2016初中数学中考二轮复习高分攻略：中考专题——构造函数模型专题 19页

中考专题——构造函数模型专题在近儿年中考中往往出现与经济有关的问题，这是一类经济的决策问题。它贴近社会热点，贴近生活实际，立意新颖，构思巧妙，让学生懂得知识就是金钱，生活中特别是经济生活中离不开数学。这类问题往往与一次函数、反比例函数及其二次函数密切相关。函数模型贯穿着数学应用的始终，其意义在于培养学生思维的灵活性和创造性、善于应用数学的意识、将问题数学化的能力，提高学牛应变能力和创新索质.本文针对H常牛活屮普遍存在的“最优化”问题进行归纳、加工，并通过构造函数模型的方法来探求“最优化”问题.一、构建函数模型解决经济销售等问题主要借用三种函数关系式来分析：1.构建一次函数解决经济决策问题：例题1、（2015年陕西省,22,7分）胡老师计划组织朋友黑假去革命圣地延安两F1游，经了解,现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人,每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两口游的人数均为x人.（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两口游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两FI游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家.考点：一次函数的应用.专题：应用题.分析：（1）根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得yrp=640X0.85x,对于乙两家旅行社的总费用，分类讨论：当0WxW20时，y乙=640X0.9x；当x>20吋，y乙=640X0.9X20+640X0.75（x・20）；（2）把x=32分别代入（1）中对应得函数关系计算y甲和y乙的值，然后比较大小即可.解答：解：（1）甲两家旅行社的总费用:y^=640X0.85x=544x；乙两家旅行社的总费用：当0WxW20时，y乙二640X0.9x=576x；当x>20时，y乙=640X0.9X20+640X0.75（x・20）二480x+1920；（2）当x二32时，y甲二544X32二17408（元）,y乙二480X32+1920二17280,\n因为y甲>『乙，所以胡老师选择乙旅行社.点评：木题考查了一次函数的应用：利用实际问题屮的数量关系建立一次函数关系，特别对乙旅行社的总费用要采用分段函数解决问题.【变式练习】（2015年四川省广元市中考，21,8分）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥I二的车流密度达到220辆/「米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0T米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为80T米/小吋，硏究表明：当20WxW220吋，下流速度v是车流密度x的一次函数.（1）求大桥上车流密度为100辆/千米吋的车流速度；（2）在某一交通时段，为使大桥上的车流书店大于60千米/小时一几小于80千米/小时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？考点：一次函数的应用.分析：（1）当20WxW220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v二kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可.解答：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v二kx+b,由题意，得（80=20k+b10=220k+b'［心解得：5.・••当20WxW220时,v=-x+88,当x=100时,v=-X100+88=48（千米/小时）；（2）当20WxW220时，v=-x+88（0WvW80）.当v>60吋，即・x+88>60,解得：x<70；\n当vV80时，即-X+88V80,解得：x>20,・•・应控制大桥上的车流密度在2090（不合题意,舍去）.故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；（3）w与x的函数关系式为：w二（-x+150）（x-20）二・x2+170x・3000=-（x・85厂+4225,・・•-1<0,・••当x=85时，\v值最大,w最大值是4225.・•・该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元.点评：本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法.【变式练习】（2015-葫芦岛）（笫24题）小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品.若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元,则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件.经调杳，甲、乙两种商品零伟单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件.为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元.（1）直接写出甲、乙两种商站每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：y甲二10x+40,y乙二10x+20；（2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）Z间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最人？\n考点：二次函数的应用.分析：（1）根据题意可以列岀甲、乙两种商甜每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式；（2）根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的,列出不等式求出x的取值范围，根据题意列岀二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出对称轴方程，得到答案.解答：解：（1）由题意得，y甲=10x+40；y乙=10x+20；（2）由题意得，W二（10-x）（lOx+40）+（20-x）（lOx+20）=-20x2+240x+800,由题意得,10x+40M（10x+20）解得xW2,W=-20x2+240x+800=-20（x-6）2+1520,Va=-20<0,・••当x<6吋，y随x增大而增大，・••当x二2时，W的值最大.答：当x定为2元时，才能使小明每周销售叭乙两种商品获得的总利润最大.点评：木题考杏的是二次函数的应用，正确列出二次函数的关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键.3、多种函数模型构建综合运用:例题1、（2015-辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发最在20千克〜60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元;若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元.