的弦.BC是⊙O的切线.切点为B.OC∥AD.BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE=1.ED=3.求⊙O的半径．【分析】（1）首先连接OD.易证得△COD≌△COB（SAS）.然后由全等三角形的对应角相等.求得∠CDO=90°.即可证得直线CD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R.则OE=R+1.在Rt△ODE中.利用勾股定理列出方程.求解即可．【解答】解：（1）证明：连结DO．..\n∵AD∥OC.∴∠DAO=∠COB.∠ADO=∠COD．又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ADO.∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∵OD=OB.OC=OC.∴△COD≌△COB（SAS）.∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线.∴∠CBO=90°.∴∠CDO=90°.又∵点D在⊙O上.∴CD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R.则OD=R.OE=R+1.∵CD是⊙O的切线.∴∠EDO=90°.∴ED2+OD2=OE2.∴32+R2=（R+1）2.解得R=4.∴⊙O的半径为4．　32．如图.在平面直角坐标系中.坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行.点B（1.﹣2）.反比例函数y=（k≠0）的图象经过A...\nC两点．（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E.求以O.C.E为顶点的三角形的面积．【分析】（1）连结AC.BD.根据坐标原点O是菱形ABCD的对称中心.可得AC.BD相交于点O.且∠AOB=90°.根据B（1.﹣2）.且AB∥x轴.可设A（a.﹣2）.则AO2=a2+4.BO2=5.AB2=（1﹣a）2.在Rt△AOB中.由勾股定理可得A（﹣4.﹣2）.C（4.2）.再根据待定系数法可求反比例函数解析式为y=；（2）连结OE.则△OCE是以O.C.E为顶点的三角形.根据待定系数法可求直线BC的解析式为y=x﹣.设其与y轴交于点F（0.﹣）.解方程可求点E的横坐标为﹣.再根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）连结AC.BD.∵坐标原点O是菱形ABCD的对称中心.∴AC.BD相交于点O.且∠AOB=90°.∵B（1.﹣2）.且AB∥x轴.∴设A（a.﹣2）.则AO2=a2+4.BO2=5.AB2=（1﹣a）2.在Rt△AOB中.由勾股定理得（1﹣a）2=a2+4+5.解得a=﹣4.∴A（﹣4.﹣2）.∴C（4.2）.∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过A.C两点.∴反比例函数解析式为y=；（2）连结OE.则△OCE是以O.C.E为顶点的三角形.设直线BC的解析式为y=kx+b...\n∵点B（1.﹣2）.C（4.2）在该直线上.∴.解得．∴直线BC的解析式为y=x﹣.设其与y轴交于点F（0.﹣）.∵反比例函数为y=.∴=x﹣.解得x1=4.x2=﹣.∴点E的横坐标为﹣.∴以O.C.E为顶点的三角形的面积=××（4+）=．　33．如图1.在平面直角坐标系中.直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6.0）.N（0.2）.等边△ABC的顶点B与原点O重合.BC边落在x轴正半轴上.点A恰好落在线段MN上.将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移.边AB.AC分别与线段MN交于点E.F（如图2所示）.设△ABC平移的时间为t（s）．（1）等边△ABC的边长为　3　；（2）在运动过程中.当t=　3　时.MN垂直平分AB；（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时.若△PEF与△MNO相似．求t的值；②当点P在线段AC上运动时.设S△PEF=S.求S与t的函数关系式...\n并求出S的最大值及此时点P的坐标．【分析】（1）根据.∠OMN=30°和△ABC为等边三角形.求证△OAM为直角三角形.然后即可得出答案．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB.此时OB=3.由此即可解决问题；（3）①如图1中.由题意BP=2t.BM=6﹣t.由△PEF与△MNO相似.分两种情形分别求解即可；②当P点在EF上方时.过P作PH⊥MN于H.如图2中.构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N.OM=6cm.ON=2∴tan∠OMN==.∴∠OMN=30°.∴∠ONM=60°.∵△ABC为等边三角形∴∠AOC=60°.∠NOA=30°∴OA⊥MN.即△OAM为直角三角形.∴OA=OM=×6=3．故答案为3．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB.此时OB=3.所以t=3．故答案为3．（3）①如图1中.由题意BP=2t.BM=6﹣t...\n∵∠BEM=90°.∠BME=30°.∴BE=3﹣.AE=AB﹣BE=.∵∠BAC=60°.∴EF=AE=t.当点P在EF下方时.PE=BE﹣BP=3﹣t.由.解得0≤t＜.∵△PEF与△MNO相似.∴=或=.∴=或=.解得t=1或．当点P在点E上方时.同法可得：=或=.解得t=或3∵0≤t≤.且.即＜t≤.∴t=.综上所述.t=1或或．②当P点在EF上方时.过P作PH⊥MN于H.如图2中...\n由题意.EF=t.FC=MC=3﹣t.∠PFH=30°.∴PF=PC﹣CF=（6﹣2t）﹣（3﹣t）=3﹣t.∴PH=PF=.∴S=•EF•PH=×t×=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+.