基于中考数学试题分析初中数学能力体系 10页

基于中考数学试题分析初中数学能力体系姜堰市克强学校李齐荣[摘要]近年来各省市初中毕业与升学考试数学试卷在考查基础知识、基本技能、基本思想和基本数学活动过程及经验的基础上，突出对学生数学能力，特别是综合能力的考查。数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等几个方面的能力；综合能力主要是指发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。能力的培养不是一朝一夕的，需要个体在相应的活动过程中不断地自主体会、归纳提升；需要从中考试题中找准方向有针对性训练，形成能力。能力决定成败，初中生经历三年的日积月累，要能形成自己的数学能力体系，备战中考，决战人生。[关键词]中考数学能力知道近年来各省市初中毕业与升学考试数学试卷在考查基础知识、基本技能、基本思想和基本数学活动过程及经验的基础上，突出对学生数学能力，特别是综合能力的考查。数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等几个方面的能力；综合能力主要是指发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。学生对考点，清楚明了，但不能灵活运用、综合应用，这充分表明能力缺乏。知彼知己，有针对性地培养能力，事半功倍。2011年版义务教育《数学课程标准》中指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”中考试题具有毕业与升学两种功效，毕业试题立足考查“四基”，升学试题侧重考查综合能力。一份数学试卷，28题左右，要考到初中三年的重要知识点，综合性比较强，常在一题中考查多个知识点、多种能力，且整份试卷上很少会有重复出现的知识点或思想方法，而能力会以多种姿态呈现，广泛应用。1.感悟数学情境，培养数感理解并掌握实际问题中数的意义，找出并用语言描述出具体情境中的数量关系，就是一种数感；当我们遇到可能与数有关的问题时，就能有意识地与数学联系起来，并试图进一步用数学的观点和方法来处理、解释或估算也是数感。可见，数感就是主动地、自觉地或自动化地理解数、运用数的意义和运算方法去认识、理解现实世界的能力。例1：（2012年南京，第4题，2分）12的负的平方根介于（）A.—5与—4之间B.—4与—3之间C.—3与—2之间D.—2与—1之间【分析】“数感”是个体的一种感知和领悟。感悟对象包括数与数量、数量关系、运算结果的估计等。本题考查的主要知识点是平方根、负数的大小比较及无理数的估算。这要求学生在学习无理数的概念、无理数与有理数的关系后根据自己已有的数感估算出的范围。例2：（2012年扬州，第8题，3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，…若分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（　　）A．43B．44C．45D．46【分析】例2要求学生凭数感探索规律，凭对题目的理解，对知识的综合应用去探索其中的奥秘。，，等式的左边是，右边是相连的个奇数的和，由，可认为第一个奇数为，由，可认为第一个奇数为\n，而第三个式子两者都不对，此时只有凭数感，对3、7、13重新分解，分裂后的第一个奇数是，共个相连奇数的和。数感的形成有一个较为漫长的过程，日常教学过程中教师要引导学生把数感的建立与数量关系的理解和运用结合起来，事半功倍。例3：（2011年泰州，第25题，10分）小明从家骑自行车s(m)t(min)24001012ABCDOEF图1出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回．设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离为m，小明爸爸与家之间的距离为m，图2中折线OABD、线段EF分别是表示、与t之间函数关系的图象。（1）求与t之间的函数关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？【分析】“数感”的形成需要在实际背景的情境中进行，而且这些背景应当包含需要感悟的对象。像例3这类创设的情境与学生的生活密切相关的问题很多，这既让学生体会数学来源于生活，学习数学知识后，用数学知识感悟生活，用数学思想分析、解决生活中的实际问题。同时，也要求学生建立数感，理解现实生活中数的意义，用函数思想、方程思想等理解或表述具体情境中的数量关系。日常教学过程中教师要引导学生把数感的建立与符号感的建立和初步的数学模型的建立结合起来，这有助学生整体数学素养的提高。2.树立符号意识，培养抽象概括能力帮助学生初步形成符号意识是发展学生数学思维，特别是抽象思维的起始，对抽象概括能力的考查主要从数学语言与数学模型两方面进行。