初中数学中考复习题---因式分解分式 12页

因式分解分式一：【课前预习】（一）：【知识梳理】（A）因式分解的概念1．分解因式：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法是运算【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。】（B）因式分解的应用1．分解因式的方法：公因式____________________________________⑴提公因式法：如果一个多项式的各项含有_______，那么就可以把这个__________提出来，从而将多项式化成________________乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=。【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。】⑵运用公式法：平方差公式:；完全平方公式:；立方和公式_:___________________________________立方差公式_:___________________________________【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面a与b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2-x+就不符合该公式。】（3）十字相乘法（4）先分组提公因式法（5）求根法2公式分解的一般步骤（1）一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先____________（2）二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用______________法来分解。注意：用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；立方差和公式。若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。（3）三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。3．分解因式时常见的思维误区：⑴提公因式时，其公因式应找字母指数幂最低的，而不是以首项为准．⑵提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉．(3)分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（）A．3x－2与6x2－4xB.3（a－b）2与11（b－a）3C．mx—my与ny—nxD．ab—ac与ab—bc2.下列各题中，分解因式错误的是（）3.列多项式能用平方差公式分解因式的是（）4.分解因式：x2+2xy+y2－4=_____5.分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）以上三题用了公式二：【经典考题剖析】1.分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）2.分解因式：（1）；（2）；（3）\n3.计算：（1）（2）4.分解因式：（1）；（2）5.（1）在实数范围内分解因式：；（2）已知、、是△ABC的三边，且满足，求证：△ABC为等边三角形。三：【课后训练】1.若是一个完全平方式，那么的值是（）A．24B．12C．±12D．±242.把多项式因式分解的结果是（）A．B．C．D．3.如果二次三项式可分解为，则的值为（）A．－1B．1C．－2D．24.已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（）A．61、63B．61、65C．61、67D．63、655.计算：1998×2002＝，＝。6.若，那么＝。7.、满足，分解因式＝。8.因式分解：（1）；（2）（3）；（4）9.观察下列等式：……想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来：。10.已知是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。阅读下面解题过程：解：由得：①②即③∴△ABC为Rt△。④试问：以上解题过程是否正确：；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）；错误原因是；本题的结论应为。【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1（2012•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（　　）A．m2+nB．m2-m+1C．m2-nD．m2-2m+1思路分析：根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．对应训练1．（2012•凉山州）下列多项式能分解因式的是（　　）A．x2+y2B．-x2-y2C．-x2+2xy-y2D．x2-xy+y2考点二：因式分解例2（2012•天门）分解因式：3a2b+6ab2=．思路分析：首先观察可得此题的公因式为：3ab，\n然后提取公因式即可求得答案．解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）．故答案为：3ab（a+2b）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3（2012•广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2=．思路分析：先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2．故答案为：3m（m-3n）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2012•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-43．（2012•恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（　　）A．a2b（a2-6a+9）B．a2b（a-3）（a+3）C．b（a2-3）2D．a2b（a-3）2考点三：因式分解的应用例48．（2012•随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则()5=．考点：因式分解的应用；分式的化简求值．分析：根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0，因此a+b2=0，即b2=-a，∴()5=()5=-()5=()5=（-2）5=-32．故答案为-32．点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．对应训练4．（2012•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab=．因式分解应用例题：一、因式分解：1、提公因式法：例1、分析：先提公因式，后用平方差公式解：略[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。2、十字相乘法：例2、（1）；（2）分析：可看成是和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。3、分组分解法：例3、分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。4、求根公式法：例4、解：略巧用公式例5、计算：\n分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。2、化简求值：例6、先化简，再求值：，其中x=–1y=[规律总结]一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。