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- 2022-07-19 发布
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专题24圆知识点1:圆的概念1.圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。2.圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。知识点2:点与圆的位置关系圆和点的位置关系:以点P与圆O为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。知识点3:直线与圆的位置关系直线与圆有3种位置关系:(1)无公共点为相离;(2)有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;(3)圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。知识点4:圆与圆的位置关系两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;\n有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为L,则(1)外离L>R+r;(2)外切L=R+r;(3)相交R-r<L<R+r;(4)内切L=R-r;(5)内含L<R-r。知识点5:垂径定律定律垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。知识点6:圆心角定律在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.知识点7:圆周角定律(1)在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.知识点8:圆内接多边形1.圆内接正三角形形2.圆内接正四边形形\n3.圆内接正六边形形知识点9:判定定理与切线的性质1.切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。知识点10:圆的公切线1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线,例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧,则这公切线叫外公切线;如果两个圆在公切线的异侧,则叫内公切线。\n(1)若两圆相离,则有4条公切袭线。(2)若两圆外切,则有3条公切线。(3)两圆相交,则有2条公切线。(4)若两圆内切,则有1条公切线。(5)若两圆内含,则有0条公切线。2.公切线性质(1)两圆的两条外公切线长相等;(2)两条内公切线的长也相等。(3)两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。知识点11:两圆公共弦定理两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。知识点12:扇形、圆柱和圆锥的相关计算1.扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。3.圆的计算公式: (1)圆的周长C=2πR=πd(2)圆的面积S=πR2(3)扇形弧长L=nπR/180\n(4)扇形面积S=nπR2/180=LR/2(5)圆柱表面积S表=S侧+2S底=2πRh+2πR2(6)圆柱体的体积V=S底h=πR2h(7)圆锥表面积S表=S侧+S底=πRr+πr2(8)圆锥体的体积V=πr2h/3\n1.知识思维导图2.圆中常用辅助线的添法在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。(1)见弦作弦心距有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系。(2)见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。(3)见切线作半径\n命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。(4)两圆相切作公切线对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。(5)两圆相交作公共弦对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。3.圆中常用辅助线的添法顺口溜(圆问题的解题技巧)半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。\n辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。4.拓展知识:圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。重要结论:PA•PB=PC•PD(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。重要结论:CE2=AE•BE(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。\n重要结论:PA2=PC•PB(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。重要结论:PC•PB=PD•PE5.圆问题的基本题型类型1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理;同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系;圆周角定理;圆内接四边形性质等。类型2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。类型3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。类型4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算,涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积的计算等。类型5.与圆有关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的综合应用。