数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，初中学生能熟练地将这三种语言相互转化，是科学解题、规范书写的必要保证。树立符号意识是架起文字语言和图形语言间转换的桥梁，主要表现在用符号表示和操作符号上，因此，发展学生的符号意识应当让学生经历“从具体到抽象”的过程，并从事“用符号表达一般关系”、“对符号进行转换”和“解释符号所表达对象（操作）的实际含义”等活动。例4：（2012年盐城，第8题，3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依此类推，则a2012的值为（　　）A．-1005B．-1006C．-1007D．-201260°PQ2cm图2A【分析】本题只要进行迭代计算：，，，，……，由这些具体的数，学生借助数感，探索其中规律，并用符号语言进行抽象概括为，再去验证，、、…，发现结论正确，故，选B。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。例5：（2009年吉林，第16题，3分）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图2所示的形状，那么折痕的长是（）A．cmB．cmC．cmD．2cm【分析】\n这是一道简单的操作题，许多学生看完题目就能用小纸条做出模型，折纸类题目平时就在练习，而本题的题目及图形较简单，许多学生无从下手。如何将这道操作题转化为数学问题呢？平时的试题都有图示的虚线，借助辅助线学生不难发现△APQ为等腰三角形，再加上图中的60º，△APQ为等边三角形。图中的纸条宽与△APQ的关系的探寻是难点，也是解决本题的关键，图象语言2cm其实是△APQ，AP边上的高。因此，本题就可由具体的折纸问题，抽象概括为这样一道数学问题：已知等边三角形一边上的高为2cm，求其边长。求解这道几何题的过程需要用符号语言进行描述、推理。本题需要学生对数学的三种语言熟练掌握、并相互转化，文字语言和图象语言可以帮助学生理解题意，而符号语言能力能帮助学生完成推理和论证。3.平面与立体互动，直观与抽象互化，提高转化能力主视图左视图俯视图图3在中考数学试题内容中空间与图形是核心。空间观念主要是由具体物体抽象出几何图形，由几何图形想象出所描述的实际物体；能进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形或依据语言描述画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，探索解决问题的方法和思路，预测结果；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考等方面的能力。例6：（2012年宿迁，第4题，3分）如图是一个用相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方块的个数是（　　）A.2B.3C.4D.5例7：（2012年泰州，第6题，3分）用4个小立方块搭成如图6所示的几何体，该几何体的左视图是图4ABCD（　　）【分析】空间观念存在于“从实物到抽象图形”的转化过程中，存在于对图形之间的大小、位置关系的感知与想象过程之中。例6是由几何图形想象出所描述的实际物体，例7是由具体物体抽象出几何图形，进行几何体与其三视图的转化，这些题型在近年的中考试题中已是常见题，主要考查了学生的空间观念和几何直观的能力。图5图6例8：（2012年无锡，第27题，8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．【分析】问题（1）要求学生读懂题意，理解d（O，P）=1的含义，得：。如何画出其图象？这是本题的难点，学生要能数形结合，根据点P可能在的象限对x，y的符号进行讨论，共四种情况，又x，y满足，则，，故，满足题意的图象如图6所示。问题（2）依题意知：，又Q（x，y）是直线y=x+2上的点，则y=x+2，所以，\n，x可取一切实数，表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为当数x表示的点在数-1和2所对应的点之间时，距离的和为定值3，即点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。本题要求学生要能根据题意，用绝对值表示点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离，方能探索出本题的解题策略。绝对值是代数与几何的桥梁，是数形结合中最常见的切入点，数学中的数形结合思维方式是一种典型的几何直观。图7例9：（2012年苏州，第10题，3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图7所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（　）A．