3、分式的计算：例7、化简分析：–可看成解：略[规律总结]分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；（2）注意负号4、根式计算例8、已知最简二次根式和是同类二次根式，求b的值。分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7–b。解：略[规律总结]二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。【备考真题过关】一、选择题1．（2012•无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（　　）A．（x-1）（x-2）B．x2C．（x+1）2D．（x-2）22．（2012•呼和浩特）下列各因式分解正确的是（　　）A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）B．x2+2x-1=（x-1）2C．4x2-4x+1=（2x-1）2D．x2-4x=x（x+2）（x-2）3．（2012•台湾）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（　　）A．2x-2B．2x+2C．4x+1D．4x+24．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（　　）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2二、填空题6．（2012•湘潭）因式分解：m2-mn=．7．（2012•桂林）分解因式：4x2-2x=．8．（2012•沈阳）分解因式：m2-6m+9=．9．（2012•黔西南州）分解因式：a4-16a2=．10．（2012•北海）因式分解：-m2+n2=．11．（2012•北京）分解因式：mn2+6mn+9m=．12．（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．13．（2012•宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2=．14．（2012•绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3=．15．（2012•宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为．16．（2012•广东）分解因式：2x2-10x=．17．（2012•黄石）分解因式：x2+x-2=．18．（2012•黑河）因式分解：27x2-3y2=．19．（2012•六盘水）分解因式：2x2+4x+2=．20．（2012•南充）分解因式：x2-4x-12=．21．（2012•哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是．22．（2012•广州）分解因式：a3-8a=．23．（2012•广西）分解因式：2xy-4x2=．24．（2012•大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2=．三、解答题25．（2012•扬州）（1）计算：-（-1）2+（-2012）0（2）因式分解：m3n-9mn．分式\n一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1．分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：①当___________________________时分式有意义。②当______________________________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。【名师提醒：①：若则分式无意义②：若分式=0，则应且】（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的________________________。1、==（m≠0）（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与_________________相等的____________的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的_________________________。【名师提醒：①最简分式是指_______②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。2．分式性质：（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个，分式的值．即：（2）符号法则：____、____与__________的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。即：3.分式的运算：注意：为运算简便，运用分式的基本性质及分式的符号法则：①若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先，化为的分式，然后再按进行计算①用分母分式相加减：±=②异分母分式相加减：±==（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式：_____________________________________；\n①分式的乘法：.=②分式的除法：==（3）分式乘方是____________________，公式_________________。4．分式的混合运算顺序，先，再算，最后算，有括号先算括号内。5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】（二）：【课前练习】1.判断对错：①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（）②只要分子的值是0，分式的值就是0（）③当a≠0时，分式＝0有意义（）；④当a＝0时，分式＝0无意义（）2.在中，整式和分式的个数分别为（）A．5，3B．7，1C．6，2D．5，23.若将分式(a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（）A．扩大为原来的2倍；B．缩小为原来的；C．不变；D．缩小为原来的4.分式约分的结果是。5.分式的最简公分母是。二：【经典考题剖析】1.已知分式当x≠______时，分式有意义；当x=______时，分式的值为0．2.若分式的值为0，则x的值为（）A．x=－1或x=2B、x=0C．x=2D．x=－13.（1）先化简，再求值：，其中.（2）先将化简，然后请你自选一个合理的值，求原式的值。（3）已知，求的值4.计算:（1）；（2）；（3）（4）；（5）5.阅读下面题目的计算过程：＝①＝②＝③＝④（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号。（2）错误原因是。（3）本题的正确结论是。三：【课后训练】1.当x取何值时，分式（1）；（2）\n；（3）有意义。2.当x取何时，分式（1）；（2）的值为零。3.分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。（1）；（2）4.若，则＝。5.已知。则分式的值为。6.先化简代数式然后请你自取一组a、b的值代入求值．7.已知△ABC的三边为a，b，c，=，试判定三角形的形状．8.计算：（1）；（2）（3）；（4）9.先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知：方程方程方程方程问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10=10的解，并写出检验．10.