（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克）•••25607590•••所付的金额（元）•••125300300360•••\n（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的H销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是—次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；(3)若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？考点：二次函数的应用；一次函数的应用.分析：(1)根据这种蔬菜的批发量在20千克〜60千克Z间(含20千克和60千克)时,每千克批发价是5元，可得60X5=300元；若超过60T克时，批发的这种蔬菜全部打八折,则90X5X0.8二360元；(2)把点(5,90),(6,60)代入函数解析式y=kx+b(kHO),列出方程组,通过解方程组求得函数关系式；(3)利用最大利润=y(x-4),进而利用配方法求出函数最值即口J.解答：解：(1)由题总知：当蔬菜批发量为60千克时:60X5=300(元),当蔬菜批发量为90千克时:90X5X0.8=360(元).故答案为：300,360；(2)设该一次函数解析式为y=kx+b(kHO),把点(5,90),(6,60)代入，得(5k+b二9016k+b二60'解得仟"30.[b=240故该一次函数解析式为：y=-30x+240；(3)设当H可获利润w(元)，H零售价为x元，由(2)知，w二(-30x+240)(x-5X0.8)二・30(x-6)2+120,当x=6时，当口可获得利润授大，最大利润为120元.\n点评：此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键.【变式练习】(2015,广西玉林，24,9分)某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示.(1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范伟|)；(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最人？最人利润是多少？考点：二次函数的应用.分析：(1)由图象过点(20,20)和(30,0),利用待定系数法求直线解析式;(2)每天利润二每千克的利润X销售量.据此列出表达式，运用函数性质解答.解答：解：(1)设y二kx+b,由图象可知，(20k+b=20(30k+b二0'解之,得:|k="2,lb二60・・・y=-2x+60；(2)p=(x・10)v=(x-10)(-2x+60)=-2x'+80x-600,\n•・・a=・2<0,・・・p有最大值,当x=-80-2X2即当销售单价为20元/T•克时，每天可获得最人利润200元.点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识,解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用.二、【拓展运用】(1)小敏去超市途小的速度是多少？在超市逗留了多少时I'可?(2)小敏儿点儿分返回到家?2.(2015-乌鲁木齐，第23题10分)一辆货车利一辆小轿车同时从甲地出发，货7T匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地.货车的路程y】(km),小轿车的路程y2(km)与时间x(h)的对应关系如图所示.(1)甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？(2)①写出力与x的函数关系式；②当x>5时，求y?与x的函数解析式；\n（3）货车出发多长吋间与小轿车首次相遇？相遇吋与甲地的距离是多少?x01)\n3.（2015-111东德州，第22题10分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶,经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象求y与x的函数关系式；（2）商丿占想在销售成木不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定4.（2015-本溪,第24题12分）某种商品的进价为40元/件,以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数最x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：x（件）・・•5101520…y（元/件）…75706560…（1）由题意知商品的最低销售单价是—50兀,当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次两数.求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最人，最人利润是多少元？5.（2015-dj东德州，第22题10分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调査发现,在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象求y与x的函数关系式；（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定\n6.（2015-宁夏第25题10分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价（元/件）3034384042销量（件）4032242016（1）计算这5天销售额的平均数（销售额二单价X销量）；（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）少单价x（元/件）Z间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？7.（2015-宁夏）（第25题）某工厂为了对新研发的一种产站进行合理定价，将该产晶按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价（元/件）3034384042销量（件）4032242016（1）计算这5天销售额的平均数（销售额二单价X销量）；（2）通过对■上而表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系,求y关于x的函数关系式（不協耍写出函数口变量的取值范围）;（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，H.该产品的成本是20元/\n件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？拓展训练参考答案:（2）小敏几点几分返回到家？考点：一次函数的应用••分析：（1）根据观察横处标，可得去超市的时间，根据观察纵处标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段；\n(2)求出返回家时的函数解析式，当y=0吋，求出x的值，即可解答.解答：解:(1)小敏去超市途中的速度是:30004-10=300(米/分),在超市逗留了的时间为:40-10=30(分).(2)设返回家时，y与x的函数解析式为y=kx+b,把(40,3000),(45,2000)代入得:(3000=40k+bI2000二45k+b解得:严二-200[b二11000・・・函数解析式为y=-200x+11000,当y二0时，x=55,・・・返回到家的时间为:8：55.