广西2020版高考数学复习高考大题专项练一高考中的函数与导数文 7页

高考大题专项练一　高考中的函数与导数1.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1,则当x∈1a,1时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是1,+∞.2.(2018全国Ⅲ,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.(1)解f'(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f'(0)=2.因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1.当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;\n所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.3.已知函数f(x)=lnx+12ax2-x-m(m∈Z).(1)若f(x)是增函数,求a的取值范围;(2)若a<0,且f(x)<0恒成立,求m的最小值.解(1)f'(x)=1x+ax-1,依题设可得a≥1x-1x2max,而1x-1x2=-1x-122+14≤14,当x=2时,等号成立.所以a的取值范围是14,+∞.(2)由(1)可知f'(x)=1x+ax-1=ax2-x+1x,设g(x)=ax2-x+1,则g(0)=1>0,g(1)=a<0,g(x)=ax-12a2+1-14a在(0,+∞)内单调递减.因此g(x)在(0,1)内有唯一的解x0,使得ax02=x0-1,而且当00,当x>x0时,f'(x)<0,所以f(x)≤f(x0)=lnx0+12ax02-x0-m=lnx0+12(x0-1)-x0-m=lnx0-12x0-12-m.设r(x)=lnx-12x-12-m,则r'(x)=1x-12=2-x2x>0.所以r(x)在(0,1)内单调递增.所以r(x)0,由f'(x)>0,得02;由f'(x)<0,得12时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)证明当a≥1e时,f(x)≥exe-lnx-1.设g(x)=exe-lnx-1,则g'(x)=exe-1x.当01时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.\n故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥1e时,f(x)≥0.6.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.解(1)∵f(x)=x2+x,∴当x=1时,f(1)=2,∵f'(x)=2x+1,∴f'(1)=3,∴所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=13x3-x2-3x+m,则h'(x)=(x-3)(x+1).∴当-40;当-10.要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+53,h(4)=m-203,故m+53≤0,即m≤-53,故实数m的取值范围为-∞,-53.7.已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)0).(1)f'(x)=(ax-1)(x-2)x(x>0).\n①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)内,f'(x)>0,在区间(2,+∞)内,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当02,在区间(0,2)和1a,+∞内,f'(x)>0,在区间2,1a内,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和1a,+∞,单调递减区间是2,1a.③当a=12时,f'(x)=(x-2)22x,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).④当a>12时,0<1a<2,在区间0,1a和(2,+∞)内,f'(x)>0,在区间1a,2内,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是0,1a和(2,+∞),单调递减区间是1a,2.(2)对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)ln2-1.故ln2-112时,f(x)在0,1a上单调递增,在1a,2上单调递减,故f(x)max=f1a=12a-(2a+1)1a+2ln1a=-12a-2-2lna<0因为当a>12时,12a+2lna>12a+2lne-1=12a-2>-2.故a>12时满足题意.综上,a的取值范围为(ln2-1,+∞).8.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,\n①求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.解(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f'(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a)(a,4-a)(4-a,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).(2)①证明:因为g'(x)=ex(f(x)+f'(x)),由题意知g(x0)=ex0,g'(x0)=ex0,所以f(x0)ex0=ex0,ex0(f(x0)+f'(x0))=ex0,解得f(x0)=1,f'(x0)=0.所以,f(x)在x=x0处的导数等于0.②因为g(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],由ex>0,可得f(x)≤1.又因为f(x0)=1,f'(x0)=0,故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤ex在[x0-1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.\n因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,所以t(x)的值域为[-7,1].故b的取值范围是[-7,1].