2016初中数学中考二轮复习高分攻略：中考专题——函数图象巧解专题 25页

中考专题——函数图象巧解专题华罗庚说：“数形结合无限好，割裂分家万事休”.在初中数学学习中，处标系的建立是代数进入数形结介阶段的转折点.利用数形结介的思想解决函数问题，能起到直观，准确的作用。对于函数图象选择题，是屮考题屮的常见题型，此类问题都是依据函数图象的性质、图彖在坐标系中的位置和图象的变化趋势进行解答，解法灵活，熟练掌握各种解法可以提高准确性和解题速度。现以部分中考题为例，说明此种类型问题的解法。例1.(2015,广西柳州，5,23分）下列图象中是反比例函数尸■一图象的是（A.J%B.考点：反比例函数的图彖.分析：利用反比例函数图彖是双曲线进而判断得出即可.2解答：解：反比例函数y二-—图彖的是C.x故选：C.点评：此题主耍考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图彖的形状是解题关键.【变式练习】（2015,广西柳州，11,3分）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-2,0）和（4,0）两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范用是（）\nA.x<-2C-x>0B.-24考点：抛物线与X轴的交点.分析：利用当函数值y>0时，即对应图彖在X轴上方部分，得出X的取值范围即可.解答：解：如图所示：当函数值y>0时，自变量x的取值范围是：-2Vx<4.故选：B.点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键.二、排除法2例2.（2015-青海,第19题3分）已知一次函数y=2x-3与反比例函数y二■一，那么它们x在同一坐标系中的图象可能是（）考点：反比例函数的图象；一次函数的图象.专题：数形结合.分析：根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系进行判断.解答：一次函数y=2x-3经过第一、三、四象限，排除B、C两个选项，反比例函数y二-2—的图象分布在第二、四象限.排除选项A。x故选D.点评：本题考查了反比例两数图象：反比例函数y二的图象为双曲线，当k>0时，图象分布在第一、三象限，当k<0,图象分布在笫二、四象限.也考查了一次函数图象.\n【变式练习】（2015-贵州省黔东南州，第8题4分）若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数产在同一坐标系中的大致图象可能是（）考点：反比例函数的图彖；疋比例函数的图彖.专题：分类讨论.分析：根据abVO及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0,bVO和aVO,b>0两方面分类讨论得出答案.解答：解：TabVO,・・・分两种悄况：（1）当a>0,b<0时，正比例函数y二ax数的图彖过原点、第一、三象限，反比例函数图彖在笫二、四彖限，无此选项；（2）当a<0,b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合.故选氏点评：木题主要考杏了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.三、分类讨论法例3.（2015*黑龙江省人庆，第9题3分）已知二次函数y=a（x-2）2+c,当x二xi时，函数值为yi；当x=X2时，函数值为y2,若|xi-2|>|x2-2|,则卜•列表达式正确的是（）A.yi+y2>0B・yi-y2>0C.a(yi-y?)>0D.a(yi+y?)>0考点:二次函数图象上点的朋标特征.分析：分a>0和a<0两种情况根据二次函数的对称性确定出刃与y?的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解.解答：解：①a>0时，二次函数图象开口向上，\nV|xi-2|>|x2-2|,yi>y2,无法确定yi+y2的正负情况,a（力-y2）>0,②4VO时，二次函数图象开口向下，\n•・・|x「2|>|x2-2|,・'・y】Vy2,无法确定yi+y?的正负情况，a(yi-y2)>0,综上所述，表达式正确的是a(yi-y2)>0.故选C.点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论.【变式练习】(2015湖北荆州第9题3分)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cni/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以lcm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),ABPQ的血积为y(cm2),则y关于x的函数图彖是()考点：动点问题的函数图象.分析：首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①OWxWl；②1VxW2；③2VxW3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象•性质即町求解.解答：解：由题意可得BQ二x.