[高考]10年高考题之数列锦集 211页

总题数：22题第1题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(北京卷))题目在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)A．9                        B．10                        C．11                        D．12答案C　a1＝1，am＝a1a2a3a4a5＝＝q10＝a1q10＝a11，∴m＝11.第2题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(天津卷))题目已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)A.或5            B.或5            C.             D.答案C　法一：易知公比q≠1.由9S3＝S6，得9·，解得q＝2.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴{}是首项为1，公比为的等比数列．∴其前5项和为法二：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3，∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q＝2.∴{}是首项为1，公比为的等比数列．∴其前5项和为第3题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类学(辽宁卷))题目设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)A.                          B.                     C.                         D.答案B　由a2a4＝1得q4＝1，则a1＝，又a1(1＋q＋q2)＝7，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以(t＋3)(t－2)＝0(t＝＞0)．所以q＝，a1＝4.所以a4＝4()3＝，a5＝4()4＝.所以S5＝7＋，选B项．第4题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷))题目设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)A．11         B．5         C．－8         D．－11答案D　由8a2＋a5＝0，∴＝－8，即q3＝－8，q＝－2.∴＝－11.第5题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)A．35         B．33         C．31         D．29答案C　∵数列{an}为等比数列，∴a2a3＝a1a4＝2a1，∴a4＝2.又∵a4与2a7的等差中项为，即有a4＋2a7＝×2，∴a7＝.∴q3＝.∴q＝，a1＝16.∴S5＝＝31.第6题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷))题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)A．X＋Z＝2Y                                 B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZ                                    D．Y(Y－X)＝X(Z－X)答案D　根据等比数列的性质：若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，据此X，Y－X，Z－Y成等比数列，故(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y(Y－X)＝X(Z－X)，故选D.第7题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷))题目等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)A．26                       B．29                        C．212                        D．215答案C　f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2·…·a8.∵{an}为等比数列，a1＝2，a8＝4，∴f′(0)＝a1a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212.第8题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)A．6         B．7         C．8         D．9答案A　法一：∵a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6，∴d＝2，Sn＝－11n＋×2.∴Sn＝n2－12n＝(n－6)2－36.显然，当n＝6时，Sn取得最小值．法二：由a4＋a6＝2a5得：a5＝－3∴d＝＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－13，∵a6＜0，a7＞0，∴当n＝6时，Sn取得最小值．第9题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)题目设等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则等于(   )A.2            B.           C.           D.3211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n答案B解析:设其公比为q.由已知可得,∴q3＝2..另解:可知S3,S6－S3,S9－S6成等比数列,则可设S6＝3,S3＝1,则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6),解得S9＝7,故.第10题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3＝6,a3＝4,则公差d等于(   )A.1         B.               C.2           D.3答案C解析:∵,a3＝4,∴a1＝0,a3-a1＝2d.∴d＝2.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第11题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(   )A.289            B.1024            C.1225            D.1378答案C解析:正方形数即为n2(n∈N*).又三角形数满足:a1=1,a2=3,an-an-1=n,故可得,经验证可得,第12题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目已知{an}为等差数列,a1+a3+a5＝105,a2+a4+a6＝99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是（   ）211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nA.21           B.20              C.19            D.18答案B解析:∵(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)＝-6＝3d,∴d＝-2.∴a1＝39.则an＝39-2(n-1).令an≥0,得n≤.∴使Sn达到最大值的n是20.第13题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（江西卷）)题目数列{an}的通项an=n2(),其前n项和为Sn,则S30为(   )A.470             B.490             C.495             D.510答案A解析：,a1=12·(),a2=22(),a3=32,a4=42(),211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n…S30=()(12+22-2·32+42+52-2·62+…+282+292-2·302)====470.第14题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）)题目等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1＝1,则S4等于(   )A.7         B.8            C.15           D.16答案C解析:由4a1+a3＝4a24+q2＝4qq＝2,则S4＝a1+a2+a3+a4＝1+2+4+8＝15.故选C.第15题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（广东卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n已知等比数列{an}满足an＞0,n＝1,2,…,且a5·a2n-5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1＝(   )A.n(2n-1)             B.(n+1)2            C.n2            D.(n-1)2答案C解析:由{an}为等比数列,则a5·a2n-5＝a1·a2n-1＝,则(a1·a3·a5·…·a2n-1)2＝(22n)na1·a3·…·a2n-1＝,故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1＝log2(a1·a3·…·a2n-1)＝n2.第16题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）)题目已知等差数列满足，，则它的前10项的和（   ）A．138         B．135         C．95           D．23答案C 解析:∵a2+a4=4=2a3,∴a3=2.又∵a3+a5=10=2a4,∴a4=5.∴公差d=a4-a3=3,a1=-4.∴S10=10×(-4)+×3=95.第17题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n已知数列｛an｝对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于（A）-165           (B)-33                         (C)-30                  (D)－21答案C 解析:由ap+q=ap+aq得a10=a2+a8=a2+(a2+a6)=a2+a2+(a2+a4)=a2+a2+a2+(a2+a2)=5a2=-30.第18题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（上海卷）)题目若数列{an}是首项为1,公比为a=的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值是(   )A.1              B.2              C.              D.答案答案:B解析:∵=a,∴2a2-5a+2=0.∴a=2或(舍).第19题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n已知是等比数列，，则=（A）16（）                    （B）16（）        （C）（）                   （D）（）答案C 解析：设{an}公比为q,a2=2,a5=a2·q3=,∴q=.设bn=anan+1,∴{bn}是首项为8,公比为的等比数列.∴Sn==(1-4-n).第20题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项的和为A.63               B.64               C.127           D.128答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nC 解析：∵a5=a1·q4=16,又q＞0,a1=1,∴q=2.∴S7==127.第21题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（广东卷）)题目记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6等于(   )A.16                 B.24                   C.36                    D.48答案答案:D ∵S4=4a1+d,a1=,S4=20,∴2+6d=20.∴d=3.∴S6=6×+×3=48.第22题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（江西卷）)题目在数列中，，，则A．     B．        C．     D．答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nA解析：由题知an+1-an=ln(1+),故(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=ln×××…×=lnn,即an-a1=lnn.∴an=a1+lnn=2+lnn.总题数：22题第23题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)题目已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是（A）（-∞，-1）                     （B）（-∞，0）∪（1，+∞）（C）[3，+∞）                       （D）（-∞，-1]∪[3，+∞）答案D解析：设公比为q,则a1=,a3=q,∴S3=+1+q.当q＞0时,+q+1≥2+1=3;211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当q＜0时,(-)+(-q)≥2,∴+q≤-2.∴+q+1≤-1.∴S3的取值范围是(-∞,-1］∪［3,+∞).第24题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）)题目设等比数列的公比，前n项和为，则（   ）A.2              B.4              C.                   D.答案C 解析:解法一:由等比数列定义,S4=a1+a2+a3+a4=+a2+a2q+a2q2,得.解法二:S4=,a2=a1q,∴.第25题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目8.设等差数列的公差不为0，.若是与的等比中项，则（　　）Ａ.2       Ｂ.4       Ｃ.6       Ｄ.8211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n答案答案：B解析：9d(2kd+8d)=(kd+8d)2,∴k=4. 第26题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)题目4.设等差数列的前项和为，若，，则（   ）A.63             B.45       C.36             D.27答案答案:B解析:设其公差为d,∵S3=a1+a2+a3=3a2=3(a1+d)=9,∴a1+d=3.S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=3(a3+a4)=3(2a1+5d)=36,∴2a1+5d=12.∴a1=1,d=2.∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=45. 第27题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目（2）数列{}的前n项和为，若，则等于211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nA1     B       C     D答案答案：B解析：S5=a1+a2+a3+a4+a5=++++=(1－)+(－)+(－)+()+()=1－=. 第28题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)＜f(1)的实数x的取值范围是A（－1，1） B（0，1） C（－1，0）（0，1）   D（－，－1）（1，＋）答案答案：C解析：因为f(x)是R上的减函数，所以||＞1，即|x|＜1且x≠0,故选C. 第29题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nA.2               B.3                   C.4                  D.5答案答案：D解析：，∴.当n=1，2，3，5，11时，是正整数. 第30题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（广东卷新课标）)题目5.已知数{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak＜8,则k=A.9              B.8           C.7             D.6答案答案:B解析:由Sn=n2－9n,可根据an=解得an=2n－10.再根据5＜2k－10＜8,解得7.5＜k＜9,∴k=8. 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n 第31题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目1.