点评：本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获取信息是解题关键.1.(2015-乌鲁木齐，第23题10分)一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地.货车的路程力(km),小轿车的路程y2(km)与时间x(h)的对应关系如图所示.(1)甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？(2)①写出力与x的函数关系式;②当x>5时,求y2与x的函数解析式;(3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？考点：一次函数的应用.分析：(1)直接根据图彖写出两地Z间的距离和小轿车停留的时间即口(2)分别利用待定系数法确定函数的解析式即可；(3)首先求出乙行驶路程的函数关系式，进而利用0VxW3,得出答案即可.解答：(1)由图可知，甲乙两地相距420km,小轿车中途停留了2小时；\n(2)①y】=60x(05时，设y2=kx+b,•・了2的图象经过(5.75,345),(6.5,420),J5.75k+b二345[6・5k+b二420解得:Jk二100[b=一230・・・x25时，y2=100x・230；（3）x=5时,有=100x5-230=270,即小轿车在350・・・0VxW30,x为正整数,・・・y=・x+80(0WxW30,且x为正整数)(2)设所获利润为P元，根据题意得：P=(y-40)・x二(-x+80-40)x=-(x-20)2+400,即P是x的二次函数，a=-1<0,・・・P有最大值,・••当x二20时，P恳大沪400,此时y二60,・••当销售单价为60元时，所获利润授大，最大利润为400元.点评：本题考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题；由题意求出一次函数和二次函数的解析式是解决问题的关键.5.（2015-dj东德州，第22题10分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调査发现,在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象求y与x的函数关系式；\n（2）商店想在销伟成木不超过3000元的情况下，使销伟利润达到2400元，销伟单价应定考点：一次函数的应用：一元二次方程的应用..分析：（1）根据图象可设y二kx+b,将（40,160）,（120,0）代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据每千克的利润X销售量=2400元列出方程,解方程求出销售单价,从而计算销售量，进而求出销售成木，与3000元比较即可得岀结论.解答：解：（1）设y与x的函数关系式为y二kx+b,将（40,160）,（120,0）代入，得严+E60,解得产[120k+b=0二240所以y与x的函数关系式为y二-2x+240（40WxW120）：（2）由题意得（x-40）（-2x+240）=2400,整理得,x2-160x16000=0,解得xi=60,x2=100.当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40X120=4800（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克,则成本价为40X40=1600（元）,低于3000元，符合题意.所以销售单价为100元.答：销售单价应定为100元.点评：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键.\n6.（2015-宁夏笫25题10分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价（元/件）3034384042销量（件）4032242016（1）计算这5天销售额的平均数（销售额二单价X销量）；（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）Z间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；（3）预计在今后的销售屮，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最人利润，该产品的单价应定为多少？-J八、、•二次函数的应用..专题:应用题.分析：（1）根据题屮表格屮的数据列出算式，计算即可得到结果；（2）设y二kx+b,从表格中找出两对值代入求出k与b的值，即可确定出解析式；（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W,列出W与x的二次函数解析式，利用二次函数性质求出W最大时x的值即可.解答：解：⑴根据题意得：30X40+34X32+38X24+40X20+42X16—934.4（元）;5（2）根据题意设y=kx+b,把（30,40）与（40,20）代入得：（沁+匕二40,[40k+b=20解得:k二-2,b=100,则y二-2x+100；（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W,根据题意得:W=（x-20）y=（x-20）（-2x+100）=-2x2+140x-2000=-2（x-35）2+450,•・•当x二35时，W最大值为450,则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元.点评:此题考査了二次西数的应用，待定系数法确定一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解木题的关键.4.(2015-宁夏)(第25题)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销時况进行统计，得到如下数据：\n单价(元/件)3034384042销量(件)4032242016(1)计算这5天销售额的平均数(销售额二单价X销量)；(2)通过对上而表格中的数据进行分析，发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式(不需要写岀函数自变呆的取值范用)；(3)预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在(2)中的关系，该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？考点：二次函数的应用分析：(1)根据题中表格中的数据列出算式，计算即可得到结果；(2)设y二kx+b,从表格中找出两对值代入求出k与b的值,即可确定出解析式;(3)设定价为x元时，工厂获得的利润为W,列岀W与x的二次函数解析式，利用二次函数性质求出W最人时x的值即可.解答：(1)根据题意得：30X40+34X32+38X24+40X20+42X16二934.4(元”5(2)根据题意设y=kx+b,把(30,40)与(40,20)代入得：＜P°k+b=40,[40k+b=20解得：k=-2,b二100,则v=-2x+100；(3)设定价为x元时，工厂获得的利润为W,根据题意得：W=(x-20)y二(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2000二-2(x-35)2+450,・・•当x二35时，W最大值为450,则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元.点评：此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定一次函数解析式，以及二次函数的性质,熟练学握二次畅数性质是解本题的关键.