①OWxW1时，P点在BC边上,BP=3x,则△BPQ的面积二BP・BQ,解y二・3x・x二x2；故A选项错误；②1VxW2时,P点在CD边上,则△BPQ的面积二BQ・BC,解y二・x・3二x；故B选项错谋；③2VxW3吋，P点在AD边上，AP二9・3x,\n则ABPO的而积=AP-BQ,解y=・（9-3x）-x=x-x2；故。选项错误.故选C.点评：本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的而积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键.四、字母系数吻合法例4.（2015•山东泰安，第16题3分）在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）考点：二次函数的图象；一次函数的图彖.・分析：木题叮先由一次函数v=-mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一•致.解答：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2<0,错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知,m>0,由直线可知,-m>0,错误;C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，mVO,由直线对知，-m<0,错误；D、山抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，mVO,由直线可知，-m>0,正确，故选D.点评：木题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中.【变式练习】（2015-辽宁省盘锦，第8题3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a^O）图象的一部分，对称轴是直线x=-2.关于下列结论：®ab<0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c<0；④b-4a=0：⑤方程ax2+bx=0的两个根为xlO,x2=-4,其中正确的结论有（）\nA.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤考点：二次两数图象与系数的关系.分析：山抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然示根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：・・•抛物线开口向下，.\a<0,•・•-—=-2,2ab=4a,ab>0,・••①错误,④正确,•・•抛物线与x轴交于-4,0处两点，b2-4ac>0,方程ax2+bx=0的两个根为Xi=0,x2=-4,・••②⑤正确,•・•当a=-3时y>0,即9a-3b+c>0,・••③错误,故正确的有②④⑤.故选：B.点评：本题主耍考查图彖与二次函数系数Z间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程Z间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用五、画图法例5.（2015・黔西南州）（第9题）如图，在RtAABC中,ZC=90°,AC二4cm,BC=6cm,动点P从点C沿CA,以lcm/s的速度向点A运动，同时动点0从点C沿CB,以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动.则运动过程中所构成的厶\nCPO的而积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是(考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象.专题：压轴题；动点型.分析：解决本题的关键是匸确确定y与xZ间的函数解析式.解答:解：・・•运动时间X(s),则CP=x,C0=2x；SACPO=CP•CO二x•2x=x2.・••则ZXCPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系式是:y=x2(0WxW3),故选:C.点评：解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式.【变式练习】(2015・辽宁省朝阳，第15题3分)一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时I'可t(s)Zl'可具有两数关系h二af+19.6t,己知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地而的最大高度是m.考点：二次函数的应用.分析：首先由题意得：t=4时，h=0,然后再代入函数关系h=at2+19.6t可得&的值，然后再利用函数解析式计算出h的最人值即可.解答：解：由题意得：t二4吋，h二0,因此0=16a+19.6X4,解得:a=-4.9,・•・函数关系为h=-4.9tz+19.6t,\n4X(-49)X0-1962足球距地面的最大高度悬\x/_4>9)-6-19.6(，),故答案为：19.6.