\n【例题1】(2020•淮安)如图所示,点A、B、C在⊙O上,∠ACB=54°,则∠ABO的度数是( )A.54°B.27°C.36°D.108°【答案】C【解析】根据圆周角定理求出∠AOB,根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO,根据三角形内角和定理求出即可.∵∠ACB=54°,∴圆心角∠AOB=2∠ACB=108°,∵OB=OA,∴∠ABO=∠BAO=12×(180°﹣∠AOB)=36°【例题2】(2020•南京)如图,在边长为2cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为 cm2.\n【答案】23.【解析】连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T,证明S△PEF=S△BEF,求出△BEF的面积即可.连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形,∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,∴S△PEF=S△BEF,∵AT⊥BE,AB=AF,∴BT=FT,∠BAT=∠FAT=60°,∴BT=FT=AB•sin60°=3,∴BF=2BT=23,∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°,∴∠BFE=90°,∴S△PEF=S△BEF=12•EF•BF=12×2×23=23【例题3】(2019•陕西)如图,⊙O的半径OA=6,过点A作⊙O的切线AP,且AP=8,连接PO并延长,与⊙O交于点B、D,过点B作BC∥OA,并与⊙O交于点C,连接AC、CD.(1)求证:DC∥AP;(2)求AC的长.\n【答案】见解析。【分析】(1)根据切线的性质得到∠OAP=90°,根据圆周角定理得到∠BCD=90°,根据平行线的性质和判定定理即可得到结论;(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.【解析】(1)证明:∵AP是⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°,∵OA∥CB,∴∠AOP=∠DBC,∴∠BDC=∠APO,∴DC∥AP;(2)解:∵AO∥BC,OD=OB,∴延长AO交DC于点E,则AE⊥DC,OE=12BC,CE=12CD,在Rt△AOP中,OP=62+82=10,由(1)知,△AOP∽△CBD,∴DBOP=BCOA=DCAP,即1210=BC6=DC8,∴BC=365,DC=485,∴OE=185,CE=245,\n在Rt△AEC中,AC=AE2+CE2=(6+185)2+(245)2=2455.《圆》单元精品检测试卷本套试卷满分120分,答题时间90分钟一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2020•福建)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=CD,A为BD中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于( )A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】A【解析】∵A为BD中点,∴AB═AD,∵AB=CD,∴AB=CD,∴AB=AD=CD,∵圆周角∠BDC=60°,\n∴∠BDC对的BC的度数是2×60°=120°,∴AB的度数是13×(360°﹣120°)=80°,∴AB对的圆周角∠ADB的度数是12×80°=40°2.(2020•青岛)如图,BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上,AB=AD,AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB的度数为( )A.99°B.108°C.110°D.117°【答案】B【解析】根据圆周角定理得到∠BAD=90°,∠DAC=12∠COD=63°,再由AB=AD得到∠B=∠D=45°,然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数.∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∵AB=AD,∴∠B=∠D=45°,∵∠DAC=12∠COD=12×126°=63°,∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°.3.(2020•泸州)如图,⊙O中,AB=AC,∠ABC=70°.则∠BOC的度数为( )\nA.100°B.90°C.80°D.70°【答案】C【解析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠ACB=70°,再利用三角形内角和计算出∠A=40°,然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°,∴∠BOC=2∠A=80°.4.(2020•绍兴)如图所示,点A,B,C,D,E均在⊙O上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为( )A.45°B.60°C.75°D.90°【答案】D【解析】首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数,继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.连接BE,\n∵∠BEC=∠BAC=15°,∠CED=30°,∴∠BED=∠BEC+∠CED=45°,∴∠BOD=2∠BED=90°.5.(2020•杭州)如图,已知BC是⊙O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则( )A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α﹣β=90°D.2α﹣β=90°【答案】D【解析】根据直角三角形两锐角互余性质,用α表示∠CBD,进而由圆心角与圆周角关系,用α表示∠COD,最后由角的和差关系得结果.∵OA⊥BC,∴∠AOB=∠AOC=90°,∴∠DBC=90°﹣∠BEO=90°﹣∠AED=90°﹣α,∴∠COD=2∠DBC=180°﹣2α,∵∠AOD+∠COD=90°,∴β+180°﹣2α=90°,\n∴2α﹣β=90°6.(2020•牡丹江)如图所示,四边形ABCD内接于⊙O,连接BD.