2018年高考数学专题复习突破训练(高考真题专题练)-构造函数解决高考导数问题 13页

构造函数解决高考导数问题1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．2.（2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=．3.（2016·北京理）（本小题13分）设函数f(x)=x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e－1)x+4，（I）求a,b的值；(II)求f(x)的单调区间． 4.（2017·全国III卷文）（12分）已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论的单调性；（2）当a﹤0时，证明．5.（2016•四川卷文）（本小题满分14分）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.\n6.（2016•课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.7.（2017·天津文）（本小题满分14分）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.8.（2016·江苏）（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．\n9.（2016·山东理）(本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.10.(2017·江苏文)（本小题满分16分）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b²>3a;(3)若，这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围.\n构造函数解决高考导数问题答案1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D　【解析】由题意，存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，即存在唯一的整数x0，使(2x0－1)＜a(x0－1)．设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝a(x－1)．g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，从而当x∈时，g(x)单调递减；当x∈时，g(x)单调递增．又h(x)＝a(x－1)必过点(1，0)，g(0)＝－1，当g(0)＝h(0)时，a＝＝1.而g(－1)＝－，当g(－1)＝h(－1)时，a＝＝，要满足题意，则≤a＜1，选D.【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0”转化为“若存在唯一的整数x0，使得(2x0－1)＜a(x0－1)”．测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用．考查转化与化归思想．2.（2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+１)的切线，则b=．【答案】1－ln2【解析】设y＝kx＋b切y＝lnx＋2的切点为(x1，y1)，切y＝ln(x＋1)的切点为(x2，y2)．由导数的几何意义和切点的特征可知①②由①消去x1，y1整理可得b＝1－lnk，③由②消去x2，y2整理可得b＝－lnk＋k－1.④联立③④可得1－lnk＝－lnk＋k－1，∴k＝2，∴b＝1－lnk＝1－ln2.【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系．还需注意切点既在函数图像上，也在切线上．对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达求解．\n测训诊断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练．(2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分．3.（2016·北京理）（本题满分13分）设函数f(x)=x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e－1)x+4，（I）求a,b的值；(II)求f(x)的单调区间． 解：(1)因为f(x)＝xea-x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea-x＋b.依题设，有即解得a＝2，b＝e.(2)由(1)知f(x)＝xe2-x＋ex，由f′(x)＝e2-x(1－x＋ex-1)及e2-x>0知，f′(x)与1－x＋ex-1同号．令g(x)＝1－x＋ex-1，则g′(x)＝－1＋ex-1.令g′(x)＝0，得x＝1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解．(2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错．4.（2017·全国III卷文）（12分）已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论的单调性；（2）当a﹤0时，证明．解：（1）\n当时，，则在单调递增当时，则在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，，令（），令，解得∴在单调递增，在单调递减.∴，即，∴.5.（2016•四川卷文）（本题满分14分）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.解：(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0得x＝.当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．(2)证明：令s(x)＝ex-1－x，则s′(x)＝ex-1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以ex-1>x，从而g(x)＝－>0.(3)由(2)知，当x>1时，g(x)>0.当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.当01.\n由(1)有f0.所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x>1)，则h′(x)＝2ax－＋－e1-x>x－＋－＝>>0.因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立．综上，a∈.【点评】关键点拨：第(1)问中对a的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点．测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题．(2)考生失分主要体现两点：①分类讨论不全面；②在第(3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误．6.（2016•课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0.