∵≤t≤3.∴当t=时.△PEF的面积最大.最大值为.此时P（3.）.当t=3时.点P与F重合.故P点在EF下方不成立．　34．如图.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点.B点坐标为（3.0）．与y轴交于点C（0.3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上.过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E.与y轴交于点F.求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时.求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形.求点D的纵坐标的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得BC的解析式为y=﹣x+3.先证明△ECF为等腰直角三角形.作PH⊥y轴于H.PG∥y轴交BC于G.如图1.则△EPG为等腰直角三角形.PE=PG...\n设P（t.t2﹣4t+3）（1＜t＜3）.则G（t.﹣t+3）.接着利用t表示PF、PE.所以PE+EF=2PE+PF=﹣t2+3t+.然后利用二次函数的性质解决问题；（3）①如图2.抛物线的对称轴为直线x=﹣=2.设D（2.y）.利用两点间的距离公式得到BC2=18.DC2=4+（y﹣3）2.BD2=1+y2.讨论：当△BCD是以BC为直角边.BD为斜边的直角三角形时.18+4+（y﹣3）2=1+y2；当△BCD是以BC为直角边.CD为斜边的直角三角形时.4+（y﹣3）2=1+y2+18.分别解方程求出t即可得到对应的D点坐标；②由于△BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18.解得y1=.y2=.得到此时D点坐标为（2.）或（2.）.然后结合图形可确定△BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）把B（3.0）.C（0.3）代入y=x2+bx+c得.解得.∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）易得BC的解析式为y=﹣x+3.∵直线y=x﹣m与直线y=x平行.∴直线y=﹣x+3与直线y=x﹣m垂直.∴∠CEF=90°.∴△ECF为等腰直角三角形.作PH⊥y轴于H.PG∥y轴交BC于G.如图1.△EPG为等腰直角三角形.PE=PG.设P（t.t2﹣4t+3）（1＜t＜3）.则G（t.﹣t+3）.∴PF=PH=t.PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t.∴PE=PG=﹣t2+t.∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+3t+=﹣t2+4=﹣（t﹣2）2+4.当t=2时.PE+EF的最大值为4；（3）①如图2.抛物线的对称轴为直线x=﹣=2.设D（2.y）.则BC2=32+32=18.DC2=4+（y﹣3）2.BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2.当△BCD是以BC为直角边.BD为斜边的直角三角形时.BC2+DC2=BD2.即18+4+..\n（y﹣3）2=1+y2.解得y=5.此时D点坐标为（2.5）；当△BCD是以BC为直角边.CD为斜边的直角三角形时.BC2+DB2=DC2.即4+（y﹣3）2=1+y2+18.解得y=﹣1.此时D点坐标为（2.﹣1）；②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时.DC2+DB2=BC2.即4+（y﹣3）2+1+y2=18.解得y1=.y2=.此时D点坐标为（2.）或（2.）.所以△BCD是锐角三角形.点D的纵坐标的取值范围为＜y＜5或﹣1＜y＜．　35．【操作发现】如图①.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°.点B的对应点为B′.点C的对应点为C′.连接BB′；（2）在（1）所画图形中.∠AB′B=　45°　．【问题解决】如图②.在等边三角形ABC中.AC=7.点P在△ABC内.且∠APC=90°.∠BPC=120°.求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考.对上述问题形成了如下想法：..\n想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°.得到△AP′B.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°.得到△AP′C′.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法.完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③.在四边形ABCD中.AE⊥BC.垂足为E.∠BAE=∠ADC.BE=CE=2.CD=5.AD=kAB（k为常数）.求BD的长（用含k的式子表示）．【分析】【操作发现】（1）根据旋转角.旋转方向画出图形即可；（2）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；【问题解决】如图②.将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°.得到△AP′C′.只要证明∠PP′C=90°.利用勾股定理即可解决问题；【灵活运用】如图③中.由AE⊥BC.BE=EC.推出AB=AC.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG.连接DG．则BD=CG.只要证明∠GDC=90°.可得CG=.由此即可解决问题．【解答】解：【操作发现】（1）如图所示.△AB′C′即为所求；（2）连接BB′.