初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析 9页

中考数学“新定义”试题浅析随着新课改的深入，屮考试题屮考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2009年屮考数学试题中的一个热点。“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。现举例说明如下：考点一：利用“新定义”构建数、式模型例1、（2009年绍兴市）李老师从汕条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB,对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过稈称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB±的丄，4311二均变成一，一变成1,等）.那么在线段AB±（除4,B）的点屮，在第二次操作422后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数Z和是.AB（例3图）1311解：•・•在第一次操作后，原线段AB±的一，—均变成一，一变成1,•••在第二次操作后，44221313原线段AB±的一，？均变成I,•••点所对应的数之和是一+-=lo4444【剖析】木题是一道PI弘型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。解答木题，关键是要读懂新定义屮“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。第一次操作后，在丄处为对折点，均21131匀拉长后—变成h原线段AB上的一，？均变成—，这在题日中己有提示。第二次操作后,2442113在线段一处有两个数一和一为对折点，均匀拉长后这两个数部江堰市变为1,根据题意，24413\n在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为一和三，这样马上可以得出结论。4413解：一+二=1。木题是对学生的抽象概括.空间想彖能力要求较高。44例2、（2009年台州市）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式.下列三个代数式：①（6Z-/7）2；②\nab+be+ca:③a2b+lrc+c2a•其屮是完全对称式的是(A)A.①②B.①③C.②③D.①®③解：由新定义“述舍可和迖”知，①(0-盯=3-"，所以是完全对称式；②若将°、b字母交换，贝ijab+be+ca变为ba+ac+bc,*/ab+bc+ca=ba-\-ac+be,是完全对称式；③若将a、〃字母交换，则/b+b'c+ch变为b2a+a~c-hc2b,•/a2b+b2c+c2a主b2a+a2c+c2b,・••不是完全对称式。所以答案应选择为(A)【剖析】本题是以已学的整式的乘除、乘法公式为知识为基础，对代数式的变换进行了新的定义。解答木题，关键是要读懂新定义屮数学的本质含义，在理解“新定义”的基础上，再进行具体的代入、计算、判断，就能把问题解决。考点二：利用“新定义”构建方程、函数模型例3、(2009年孝感)对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定：当且仅当a=c且b=d时，(d,b)=(c,d).定义运算"®”：(a,b)®(c,d)=(ac—bd,ad+bc)・若(1,2)®(p,q)=(5,0),贝l」p=,q=・解：由新定义“0”运算规定得：I(a,b)®(c,d)=(ac—bd,ad+bc),・・・(1,2)®(p,q)=(p_2q,q+2p),.I(p—2q,g+2p)=(5,0)p_2q=5g+2#=0解得：所以答案为：」；【剖析】木题是以学生已学的实数运算和二元一次方程纟H.为知识基础，给出了一个新定义的运算法则，学生在阅读和理解新运算的基础上，来解决与新运算有关的问题。这类试题考查了学生的逻辑推理能力，由一般到特殊地读懂新运算的木质，关键是要准确理解新符号的数学意义。例4、(2009年杭州市)某校数学课外小纟H.,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如卜•：第k棵树种植在点Pk(xk,)处，其屮兀]=1,y}=1,当kN2时,1u“k—1,rk—2xk=xk-\+1一5(]—^—]-[^―1)13,[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2,P—1k—2儿=+[~j—]一[-^—][0.2]=0o按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.(5,2009)B.(6,2010)C.(3,401)D(4,402)解：从特殊点的坐标出发，来探求它的变化周期性，从而来得出一般性的结论。\nMBMB1■■■055MM1+0=1,・・・门(1,1)=2-5x0=2,y2=1+~2~1_5_5=1+0=1,・・・£(2,1)、=3-5x0=3,y3=1+同理可得：鸟(3,1),马(4,1),&(5,1),瑞1,2),马(2,2),人(3,2),代(4,2),片。(5,2),5(1,3),…，得出五个数的循环。所以2009-5=401……4,所以兀2009=兀4=4,)?009=401+1=402,因此得结论巴Q09(4,402)。【剖析】木题是一道探索性试题，以学生已学的点的坐标和已有的探究经验为基础，对0]的数学符号进行了新的定义，即：0]表示非负实数d的報数部分。解答木题，关键是要读懂新定义屮“k]”的真正含义，先通过对特殊和简单数的探索对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。第一次操作后，在丄处为对折点，均2例5、(2009年义乌市)已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+l图像的其屮一个伴侣正方形。(1)若某函数是一次函数y=x+l,求它的图像的所有伴侣正方形的边长；(2)若某函数是反比例函数y二±伙>0),他的图像的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)x(m<2)在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；(3)若某函数是二次函数y=g/+c(gH()),它的图像的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4)•写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写出符合题意的其屮一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？。(木小题只需直接写出答案)\n简解：⑴如图⑴,正方形边长为抄;(3.4)7°2233o1y=—兀-+,『=_%・+_，4040•772(2)如图(2),VAADE^ABAD^ACBF,A解得反比例函数为y=-x|23(3)(-1,3),(7,-3),(-4,7),(4,1)对应的函数为y=-x2+—881o55y=—无_o•77【剖析】木题以正方形和一次函数、反比例函数、二次函数为知识基础和问题背景，给出了“函数图像的伴侣正方形”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义S看怖函数图象。