若等差数列{an}的前3项和S3=9且a1=1,则a2等于A.3                 B.4                  C.5                D.6答案答案：A解析：S3==3a2.又∵S3=9，∴3a2=9，a2=3. 第32题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)题目5.各项均为正数的等比数例{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于(　　)（A）16                     （B）26                             （C）30                     （D）80答案答案：C解析：若q=1,由Sn=na1=2,知S3n=3na1=6≠14,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n故q≠1.则可解得qn=2,=－2.∴S4n=(1－q4n)=(－2)×(1－24)=30. 第33题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷新课标）)题目4.已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）Ａ.         Ｂ.         Ｃ.            Ｄ.答案答案:D解析:∵a10=10,S10=70,∴解之,得 第34题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅰ(新课程))题目（6）的内角A、B、C的对边分别为若成等比数列，且c=2a，则cosB=211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（A）       （B）      （C）       （D）答案B解析：∵a、b、c成等比数列 ∴b2=ac 又∵c=2a ∴b2=2a2.∴cosB=. 第35题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅰ(新课程))题目（10）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80则a11+a12+a13＝（A）120    （B）105  （C）90     （D）75答案B解析：∵a1+a2+a3=15   ∴a2=5   ∴a1a3=16 即（a2-d）（a2+d）=16   ∴d2=9   ∴d=3（∵d＞0） ∴a11+a12+a13=a1+a2+a3+30d=15+90=105 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第36题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程))题目（11）设是等差数列的前项和，若则      （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）答案A解析：由已知设a1+a2+a3=t   a4+a5+a6=2t   a7+a8+a9=3t. a10+a11+a12=4t.   ∴   ∴选A. 第37题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程))题目(7)设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于 （A）                          （B）（8n+1-1） （C）（8n+3-1）                     （D）（8n+4-1）211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n答案D解析：f(n)中各项为一等比数列，其中首项为2，合比为8，项数为n+4        ∴f(n)=第38题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))题目(7)已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为al、bl，且a1+b1=5，a1、b1∈N*．设cn=(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于   (A)55        (B)70               (C)85              (D)100答案C解析：由知共有四种可能：①②③④经检验，无论哪种可能，代入T10=C1+C2+C3+…+C10均整理得到T10=5×（4+13）=85. 第39题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)辽宁卷(新课程))题目(9)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(A)    (B)       (C)      (D)答案C解析：{an}为等比数列{an+1}也为等比数列 设an的公比为q   有 a2=2q a3=2q2 且（2q+1）2=（2+1）（2q2+1） 解得 q=1 故Sn=2n. 第40题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))题目（2）在等差数列中，已知则等于      （A）40　　　　（B）42　　　　（C）43　　　　（D）45答案B 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n解：由已知得S3=a1+a2+a3=15    a1=2∴∴d=3∴a4+a5+a6=3a1+12d=6+36=42第41题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))题目2．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10,则a=  A．4             B.2            C.-2              D.-4答案D 解析：解得   a=-4或2.又∵当a=2时，b=2,c=2.与题意不符.∴a=-4. 第42题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目7．已知等差数列{an}的前n项和Sn，若=a1+a200，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于   A．100           B．101        C．200      D．201答案A 解析：点A、B、C共线且该直线不过点O∴且不共线，λ∈R ∴（a1-1）+a200=λ-λ (a1-1+λ)=（λ-a200） ∵与不共线 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴a1-1+λ=λ-a200=0 ∴a1+a200=1 ∴S200==100 故选A 第43题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程))题目（2）在等差数列中，若，是数列的前项和，则的值为（A）48   （B）54   （C）60   （D）66答案B 解析：S9= 第44题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目11.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（A）a1a8＞a4a5             （B）a1a8＜a4a5       （C）a1+a8＞a4+a5        （D）a1a8=a4a5答案B解析：a1+a8=a4+a5，∴排除C.又a1a8=a1（a1+7d）=a12+7a1d，a4a5=（a1+3d）（a1+4d）=a12+7a1d+12d2>a1a8. 总题数：22题第45题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))题目已知等差数列中，，则的值是         A．15                     B．30 C．31  D．64答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nA解析：∵{an}是等差数列，∴a7+a9=a4+a12.∴a12=16－1=15. 第46题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅳ(新课程))题目等差数列｛an｝中,a1+a2+a3=－24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于………………………………………………………………………（   ）A.160                      B.180               C.200               D.220答案B第47题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程))题目已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于……（　　）A.－4                      B.－6               C.－8               D.－10211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n答案B第48题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))题目已知数列{an}的前n项和Sn=a［2－()n－1］－b［2－(n+1)()n－1］(n=1,2,…),其中a、b是非零常数.则存在数列{xn}、{yn}使得……………………(   )(A)an=xn+yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列(B)an=xn+yn，其中{xn}和{yn}都为等差数列(C)an=xn·yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列(D)an=xn·yn，其中{xn}和{yn}都为等比数列答案C第49题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程))题目若{an}是等差数列,首项a1＞0,a2003+a2004＞0,a2003·a2004＜0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是………………………………(　　)(A)4005            (B)4006                   (C)4007                   (D)4008答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nB第50题(2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程))题目6.已知数列｛an｝满足a0＝1,an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1),则当n≥1时,an＝(   ) A.2n                                                                                                         B.n(n＋1)C.2n－1                                                                                                                      D.2n－1答案C第51题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程))题目已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于…………………………………………………（　　）A.1                   B.                        C.                        211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nD.答案C第52题(2001年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))题目若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是…………………(　　)A.等比数列，但不是等差数列           B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列     D.既非等比数列又非等差数列答案B第53题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类学(辽宁卷))题目已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为__________．答案解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝33＋n2－n，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以＋n－1.估算5＜＜6，现在讨论：当n＝5时，＝10.6；当n＝6时，＝10.5.∵10.5＜10.6，所以的最小值为.第54题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷))题目设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝，T4＝0，T5＝－，…，Tn，…，其中Tn＝__________.答案Tn＝解析：由已知，T2＝0，T4＝0，故当n为偶数时Tn＝0；由T3＝，T5＝，…，可知当n为奇数时Tn等于与的差．即Tn＝－.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n综上可得，Tn＝.第55题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷))题目设a1，d为实数，首项为a1公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是__________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8，∴d2≥8，则d的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．第56题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷))题目在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝__________.答案4n－1解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21，∴a1＝1.∴an＝1·4n－1＝4n－1.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第57题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ卷）)题目设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=___________.答案24解析:∵,∴a1+a9=16.∵a1+a9=2a5,∴a5=8.∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24.第58题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ卷）)题目设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3.则=___________.答案9解析:由a5=5a3,得,.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第59题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2009=_________;a2014=_________.答案1 0解析:2009=2012-3=4×503-3,故a2009=1.由a2n=an,知a2014=a1007,又1007=1008-1=4×252-1,故a2014=a1007=0.第60题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)题目等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5－5S3＝5,则a4＝__________.答案解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,则由6S5－5S3＝5,6×(5a1+10d)－5(3a1+3d)＝5,得6(a1+3d)＝2,∴a4＝.第61题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n设等比数列{an}的公比,前n项和为Sn,则＝___________.答案15解析:由,a4＝a1·q3,则.第62题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目已知数列{an}满足：a1=m（m为正整数），若a6＝1，则m所有可能的取值为__________.答案4,5,32解析:由题意,a6=1a5=2或0(舍),a5=2a4=4或(舍),a4=4a3=8或a3=1;若a3=8a2=16或(舍),a2=16a1=32或a1=5;若a3=1a2=2或0(舍),211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\na2=2a1=4或(舍);∴a1=4,5,32,即m=4,5,32.  第63题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目设a1=2,,,n∈N*,则数列{bn}的通项bn=___________.