B．C．D．例10：（2012年盐城，第25题，10分）如图8中图①所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点.(1)如图②,当点恰好在直线上时(此时与重合),试说明；(2)在图①中,当、两点都在直线的上方时,试探求三条线段、、之间的数量关系,并说明理由；ABD1lDFCGEE1E图①(E1)D1图②图8lDBFCGlE1AD1图③DFCGEB(3)如图③,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段、、之间的数量关系.(不需要证明)D1图9lDCMAC图10lBE1EM【分析】几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习的过程中都发挥着重要的作用。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的方法和思路，预测结果。这两个例题，例9是选择题的最后一题，有一定的难度；例10是个综合性题目，共有三个小问，设计由易到难，逐步深入。但学生若能从比较复杂的图形中分解出常用的基本模型，去探索解决问题的方法和思路，会提高解题效率。在这两个例题中均存在如图9的基本图形，例10中图①只需过C作辅助线CM⊥直线于M，就可以构造成图9的模型去思考，同理，图③也是过C作CM⊥直线于M，构成图10的模型去探索解题的思路，本题将迎刃而解。4.借助实例尝试分析、处理数据信息，培养数据分析观念\n在现实生活中只有经历过社会调查，收集数据，描述数据、分析数据、处理数据作出的决策才科学合理。数据分析是统计的核心，这充分证明了数据中蕴涵着许多重要信息和规律，需要应用统计的知识去发现。图11图①D级B级A级20%C级30%分析结果的扇形统计图图②0102030405060ABCD人数等级2448分析结果的条形统计图例11：（2012年泰州，第22题，8分）某校组织学生书法比赛，对参赛作品按A、B、C、D四个等级进行了评定．现随机抽取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如图11所示：根据上述信息完成下列问题：（1）求这次抽取的样本的容量；（2）请在图②中把条形统计图补充完整；（3）已知该校这次活动共收到参赛作品750份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）有多少份？【分析】统计与概率部分题目以与学生生活密切相关的实例为情境设计问题。常有针对性地考查统计意识，围绕扇形统计图、条形统计图或折线统计图的形式呈现问题。具有两个鲜明特点：第一，题目的综合性较强，既考查了考生的读图、释图能力，又考查了绘图能力；第二，在本题的前两个小题，都是根据现实情境和两张统计图进行了相关考查，但是它们的考查视角和方式有所不同，各有侧重。问题（3）考查了学生根据样本的数据分析、处理、总结后合理地对总体作出估计与预测的能力。这样的试题设计灵活，方式多样。度数8910131415天数112312例12：（2012年宿迁，第22题，8分）某学校抽查了某班级某月10天的用电量，数据如下表（单位：度）：（1）这10天用电量的众数是，中位数是，极差是；（2）求这个班级平均每天的用电量；（3）已知该校共有20个班级，该月共计30天，试估计该校该月总的用电量.【分析】本题主要考查了学生对处理数据时常用的一些关键量平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差、频数、频率、样本、总体等的理解；知道对于同样的数据需要根据问题的背景选择恰当的量、合适的方法来处理，以及由此得到的结果进行合理的质疑；要求学生根据样本数据的分析去估算、评价总体的情况，体现了数学的应用价值，培养了学生的应用所学知识解决实际问题的能力。通过这些实例的分析，让学生进一步体会数据随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律，能从统计的角度思考与数据信息有关的问题。5.重视算理与算法，培养运算能力运算能力是初中数学中要求培养的重要能力，是思维能力和运算技能的结合。初中数学运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。\n从近几年的中考试题来看，计算无处不在，贯穿始终。而且各省市中考数学试题中解答题的前几题会专门的计算或化简求值。如广东省2012年初中毕业生学业考试数学试卷第11、12、13题，均为计算题，总分为18分；江苏各市区也上是如此，大部分市区这样的基础计算题占分在18分左右，其中2012年苏州市初中毕业暨升学考试数学试卷第19、20、21、22题，总分为21分。宿迁市2012年初中毕业暨升学考试数学试卷第19、20、21题计算或化简求值，每题满分8分，共24分，尤为引人注目。