点评：此题主要考杏了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式.六、推理选择法例6.（2015,广西柳州，5,3分）下列图彖中是反比例函数尸-图彖的是（）A.V/1KB.也C.丸D.y/1/\丿\//『\>」/)/0\o90「0考点：反比例函数的图象.分析：利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可.解答：解：反比例函数尸-图象的是C.故选：C.点评：此题主耍考查了反比例函数的图彖，止确掌握反比例函数图彖的形状是解题关键.【变式练习】（2015-甘肃庆阳,第11题，3分）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y二bx+c和反比例函数y二在同一•处标系中的图象大致是（）考点：二次函数的图彖；一次函数的图彖；反比例函数的图彖.\n分析：根据二次函数的图象的性质先确定出a、b、c的収值范围，然后根据一•次函数和反比例函数的性质即町做出判断.解答：・・•抛物线开口向下，・・•抛物线的对称轴由于y轴的左侧；・'.a与b同号,・・・b<0,・・•抛物线经过原点，所以c=0.Vb<0,c=0,・・・直线y二bx+c经过二、四象限和坐标原点.Vb<0,・・・反比例函数的图彖，位于二、四彖限.故选：A.点评：木题主要考杳的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质，掌握相关性质是解题的关键.七、特殊值法k例7.当k<0,函数y=k(x-l)与尸*在同一直角坐标系中的图彖大致是()ABCD2解：取knl得两函数的解析式y=x+l和yn工，由此二解析式易知应选择答案B。说明：若函数解析式中系数的取值范围确定，叮在此范围内把系数取一特殊值，得到此时函数的解析式，根据这一特殊解析式的图象特征，选择答案。\n【变式练习】（2015-四川凉山州第11题4分）以正方形ABCD两条对角线的交点0为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y二经过点D,贝山正方形ABCD的面积是（）考点：反比例函数系数k的几何意义.・分析：根据反比例函数系数k的几何意义，可得笫一彖限的小正方形的面积，再乘以4即可求解.解答：・・•双Illi线y二经过点D,・•・第-•象限的小正方形的而积是3,・•・正方形ABCD的面积是3X4=12.故选：C.点评：本题考查反比例函数系数k的儿何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条处标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.八、特殊点法例8.（2015-青海，第19题3分）已知一次函数y=2x-3与反比例函数y=-,那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）考点：反比例函数的图彖；一次函数的图彖.\n专题：数形结合.\n分析：根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系进行判断.解答：解：一次函数y二2x・3经过第一、三、四彖限，反比例函数y二■的图彖分布在第二、四彖限.故选D.点评：本题考查了反比例函数图象：反比例函数尸的图象为双曲线，当k>0吋，图彖分布在第一、三象限，当k<0,图象分布在第二、四象限.也考查了一次函数图象.【变式练习】（2015-辽宁阜新）（第5题，3分）反比例函数尸的图彖位于平面直角坐标系的（）A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限考点：反比例函数的性质.分析：根据反比例函数的图彖性质求解.解答：解：・・・k=2>0,・・・反比例函数y二的图象在第一，三象限内，故选A点评：此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k>0时，图象是位于一、三彖限；（2）k<0时，图彖是位于二、四象限.九、图象共性法例9.（2015-贵州省黔东南州，第8题4分）若ab<0,则正比例函数尸ax与反比例函数尸在同一坐标系屮的大致图象可能是（）考点：反比例西数的图象；正比例函数的图象.专题：分类讨论・分析：根据曲<0及止比例函数与反比例函数图彖的特点，可以从a>0,b<0和a<0,b>0两方面分类讨论得出答案.解答：解：TabVO,・・・分两种情况：(1)当a>0,b<0时，正比例函数y二dx数的图彖过原点、第一、三象限，反比例函数图彖在笫二、四彖限，无此选项；(2)当a<0,b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、\n三象限，选项B符合.故选点评：本题主耍考查了反比例函数的图彖性质和疋比例函数的图彖性质，耍掌握它们的性质才能灵活解题.【变式练习】(2015*内蒙古赤峰8,3分)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y二ax+b与反比例函数y二在同一平而直角坐标系内的图彖大致为()考点：二次函数的图象；一次函数的图彖；反比例函数的图彖.分析：根据二次函数图象与系数的关系确定a>0,b<0,c<0,根据一次函数和反比例函数的性质确定答案.