答案2n+1解析：由有,则.令,则cn+1=-2cn-1cn+1+=-2(),∴.而,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴.∴.∴.第64题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)题目设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则=___________.答案1解析:由a6=S3=12a1=2,d=2,an=2n,则Sn=n2+n,故.第65题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)题目设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为_______________.答案-2解析:y=xn+1,则y′=(n+1)xn,故y′|x=1=n+1,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,则.∴.∴a1+a2+…+a99=.第66题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）)题目等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am－1+am+1－am2＝0,S2m－1＝38,则m＝________________.答案10解析:由am－1+am+1－am2＝0且am－1+am+1＝2am知am2＝2amam＝2或am＝0.又S2m－1＝38知am≠0,故am＝2,则S2m－1＝(2m－1)×2＝38m＝10.总题数：22题第67题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处，其中x1=1,y1=1,当k≥2时，　　　　       T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为　　　；第2008棵树种植点的坐标应为　　。答案（1，2）  （3，402）.解析:(1)当k≥2时,由条件可得,则有上式累加可得x6=x1=1.上式累加,可得y6=y1+1=2.∴第6棵树种植点的坐标为(1,2).(2)由上述(1)可发现:x7-x6=1-5(1-1)=1,x8-x7=1-5(1-1)=1,x9-x8=1-5(1-1)=1,∵1-1=0,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nx11-x10=1-5(2-1)=-4,…由此可见xk-xk-1的值是1,1,1,1,-4呈周期规律出现,其中周期为5.同样地,yk-yk-1为0,0,0,0,1也呈周期规律出现,其周期也为5.当k=2008时,那么累加可得x2008-x1=(T［］)·(1+1+1+1-4)+1+1=2.y2008-y1=(T［］)·(0+0+0+0+1)=401.∴(x2008,y2008)=(3,402).第68题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目已知函数f(x)=2x,等差数列{an}的公差为2.若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]=            .答案-6 解析：∵f(x)=2x,∴log2［f(a1)f(a2)…f(a10)］=log2=a1+a2+…+a10.∵a2+a4+a6+a8+a10=2,∵{an}为d=2的等差数列,∴a1+a3+a5+a7+a9=-8.∴a1+a2+…+a10=-6.第69题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目观察下列等式：……………………………………可以推测，当k≥2（k∈N*）时，       , ak-2=          .答案，0 解析：∵=,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n=,=,∴ak-1=.由所给等式易发现,ak-2nk-2的系数均为0,即ak-2=0.第70题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)题目设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15，则a4的最大值为    答案4解析：∵S5≤15,∴5a3≤15,即a3≤3.又∵S4≥10,S5≤15,∴-S4≤-10.∴S5-S4≤5.又a5=S5-S4,∴a5≤5.∴a3+a5≤8.∴a4=≤4.第71题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷延考）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n设等差数列的前项和为，且.若，则___________.答案答案：3解析：，故.因此.第72题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=______________.答案答案：-72解析：设首项为a1,公差为d.a12=-8a1+11d=-8,①S9=-9=-9a1+a9=-2a1+4d=-1.②由①②,解得a1=3,d=-1.故S16==8(2a1+15d)=-72.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第73题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）)题目15.等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______。答案答案:解析:由已知q≠1, 又2·2S2=S1+3S3,∴4a1(1+q)=a1+3×.化简,得3q2－q=0.∴q=0(舍去),q=. 第74题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目（10）若数列｛an｝的前n项和Sn=n2-10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为__________；数列｛nan｝中数值最小的项是第__________项.答案答案:2n－11  3解析:Sn=n2－10n, Sn－1=(n－1)2－10(n－1),∴n≥2时,an=Sn－Sn－1=2n－11.又n=1时,a1=S1=－9=2×1－11.∴对任意n∈N*,an=2n－11,  nan=2n2－11n.利用二次函数图象及n∈N*,可知n=3.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n 第75题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（江西卷）)题目14.已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=，则a36＝       .答案答案:4解析:∵ap+aq=ap+q,∴an－1+a1=an.∴an－an－1=a1=.∴an=.∴a36=4. 第76题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目14.设{an}为公比q＞1的等比数列,若a2004和a2006是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2006+a2007=___.答案答案：18解析：∵a2004和a2005为4x2－8x+3=0的两根，∴即211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n解得或(舍去).∴a2006+a2007=(a2004+a2005)·q2=2×32=18. 第77题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程))题目（11）设为等差数列{}的前n项和，若则公差为 ____________(用数字作答)。答案-1解析：由已知可得解得 d=-1 第78题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程))题目（14）在数列中，若，，则该数列的通项    。答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n 解法一：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）∴∴{an+3}      是以a1+3为首项2为公比的等比数列.∴an+3=4·2n+1∴an=2n+1-3. 解法二：由a1=1，an+1=2an+3依次递推.得a2=5,a3=13,a4=29.……猜想：an=2n+1-3. 第79题(2006年普通高等学校春季招生考试数学(文理合卷)上海卷)题目12.同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高，这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1,a2…，an满足a1≤a2≤…≤an,则                                                               （结论用数学式子表示）. 答案 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n   第80题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))题目13．在数列{an}中,a1=1,a2=2,且，则=_____.答案13.2600 解析：由已知得a1=1，a2=2，a3－a1=0，a4－a2=2，……a99－a97=0，a100－a98=2，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n 累加得a100+a99=98+3，同理得a98+a97=96+3+…+a2+a1=0+3， 则a100+a99+a98+a97+…+a2+a1=+50×3=2600. 第81题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))题目15．设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为             .答案15．－2解析：∵Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，∴Sn－Sn+1=Sn+2－Sn，即－an+1=an+2+an+1.∴an+2=－2an+1.∴q==－2.  第82题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程))题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n15.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+（n－1）an－1（n≥2），则{an}的通项an=答案15.第83题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程))题目16.设F是椭圆+=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1,2,3,…），使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为           .答案16.［－,0）∪（0,］.第84题(2001年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))题目16.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和。若{Sn}是等差数列，则q＝____________.答案16.1第85题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(天津卷))题目在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为dk.(1)若dk＝2k，证明a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列(k∈N*)；(2)若对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列，其公比为qk.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n①若q1≠1，证明{}是等差数列；②若a2＝2，证明＜2n－≤2(n≥2)．答案证明：(1)由题设，可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*.所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝2k(k＋1)．由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)．从而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2，a2k＋2＝2(k＋1)2.于是.所以.所以dk＝2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列．(2)法一：①由a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，及a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列，得2a2k＝a2k－1＋a2k＋1，2＝＋qk.当q1≠1时，可知qk≠1，k∈N*.从而＋1，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n即(k≥2)，所以{}是等差数列，公差为1.②由a1＝0，a2＝2，可得a3＝4，从而q1＝＝2，＝1.由①有＝1＋k－1＝k，得qk＝，k∈N*.所以＝.从而＝，k∈N*.因此a2k＝··…··a2＝…··2＝2k2.a2k＋1＝a2k·＝2k(k＋1)，k∈N*.以下分两种情况进行讨论：(ⅰ)当n为偶数时，设n＝2m(m∈N*)．若m＝1，则2n－＝2.若m≥2，则211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n＝＝2m＋＝2m＋＝2m＋2(m－1)＋(1－)＝2n－－.所以2n－＝＋，从而＜2n－＜2，n＝4,6,8，….(ⅱ)当n为奇数时，设n＝2m＋1(m∈N*)．＝＋＝4m－－＋＝4m＋－＝2n－－，所以2n－＝＋.从而＜2n－＜2，n＝3,5,7，….综合(ⅰ)和(ⅱ)可知，对任意n≥2，n∈N*，有＜2n－≤2.法二：①由题设，可得dk＝a2k＋1－a2k＝qka2k－a2k＝a2k(qk－1)，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\ndk＋1＝a2k＋2－a2k＋1＝a2k－qka2k＝a2kqk(qk－1)，所以dk＋1＝qkdk.qk＋1＝.由q1≠1可知qk≠1，k∈N*，可得＝1.所以{}是等差数列，公差为1.②因为a1＝0，a2＝2，所以d1＝a2－a1＝2.所以a3＝a2＋d1＝4，从而q1＝＝2，＝1.于是，由①可知{}是公差为1的等差数列．由等差数列的通项公式可得＝1＋(k－1)＝k，故qk＝.从而＝qk＝.所以·…·…·＝k.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n由d1＝2，可得dk＝2k.于是，由(1)可知a2k＋1＝2k(k＋1)，a2k＝2k2，k∈N*.以下同法一．第86题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷))题目数列{an}(n∈N*)中，a1＝a，an＋1是函数fn(x)＝x3－(3an＋n2)x2＋3n2anx的极小值点．(1)当a＝0时，求通项an；(2)是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案解：易知f′n(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)．令f′n(x)＝0，得x1＝3an，x2＝n2.①若3an＜n2，则当x＜3an时，f′n(x)＞0，fn(x)单调递增；当3an＜x＜n2时，f′n(x)＜0，fn(x)单调递减；当x＞n2时，f′n(x)＞0，fn(x)单调递增．故fn(x)在x＝n2取得极小值．②若3an＞n2，仿①可得，fn(x)在x＝3an取得极小值．③若3an＝n2，则f′n(x)≥0，fn(x)无极值．(1)当a＝0时，a1＝0，则3a1＜12.由①知，a2＝12＝1.因3a2＝3＜22，则由①知，a3＝22＝4.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n因为3a3＝12＞32，则由②知，a4＝3a3＝3×4.又因为3a4＝36＞42，则由②知，a5＝3a4＝32×4.由此猜测：当n≥3时，an＝4×3n－3.下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2.事实上，当n＝3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n＝k(k≥3)时，3ak＞k2成立，则由②知，ak＋1＝3ak＞k2，从而3ak＋1－(k＋1)2＞3k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－1＞0，所以3ak＋1＞(k＋1)2.故当n≥3时，3an＞n2成立．于是由②知，当n≥3时，an＋1＝3an，而a3＝4，因此an＝4×3n－3.综上所述，当a＝0时，a1＝0，a2＝1，an＝4×3n－3(n≥3)．(2)存在a，使数列{an}是等比数列．事实上，由②知，若对任意的n，都有3an＞n2，则an＋1＝3an，即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an＝a·3n－1.而要使3an＞n2，即a·3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需a＞对一切n∈N*都成立．设bn＝，则b1＝，b2＝，b3＝，….