木题主要考杳了全等三角形、点坐标、函数图象等相关知识和数形结合思想的运用，考杏学生综合运用知识的能力。例6、（2009年益阳市）阅读材料：如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂頁的三条直线，外侧两条直线Z间的距离叫△ABC的“水平宽”G,中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高.我们可得岀一种计算三角形面积的新方法：SuBc=1ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图2,抛物线顶点坐标为点C（l,4）,交x轴于点4（3,0）,交y轴于点3.（1）求抛物线和直线4B的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结必，PB,当P点运动到顶点C时，求ACAB的铅垂高CD及S^CAR；\n9（3）是否存在一点P,使SmafUs，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说8明理由.简解：解：（1）Vi=-U-1）如图2,ZAFD与上DEC的用平分线相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内点.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.（作图丁具不限，不写作法，但要有必要的说明）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”.+4=-x2+2x+3y2=_兀+3（2）CD=4P=2Sg=、3x2=3（平方单位）J（3）假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△MB的铅垂高为力，则铅垂高h=yy-y2=（-x2+2x4-3）-（-x+3）=-x2+3x9io9由Sz\pab=—S^cab，得：—x3x（—+3x）=—x38283化简得：4/一12兀+9=0,解得，x二一23315将x=-代入％=-x2+2x4-3中,解得P点坐标为）【剖析】木题以阅读材料的形式提出了新定义：'ABC的“水平宽”、“铅垂高Q”，从而得出一种计算三角形面积的新方法：Smbc=訥,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.运用新定义中的新方法，可解答一类在以抛物线为背景下的斜三角形的最大瓯积问题，解答本题，关键是读懂“新定义”和理解运用新公式。本题主要考查学生阅读理解能力和数形结合思想的运用。以考点三：利用“新定义”构建四边形、相似形模型例7、（2009年台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1,PH=PJ,PI=PG，则点P就是四边形ABCD的•••图I准内点.E\n%1任意凸四边形一定存在准内点.（）%1任意凸四边形一定只有一个准内点.（）%1若P是任意凸四边形ABCD的准内点,则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.（）简解：（1）如图2,过点P作PG丄AB,PH丄BC,PI丄CD,TV丄AD,・・•EP平分ZDEC,・•・PJ=PH.同理PG=PI,：・P是四边形ABCD的准内点.(2)图3(1)F图3(2)G图4.ADDM平行四边形对角线AC9BD的交点片就是准内点，如图3（1）.或者取平行四边形两对边屮点连线的交点片就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形屮位线的交点P2就是准内点.如图4.（3）真；真；假.【剖析】木题以四边形、特殊四边和角平分线的性质为知识基础，给出了“四边形ABCD的准内点”的新定义，解答木题，关键是读愦“新定义”和看怫儿何图形，理解点到育线的距离和角平分线的性质是解题的关键。木题主要考杳学生的数学阅读理解能力、逻辑推理能力和画图操作能力。例8、（2009年绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点.例如，如图的矩形ABCD屮，点M在CD边上，连AM,BM,=则点M为直角点.（1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为屮点，问该矩形的邻边具有何种数量关系?并说明理由；(2)若点M,N分别为矩形ABCD边CD,AB±的肓角点，且AB=4,BC=V3,求MN的长.解：(1)AB=2AD,如图(1)•・•直角点M为CD边的中点，・•・MD二MC,TAD二BC,ZD二ZC二RtZ,・•・AADM^AADM,AZAMD=ZBMCVZAMB^RtZ,AZAMD+ZBMC=90°AZAMD=ZBMC=45°,Z.AD二DM,/.AB=2AD如图(2),作MH丄AB于点H,连结MN,VZAMB=90°,・・・ZAMD+ZBMC二90°,•••ZAMD+ZDAM二90°,/.ZDAM=ZBMC,又VZD=ZC,AAADM^AMCB,\n•••MC=1或3。\n当MC=1W,AN=[,NH=2.・•・MN2=MH2+NH2=(呵~+22=7：・MN=*当MC=3时，MN=BC=43【剖析】本题以全等三角形、矩形和相似三角形为知识基础，给出了“育角点”的新定义,解答木题，关键是读懂“新定义”和看懂几何屮的基本图形。木题主要考杳学生逻辑推理能力和分类讨论思想的运用，以及解方程和计算能力。解答木题，可从不同角度和思路来解答,是一道解法多样性的试题。面上一点，且例9、（2009年湖州市）若P为△ABC所在平ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.（1）若点P为锐角、甜C的费马点，且Z4BC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为（2）如图，在锐和△ABC外侧作等边△ACBf连结BBf.求证：BB1HAABC的费马点P,且BB‘=PA+PB+PC.25.(1)2巧.(2)证明：在上取点P,使ZBPC=120°,连结AP,再在PB'上截取PE=PC,连结CE.・・・ZBPC=120°,••・ZEPC=60°/.APCE为正三角形，・•・PC=CE,ZPCE=60°,ZCEB'120°,vAACBz为正三角形，••・AC=B'C,ZACB7=60°,••・"C4+ZACE=ZACE+ZEC£=6O。，/.ZPCA=AECB'',••AACP^yCE・/.ZAPC=ZB'CE=\20°,PA=EB\・・.AAPB=ZAPC=ZBPC=120°,/.P为'ABC的费马点，・・・BB‘过ZUBC的费马点P,RBB'=EB‘+PB+PE=PA+PB+PC・2分【剖析】木题有一定的难度和能力要求校高，它以特殊三角形和全等三角形为知识基础，给出了“△ABC的费马点”的新定义，解答木题，关键是读懂“新定义”和添加辅助线，并运川特殊三角形和全等三角形的冇关知识来解决。木题主要考查学生逻辑推理能力和综合运用知识的能力。新定义试题创设了一个全新的问题情景，通过以新带1口的表现形式，来考杳学生的知识和能力。在解决“新定义”屮的问题时，学生不需要太多的数学知识，更多地是需要阅读理解能力和分析综合、推理论证能力，。因而，这类试题对学生灵活运用知识的考杳可抽象到课程标准高层次水平，其命题方式也值得借鉴、研究和开发。