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°.∴AB=AB′.∠B′AB=90°.∴∠AB′B=45°.故答案为：45°；【问题解决】如图②...\n∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°.得到△AP′C′.∴△APP′是等边三角形.∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°.∴PP′=AP.∠AP′P=∠APP′=60°.∴∠PP′C=90°.∠P′PC=30°.∴PP′=PC.即AP=PC.∵∠APC=90°.∴AP2+PC2=AC2.即（PC）2+PC2=72.∴PC=2.∴AP=.∴S△APC=AP•PC=7；【灵活运用】如图③中.∵AE⊥BC.BE=EC.∴AB=AC.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG.连接DG．则BD=CG.∵∠BAD=∠CAG.∴∠BAC=∠DAG.∵AB=AC.AD=AG.∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD.∴△ABC∽△ADG.∵AD=kAB...\n∴DG=kBC=4k.∵∠BAE+∠ABC=90°.∠BAE=∠ADC.∴∠ADG+∠ADC=90°.∴∠GDC=90°.∴CG==．∴BD=CG=．　36．如图①.在平面直角坐标系中.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A.B.C三点.其中点A的坐标为（﹣3.0）.点B的坐标为（4.0）.连接AC.BC．动点P从点A出发.在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时.动点Q从点O出发.在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动.当其中一点到达终点时.另一点随之停止运动.设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=　　.c=　4　；（2）在点P.Q运动过程中.△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方.该二次函数的图象上是否存在点M.使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在.请求出运动时间t；若不存在.请说明理由；（4）如图②.点N的坐标为（﹣.0）.线段PQ的中点为H.连接NH.当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时.请直接写出点Q′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式.从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标.则PC=5﹣t...\n依据勾股定理可求得AC=5.CQ2=t2+16.接下来.依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴.分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE.垂足分别为D、E.MD交x轴与点F.过点P作PG⊥x轴.垂足为点G.首先证明△PAG∽△ACO.依据相似三角形的性质可得到PG=t.AG=t.然后可求得PE、DF的长.然后再证明△MDP≌PEQ.从而得到PD=EQ=t.MD=PE=3+t.然后可求得FM和OF的长.从而可得到点M的坐标.然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP.取OP的中点R.连结RH.NR.延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t.RH∥OQ.NR=AP=t.则RH=NR.接下来.依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线.然后求得直线NR和BC的解析式.最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4.∴b=.c=4．（2）在点P、Q运动过程中.△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P、Q运动过程中.∠PAQ、∠PQA始终为锐角.∴当△APQ是直角三角形时.则∠APQ=90°．将x=0代入抛物线的解析式得：y=4.∴C（0.4）．∵AP=OQ=t.∴PC=5﹣t...\n∵在Rt△AOC中.依据勾股定理得：AC=5.在Rt△COQ中.依据勾股定理可知：CQ2=t2+16.在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2.在Rt△APQ中.AQ2﹣AP2=PQ2.∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2.即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2.解得：t=4.5．∵由题意可知：0≤t≤4.∴t=4.5不合题意.即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴.分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE.垂足分别为D、E.MD交x轴与点F.过点P作PG⊥x轴.垂足为点G.则PG∥y轴.∠E=∠D=90°．∵PG∥y轴.∴△PAG∽△ACO.∴==.即==.∴PG=t.AG=t.∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t.DF=GP=t．∵∠MPQ=90°.∠D=90°.∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°.