《中考课件初中数学总复习资料》专题26 菱形（解析版） 26页

专题26菱形问题1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。3.菱形的判定定理（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。4．菱形的面积：S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）【例题1】（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）A．（0，23）B．（2，﹣4）C．（23，0）D．（0，23）或（0，﹣23）【答案】D\n【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=42-22=23=OC，∴点C的坐标为（0，-23），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，23），∴点C的坐标为（0，23）或（0，-23）.【对点练习】（2019泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）A．8B．12C．16D．32【答案】C【解析】如图所示：\n∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴12AC•BD＝2OD•AO＝28①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．【例题2】（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　　．【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，\n∴菱形ABCD的面积为12×2×4＝4．【对点练习】（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　　　．【答案】24【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24【例题3】（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．【答案】见解析。【解析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，\n在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠DBE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．【对点练习】（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．【答案】见解析．【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．一、选择题1．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（　　）A．4：1B．5：1C．6：1D．7：1\n【答案】B【解析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周长为16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sinB=AHAB=24=12，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．2．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　）A．125B．52C．3D．5【答案】B【解析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，\n然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，在Rt△BOC中，BC=32+42=5，∵H为BC中点，∴OH=12BC=52．3．（2020•乐山）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（　　）A．9+23B．9+3C．7+23D．8【答案】B【解析】先利用菱形的性质得AD＝AB＝4，AB∥CD，∠ADB＝∠CDB＝30°，AO⊥BD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AO＝2，OD＝23，然后计算出OE、DE的长，最后计算四边形AOED的周长．∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝4，AB∥CD，∵∠BAD＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝30°，∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD，在Rt△AOD中，AO=12AD＝2，OD=3OA＝23，\n∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°，在Rt△DOE中，OE=12OD=3，DE=3OE＝3，∴四边形AOED的周长＝4+2+3+3＝9+3．4．（2020•甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（　　）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝8，AC⊥BD，则∠AOB＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵菱形ABCD的周长为32，∴AB＝8，∵E为AB边中点，∴OE=12AB＝4．\n5．（2020•遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）A．125B．185C．4D．245【答案】D【解析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．如图．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，BD＝2OB，∵AB＝5，∴OB=AB2-OA2=4，∴BD＝2OB＝8，∵S菱形ABCD＝AB•DE=12AC•BD，∴DE=12AC⋅BDAB=12×6×85=245．\n6.（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　）A．2.5B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝BC=204=5，且O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△BCD的中位线，∴OE=12CB＝2.57.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，\n∴=30°，∠FAE=60°，∵A（4，0），∴OA=4，∴=2，∴，EF===，∴OF=AO-AF=4-1=3，∴．8.（2019•四川省广安市）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于（）A.B.1C.D..【答案】A【解析】因为∠B=30°，AB=，AE⊥BC，\n所以BE=，所以EC=-，则CF=3-，又因为CG∥AB，所以,所以CG=.9.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形．∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C．10.（2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．则下列说法错误的是（　　）\nA．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE＝4D．sin∠CBE＝【答案】C【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，在Rt△ADE中，cosD＝＝，∴∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，而AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；若AB＝4，则DE＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，\n在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，∴CH＝a，EH＝a，∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．故选：C．二、填空题11．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　　．【答案】27．【解析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝33=EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，\n∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝33=EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF=EH2+FH2=27+1=27．12．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　　．【答案】22．【解析】设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，所以1+x=32x，解得x＝2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，\n∴BD＝3x，∴OB＝OD=32x，∵OE+BE＝BO，∴1+x=32x，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA=42-32=7，在Rt△AOE中，AE=12+(7)2=22．13．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　　，使▱ABCD是菱形．【答案】AD＝DC（答案不唯一）．【解析】根据菱形的定义得出答案即可．∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC.14.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=.\n【答案】.【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，∴BD=8.∵S菱形ABCD=AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=AC=3，∴BC==5，∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=.15．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是　　．【答案】﹣1【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3\n∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣116．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　　．（填序号）【答案】①②④．【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；\n③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①②④．17.（2019广西梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　．【答案】【解析】连接交于，如图所示：四边形是菱形，\n，，，，，，，，由旋转的性质得：，，，四边形是菱形，，，，，，，。三、解答题18．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．\n【答案】见解析。【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB＝ED，AB∥CD，∴∠EBP＝∠EDQ，在△PBE和△QDE中，∠EBP=∠EDQEB=ED∠BEP=∠DEQ，∴△PBE≌△QDE（ASA）；（2）证明：如图所示：∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA），∴EM＝EN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形．\n19．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【答案】见解析。【解析】四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，\n∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．20.（2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，\n∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BQ，∴PF＝BF，∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝，在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．21.（2019北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；\n（2）如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．图1图2【答案】见解析。【解析】由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分∠BAD，结合BE=DF，根据等腰△AEF中的三线合一，证得AC⊥EF.；菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF得BD∥EF.进而有；得出OA的值.（1）证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF∴∴AE=AF∴△AEF是等腰三角形∵AC平分∠BAD∴AC⊥EF（2）解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.∴BD∥EF.又∵BD=4，tanG=\n∴∴AO==OC=1.