令y＝，则y′＝(2x－x2ln3)＜(2x－x2)，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n因此，当x≥2时，y′＜0，从而函数y＝在[2，＋∞)上单调递减．故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为b2＝.于是当a＞时，必有a＞.这说明，当a∈(，＋∞)时，数列{an}是等比数列．当a＝时，可得a1＝，a2＝.而3a2＝4＝22，由③知，f2(x)无极值，不合题意．当＜a＜时，可得a1＝a，a2＝3a，a3＝4，a4＝12，…，数列{an}不是等比数列．当a＝时，3a＝1＝12，由③知，f1(x)无极值，不合题意．当a＜时，可得a1＝a，a2＝1，a3＝4，a4＝12，…，数列{an}不是等比数列．综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为(，＋∞)．第87题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷))题目设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有＋…＋.答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n证明：先证必要性．设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则＋…＋＝＝＝.再证充分性．证法一：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式                          ①两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下二等式＋…＋，                          ②211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n＋…＋，                  ③将②代入③，得，在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N＋，都有an＝a1＋(n－1)d.所以{an}是公差为d的等差数列．证法二：(直接证法)依题意有＋…＋，                       ①＋…＋.                ②②－①得，在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.                              ③同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1.                          ④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}是等差数列．211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第88题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷))题目已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.答案解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)，因此bn＝．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n＝＝.所以数列{bn}的前n项和Tn＝.总题数：22题第89题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷))题目证明以下命题：(1)对任一正整数a都存在正整数b，c(b＜c)，使得a2，b2，c2成等差数列；(2)存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且，，成等差数列．答案证明：(1)易知12,52,72成等差数列，则a2，(5a)2，(7a)2也成等差数列，所以对任一正整数a，都存在正整数b＝5a，c＝7a(b＜c)，使得a2，b2，c2成等差数列．(2)若，，成等差数列，则有－＝－，即(bn－an)(bn＋an)＝(cn－bn)(cn＋bn)．                          ①选取关于n的一个多项式，例如4n(n2－1)，使得它可按两种方式分解因式．由于4n(n2－1)＝(2n－2)(2n2＋2n)＝(2n＋2)·(2n2－2n)，因此令211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n可得(n≥4)．易验证an，bn，cn满足①，因此，，成等差数列，当n≥4时，有an＜bn＜cn且an＋bn－cn＝n2－4n＋1＞0.因此以an，bn，cn为边长可以构成三角形，将此三角形记为△n(n≥4)，其次，任取正整数m，n(m，n≥4，且m≠n)，假若三角形△m与△n相似，则有：＝＝.据比例性质有：＝＝＝，＝＝＝.所以＝，由此可得m＝n，与假设m≠n矛盾，即任两个三角形△m与△n(m，n≥4，m≠n)互不相似，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且，，成等差数列．第90题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(陕西卷))题目已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.答案解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.第91题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国卷新课标))题目设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n答案(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.                        ①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.                     ②①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．第92题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ卷）)题目在数列{an}中，a1＝1,an+1＝（）an+.（Ⅰ）设，求数列{bn}的通项公式；211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.答案分析：本题主要考查数列的通项、求和等基础知识,考查用累加法求数列的通项和前n项和的能力.解：（Ⅰ）由已知得b1=a1=1,且,即.从而,,……(n≥2).于是(n≥2).又b1=1.故所求的通项公式.(Ⅱ)由（Ⅰ）知.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n令,则.于是Tn=2Tn-Tn==.又，所以.第93题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ卷）)题目设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(Ⅰ)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.答案解:(Ⅰ)由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3,又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an;于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n   因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=3×2n-1,于是,因此数列{}是首项为,公差为的等差数列,,所以an=(3n-1)·2n-2.第94题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(q＞1).设Sn＝a1b1+a2b2+…+anbn,Tn＝a1b1－a2b2+…+(－1)n－1anbn,n∈N*.(1)若a1＝b1＝1,d＝2,q＝3,求S3的值;(2)若b1＝1,证明,n∈N*;(3)若正整数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,,,证明c1≠c2.答案分析:本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(1)解:由题设,可得an＝2n－1,bn＝3n－1,n∈N*.所以,S3＝a1b1+a2b2+a3b3＝1×1+3×3+5×9＝55.(2)证明:由题设,可得bn＝qn－1,则S2n＝a1+a2q+a3q2+a4q3+…+a2nq2n－1,①T2n＝a1－a2q+a3q2－a4q3+…－a2nq2n－1.②①式减去②式,得S2n－T2n＝2(a2q+a4q3+…+a2nq2n－1).①式加上②式,得S2n+T2n＝2(a1+a3q2+…+a2n－1q2n－2).③③式两边同乘q,得q(S2n+T2n)＝2(a1q+a3q3+…+a2n－1q2n－1).所以,(1－q)S2n－(1+q)T2n＝(S2n－T2n)－q(S2n+T2n)＝2d(q+q3+…+q2n－1),n∈N*.(3)证明:＝(k1－l1)db1+(k2－l2)db1q+…+(kn－ln)db1qn－1.因为d≠0,b1≠0,所以.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n①若kn≠ln,取i＝n.②若kn＝ln,取i满足ki≠li,且kj＝lj,i+1≤j≤n.由①,②及题设知,1＜i≤n,且.(ⅰ)当ki＜li时,得ki－li≤－1.由q≥n,得kt－lt≤q－1,t＝1,2,…,i－1,即k1－l1≤q－1,(k2－l2)q≤(q－1)q,…,(ki－1－li－1)qi－2≤(q－1)qi－2.又(ki－li)qi－1≤－qi－1,所以.因此c1－c2≠0,即c1≠c2.(ⅱ)当ki＞li时,同理可得≤－1,因此c1≠c2.综上,c1≠c2.第95题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目已知数列{an}的前n项和Sn=-an-()n-1+2（n为正整数）.（1）令bn=2nan，求证:数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）令,Tn=c1+c2+…+cn,试比较Tn与的大小，并予以证明.答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n分析：本小题主要考查数列的通项公式、等差数列的定义、数列求和、数学归纳法等基础知识和基本技能,考查分析问题的能力和推理论证能力.解:(1)在Sn=-an-()n-1+2中,令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即.当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2,∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1.∴2an=an-1+()n-1,即2nan=2n-1an-1+1.∵bn=2nan,∴bn=bn-1+1,即当n≥2时,bn-bn-1=1.又b1=2a1=1,∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.于是bn=1+(n-1)·1=n=2nan,∴.(2)由(1)得,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴,                  ①,               ②由①-②得.∴..于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.由2＜2×1+1;22＜2×2+1;23＞2×3+1;24＞2×4+1;25＞2×5+1;….可猜想当n≥3时,2n＞2n+1.证明如下:证法一:(ⅰ)当n=3时,由上验算显然成立.(ⅱ)假设当n=k(k≥3)时,猜想成立,即2k＞2k+1.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当n=k+1时,2k+1=2·2k＞2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)＞2(k+1)+1,所以,当n=k+1时,猜想也成立.综合(ⅰ)(ⅱ)可知,对一切n≥3的正整数,都有2n＞2n+1.证法二:当n≥3时,.综上所述,当n=1,2时,;当n≥3时,.第96题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目点P(x0,y0)在椭圆(a＞b＞0)上,x0＝acosβ,y0＝bsinβ,0＜β＜.直线l2与直线l1:垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ.(1)证明点P是椭圆与直线l1的唯一交点;(2)证明tanα,tanβ,tanγ构成等比数列.答案本题主要考查椭圆的标准方程和参数方程及等比数列等基础知识,考查综合分析问题的能力.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n解:(1)(方法一)由得,代入椭圆方程,得.将代入上式,得x2-2acosβ·x+a2cos2β＝0,从而x＝acosβ.因此,方程组有唯一解即l1与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与l1的交点,若Q(acosβ1,bsinβ1),0≤β1＜2π是椭圆与l1的交点,代入l的方程,得cosβcosβ1+sinβsinβ1＝1,即cos(β-β1)＝1,β＝β1,故P与Q重合.(方法三)在第一象限内,由可得,,椭圆在点P处切线的斜率,切线方程为,即.因此,l1就是椭圆在点P处的切线.根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线l1的唯一交点.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(2),l1的斜率为,l2的斜率为,由此得tanαtanγ＝tan2β≠0,tanα,tanβ,tanγ构成等比数列.第97题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目首项为正数的数列{an}满足,n∈N+.(1)证明若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;(2)若对一切n∈N,都有an+1＞an,求a1的取值范围.答案本题主要考查数列、数学归纳法等有关知识,考查推理论证和探究能力.解:(1)已知a1是奇数,假设ak＝2m-1是奇数,其中m为正整数,则由递推关系得是奇数.根据数学归纳法,对任何n∈N+,an都是奇数.(2)(方法一)由知,an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3.另一方面,若0＜ak＜1,则0＜ak+1＜;若ak＞3,则.根据数学归纳法,0＜a1＜10＜an＜1,n∈N+;a1＞3an＞3,n∈N+.综合所述,对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(方法二)由,得a12-4a1+3＞0,于是0＜a1＜1或a1＞3.,因为a1＞0,,所以所有的an均大于0,因此an+1-an与an-an-1同号.根据数学归纳法,n∈N+,an+1-an与a2-a1同号.因此,对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3.第98题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷）)题目等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y＝bx+r(b＞0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b＝2时,记bn＝2(log2an+1)(n∈N*).证明:对任意的n∈N*,不等式成立.答案分析:本题考查等比数列及利用前n项和求数列通项公式的方法,以及利用数学归纳法证明与n有关的不等式的方法.考查运算能力,化归与转化思想.(1)解:由题意,Sn＝bn+r,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当n≥2时,Sn-1＝bn-1+r,所以an＝Sn-Sn-1＝bn-1(b-1).由于b＞0且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.又a1＝b+r,a2＝b(b-1),,即,解得r＝-1.(2)证法一:由(1)知an＝2n-1,因此bn＝2n(n∈N*),所证不等式为.①当n＝1时,左式＝,右式＝,左式＞右式,所以结论成立.②假设n＝k时结论成立,即,则当n＝k+1时,,要证当n＝k+1时结论成立,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n只需证,即证.由均值不等式成立,成立,故成立,所以,当n＝k+1时,结论成立.由①②可知,n∈N*时,不等式成立.证法二:由(1)知:an＝2n-1,因此bn＝2n(n∈N*),所证不等式为.事实上, ＝211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n.故对一切n∈N*,不等式成立.第99题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（江西卷）)题目各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有.(1)当,时,求通项an;(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数n,都有≤an≤λ.答案解:(1)由得,将,代入上式化简得,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以.