有关于实数的相关计算、有整式化简与计算、有分式的化简及计算、有解二元一次方程组、有求一元一次不等式组的解集的、有分式方程等等，知识点多，覆盖面广，侧重考查算法、算理、基本计算技巧和计算思维能力。6.设置论证、推断、猜测类试题，培养推理能力推理能力主要体现在：能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；能运用数学语言进行规范地书写及论述推理过程的能力；能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；它既包括合情推理，又包括演绎推理。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成；合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。推理能力的发展将贯穿于整个数学学习过程中。图12图①图②例13：（2012年北京，第8题，4分）小翔在如图12中图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图12所示，则这个个定位置可能是图1中的（　　）A．点MB．点NC．点PD．点Q【分析】本题是“动点与函数图象”类问题，题目比较新颖，与实际生活的联系比较紧密，一方面考查学生阅读理解能力，另一方面考查学生对一组数据变化规律的合情推理能力和演绎推理能力。当教练选择观察小翔的跑步的固定位置在M处时，因为它是右边半圆的圆心，则当小翔在右半圆上从A到B跑步时，他与教练的距离为y应该保持不变，即图象为平行于x轴和线段，由图②的y与t的函数关系的图象可知，教练不在M点处；当教练选在N点时NA=NB=NC，即图象的起点与终点的纵坐标应该相同，这与图②不符；当教练选在P点时，小翔最后离教练应该越来越近，显然，不满足图②，故选D。在这个相对新颖的问题情景中，学生无法套用旧模式解题，只能通过自己的阅读领悟结合生活实践、独立思考、合情推理达到对问题的规律性、本质性的理解与认识。这种设置同时也考查学生自主学习数学的能力和自主探究的能力。图13例14：（2012年无锡，第21题，8分）如图13，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．【分析】各省市中考数学试题中几何计算与推理论证是空间与图形的重中之重。基础几何说理、猜想论证题、或几何计算证明题必考一道，在8分左右。这些题目侧重考查学生的逻辑推理能力和使用数学语言进行将自己的演绎推理过程书写出来的能力，有时还需要学生通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。例15：（2012年连云港，第27题，12分）如图14，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．(1)如图①，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？(2)如图②，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(4)如图③，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作□MMM图14图①图②图③PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．\n【评析】本题问题设计以动态几何探究最值为载体，指向明确、层次分明，由特殊到一般地层层设问，考查学生的合情推理与演绎推理能力。其中第一小题是典型的几何猜想加推理证明题，在□PCQD中，PQ与DC互相平分，若设交点为M，则M为DC的中点。若PQ=DC，则□PCQD应为矩形,∠DPC=90º，△ADP∽△BPC，则。若设AP=x，BP=2-x，，此一元二次方程无解，所以对角线PQ，DC的长不相等。问题（2）也需作出猜想，再进行推理证明，本题要求学生讨论最值，许多学生可能很容易联想到二次函数，殊不知，本题PQ必过DC的中点M，且PQ=2PM，因此，当PM最小时，PQ最小，M为定点，P为AB上一动点，由“直线外一点到直线上各点的连线中垂线段最短”可知当PQ⊥AB时，PQ最小，此时的PM即为直角梯形ABCD的中位线，其值为2，则此时，PQ的最小值勤4。这种综合性问题的考查侧重思维的转化和推理的过程，（3）、（4）小题，突出要求学生进行转化与化归，突出方法的迁移与运用，类比第二小题的思路进行猜想或论证即可。当然，此题方法多样，主要考查了学生对图形认识、几何计算、合情推理及存在性问题的探索，对学生要求较高，需要学生有一定的阅读理解能力、数学思维能力、化归能力、推理能力和创新意识。在日常课堂教学过程中，教师要经常让学生经历完整的推理过程——先合情推理，再演绎推理；同时，有意识地将两者结合起来——在进行合情推理时思考“合情”的理由，在进行演绎论证时注重寻找合理的证明思路，这样有利于学生推理能力的发展与提高。