∴∠DMP=∠EPQ．又∵∠D=∠E.PM=PQ.∴△MDP≌PEQ.∴PD=EQ=t.MD=PE=3+t.∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t.OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t.∴M（﹣3﹣t.﹣3+t）．∵点M在x轴下方的抛物线上.∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4...\n解得：t=．∵0≤t≤4.∴t=．（4）如图所示：连结OP.取OP的中点R.连结RH.NR.延长NR交线段BC与点Q′．∵点H为PQ的中点.点R为OP的中点.∴RH=QO=t.RH∥OQ．∵A（﹣3.0）.N（﹣.0）.∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点.∴NR=AP=t.∴RH=NR.∴∠RNH=∠RHN．∵RH∥OQ.∴∠RHN=∠HNO.∴∠RNH=∠HNO.即NH是∠QNQ′的平分线．设直线AC的解析式为y=mx+n.把点A（﹣3.0）、C（0.4）代入得：.解得：m=.n=4.∴直线AC的表示为y=x+4．同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y=x+s.将点N的坐标代入得：×（﹣）+s=0...\n解得：s=2.∴直线NR的表述表达式为y=x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：.解得：x=.y=.∴Q′（.）．　37．如图1.抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2.0）、B（0.﹣2）两点.点C在y轴上.△ABC为等边三角形.点D从点A出发.沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.设运动时间为t秒（t＞0）.过点D作DE⊥AC于点E.以DE为边作矩形DEGF.使点F在x轴上.点G在AC或AC的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折.得矩形D'E'GF.当点D的对称点D'落在抛物线上时.求此时点D'的坐标；（3）如图2.在x轴上有一点M（2.0）.连接BM、CM.在点D的运动过程中.设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S.直接写出S与t之间的函数关系式.并写出自变量t的取值范围．【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）由等边三角形的性质可知∠BAC=60°.依据特殊锐角三角函数值可得到AE=t.DE=t.AF=2t.然后再证明AD=DF=2t.过点D′作D′H⊥x轴与点H.接下来.再求得点D′的坐标.最后将点D′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（3）当0＜t≤时.S=ED•DF；当＜t≤2时.S=矩形DEGF的面积﹣△CGN的面积．..\n【解答】解：（1）把A（﹣2.0）、B（0.﹣2）代入抛物线的解析式得：.解得：.∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．（2）A（﹣2.0）、B（0.﹣2）.∴OA=2.OB=2．∵AD=2t.∠DEA=90°.∠BAC=60°.∴AE=t.DE=t．∵△ABC为等边三角形.∴∠BAC=60°．∵AO⊥BC.∴∠CAO=∠BAO=30°．∵四边形DEGF为矩形.∴DF∥AC.GF=DE=t．∴∠DFA=∠CAO=30°.∴AF=2GF=2t．∴∠DFA=∠BAO=30°．∴DF=AD=2t．过点D′作D′H⊥x轴与点H．∵∠D′FH=∠AFD=30°.∴D′H=D′F=t.FH=D′H=t．∴AH=AF+FH=3t．∴OH=AH﹣AO=3t﹣2．∴D′（3t﹣2.t）．..\n把点D′（3t﹣2.t）代入y=x2+x﹣2得：t=（3t﹣2）2+（3t﹣2）﹣2．整理得：9t2﹣10t=0.解得t=或t=0（舍去）．∴D′（.）．（3）由（2）可知：DE=t.DF=2t.AE=t．如图2所示：当AE+EG≤AC时.即t+2t≤4.解得：t≤．∴当0＜t≤时.S=ED•DF=2t2．当＜t≤2时.如图3所示：∵CG=AG﹣AC.∴CG=3t﹣4.∴GN=3t﹣4．∴S=ED•DF﹣CG•GN=2t2﹣（3t﹣4）×（3t﹣4）=﹣t2+12t﹣8．综上所述.S与t的函数关系式为S=．　38．如图.AB=16.O为AB中点.点C在线段OB上（不与点O.B重合）...\n将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD.AP.BQ分别切优弧于点P.Q.且点P.Q在AB异侧.连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=4时.求的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部.求OC的取值范围．【分析】（1）连接OQ．只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；（2）求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；（3）由△APO的外心是OA的中点.OA=8.推出△APO的外心在扇形COD的内部时.OC的取值范围为4＜OC＜8；【解答】（1）证明：连接OQ．∵AP、BQ是⊙O的切线.∴OP⊥AP.OQ⊥BQ.∴∠APO=∠BQO=90°.在Rt△APO和Rt△BQO中..∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ．（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO.∴∠AOP=∠BOQ.∴P、O、Q三点共线.∵在Rt△BOQ中.cosB===...