故数列{}为等比数列,从而式,即.可验证,满足题设条件.(2)故对n∈N*,bn+1≥g(a)恒成立.又,注意到0＜g(a)≤,解上式得:取,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n则有≤an≤λ.第100题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)题目设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记(n∈N*).(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)记cn=b2n-b2n-1(n∈N*)，设数列{cn}的前n项和为Tn.求证：对任意正整数n,都有;(Ⅲ)设数列{bn}的前n项和为Rn,已知正实数λ满足：对任意正整数n,Rn≤λn恒成立,求λ的最小值.答案分析：本小题主要考查数列、不等式等基础知识,化归思想、分类整合思想等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力.解:(Ⅰ)当n=1时,a1=5a1+1,∴.又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,∴an+1-an=5an+1,即.∴数列{an}成等比数列,其首项,公比.∴an=()n.∴.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(Ⅱ)由(Ⅰ)知.∴cn=b2n-b2n-1===.又b1=3,,∴.当n=1时,.当n≥2时,=.(Ⅲ)由(Ⅰ)知.一方面,已知Rn≤λn恒成立,取n为大于1的奇数时,设n=2k+1(k∈N*),则Rn=b1+b2+…+b2k+1=211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n=.∴λn≥Rn＞4n-1,即(λ-4)n＞-1对一切大于1的奇数n恒成立.∴λ≥4,否则,(λ-4)n＞-1只对满足的正奇数n成立,矛盾.另一方面,当λ=4时,对一切的正整数n都有Rn≤4n恒成立.事实上,对任意的正整数k,有==.∴当n为偶数时,设n=2m(m∈N*)，则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)＜8m=4n;当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N*)，则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1＜8(m-1)+4=8m-4=4n.∴对一切的正整数n，都有Rn≤4n,综上所述，正实数λ的最小值为4.第101题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n设m个不全相等的正数a1,a2,…,am(m≥7)依次围成一个圆圈.（Ⅰ）若m=2009，且a1,a2,…,a1005是公差为d的等差数列，而a1,a2009,a2008,…,a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1,a2,…,am的前n项和Sn(n≤m)满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项an(n≤m);（Ⅱ）若每个数an(n≤m)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+am2＞ma1a2…am.答案分析：本题主要考查等比数列的基础知识，通项公式的求法等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力.解：（Ⅰ）因a1,a2009,a2008,…,a1006是公比为d的等比数列.从而a2009=a1d,a2008=a1d2.由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1,故a1d2+a1d=12a1,即d2+d=12.解得d=3或d=-4（舍去）.因此d=3.又S3=3a1+3d=15.解得a1=2.从而当n≤1005时，an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.而当1006≤n≤2009时，由a1,a2009,a2008,…,a1006是公比为d的等比数列得an=a1d2009-(n-1)=a1d2010-n(1006≤n≤2009).因此(Ⅱ)由题意an2=an-12an+12(1＜n＜m),am2=am-12a11,a12=am2a22,得211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n由①得,,,.④由①②③得a1a2…am=(a1a2…am)2,故a1a2…am=1.⑤又(1＜r≤m-3),故有(1＜r≤m-6).⑥下面用反证法证明：m=6k.若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5.若取p=1，即m=6k+1，则由⑥得am=a6k+1=a1,而由③得,故，得a2=1.由②得,从而a6=a6k=am-1=1,而，故a1=a2=1,由④及⑥可推得an=1(1≤n≤m)与题设矛盾.同理，若p=2,3,4,5均可推得an=1(1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数.由均值不等式得.又上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1,从而a4=a5=…=am=1,与题设矛盾）.故等号不成立，从而a1+a2+…+a6＞6.又m=6k,由④和⑥得a72+…+am2=(a72+…+a122)+…+(a6k-52+…+a6k2)211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n=(k-1)(a12+a22+…+a62)=.因此由⑤得a1+…+a6+a72+…+am2＞6+6(k-1)=6k=m=ma1a2…am.第102题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)题目已知数列{xn}满足,,n∈N*.(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;(2)证明:|xn+1-xn|≤.答案分析：第(1)问递推解出x2,x4,x6可猜想{x2n}的单调性,再用数学归纳法证明.第(2)问将|xn+1-xn|=||=变形,再证明(1+xn)(1+xn-1)≥,再递推可证.解:(1)由及得,,,由x2＞x4＞x6猜想:数列{x2n}是递减数列.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x2k＞x2k+2,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n易知xn＞0,那么x2k+2-x2k+4==,即x2(k+1)＞x2(k+1)+2.也就是说,当n=k+1时命题也成立.综合(1)和(2)知,命题成立.(2)证明:当n=1时,|xn+1-xn|=|x2-x1|=,结论成立;当n≥2时,易知0＜xn-1＜1,∴1+xn-1＜2,.∴(1+xn)(1+xn-1)=()(1+xn-1)=2+xn-1≥.∴|xn+1-xn|=||==.第103题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．答案解：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．①（Ⅱ）由①知，，于是，当时，，=，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当时，．又．综上，所求的的取值范围是．第104题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n,a1-1,a2-1,…,an-1.对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2,…,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）：又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…)（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak).答案（Ⅰ）解：A0：5,3,2,              T1(A0):3,4,2,1              A1=T2(T1(A0)):4,3,2,1;211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n              T2(A1):4,3,2,1,0              A2=T2(T1(A1)):4,3,3,1.（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1,a2,…,an，则为n,a1-1,a2-1,…,an-1,从而                                                　　　　　　又所以＝                    故（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1,a2,…，an.当存在，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B.则                    ＝2211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当存在1≤m＜n,使得时，若记数列为a1,a2,…，am为C，则S(C)=S(A).所以从而对于任意给定的数列A0，由Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…)可知S(Ak+1)≤S(T1(Ak)).又由（Ⅱ）可知S(T1(Ak))=S(Ak)，所以.即对于N,要么有S(Ak+1)=S(Ak)，要么有-1.因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数K，当k≥K时，第105题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中项,n∈N*.(1)求a2,b2的值;(2)求数列{an}与{bn}的通项公式;(3)设Tn=(-1b1+(-1b2+…+(-1bn,n∈N*,证明|Tn|＜2n2,n≥3.答案本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(1)解:由题设有a1+a2-4a1=0,a1=1,解得a2=3.由题设又有4a22=b2b1,b1=4,解得b2=9.(2)解法一:由题设nSn+1-(n+3)Sn=0,a1=1,b1=4,及a2=3,b2=9,进一步可得a3=6,b3=16,a4=10,b4=25,猜想an=,bn=(n+1)2,n∈N*.先证an=,n∈N*.当n=1时,a1=,等式成立.当n≥2时用数学归纳法证明如下:(ⅰ)当n=2时,a2=,等式成立.(ⅱ)假设当n=k时等式成立,即ak=,k≥2.由题设,kSk+1=(k+3)Sk,①(k-1)Sk=(k+2)Sk-1.②①的两边分别减去②的两边,整理得kak+1=(k+2)ak,从而ak+1=.这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)可知,等式an=对任何的n≥2成立.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n综上所述,等式an=对任何的n∈N*都成立.再用数学归纳法证明bn=(n+1)2,n∈N*.(ⅰ)当n=1时,b1=(1+1)2,等式成立.(ⅱ)假设当n=k时等式成立,即bk=(k+1)2,那么bk+1==［(k+1)+1］2.这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)可知,等式bn=(n+1)2对任何的n∈N*都成立.解法二:由题设nSn+1=(n+3)Sn,①(n-1)Sn=(n+2)Sn-1.②①的两边分别减去②的两边,整理得nan+1=(n+2)an,n≥2,所以2a3=4a2,3a4=5a3,…(n-1)an=(n+1)an-1,n≥3.将以上各式左右两端分别相乘,得(n-1)!an=a2,由(1)并化简得an=a2=,n≥3.上式对n=1,2也成立.由题设有bn+1bn=4an+12,所以bn+1bn=(n+2)2(n+1)2,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n即=1,n∈N*.令xn=,则xnxn+1=1,即xn+1=.由x1=1得xn=1,n≥1.所以=1,即bn=(n+1)2,n≥1.解法三:由题设有nSn+1=(n+3)Sn,n∈N*,所以S2=4S1,2S3=5S2,…,(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,n≥2.将以上各式左右两端分别相乘,得1×2×…×(n-1)Sn=4×5×…×(n+2)S1,化简得Sn=,n≥3.由(1),上式对n=1,2也成立.所以an=Sn-Sn-1=,n≥2.上式对n=1也成立.以下同解法二,可得bn=(n+1)2,n≥1.(3)证明:Tn=(-1b1+(-1b2+…+(-1bn211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n=-22-32+…+(-1(n+1)2.当n=4k,k∈N*时,Tn=-22-32+42+52-…-(4k-2)2-(4k-1)2+(4k)2+(4k+1)2.注意到-(4k-2)2-(4k-1)2+(4k)2+(4k+1)2=32k-4,故Tn=32×(1+2+…+k)-4k=32×-4k=4k(4k+4)-4k=(4k)2+3×4k=n2+3n.当n=4k-1,k∈N*时,Tn=(4k)2+3×4k-(4k+1)2=(n+1)2+3(n+1)-(n+2)2=n.当n=4k-2,k∈N*时,Tn=(4k)2+3×4k-(4k+1)2-(4k)2=3(n+2)-(n+3)2=-n2-3n-3.当n=4k-3,k∈N*时,Tn=3×4k-(4k+1)2+(4k-1)2=3(n+3)-(n+4)2+(n+2)2=-n-3.所以,Tn=k∈N*.从而n≥3时,有211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n总之,当n≥3时有＜2,即|Tn|＜2n2.第106题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（上海卷）)题目已知以a1为首项的数列{an}满足:an+1=(1)当a1=1,c=1,d=3时,求数列{an}的通项公式;(2)当0＜a1＜1,c=1,d=3时,试用a1表示数列{an}前100项的和S100;(3)当0＜a1＜(m是正整数),c=,正整数d≥3m时,求证:数列a2-,a3m+2-,a6m+2-,a9m+2-成等比数列当且仅当d=3m.答案解:(1)由题意得an=(k∈Z+).(2)当0＜a1＜1时,a2=a1+1,a3=a1+2,a4=a1+3,a5=+1,a6=+2,a7=+3,…,a3k-1=+1,a3k=+2,a3k+1=+3,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴S100=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a98+a99+a100)=a1+(3a1+6)+(a1+6)+(+6)+…+(+6)=a1+a1(3+1++…+)+6×33=(11-)a1+198.(3)当d=3m时,a2=a1+,∵a3m=a1+=a1-+3＜3＜a1+3=a3m+1,∴a3m+2=+.∵a6m=-+3＜3＜+3=a6m+1,∴a6m+2=+.∵a9m=-+3＜3＜+3=a9m+1,∴a9m+2=+.∴a2-=a1,a3m+2-=,a6m+2-=.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴a9m+2-=.综上所述,当d=3m时,数列a2-,a3m+2-,a6m+2,a9m+2-是公比为的等比数列.当d≥3m+1时,a3m+2=∈(0,),a6m+2=+3∈(3,3+),a6m+3=∈(0,),a9m+2=+∈(3-,3),由于a3m+2-＜0,a6m+2-＞0,a9m+2-＞0.故数列a2-,a3m+2-,a6m+2-,a9m+2-不是等比数列.所以,数列a2-,a3m+2-,a6m+2-,a9m+2-成等比数列,      当且仅当d=3m.第107题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)题目在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(2)证明++…+＜.答案本题主要考查等差数列、等比数列、数学归纳法、不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.解:(1)由条件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.                                     猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.                                                      用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立.②假设当n=k时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.                           (2).211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nn≥2时,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)＞2(n+1)n.                                      故++…+＜+［++…+］=+(-+-+…+)=+()＜+=.第108题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目已知数列，，，．