7.建立数学模型，培养应用意识应用意识是中考的必考问题，如在中考中常见的方程应用题、统计与概率应用题、函数应用题、解直角三角形的应用题等。全国各地的中考命题组都会借助学生熟悉的情景命制许多立意新、情景新、思维价值高的试题，这些试题取材广泛，结合社会与生活实际，以丰富多采的形式呈现。解决这些问题要求学生能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题，并加以验证；能用数学语言正确地表述和说明。例16：（2012南京，第26题，9分）“？”的思考.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．图15?题目：某村计划建造如图15所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）图16答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样……（2）如图16，矩形在矩形的内部，，，且，设与、与、与、与之间的距离分别为，要使矩形∽矩形，应满足什么条件？请说明理由。【评析】学生自主学习、讨论纠错已成为如今数学习题评讲课的主流，但以试题形式出现的不多，小明“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm”，而已知的是“矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1”\n，两者不同，而小明未能注意这个问题。并没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽的比为2：1的理由。由矩形蔬菜温室的长与宽的比为2：1，可设矩形蔬菜温室的宽为ym，则长为2ym。依题意得，矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m，长为(2y-3-1)m。因为，所以矩形蔬菜种植区域的长与宽的比为2：1。问题（2）我们仍然通过建模的思想，由矩形相似，列出相应的等式解决这个问题。本题以学生为主人翁，以真实的事例告诉学生审题要认真细心，数学学习也需要较强的阅读理解能力；以真实的事例引导学生生活中要善于发现问题，分析问题，对症下药；每一件事不仅要知其然，而且要知其所以然。建模能力是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。图17例17：（2012南京，第23题，7分）看图17说故事：请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系式，要求：①指出x和y的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量．【评析】本题要求学生综合应用所学的知识，从生活中寻找出既蕴含“速度”等关系量的实际问题，又满足图7函数图象，可建立函数模型解决的实际问题。再以这一生活实际为背景自行设计“故事”，答案不唯一，考查了学生的生活实践经验、识图能力、自编题能力、创新能力等，平时的作业过程中常引导学生由方程编应用题，让学生懂得数学就在我们身边，体现了新课程“引导学生更多地着眼于对实际问题的探索”的理念。8.创设综合题，培养创新意识创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学过程之中。对创新意识的考查，要求学生不仅能理解概念、定义，掌握定理、公式，还要能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题，更重要的是能够将多种能力要素进行有机的组合。图18例18：（2012无锡，第18题，2分）如图18的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点【评析】本题虽是填空题，但它对学生的能力要求很高，主要考查了学生通过观察、计算、思考后，提出猜想，进而论证猜想的过程，需要学生的合情推理能力、演绎推理能力、数形结合的能力。由C、D两点坐标知正六边形ABCDEF的边长为1，直径长为2，则当且仅当AD、BE、CF与x轴垂直时点可能过程点（45，2），如图开始向右滚动时第一次是AD⊥x轴，A（2，2），因为，正六边形每滚动6个单位长度时正好为一周，从点（2，2）到点（45，2）正好滚动43个单位长度，……1，恰好滚动7周多一个，会过点（45，2）的是点B。学生对正方形的无滑动滚动，或曾经练习过，但对正六边形这类问题的练习很少，这需要同学们有一定的模仿能力和创新能力。例19：（2012盐城，第27题，12分）知识迁移  当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而（当x=时取等号）．  记函数（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为．