设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，即g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；当a>2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)<0，此时不满足题意．\n综上，a的取值范围是(－∞，2]．【点评】关键点拨：第一问，给定参数a＝4，函数f(x)就确定，从而可求出切点为(1，0)，再结合导数的几何意义，得到斜率k＝f′(1)＝－2，利用点斜式即可求出切线方程．第二问是恒成立问题，可适当转化，另外要注意函数的端点值，这样可以减少讨论的步骤．测训诊断：(1)利用导数解决相关问题，往往都有一定的深度和广度，本题考查较常规，容易上手，但也不易得满分；(2)导数题区分度较大，要根据自身情况，量力而行，不轻易放弃，规范步骤，把会做的做好，也会有所收获．7.（2017·天津文）（本小题满分14分）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.解：（I）由，可得，当x变化时，,的变化情况如下表：\的单调递增区间为（－¥，），（４－，＋¥）单调递减区间为（，４－）．(II)　（i）因为由题意得所以所以在处的导数等于０.\n（ii）因为，，由，可得.又因为，，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，．令，，所以，令，解得（舍去）或.因为，，，故的值域为.所以，b的取值范围是.8.（2016·江苏理）（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．解：(1)因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2-x.①方程f(x)＝2，即2x＋2-x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，于是2x＝1，解得x＝0.②由条件知f(2x)＝22x＋2-2x＝(2x＋2-x)2－2＝[f(x)]2－2.因为f(2x)≥mf(x)－6对于任意x∈R恒成立，且f(x)>0，所以m≤对于任意x∈R恒成立．而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，\n所以m≤4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点．因为g′(x)＝axlna＋bxlnb，又由01知lna<0，lnb>0，所以g′(x)＝0有唯一解x0＝log.令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axlna＋bxlnb)′＝ax(lna)2＋bx(lnb)2，从而对任意x∈R，h′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)g′(x0)＝0.因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．下证x0＝0.若x0<0，则x0<<0，于是galog－2＝0，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为00，同理可得，在和loga2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．因此，x0＝0.于是－＝1，故lga＋lnb＝0，所以ab＝1.【解析】【点评】关键点拨：注意分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围．测训诊断：(1)本题难度大，主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查学生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，意在让学生得分．(2)本题若出错，一是思路受阻；二是运算错误．\n9.（2016·山东理）(本题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－－＋＝.当a≤0时，x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．当a＞0时，f′(x)＝.0＜a＜2时，＞1，当x∈(0，1)或x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增．a＞2时，0＜＜1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a＜2时，f(x)在(0，1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；\n当a＞2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．(2)由(1)知a＝1时，f(x)－f′(x)＝x－lnx＋－＝x－lnx＋＋－－1，x∈[1，2]．设g(x)＝x－lnx，h(x)＝＋－－1，x∈[1，2]，则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)．由x∈[1，2]，得g′(x)＝≥0，可得g(x)≥g(1)＝1，当且仅当x＝1时取得等号．又h′(x)＝.设φ(x)＝－3x2－2x＋6，则φ(x)在x∈[1，2]内单调递减．因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x0∈(1，2)，使得x∈[1，x0)时，φ(x)＞0，x∈(x0，2]时，φ(x)＜0.所以h(x)在[1，x0)内单调递增，在(x0，2]内单调递减．由h(1)＝1，h(2)＝，可得h(x)≥h(2)＝，当且仅当x＝2时取得等号．所以f(x)－f′(x)＞g(1)＋h(2)＝，即f(x)＞f′(x)＋对于任意的x∈[1，2]成立．【点评】刷有所得：求函数的单调区间，应在函数定义域的限制之下，讨论函数导数值的符号．若函数的导数含参数，应分类讨论，分类的标准是根据函数导数对应方程的根与定义域的关系．证明函数不等式f(x)>g(x)，主要有两种方法：一是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0；二是证明f(x)min>g(x)max.测训诊断：本题难度大，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数与方程、分类讨论、转化与化归的数学思想，考查分析解决问题的能力、推理能力．若错．一是求函数单调区间时忽视函数的定义域为(0，＋∞)；二是在第(1)问中不能准确地对参数a进行分类讨论；三是(2)中的求解在构造函数f(x)－f′(x)＝x－lnx＋＋－－1后不能将函数分解为g(x)＝x－lnx与h(x)＝＋－－1两个函数，而是将等式右边的式子作为一个整体构造函数，从而不能求得其最值．\n10.(2017·江苏文)（本小题满分16分）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b²>3a;(3)若，这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围.解：（1）因为，令，解得，所以，所以，因为，所以.（2），因为对称轴，所以，所以b²>3a.（3）由（1）可设的极值点的横坐标为，；极值点为，由（1）得\即解得.