记．．求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。答案本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n①当时，因为是方程的正根，所以．②假设当时，，因为            ，所以．即当时，也成立．根据①和②，可知对任何都成立．（Ⅱ）证明：由，（），得．因为，所以．由及得，所以．（Ⅲ）证明：由，得所以，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n于是，故当时，，又因为，所以．第109题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)题目已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.答案本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以｛an｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=-(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1=-(λ+18),所以当λ＝－18时，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：当λ≠－18时，b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18，故得bn=-（λ+18）·（－）n-1，于是可得Sn=-要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，即a＜-(λ+18)·［1－（－）n］＜b(n∈N+)                ①211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当n为正奇数时，∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,于是，由①式得当a＜b3a时，由－b-18-3a-18知，不存在实数λ满足题目要求；当b＞3a时，存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a＜Sn＜b,且λ的取值范围是（-b-18,-3a-18）.第110题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖南卷）)题目数列  (Ⅰ)求并求数列的通项公式；  (Ⅱ)设证明：当  答案解 (Ⅰ)因为一般地，当时，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，。所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知，               ①            ②  ①-②得，                  所以211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n  要证明当时，成立，只需证明当时，成立.  证法一  (1)当n=6时，成立.  (2)假设当时不等式成立，即  则当n=k+1时，  由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时，  证法二  令cn=（n≥6），则  所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，总题数：22题第111题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目设数列满足，其中c为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：;（Ⅲ）设，证明：.答案本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运用知识分析问题和解决问题的能力。解(1)必要性：，                又 ，即充分性：设，对用数学归纳法证明       当时，.假设       则，且，由数学归纳法知对所有成立    (2)设，当时，，结论成立        当时，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n                  ,由（1）知，所以 且                             (3)设，当时，，结论成立 当时，由（2）知 第112题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（江西卷）)题目等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求与；211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（2）求证：.答案解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有①由知为正有理数，又由知，为的因子之一，解①得故（2）∴第113题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)题目设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban-2n=(b-1)Sn..211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（Ⅰ）证明：当b=2时，{an-n·2n-1}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式.答案解：由题意知，a1=2，且        ban-2n=(b-1)Sn，        ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1， 两式相减得　b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,即　　　　an+1=ban+2n,                                      ①(Ⅰ)当b=2时，由①知，an+1=2an+2n,于是　　　　　　　　an+1-(n+1)·2n=2an+2n-(n+1)·2n                                               =2(an-n·2n-1)，又所以{an-n·2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列，（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知，即　　　当时，由①得　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n因此　　　　　　　　　　　　　　　　得　　　　　　　第114题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷延考）)题目在数列中，，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.（Ⅲ）求数列的前项和.答案解答：（Ⅰ）由条件得，又时，，　　故数列构成首项为1，公比为的等比数列.从而，即.（Ⅱ）由得，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n　　，　　两式相减得：，所以.（Ⅲ）由得.　　所以.第115题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)题目设各项均为正数的数列{an}满足a1=2,an=an+2(n∈N*).(1)若a2=,求a3,a4,并猜想a2008的值(不需证明);(2)记bn=a1a2…an(n∈N*),若bn≥2对n≥2恒成立,求a2的值及数列{bn}的通项公式.答案解:(1)因a1=2,a2=2-2,故a3==24,a4==2-8.由此有a1=,a2=,a3=,a4=,故猜想{an}的通项为an=(n∈N*).从而a2008=.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(2)令xn=log2an,Sn表示xn的前n项和,则bn=.由题设知x1=1且xn=xn+1+xn+2(n∈N*);①Sn=x1+x2+…+xn≥(n≥2).②因②式对n=2成立,有≤x1+x2,又x1=1得x2≥.③下用反证法证明:x2≤.假设x2＞.由①得xn+2+2xn+1=(xn+2+xn+1)+xn+1=(xn+1+2xn).因此数列{xn+1+2xn}是首项为x2+2,公比为的等比数列.故xn+1+2xn=(x2+2)(n∈N*).④又由①知xn+2-xn+1=(xn-xn+1)-xn+1=-2(xn+1-xn),因此{xn+1-xn}是首项为x2-,公比为-2的等比数列,所以xn+1-xn=(x2-)(-2)n-1(n∈N*).⑤由④-⑤得xn=(x2+2)-(x2-)(-2)n-1(n∈N*).⑥对n求和得Sn=(x2+2)(2-)-(x2-)(n∈N*).⑦211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n由题设知S2k+1≥,且由反证假设x2＞有(x2+2)(2)-(x2-)≥(k∈N*).从而(x2-)·≤(x2+2)(2)-＜2x2+(k∈N*),即不等式22k+1＜-1对k∈N*恒成立.但这是不可能的,矛盾.因此x2≤,结合③式知x2=.因此a2==2.将x2=代入⑦式得Sn=2-(n∈N*),所以bn==(n∈N*).第116题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷）)题目将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4  a5 a6a7 a8  a9   a10……211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1（n≥2）.(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.答案(Ⅰ)证明：由已知，当n≥2时，                      （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.              因为　　　             　所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，             　故a81在表中第13行第三列，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n             　因此             　又　　             　所以q=2.              记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，             　则（k≥3）.第117题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）)题目已知数列是一个等差数列，且，。（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值。答案解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．所以．（Ⅱ）．所以时，取到最大值．211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第118题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）)题目22.已知数列中，，，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，，，证明：，答案解:(Ⅰ)由题设：==.所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即an的通项公式为,n=1,2,3,….(Ⅱ)用数学归纳法证明.（i）当n=1时，因,b1=a1=2所以211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n，结论成立.（ii）假设当n=k时，结论成立，即,也即.当n=k+1时，＝＝又，所以也就是说，当n=k+1时，结论成立.根据（i）和(ii)知n=1,2,3,….第119题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ）)题目21.设数列{an}的首项a1∈ (0,1),an=，n=2,3,4…（1）求{an}的通项公式；211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（2）设，求证＜，其中n为正整数。答案解：（1）由整理得   .又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故.那么，又由（1）知且，故，因此为正整数.方法二：由（1）可知，因为，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以      .由可得，即   两边开平方得即   为正整数.第120题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)题目（15）数列｛an｝中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求｛an｝的通项公式.答案解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2.当c=0时，a1=a2=a3，不符题意舍去，故c=2.（Ⅱ）当n≥2时，由于a2-a1=c，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\na3-a2=2c，……an-an-1=（n-1）c，所以an-a1=［1+2+…+（n-1）］c=c.又a1=2，c=2，故an=2+n（n-1）=n2－n+2（n=2，3，…）.当n=1时，上式也成立，所以an=n2-n+2（n=1，2，…）.第121题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)题目21.在数列中，，其中.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立.答案（Ⅰ）解法一：，，.由此可猜想出数列的通项公式为.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n以下用数学归纳法证明.（1）当时，，等式成立.（2）假设当时等式成立，即，那么.这就是说，当时等式也成立.根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立.解法二：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）解：设，　　　①　　　　　　　　  ②当时，①式减去②式，得，.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n这时数列的前项和.当时，.这时数列的前项和.（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：.　　　　③由知，要使③式成立，只要，因为.所以③式成立.因此，存在，使得对任意均成立.第122题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（浙江卷）)题目（21）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且.（I）求，，，；（II）求数列的前项和；211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（Ⅲ）记，，求证：.答案本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力.（I）解：方程的两个根为，，当时，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以.（II）解：.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（III）证明：，所以，.当时，，同时，综上，当时，.第123题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（21）等差数列{}的前n项和为，，。（1）求数列{}的通项与前n项和为；（2）设（n），求证：数列{}中任意不同的三项都不可能成为等比数列。答案本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想以及推理和运算能力。解：（Ⅰ）由已知得，，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则.即.，     .与矛盾.所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.第124题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖南卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n21.已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，….（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增. 答案解：（I）当时，由已知得.因为，所以.    ……①于是.                                 ……②由②－①得.                            ……③于是.                                …… ④由④－③得，                                ……⑤所以，即数列是常数数列.（II）由①有，所以.由③有，，所以，.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，，，数列是单调递增数列且对任意的成立.