直接应用  已知函数y1=x（x＞0）与函数（x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．\n变形应用已知函数y1=x+1（x＞-1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞-1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？【评析】本题以学生已有的完全平方式的非负性为情景导入，引导学生自主学习、自主探索、活学活用，从“直接应用”、“变形应用”，最后到“实际应用”，问题的设计由浅入深，由易到难，符合学生的认知现实。本题既考查了学生数学思维能力，又考查学生能否综合地、灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，并创造性地解决问题的能力，充分体现了创新意识的要求。“直接应用”的尝试很易成功，会让学生勇敢地继续下去；“变形应用”要探究的变形，有目的地转化为的格式，这就创造性学习。，所以的最小值为；“实际应用”考查学生对实际生活中数学问题的解决策略与思考的能力。如本题先根据实际情境列出相应的函数关系式，再应用类比归纳的思想，将函数关系式转化为的格式，最后直接应用归纳的结论进行解题。设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则所以当时，该汽车平均每千米的运输成本最低，最低成本为=2.8(元)。创新意识的培养并非朝夕之功，应该从义务教育阶段做起，贯穿于整个数学教育的始终。品味这些中考数学试题，试卷在注重考查数学的基础知识、基本活动经验的同时，注重考查学生的数学基本能力、数学基本思想方法，体现初中数学学习既要使学生有数学知识的增长，也要使学生有数学思维能力的发展。因此，教师要在课堂上引导学生学会基础知识、基本技能、基本方法，经历基本数学活动，并在课堂上的师生互动、生生互动、组组互动中学会阅读、学会分析、学会思考、学会思维、学会规范、学会书写、学会总结、学会组织、学会协调、学会交流、学会合作……\n细细品味这些中考数学试题，试卷通过设置问题情境，在考查学生知识体系的基础上，展示学生解决问题时的思维过程和思维方法。如例1、例2、例4是直接以数为情境，要求学生凭借多年积累的数感去探索规律、发现规律、用符号语言表示规律；例3要求学生把数感和其它能力综合起来解决生活实际中关于数的问题；例5以矩形纸片折叠为情境，要求学生结合所学知识将这些实际问题转化、抽象成几何问题，再去进行计算或推理；例6由三视图到实物图、例7由实物图到三视图有效地考查了学生的空间想象能力；例8要求学生用数形结合的数学思想解决问题，数形结合更有利于几何直观；例9、例10提醒我们许多几何问题，可以引导学生从较复杂的图形中分解出基本图形，总结出基本方法，从而提高解题效率，提升能力；例15要求学生先猜想后说理，从特殊到一般地考查了学生的数学活动能力、观察判断能力和数学推理能力；例9、例10、例13、例14、例18都有效地考查了学生的空间图形的有关概念、计算以及空间想象能力、几何直观能力、分析推断能力和转化思想等的综合运用；例19是操作探究题，要求学生从已有的知识情境出发，进行自主学习，并经历观察、实验、猜想、类比、概括、推理等探究活动过程，充分发挥自己动手实践能力和想象力，将这些探究性问题与自己已有的数学知识、方法、技能和思想自然而然地有机结合起来，为学生提供了展示推理能力、抽象思维能力、想象力和创造力的平台。再细细品味这些中考数学试题，它以知识为载体对学生的运算能力、推理能力、抽象概括能力、空间观念、统计观念、应用意识、创新意识等数学能力一一考查。“知彼”，我们的学习就有目标；“知彼”,我们的学习才有动力；“知彼”,我们知道想参加中考，除了必需具备这些数学能力外，还需要有一定的自主学习能力、合作探究能力、观察发现能力、实验与操作能力、阅读理解能力、独立思考能力、语言表达能力、反思质疑能力等。但数学能力的培养不是一撮而就的，需要下苦功，靠一点点地积累起来的。综合上述，在日常教学过程中要做到真正培养学生的能力，光凭“传道、授业、解惑”是远远不够的，重要的是在教学中，必须坚持以学生为主体，我们的一切教学活动，必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建自己的能力体系。只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能使学生学到真正有用的数学，每一个同学才能得到适当的发展。参考文献：[1]义务教育数学课程标准，北京师范大学出生版社，2011年版，5-7。[2]张弘.基于数学能力评价的中考试题分析，2011。[3]马复凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导（初中数学），2012年版，7-12。