若AC=BC,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是( )A.125°B.130°C.135°D.140°【答案】B【解析】连接OA,OB,OC,根据圆周角定理得出∠BOC=100°,再根据AC=BC得到∠AOC,从而得到∠ABC,最后利用圆内接四边形的性质得到结果.连接OA,OB,OC,∵∠BDC=50°,∴∠BOC=2∠BDC=100°,∵AC=BC,∴∠BOC=∠AOC=100°,∴∠ABC=12∠AOC=50°,∴∠ADC=180°﹣∠ABC=130°.\n7.(2020•德州)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( )A.243-4πB.123+4πC.243+8πD.243+4π【答案】A【分析】设正六边形的中心为O,连接OA,OB首先求出弓形AmB的面积,再根据S阴=6•(S半圆﹣S弓形AmB)求解即可.【解析】设正六边形的中心为O,连接OA,OB.由题意,OA=OB=AB=4,∴S弓形AmB=S扇形OAB﹣S△AOB=60⋅π⋅42360-34×42=83π﹣43,∴S阴=6•(S半圆﹣S弓形AmB)=6•(12•π•22-83π+43)=243-4π,\n8.(2020•乐山)在△ABC中,已知∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1.如图所示,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为( )A.π4B.π-32C.π-34D.32π【答案】B【解析】解直角三角形得到AB=3BC=3,AC=2BC=2,然后根据扇形的面积公式即可得到结论.∵∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1,∴AB=3BC=3,AC=2BC=2,∴90⋅π×22360-90⋅π×3360-(12×1×3-30⋅π×3360)=π-32,9.(2019•山东省滨州市)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )A.60°B.50°C.40°D.20°【答案】B【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出圆周角是解答此题的关键.连接AD,先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数,再由直角三角形的性质即可得出结论.连接AD,\n∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠BCD=40°,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°﹣40°=50°.10.(2019甘肃陇南)如图所示,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则∠ASB的度数是( )A.22.5°B.30°C.45°D.60°【答案】C.【解析】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.设圆心为0,连接OA.OB,如图,先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°,然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数.设圆心为O,连接OA.OB,如图,∵弦AB的长度等于圆半径的倍,即AB=OA,∴OA2+OB2=AB2,∴△OAB为等腰直角三角形,∠AOB=90°,\n∴∠ASB=∠AOB=45°.11.(2019•湖北天门)如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是⊙O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED•BC=BO•BE.其中正确结论的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用是解答此题的关键.连结DO.∵AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,∴∠CBO=90°,∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB.在△COD和△COB中,,∴△COD≌△COB(SAS),∴∠CDO=∠CBO=90°.\n又∵点D在⊙O上,∴CD是⊙O的切线;故①正确,∵△COD≌△COB,∴CD=CB,∵OD=OB,∴CO垂直平分DB,即CO⊥DB,故②正确;∵AB为⊙O的直径,DC为⊙O的切线,∴∠EDO=∠ADB=90°,∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°,∴∠ADE=∠BDO,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠EDA=∠DBE,∵∠E=∠E,∴△EDA∽△EBD,故③正确;∵∠EDO=∠EBC=90°,∠E=∠E,∴△EOD∽△ECB,∴,∵OD=OB,∴ED•BC=BO•BE,故④正确.12.(2019•山东省德州市)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是( )\nA.130°B.140°C.150°D.160°【答案】B.【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆,利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数.由题意得到OA=OB=OC=OD,作出圆O,如图所示,∴四边形ABCD为圆O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC=40°,∴∠ADC=140°二、填空题(每空3分,共24分)13.(2020•盐城)如图,在⊙O中,点A在BC上,∠BOC=100°.则∠BAC= °.【答案】130.【解析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论.\n如图,取⊙O上的一点D,连接BD,CD,∵∠BOC=100°,∴∠D=50°,∴∠BAC=180°﹣50°=130°14.(2020•天水)如图所示,若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的底面半径是 .