且.即所求的取值集合是.（III）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则.记，则，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以时，，从而，所以在和上都是增函数.由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以.取，因为，所以.所以，即弦的斜率随单调递增.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，.故，即弦的斜率随单调递增.第125题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)题目21.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.答案本小题主要考查差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).（Ⅱ）T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an.                   ①在①式两端同乘1+r，得211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r). ②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an,即。如果记，，则Tn=An+Bn,其中｛An｝是以为首项，以1+r(r＞0)为公比的等比数列;｛Bn｝是以为首项，为公差的等差数列。第126题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（江西卷）)题目22.设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何n∈N*，有.（1）求a1，a3；（2）求数列{an}的通项an.答案解：（1）据条件得①当n=1时，由，即有，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n解得，因为a1为正整数，故a1=1.当n=2时，由，解得8＜a3＜10,所以a3=9.(2)方法一：由a1=1,a2=4,a3=9,猜想：an=n2下面用数学归纳证明.当n=1,2时，由（1）知an=n2均成立;假设成立，即ak=k2,则n=k+1时由①得因为时，(k3+1)-(k+1)2=k(k+1)(k-2)0.所以。k-11,所以又，所以故ak+1=(k+1)2,即n=k+1时，an=n2成立。由,知，对任意,an=n2.(2)方法二：由a1=1,a2=4,a3=9,猜想：an=n2下面用数学归纳法证明.当n=1,2时，由（1）知an=n2均成立;211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n假设成立，即ak=k2,则n=k+1时由①得即②由②左式，得，即（k-1）ak+1＜k3+k2-k,因为两端为整数，则（k-1）ak+1k3+k2-k-1=(k+1)2(k-1).于是ak+1(k+1)2③又由②右式，，则（k2-k+1）ak+1＞k3(k+1).因为两端为正整数，则(k2-k+1)ak+1k4+k3+1,所以。又因，ak+1为正整数，则④据③④ak+1=(k+1)2,即n=k+1时，an=n2成立.由、知，对任意，.第127题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷新课标）)题目(17)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项；211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(Ⅱ)设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.答案解：(Ⅰ)∵a1+3a1+32a3+…+3n-1an=，                 ①∴当n≥2时，a1+3a1+32a3+…+3n-1an-1=.       ②①-②得3n-1an=，an=.在①中，令n=1，得a1=.∴an=.(Ⅱ)∵bn=，∴bn=n3n.∴Sn=3+2×32+3×33+…+n3n.             ③∴3Sn=32+2×33+3×34+1…+n3n+1.   ④④-③得∴2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n).即2Sn=n3n+1-.∴Sn=.第128题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n22.已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且 Sk=akak+1(kN*),其中a1=1.（Ⅰ）求数列{ak}的通项公式；（Ⅱ）对任意给定的正整数n(n≥2)，数列{bk}满足(k=1,2,…,n-1),b1=1.求b1+b2+…+bn.答案解：（Ⅰ）当k=1,由a1=S1=a1a2及a1=1,得a2=2.当k≥2时，由ak==akak+1-ak-1ak,得ak(ak+1-ak-1)=2ak.因为ak≠0,所以ak+1-ak-1=2.从而a2m-1=1+(m-1)·2=2m-1,a2m=2+(m-1)·2=2m,mN*.故ak=k(kN*).（Ⅱ）因为ak=k,所以所以=(-1)k-1·(k=1,2,…，n).故b1+b2+b3+…+bn==第129题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅰ(新课程))题目（22）设数列｛an｝的前n项和211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n…。 （Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设…，证明：答案解：（I）由…，  ①得  ，所以再由①有…，②将①和②相减得…，整理得 …，因而数列是首项为，公比为4的等比数列，即211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n，n=1,2,3…，因而，n=1,2,3,…，（II）将代入①得    所以，          第130题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程))题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（22）设数列的前项和为，且方程                                 有一根为      （I）求      （II）求的通项公式答案解：（Ⅰ）当n=1时，         有一根为于是解得                      当n=2时，有一根为于是解得            。     （Ⅱ）由题设即                          211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当                     ①由（Ⅰ）知         由①可得由此猜想      下面用数学归纳法证明这个结论。(i)n=1时已知结论成立。(ii)假设n=k时结论成立，即当n=k+1时，由①得即          ，故n=k+1时结论也成立。综上，由(i)、(ii)可知对所有正整数n都成立。 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n于是当又n=1时，所以{}的通项公式为1,2,3,….第131题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程))题目(20)在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|,n=3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”.   (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；   (Ⅱ)若“绝对差数列”{an}中，a20=3，a21=0，数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；  （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.答案（Ⅰ）解：a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{an}中，a20=3，a21=0，所以自第20项开始，该数列是a20=3，a21=0，a22=3，a23=3，a24=0，a25=3，a26=3，a27=0，….即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n→∞时，an的极限不存在.当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6,所以.（Ⅲ）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下：       假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于任意的n，都有an≥1，从而 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n       当an-1＞an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1（n≥3）；        当an-1＜an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1（n≥3）,        即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1.        令cn=        则0＜cn≤cn-1-1(n=2,3,4…).        由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项ck＜0，这与cn＞0（n=1，2，3……）矛盾.从而{an}必有零项.       若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即               所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.第132题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(21)已知数列{xn}、{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且(为非零参数，n=2，3，4，…)．(Ⅰ)若x1、x3、x5成等比数列，求参数的值； (Ⅱ)当＞0时，证明(n∈N*)； (Ⅲ)当＞1时，证明＜(n∈N*).答案本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.（Ⅰ）解：由已知x1=x2=1,且         若x1、x3、x5成等比数列，则=x1x5,即2=6.而≠0，解得=±1. (Ⅱ)证明：由已知，＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0,yn＞0.由不等式的性质，有 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n≥≥2≥…≥n-1=n-1。 另一方面， 因此，（n∈N*）.故 （n∈N*）. （Ⅲ）证明：当＞1时，由（Ⅱ）可知yn＞xn≥1（n∈N*）。 又由（Ⅱ）（n∈N*），则， 从而=n-1（n∈N*）.因此211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n  ≤1+＜.总题数：22题第133题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)辽宁卷(新课程))题目21．已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0.设［1-］上，在处取得最大值，在，将点依次记为A，B，C.(I)求(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a,d的值答案本小题考查函数的导数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数列等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.(Ⅰ)解：∵2b=a+c.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴f′(x)=ax2+2bx+c=ax2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).令f′(x)=0,得x=-1,或x=-∵a＞0,d＞0,∴0＜a＜b＜c,∴当＜x＜-1时，f′(x)＜0,当x＞-1时，f′(x)＞0,所以f(x)在x=-1处取得极小值，即x0=-1.(Ⅱ)解法一：∵f′(x)=ax2+2bx+c,a＞0.∴f′(x)的图象开口向上，对称轴方程是x=-由＞1,知∴f′(x)在［1-］上的最大值为f′(0)=c,即x1=0.又由＞1，知-∈［1-］，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴当x=-时，f′(x)取得最小值f′(-)=-即x2=-.∵f(x0)=f(-1)=-∴A(-1,-),B(0,c),C(-,-).由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以即a2=3d2.                            ①又由△ABC的面积为2+，得利用b=a+d，c=a+2d，得               ②联立①，②可得d=3,a=3.解法二：∵f′(x)=ax2+2bx+c,a＞0，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nf′(1-)=0,f′(0)=c.由c＞0知f′(x)在［1-］上的最大值为f′(0)=c.即x1=0.由知-∈［1-］.∴当x=-时f′(x)取得最小值f′（-）=-即∵f(x0)=f(-1)=-∴A(-1,-),B(0,c),C(-,-).由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以-=-,即a2=3d2.                        ①又由△ABC的面积为2+，得利用b=a+d，c=a+2d，得211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n            ②联立①，②可得d=3，a=3.第134题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))题目（22）已知数列满足      （I）求数列的通项公式； 　（II）若数列｜bn｜满足    ，证明：是等差数列    （Ⅲ）证明：答案本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。      （I）解：∵            是以为首项，2为公比的等比数列。      211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n      即　      （II）证法一：∵            　　　　　　　　　　　　　①      　　　　　　②      ②－①，得      即             　   ③－④，得　      即　            是等差数列。      证法二：同证法一，得      　      令得211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n      设下面用数学归纳法证明　      （1）当时，等式成立。      （2）假设当时，那么            这就是说，当时，等式也成立。      根据（1）和（2），可知对任何都成立。   ∵是等差数列。      （III）证明：∵         ∵            第135题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目（21）数列的前n项和为Sn，已知，sn=n2an-n(n-1),n=1，2…（Ⅰ）写出sn与的递推关系式（n2）,并求sn关于n的表达式：（Ⅱ）设求数列｛bn｝的前n项和Tn。答案本小题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查分析问题和归纳推理能力。（Ⅰ）解法1：当时，，即       ①已知，由递推关系式可得由此，可猜想：②下面用数学归纳法证明②式：证明：（i）当时，由条件，又②式的右边等于，所以②式成立.（ii）假设时，②式成立，即211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n则当时，故当n=k+1时，②式也成立。由（i），（ii）知，对一切正整数n,②式成立.解法2：当n≥2时，即        于是       .∴{}是首项为1、公差为1的等差数列。因而=1+（n-1）=n，故.（Ⅱ）解：∵∴∴                 ③当p=0时，=0；当p=1时，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n    当时，在③式两边同乘以p，得到                  ④③—④得∴综上所述：第136题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程))题目22.已知数列{an}满足：a1=,且an=(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对一切正整数n，不等式a1·a2·…·an＜2·n!恒成立.答案解：211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(1)将条件变为：1-因此，{1-}为一个等比数列，其首项为1-,公比为，从而1-，据此得an=(n≥1)                           …………①（2）证：据①得，a1,a2…an=.