阅读下面的解题过程，然后解题：已知求x+y+z的值解：设=k,仿照上述方法解答下列问题：已知：【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1（2012•宜昌）若分式有意义，则a的取值范围是（　　）A．a=0B．a=1C．a≠-1D．a≠0思路分析：根据分母不等于0列式即可得解．解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠-1．故选C．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练1．（2012•湖州）要使分式有意义，x的取值范围满足（　　）A．x=0B．x≠0C．x＞0D．x＜0考点二：分式的基本性质运用例2（2012•杭州）化简得；当m=-1时，原式的值为．思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出，约分后得出，把m=-1代入上式即可求出答案．解：\n==。当m=-1时，原式==1，故答案为：，1．点评：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中．对应训练2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（　　）A．B．C．D．考点三：分式的化简与求值例3（2012•南昌）化简：．思路分析：将分式的分子、分母因式分解为，再把分式的除法变为乘法进行计算即可．解：原式===-1．点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．例4（2012•安徽）化简的结果是（　　）A．x+1B．x-1C．-xD．x思路分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．解：=x，故选D．点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例5（2012•天门）化简的结果是（　　）A．B．C．D．思路分析：将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果．解：===．故选D。点评：\n此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．例6（2012•遵义）化简分式，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．思路分析：先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．解：原式===，由于当x=-1或x=1时，分式的分母为0，故取x的值时，不可取x=-1或x=1，不妨取x=2，此时原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．对应训练3．（2012•河北）化简的结果是（　　）A．B．C．D．2（x+1）4．（2012•绍兴）化简可得（　　）A．B．C．D．5．（2012•泰安）化简=．6．（2012•资阳）先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根．考点四：分式创新型题目例7（2012•凉山州）对于正数x，规定，例如：，，则．思路分析：当x=1时，；当x=2时，，当时，；当x=3时，，当时，…，故，…，所以，由此规律即可得出结论．解：∵当x=1时，；当x=2时，，当时，；当x=3时，，当时，…，∴，…，∴，\n∴．故答案为：2011.5．点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意得出是解答此题的关键．对应训练7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算．7．解：由题意得，．故答案为：．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•嘉兴）（-2）0等于（　　）A．1B．2C．0D．-22．（2012•云南）下列运算正确的是（　　）A．x2•x3=6B．3-2=-6C．（x3）2=x5D．40=13．（2012•泰州）3-1等于（　　）A．3B．C．-3D．4．（2012•嘉兴）若分式的值为0，则（　　）A．x=-2B．x=0C．x=1或2D．x=14．解：∵分式的值为0，∴，解得x=1．6．（2012•义乌市）下列计算错误的是（　　）A．B．C．D．7．（2012•仙桃天门潜江江汉）化简的结果是（　　）A．B．C．（x+1）2D．（x﹣1）28．（2012•钦州）如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的二、填空题9．（2012•宁夏）当a时，分式有意义．10．（2012•台州）计算的结果是．11．（2012•天津）化简的结果是．12．（2012•山西）化简的结果是．13．（2012•内江）已知三个数x，y，z，满足\n则．14．（2012•镇江）若，则的值为　　．15．（2012•温州）若代数式的值为零，则x=　　．　16．（2012•赤峰）化简=　　．三、解答题17．（2012•泰州）化简：．18．（2012•淮安）计算：．19．（2012•珠海）先化简，再求值：，其中x=．21．（2012•益阳）计算代数式的值，其中a=1，b=2，c=3．22．（2012•孝感）先化简，再求值：，其中，．23．（2012•绥化）先化简，再求值：．其中m是方程x2+3x-1=0的根．24．（2012•南京）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．25．（2012•重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．　26．（2012•铁岭）先化简，在求值：，其中x=3tan30°+1．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。专题：计算题。分析：将原式除式的第一项分子分母同时乘以x+3，然后利用同分母分式的减法法则计算，将被除式分母利用平方差公式分解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，然后利用特殊角的三角函数值求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可求出原式的值．解答：解：÷（﹣）=÷[﹣]=÷=•=，当x=3tan30°+1=3×+1=+1时，原式===．\n点评：此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．27．（2012•本溪）先化简，再求值：，其中x=2sin60°﹣（）﹣2．考点：分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。专题：计算题。分析：将原式第二项中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后再利用同分母分式的减法运算计算，得到最简结果，接着利用特殊角的三角函数值及负指数公式化简，求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：﹣÷=﹣÷=﹣•=﹣=﹣，当x=2sin60°﹣（）﹣2=2×﹣4=﹣4时，原式=﹣=﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，以及负指数公式，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．　28．（2012•北京）已知，求代数式的值．考点：分式的化简求值。专题：计算题。分析：将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．解答：解：•（a﹣2b）=•（a﹣2b）=，∵=≠0，∴a=b，∴原式====．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．