【答案】83.【解析】根据半径为8,圆心角为120°的扇形弧长,等于圆锥的底面周长,列方程求解即可.设圆锥的底面半径为r,由题意得,120π×8180=2πr,解得,r=8315.(2020•攀枝花)如图,已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O,OD⊥BC于点D,∠BAC=60°,则OD= .\n【答案】1.【分析】连接OB和OC,根据圆周角定理得出∠BOC的度数,再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数,结合直角三角形的性质可得OD.【解析】连接OB和OC,∵△ABC内接于半径为2的⊙O,∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,OB=OC=2,∵OD⊥BC,OB=OC,∴∠BOD=∠COD=60°,∴∠OBD=30°,∴OD=12OB=116.(2020•襄阳)在⊙O中,若弦BC垂直平分半径OA,则弦BC所对的圆周角等于 °.【答案】60°或120°.【分析】根据弦BC垂直平分半径OA,可得OD:OB=1:2,得∠BOC=120°,根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数.【解析】如图,\n∵弦BC垂直平分半径OA,∴OD:OB=1:2,∴∠BOD=60°,∴∠BOC=120°,∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°.17.(2020•长沙)已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,该圆锥的侧面展开图的面积为 .【答案】3π.【解析】根据圆锥的侧面积公式:S侧=12×2πr•l=πrl.即可得圆锥的侧面展开图的面积.∵圆锥的侧面展开图是扇形,∴S侧=πrl=3×1π=3π,∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π.18.(2020•扬州)圆锥的底面半径为3,侧面积为12π,则这个圆锥的母线长为 .【答案】4.【解析】根据圆锥的侧面积公式:S侧=12×2πr•l=πrl即可进行计算.∵S侧=πrl,∴3πl=12π,∴l=4.\n答:这个圆锥的母线长为4.19.(2020•扬州)如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3cm,则螺帽边长a= cm.【答案】3.【分析】根据正六边形的性质,可得∠ABC=120°,AB=BC=a,根据等腰三角形的性质,可得CD的长,根据锐角三角函数的余弦,可得答案.【解析】如图,连接AC,过点B作BD⊥AC于D,由正六边形,得∠ABC=120°,AB=BC=a,∠BCD=∠BAC=30°.由AC=3,得CD=1.5.cos∠BCD=CDBC=32,即1.5a=32,解得a=320.(2020•连云港)如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直线l经过B2、B3,则直线l与A1A2的夹角α= °.\n【答案】48.【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C,设l交A1A2于E、交A4A3于D,由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°,得出∠CA2A3=∠A2A3C=60°,则∠C=60°,由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°,由平行线的性质得出∠EDA4=∠B2B3B4=108°,则∠EDC=72°,再由三角形内角和定理即可得出答案.【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C,设l交A1A2于E、交A4A3于D,如图所示:∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形,六边形的内角和=(6﹣2)×180°=720°,∴∠A1A2A3=∠A2A3A4=720°6=120°,∴∠CA2A3=∠A2A3C=180°﹣120°=60°,∴∠C=180°﹣60°﹣60°=60°,∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形,五边形的内角和=(5﹣2)×180°=540°,∴∠B2B3B4=540°5=108°,∵A3A4∥B3B4,∴∠EDA4=∠B2B3B4=108°,∴∠EDC=180°﹣108°=72°,∴α=∠CED=180°﹣∠C﹣∠EDC=180°﹣60°﹣72°=48°\n三、解答题(5个小题,每题12分,共60分)21.(2020•聊城)如图,在△ABC中,AB=BC,以△ABC的边AB为直径作⊙O,交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.(1)试证明DE是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为5,AC=610,求此时DE的长.【答案】见解析。【分析】(1)连接OD、BD,求出BD⊥AC,瑞成AD=DC,根据三角形的中位线得出OD∥BC,推出OD⊥DE,根据切线的判定推出即可;(2)根据题意求得AD,根据勾股定理求得BD,然后证得△CDE∽△ABD,根据相似三角形的性质即可求得DE.【解析】(1)证明:连接OD、BD,∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴BD⊥AC,∵AB=BC,∴D为AC中点,\n∵OA=OB,∴OD∥BC,∵DE⊥BC,∴DE⊥OD,∵OD为半径,∴DE是⊙O的切线;(2)由(1)知BD是AC的中线,∴AD=CD=12AC=310,∵O的半径为5,∴AB=6,∴BD=AB2-AD2=102-(310)2=10,∵AB=AC,∴∠A=∠C,∵∠ADB=∠CED=90°,∴△CDE∽△ABD,∴CDAB=DEBD,即31010=DE10,∴DE=3.22.(2020•上海)如图,△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,BO的延长线交边AC于点D.(1)求证:∠BAC=2∠ABD;(2)当△BCD是等腰三角形时,求∠BCD的大小;(3)当AD=2,CD=3时,求边BC的长.\n【答案】见解析。【分析】(1)连接OA.利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可.