2011年初中数学中考专题复习---突破猜想规律专题 16页

2011年中考复习二轮材料突破猜想规律专题一．专题诠释猜想规律的相关题目在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。二．解题策略和解法精讲猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。三．考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。例1．（2010江苏泰州）观察等式：①，②，③…按照这种规律写出第n个等式：．【分析】先看等式左边，①式是32-1，②式是52-1，③式是72-1…所以第n个等式左边应是；再看等式右边，①式是，②式是，③式是，所以第n个等式右边应是．【解答】【评注】规律性猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论．本题式中的平方项、1、相乘两数等差2，都给答案探究提供了蛛丝马迹。例2．（2010湖南常德）如图3，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数（其中i＝1,2,3,...,j＝1,2,3,...,）.例如：第5行第3列上的数.则（1）．(2)此数表中的四个数满足．\n【分析】（1）根据的定义规则，可知，，，．则有．（2）观察数表可知，第1问中的恰是的具体形式，若将赋值于不同的行与列，我们不难发现．【解答】（1）0（2）0【评注】探索数字规律，从一维扩展到二维，是个进步。本题属于典型的开放性探究题，问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律．从培养学生不完全归纳能力的角度看，不失为一道训练思维的好题．考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。例1．（2010重庆）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A．　图①　　B．　图②　C．　图③　D．　图④【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10÷4＝2…2，所以应和图②相同．【解答】B【评注】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．关键是从循环转动的过程中，关注几个重要的停顿点，从而探索360度圆周与几个角度的关系。例2．（2010广东汕头）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2\n（如图（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________．第13题图（1）A1B1C1D1ABCDD2A2B2C2D1C1B1A1ABCD第13题图（2）图形边长面积正方形ABCD11正方形A1B1C1D15正方形A2B2C2D2525正方形A3B3C3D3125正方形A4B4C4D425625【分析】【解答】625【评注】本题系探究规律题，构图新颖，解题的方法也很多，除了分析中的方法外，还可以用下面的探究方法：图（1）中每个小直角三角形的面积都与原正方形的面积相等，这样外面就多了四个小直角三角形，从而新的正方形的面积就等于原正方形面积的5倍，依此类推，第四个新正方形的面积就等于．本题能从不同角度来考查学生的探索能力、归纳能力及创新能力，是去年中考题中的精品．考点三：猜想数值结果当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。例1．（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）02842462246844m6A．38B．52C．66D．74【分析】根据图形所填数字可以看出：2×4-0=8；4×6-2=22；6×8-4=44；8×10-6=74.【解答】D【评注】本题属于探究类试题，解答此类试题时，要充分分析试题的特点，各个量之间的关系，然后得到一般的结论.例2．（2010贵州贵阳，25，12分）如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得\n，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．（图12）（1）写出点M5的坐标；（4分）（2）求的周长；（4分）（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”．根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．（4分）【分析】（1）求M5的坐标可先计算M1、M2、M3的值，观察这些点的坐标特征来求得；（2）求的周长可分别计算OM5、M5M6、OM6的值从而可求得周长；（3）需分类讨论求得。【解答】（1）M5（―4，―4）（2）由规律可知，,，∴的周长是（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为①当点M在x轴上时:M0（），M4（），M8（），M12（）,…，即：点的“绝对坐标”为（）。②当点M在y轴上时:M2，M6，M10，M14,……，即：点的“绝对坐标”为。③当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,……，即：的“绝对坐标”为。解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（）②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（）③当=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（）【评注】本题是一道运动型问题，解答这类问题时，一般要借助几何图形的三大变换（平移、旋转、翻折）来解决，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”\n所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径.考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。例1．（2010山东威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（）A．B．C．D．OABCDA1B1C1A2C2B2xy【分析】由题意知，OA＝1，OD＝2,DA＝,∴AB＝AD＝,利用互余关系证得△DOA∽△ABA1,∴,∴BA1＝＝，∴A1B1＝A1C＝＝,同理．A2B2＝A1B1＝，一般地AnBn＝，第2010个正方形的面积为＝，故选D．【解答】D【评注】本题是正方形面积的规律探究题，实质就是正方形边长的规律探究．本题可先应用了勾股定理及相似三角形知识求出几种特殊正方形的边长，然后归纳出一般正方形的边长规律，最后得出正方形的面积规律使问题得以解决．例2．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）．\n【分析】(1)连接三角形一个顶点与圆心，结合垂径定理作出直角三角形，由勾股定理构建方程从而求出正三角形的边长；(2)依然连接第二个三角形的顶点与圆心，构建直角三角形由勾股定理列出方程求出三角形的边长；(3)依然连接第n个三角形的顶点与圆心，构建直角三角形由勾股定理列出方程求出三角形的边长．【解答】（1）设PQ与B1C1交于点D，连结OB1，则OD＝，在Rt△OB1D中，，即，解得．（2）设PQ与B2C2交于点E，连结OB2，则OE＝，在中，即，解得．\n（3）设PQ与BnCn交于点F，连结OBn，则，在中，即，解得．【评注】本题综合考查圆的基本性质和勾股定理等知识点，解决本题的关健是通过作出辅助线，利用垂径定理构建直角三角形，并分别把直角三角形的三边表示出来，由勾股定理得出方程求出边长．考点五：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。例1．（2010浙江嵊州）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。\n【分析】在（1）中由AB＝BC＝AC，所以△ABC为等边三角形，又因为AD∥BC，∠BAC＝∠D，所以可以得到四边形ABCD为菱形，所以四条边相等，连接AF证明三角形全等即可证明AE=EF；（2）可以过点E作EH∥AB，可证△AEH≌△FEC．【解答】（1）AE＝EF（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证△AEH≌△FEC）（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF【评注】本题属于难度比较大的问题，需要添加辅助线构造全等三角形，证明三角形全等．例2．（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。实验与论证设旋转角∠A1A0B1=α（α