【总结】初中数学中考复习二次函数知识点总结 7页

二次函数知识点总结20110311二次函数知识点：21．二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，，bc是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．22.二次函数yaxbxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，，是常数，bca是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数的基本形式2221222121.二次函数基本形式：yax的性质：左图画yxy,2x,yx，右图画yx,y2x,yx22oo结论：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上0，0y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下0，0y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．222222.yaxc的性质：左图画yx1,yx1，右图画yx1,yx1oo结论：上加下减。精品学习资料可选择pdf第1页，共7页-----------------------\n总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上0，cy轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下0，cy轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．222223.yaxh的性质：左图画y(x1),y(x1)，右图画y(x1),y(x1)oo结论：左加右减。总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质4.xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随a0向上h，0X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下h，0X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．22222yaxhk的性质：左图画y(x1)1,y(x1)1，右图画y(x1)1,y(x1)1oo精品学习资料可选择pdf第2页，共7页-----------------------\n总结：二次函数图象的平移a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随a0向上hk，X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下hk，X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．1.平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；2⑵保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．22三、二次函数yaxhk与yaxbxc的比较222请将y2x4x5利用配方的形式配成顶点式。请将yaxbxc配成yaxhk。总结：22从解析式上看，yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，222b4acbb4acb即yax，其中h，k．2a4a2a4a精品学习资料可选择pdf第3页，共7页-----------------------\n2四、二次函数yaxbxc图象的画法22五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc化为顶点式yax(h)k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.2222左图画yx2x1,yx2x1，右图画yx2x1,yx2x1oo2五、二次函数yaxbxc的性质2bb4acb1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a2a4abbb当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小值2a2a2a24acb．4a2bb4acbb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，．当x时，y随x2a2a4a2a2bb4acb的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值．2a2a4a六、二次函数解析式的表示方法21.一般式：yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；22.顶点式：yax(h)k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：yax(x1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有2抛物线与x轴有交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系精品学习资料可选择pdf第4页，共7页-----------------------\n1.二次项系数a2二次函数yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，b当b0时，0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab当b0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即b当b0时，0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab当b0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：3.常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，，bc都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称22yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；22yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；2.关于y轴对称精品学习资料可选择pdf第5页，共7页-----------------------\n22yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；3.关于原点对称22yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc；22yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；4.关于顶点对称222byaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．5.关于点m，n对称22yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：22一元二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：2①当b4ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，，0Bx2，0(x1x2)，其中的x1，是一元二次方程x222b4acaxbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.a②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．22.抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；2⑶根据图象的位置判断二次函数yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个精品学习资料可选择pdf第6页，共7页-----------------------\n交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.精品学习资料可选择pdf第7页，共7页-----------------------