(2)分三种情形:①若BD=CB,则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD.②若CD=CB,则∠CBD=∠CDB=3∠ABD.③若DB=DC,则D与A重合,这种情形不存在.分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可.(3)如图3中,作AE∥BC交BD的延长线于E.则AEBC=ADDC=23,推出AOOH=AEBH=43,设OB=OA=4a,OH=3a,根据BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2,构建方程求出a即可解决问题.【解析】(1)证明:连接OA.A∵AB=AC,∴AB=AC,∴OA⊥BC,∴∠BAO=∠CAO,∵OA=OB,∴∠ABD=∠BAO,∴∠BAC=2∠BAD.(2)解:如图2中,延长AO交BC于H.\n①若BD=CB,则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠DBC=2∠ABD,∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°,∴8∠ABD=180°,∴∠C=3∠ABD=67.5°.②若CD=CB,则∠CBD=∠CDB=3∠ABD,∴∠C=4∠ABD,∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°,∴10∠ABD=180°,∴∠BCD=4∠ABD=72°.③若DB=DC,则D与A重合,这种情形不存在.综上所述,∠C的值为67.5°或72°.(3)如图3中,作AE∥BC交BD的延长线于E.则AEBC=ADDC=23,∴AOOH=AEBH=43,设OB=OA=4a,OH=3a,∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2,∴25﹣49a2=16a2﹣9a2,∴a2=2556,∴BH=524,∴BC=2BH=522.23.(2020•金华)如图,AB的半径OA=2,OC⊥AB于点C,∠AOC=60°.(1)求弦AB的长.\n(2)求AB的长.【答案】见解析。【分析】(1)根据题意和垂径定理,可以求得AC的长,然后即可得到AB的长;(2)根据∠AOC=60°,可以得到∠AOB的度数,然后根据弧长公式计算即可.【解析】(1)∵AB的半径OA=2,OC⊥AB于点C,∠AOC=60°,∴AC=OA•sin60°=2×32=3,∴AB=2AC=23;(2)∵OC⊥AB,∠AOC=60°,∴∠AOB=120°,∵OA=2,∴AB的长是:120π×2180=4π3.24.(2020•齐齐哈尔)如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两个点,AC=CD=DB,连接AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若直径AB=6,求AD的长.\n【答案】见解析。【分析】(1)连接OD,根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°,根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠DAB=30°,得到∠EDA=60°,求得OD⊥DE,于是得到结论;(2)连接BD,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,解直角三角形即可得到结论.【解析】(1)证明:连接OD,∵AC=CD=DB,∴∠BOD=13×180°=60°,∵CD=DB,∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°,∵DE⊥AC,∴∠E=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°,∴∠EDA=60°,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(2)解:连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,\n∵∠DAB=30°,AB=6,∴BD=12AB=3,∴AD=62-32=33.25.(2020•辽阳)如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠CAB=90°,以点A为圆心,以AB的长为半径作⊙A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE.(1)求证:DE与⊙A相切;(2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.【答案】见解析。【分析】(1)证明:连接AE,根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC,求得∠DAE=∠AEB,根据全等三角形的性质得到∠DEA=∠CAB,得到DE⊥AE,于是得到结论;(2)根据已知条件得到△ABE是等边三角形,求得AE=BE,∠EAB=60°,得到∠CAE=∠ACB,得到CE=BE,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.\n【解析】(1)证明:连接AE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC,∴∠DAE=∠ABC,∴△AED≌△BAC(AAS),∴∠DEA=∠CAB,∵∠CAB=90°,∴∠DEA=90°,∴DE⊥AE,∵AE是⊙A的半径,∴DE与⊙A相切;(2)解:∵∠ABC=60°,AB=AE=4,∴△ABE是等边三角形,∴AE=BE,∠EAB=60°,∵∠CAB=90°,∴∠CAE=90°﹣∠EAB=90°﹣60°=30°,∠ACB=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°,∴∠CAE=∠ACB,∴AE=CE,∴CE=BE,∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83,∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43,∵∠CAE=30°,AE=4,∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3,∴S阴影=S△ACE﹣S扇形AEF=43-4π3.\n