解答：解：由抛物线可知，a>0,b<0,c<0,・•・一次函数y二ax+b的图彖经过第一、三、四彖限，反比例函数y二的图彖在第二、四彖限，故选：B.点评：本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、—•次函数和反比例函数的性质是解题的关键.【拓展检测】\n1.（2015年浙江衢州，6,3分）下列四个函数图象中，当Q0吋，y随X的增大而减小2.（2015・怀化，第8题4分）下列各点中,Q在函数y=--图象上的是（(-2,-4)D.(8,1)A.(-2,4)B.(2,4)C.23.(2015・娄底,第9题3分)反比例函数y二-—的图象上有两点Pi(xt,y(),P2(x2,y2),x若x.<0y2>0D.yi>0>y24.（2015-曲靖第7题3分）如图，双曲线丫=与直线尸-x交于A、B两点，H.A（-2,m）,则点B的坐标是（）5.（2015-通辽，第4题3分）已知反比例函数尸的图象经过点（3,2）,那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）\n6・（2014・黑龙江牡丹江，第9题3分）在同一直角绝标系屮，两数y二kx+1与y=・（kHO）7.（2015*宜昌，第15题3分）如图,市煤气公司计划在地下修建一个容积为10缶’的圆柱形煤气储存室，则储存室的底而积S（单位：nd与其深度cl（单位：m）的函数图象人致是&（2015・温州第8题4分）如图，点A的坐标是（2，0）,△ABO是等边三介形，点B在第一彖限.若反比例函数y二的图彖经过点则k的值是（\nC.V39.（2014-江西，第6题3分）已知反比例函数y二士的图像如右图所示，则二次函数y=2kx2-4x+k2的图像人致为（）.10.（2014-陕西，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（aHO）的图象如图，则下列结论中正确的是（）\nA.c>-1B.b>0C.2a+bH0D.9a+c>3b\n【拓展检测】参考答案1.(2015年浙江衢州，6,3分)下列四个函数图象小，当兀>0时，y随兀的增人而减小【答案】B.【考点】函数图象的分析.【分析】山图象知，所给四个两数图象中，当x>0时，y随兀的增大而减小的是选项B.故选B.Q1.(2015-怀化，第8题4分)下列各点中，在函数y=--图象上的是()xA.(-2,4)B.(2,4)C.(-2,-4)D.(8,1)考点:反比例函数图象上点的朋标特征.分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是-8的，就在此函数图彖上.Q解答：解：・・•反比例函数尸・？中，k=-8,x・•・只需把各点横纵处标相乘，结來为・8的点在函数图象上，四个选项中只有A选项符合.故选A.点评：木题主要考杳反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵处标的积应等于比例系数.22.（2015-娄底，第9题3分）反比例函数y=-一的图象上有两点Pl（xi,y】）,P2（x2,xy»,若xi<0y2>0D.yi>0>y2\n考点：反比例函数图象上点的坐标特征.分析：先根据反比例函数y二-中2-2<0可判断出此函数图象在二、四象限，再根据x】V0Vx2,可判断出A、B两点所在的象限,根据各象限内点的坐标特点即可判断出y】与巾的大小关系.2解答：解：•・•反比例函数尸■一中k=-2<0,x・・・此函数图象在二、四象限，Vxi<00>y2,故选D.点评：本题考查的是反比例函数图象上点的处标特点及各象限内点的处标特点，先根据k<0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键.1.（2015-曲靖第7题3分）如图，双曲线尸与直线尸-X交于A、B两点，H.A（-2,m）,则点B的坐标是（）考点:反比例函数与一次函数的交点问题..\n分析：根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式，根据解方程组，可得答案.解答：解：当x=-2时，y=-X(-2)=1,即A(-2,1).将A点坐标代入y二，得k=-2X1=-2,—2反比例函数的解析式为y二」，x-2y=—联立双dii线、肓线，得解得□二_2x2=2府-1B(2,・1).故选：A.点评：本题考查了反比例两数与一次*1数的交点问题，利川待定系数法求双Illi线函数的解析式，乂利用解方程组求图象的交点.1.(2015-通辽，第4题3分)已知反比例函数y二的图象经过点(3,2),那么下列四个点中，也在这个函数图彖上的是()A.(3,-2)B.(-2,-3)C.(1,-6)D.(-6,1)考点:反比例函数图象上点的他标特征.专题：计算题.分析：把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即口J做出判断.解答：解:把(2,3)代入反比例解析式得：k二6,・・・反比例解析式为尸，则(・2,・3)在这个函数图象上，故选D.点评：此题考查了反比例函数图彖匕点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解木题的关键.2.(2014・黑龙江牡丹江，第9题3分)在同一直角坐标系小，函数y二kx+1与y二-(kHO)的图象大致是()\n考点：反比例函数的图象；一次函数的图象专题：数形结合.分析：先根据一次函数图彖与系数的关系得到k的范围，然后根据k的范围判断反比例函数图象的位置.