\n∴∠B=30°.∠BOQ=60°.∴OQ=OB=4.∵∠COD=90°.∴∠QOD=90°+60°=150°.∴优弧的长==π.（3）∵△APO的外心是OA的中点.OA=8.∴△APO的外心在扇形COD的内部时.OC的取值范围为4＜OC＜8．　39．平面内.如图.在▱ABCD中.AB=10.AD=15.tanA=.点P为AD边上任意点.连接PB.将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．（1）当∠DPQ=10°时.求∠APB的大小；（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时.求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上.直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）【分析】（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时.②当点Q在平行四边形ABCD外时.分别求解即可；（2）如图2中.连接BQ.作PE⊥AB于E．在Rt△APE中.tanA==.设PE=4k.则AE=3k.在Rt△PBE中.tan∠ABP==2.推出EB=2k.推出AB=5k=10.可得k=2.由此即可解决问题；（3）分三种情形分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中...\n①当点Q在平行四边形ABCD内时.∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°.②当点Q在平行四边形ABCD外时.∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°﹣10°）=100°.综上所述.当∠DPQ=10°时.∠APB的值为80°或100°．（2）如图2中.连接BQ.作PE⊥AB于E．∵tan∠ABP：tanA=3：2.tanA=.∴tan∠ABP=2.在Rt△APE中.tanA==.设PE=4k.则AE=3k.在Rt△PBE中.tan∠ABP==2.∴EB=2k.∴AB=5k=10.∴k=2.∴PE=8.EB=4.∴PB==4...\n∵△BPQ是等腰直角三角形.∴BQ=PB=4．（3）①如图3中.当点Q落在直线BC上时.作BE⊥AD于E.PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中.∵tanA==.∵AB=10.∴BE=8.AE=6.∴PF=BE=8.∵△BPQ是等腰直角三角形.PF⊥BQ.∴PF=BF=FQ=8.∴PB=PQ=8.∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π．②如图4中.当点Q落在CD上时.作BE⊥AD于E.QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．易证△PBE≌△QPF.∴PE=QF=x.EB=PF=8.∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1...\n∵CD∥AB.∴∠FDQ=∠A.∴tan∠FDQ=tanA==.∴=.∴x=4.∴PE=4.=4.在Rt△PEB中.PB==4.∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π③如图5中.当点Q落在AD上时.易知PB=PQ=8.∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π.综上所述.PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π．　40．如图.直角坐标系xOy中.A（0.5）.直线x=﹣5与x轴交于点D.直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣5分别交于点C.E.点B.E关于x轴对称.连接AB．（1）求点C.E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO.求S的值；（3）在求（2）中S时.嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置.而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC.这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算.发现S△AOC≠S.请通过计算解释他的想法错在哪里．..\n【分析】（1）利用坐标轴上点的特点确定出点C的坐标.再利用直线的交点坐标的确定方法求出点E坐标.进而得到点B坐标.最后用待定系数法求出直线AB解析式；（2）直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算即可得出结论.（3）先求出直线AB与x轴的交点坐标.判断出点C不在直线AB上.即可．【解答】解：（1）在直线y=﹣x﹣中.令y=0.则有0=﹣x﹣.∴x=﹣13.∴C（﹣13.0）.令x=﹣5.则有y=﹣×（﹣5）﹣=﹣3.∴E（﹣5.﹣3）.∵点B.E关于x轴对称.∴B（﹣5.3）.∵A（0.5）.∴设直线AB的解析式为y=kx+5.∴﹣5k+5=3.∴k=.∴直线AB的解析式为y=x+5；（2）由（1）知.E（﹣5.﹣3）.∴DE=3.∵C（﹣13.0）.∴CD=﹣5﹣（﹣13）=8...\n∴S△CDE=CD×DE=12.由题意知.OA=5.OD=5.BD=3.∴S四边形ABDO=（BD+OA）×OD=20.∴S=S△CDE+S四边形ABDO=12+20=32.（3）由（2）知.S=32.在△AOC中.OA=5.OC=13.∴S△AOC=OA×OC==32.5.∴S≠S△AOC.理由：由（1）知.直线AB的解析式为y=x+5.令y=0.则0=x+5.∴x=﹣≠﹣13.∴点C不在直线AB上.即：点A.B.C不在同一条直线上.∴S△AOC≠S．　..