解答：解：A、对于y二kx+1经过第一、三象限，则k>0,所以反比例隊|数图象应该分布在第二、四象限，所以A选项错误；B、一次函数y二kx+1与y轴的交点在x轴上方，所以B选项错误；C、对于y二kx+1经过第二、四象限，则k<0,所以反比例两数图象应该分布在第一、三象限，所以C选项错谋；D、对于y二kx+1经过第二、四象限，则k<0,所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以D选项疋确.故选D.点评：木题考杳了反比例函数图象：反比例函数y二（kHO）为双曲线，当k>0时，图象分布在第一、三象限；当kVO时，图象分布在第二、四象限.也考查了一次函数图象.1.（2015-宜吕，第15题3分）如图,市煤气公司计划在地下修建一个容积为10说的関柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：点）与其深度d（单位：H1）的函数图象人致是（）\n考点：反比例函数的应用；反比例函数的图彖.分析：根据储存室的体积二底面积X高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论.解答：由储存室的体积公式知：10=Sd,1仃4故储存室的底而积S(m2)与其深度d(m)之间的函数关系式为S二斗(d>o)为反比例d函数.故选：A.点评：木题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大.1.(2015-温州第8题4分)如图，点A的坐标是(2,0),AABO是等边三角形，点B在第-•象限.若反比例函数y二的图象经过点则k的值是(D.2a/|考点：反比例函数图象上点的处标特征；等边三角形的性质.•分析：首先过点A作BC丄0A于点C,根据A0=2,△ABO是等边三角形，得岀B点坐标，进而求出反比例函数解析式.解答：解：过点A作BC丄0A于点C,•・•点A的坐标是(2,0),・・・A0二2,VAAB0是等边三角形，・・・0C二1,BC二逅，・••点B的坐标是(1,V3),把(1,V3)代入y二，得k二逅.故选C.\n点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识,根据已知表示出B点坐标是解题关键.k1.（2014-江西，第6题3分）已知反比例函数）,二一的图像如右图所示，则二次函数的图像大致为（）.y=2kx2-4x+k【答案】D.【考点】二次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质.【分析】反比例函数的图像作用是确定k的正负，从双曲线在二、四象限可知k〈0。要确定二次函数y二ax'+bx+c的图像，一看开口方向（a>0或a<0）,一看对称轴位置，三看在y轴上的截距（即c）,四看与x轴的交点个数（根据根的判别式的正负來确定）。木题可先由反比例函数的图象得到字母系数k<-l,再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案.k【解答】解：・・•函数-的图像的图彖经过二、四彖限，x・・・kV0,由图知,当x=-l时,y=-k>l,・・・kV—1,抛物线y=2kx2-4x+k2开口向下,*•'对称轴为x==—,—1<—<0,2x2kkk・••对称轴在一1与0之间,故选D.【点评】木题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，要求对二次函数和反比例函数的图像和性质有比较深刻地理解，并能熟练地根据二次函数图像中的信息作出分析和判断，正确判断抛物线开口方向和対称轴位置是解题关键.属于基础题.2.（2014-陕西，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（aHO）的图象如图，则下列结论中正确的是（）\nA.c>-1B.b>0D.9a+c>3b考点：二次函数图彖与系数的关系.背优网专题：数形结合.分析：由抛物线与y轴的交点在点（0,-1）的下方得到c<-1；由抛物线开口方向得a>0,再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b界号，即b<0；由于抛物线过点（-2,0）、（4,0）,根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为肓•线x二-占二1,则2a+b二0；由于当x二2a-3H寸，yVO,所以9a-3b+c>0,即9a+c>3b.解答：解：•・•抛物线与y轴的交点在点（0,-1）的下方.Ac<・1；•・•抛物线开口向上，.\a>0,・・•抛物线的对称轴在y轴的右侧，x=-上~>0,2a.e.b<0；・・•抛物线过点（-2,0）、（4,0）,・・・抛物线対称轴为直线x二-占二1,2a.*.2a*b=0；・・•当x二-3时，y<0,/.9a-3b+c>0,即9a+c>3b.故选D.点评：木题考查了二次函数的图彖与系数的关系：二次函数y二ax'+bx+cQH0）的图象为抛物线，当a>0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=-A.抛物线与y轴的交点处标为（0,c）；当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没冇交点.