为证a1a2…an＜2·n!，只要证n∈N*时有＞.    …………②显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n∈N*,≥1-.   …………③用数学归纳法证明③式：1°n=1时，显然③式成立，2°设n=k时，③式成立,即≥1-,则当n=k+1时,≥［1-］211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n=１--≥1-.即当n=k+1时，③式也成立.故对一切n∈N*,③式都成立.利用③得，≥1-=1-=1-＞.故②式成立，从而结论得证.第137题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程))题目22.   已知a1＝2，点(an，an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…． (Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列； (Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列{an}的通项；211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n (Ⅲ)记bn=，求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+=1.答案解：(Ⅰ)由已知 an+1＝a2n+2an，        ∴an+1+1＝(an+1)2        ∵a1=2        ∴an+1＞1，两边取对数得：                                                               lg(1+an+1)=2lg(1+an)，        即        ∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.    (Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1+an)=2n-1·lg(1+a1)211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n                          =2n-1·lg3                           =lg3        ∴1+an＝3.             (*)       ∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)          =3·3·3·…·3          =          =3       由(*)式得an＝3-1．  (Ⅲ)∵an+1=a2n+2an      ∴an+1=an(an+2)      ∴ 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n     ∴      又 bn=      ∴bn=2()      ∴Sn=b1+b2+…+bn          =2     =2()      ∵an=3-1，   a1＝2，   an+1=3-1      ∴Sn＝1- 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n     又Tn＝      ∴Sn+第138题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)陕西卷(新课程))题目（２０）已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项答案解：∵10Sn=an2+5an+6, ①   ∴10a1=a12+5a2+6, 解之得a1=2或a1=3. 又 10Sn－1=an－12+5an－2+6,(n≥2)，     ②由①－②得   10an=(an2－an－12)+5(an－an－1), 即（an+an－1）(an－an－1－5)=0.∵an+an－1＞0,       ∴an－an－1=5 (n≥2).当a1=3时,a2=13，an=73,a1,a2,an不成比数列，a1≠3.当a1=2时,a2=12，an=72，有a32=a1a2,     ∴a1=2, ∴an=5n－3.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第139题(2006年普通高等学校春季招生考试数学(文理合卷)上海卷)题目22.已知数列al，a2…，a30，其中al，a2…，a10是首项为1公差为1的等差数列；al0，a11…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0). (1)若a20=40，求d； (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围; (3)续写己知数列，使得a30，a31…，a40是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题,[(2)应当作为特例],并进行研究，你能得到什么样的结论？   答案22. [解](1)al0=10, a20=10+10d=40,  ∴d=3                      (2)a30=a20+10d=10(1+d+d2) (d≠0)                         a30=10[(d+)2+],211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈[,+∞).                 (3)所给数列可推广为无穷数列{an},其中al，a2…，a10是首项为1公差为1的等差数列,当n≥1时,数列a10n，a10n+1,…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列. 研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求a10(n+1)的取值范围  研究的结论可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3),依次类推可得 当d>0时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞)          第140题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅰ(新课程))题目（19）设等比数列的公比为，前n项和。（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较和的大小。答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(19)解：（Ⅰ）因为{an}是等比数列，Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0.  =Sn(q+)(q－2).     第141题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程))题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（18）已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn=,n=1,2,3….(Ⅰ)证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S=,求数列{an}的首项a1和公差d.(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的极限)答案（18）（Ⅰ）证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，          ∴2lga2=lga1+lga4，即a2=a1·a4.等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d.从而d(d－a1)=0.         (i)若d=0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列.此时{bn}是首项为正数，公式为1的等比数列.      (ii)若d=a1≠0，则=a1+(2n－1)d=2nd，bn=.这时{bn}是首项b1=，公比为的等比数列.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n综上知，{bn}为等比数列.          （Ⅱ）解：如果无穷等比数列{bn}的公比q=1，则当n→∞时其前n项和的极限不存在.因而d=a1≠0，这时公比q=，b1=.这样，{bn}的前n项和Sn=，则S=Sn==.          由S=得公差d=3，首项a1=d=3.第142题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅲ(新课程))题目19、中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（Ⅰ）求的值（Ⅱ）设，求的值。答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n19．解：（Ⅰ）由得 由及正弦定理得于是                                  =                                                                    （Ⅱ）由得，由可得，即由余弦定理得211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n∴第143题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅲ(新课程))题目20、在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列{}的通项答案20．解：依题设得，∴，整理得∵， ∴得所以，由已知得是等比数列由，所以数列也是等比数列，首项为1，公比为，由此得等比数列{kn}的首项，公比，所以即得到数列{kn}的通项为第144题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目答案（19）解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（II）∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1－=a－≠0,b2=a3－=(a－),b3=a5－=(a－),猜想：{bn}是公比为的等比数列·   证明如下：因为bn+1＝a2n+1－211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n=a2n－=（a2n－1+）－=(a2n－1－)=bn,(n∈N*)   所以{bn}是首项为a－,公比为的等比数列·（III）.第145题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))题目18．已知.（Ⅰ）当时，求数列的前n项和；（Ⅱ）求.答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n18. （Ⅰ）解：当a=b时，un=(n＋1)an，这时数列{un}的前n项和Sn=2a+3a2+4a3+…+nan+1+(n+1)an                       ①①式两边同乘以a，得  aSn=2a2+3a3+4a4+…+nan+(n+1)an+1                ②①式减去②式，得  （1－a）Sn=2a+a2+a3+…+an－(n+1)an+1.若a≠1,  （1－a）Sn=－(n+1)an+1+aSn= =若a=1,  Sn=2+3+…+n+(n+1)   =.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），当a=b时，un=(n+1)an,则===a当a≠b时，un=an+an－1b+…+abn－1+bn    =an[1++()2+…+()n]211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n    =an    =（an+1－bn+1）.此时，若a>b>0,=若b>a>0,第146题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程))题目20．设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：  x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋anx＋bn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离．  (Ⅰ)求x2及C1的方程．211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n  (Ⅱ)证明{}是等差数列．答案20.解：（Ⅰ）由题意，得     A1(1,0)，C1：y=x2－7x+b1,设点P（x,y）是C1上任意一点，则|A1P|=     =令f(x)=（x－1）2+(x2－7x+b1)2,则 f’(x)=2(x－1)+2(x2－7x+b1)(2x－7)由题意，得  f’(x2)=0,即2(x2－1)+2(x22－7x2+b1)(2x2－7)=0.又P2(x2,2)在C1上∴2＝x22－7x2+b1,解得x2=3, b1=14,故C1方程为y=x2－7x+14（Ⅱ）设点P（x,y）是Cn上任意一点，则|AnP|=     =211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n令g(x)=(x－xn)2+(x2+anx+bn)2,则g’(x)=2(x－xn)+2(x2+anx+bn)(2x+an).由题意，得g’(xn+1)=0即2(xn+1－xn)+2(xn+12+anxn+1+bn)(2xn+1+an)=0又∵2n=xn+12+anxn+1+bn∴(xn+1－xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1).即(1+2n+1)xn+1－xn+2nan=0         （*）下面用数学归纳法证明xn=2n－1①当n=1时，x1=1，等式成立。②假设当n=k时，等式成立，即xk=2k－1.则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）xk+1－xk+2kak=0又ak=－2－4k－,∴xk+1=即当n=k+1时，等式成立，由①②知，等式对n∈N*成立。∴{xn}是等差数列。第147题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目22．已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1,bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；（Ⅲ）若，求a的取值范围.答案22.（I）解法一：211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}解法二：∵b1=－1,bn+1=,∴bn=+1当a=b1时，a2=1+=0.当a=b2时，a2=1+=b1,∴a3=0.当a=b3时a2=1+=b2,∴a1=1+=1+=b1,a4=0.……一般地，当a=bn时，an+1=0,可得一个含有n+1项的有穷数列a1,a2,a3,…,an+1.下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a=b1，显然a2=0.得到一个含有2项的有穷数列a1,a2.②假设当n=k时，a=bk,得到一个含k+1项的有穷数列a1,a2,a3,…,ak+1.其中ak+1=0.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n则n=k+1时，a=bk+1,∴a2=1+=bk.由假设可知，可得到一个含有k+1项的有穷数列a2,a3,…,ak+2,其中ak+2=0.∴当n=k+1时，可得到一个含有k+2项的有穷数列a1,a2,a3,…,ak+2,其中ak+2=0.由①②知，对一切n∈N,命题都成立。（III）要使＜an＜2,即＜1+＜2,∴1＜0.第148题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n题目22．已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足.  （Ⅰ）证明;（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有答案22．（Ⅰ）证法1：∵当即 于是有所有不等式两边相加可得211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n由已知不等式知，当n≥3时有，∵∴证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式  （i）当n=3时， 由知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即则  即当n=k+1时，不等式也成立.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n由（i）、（ii）知，又由已知不等式得   （Ⅱ）有极限，且  （Ⅲ）∵则有故取N=1024，可使当n>N时，都有第149题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程))题目20、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且x1＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n20．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为  （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得    因为x1>0，所以a>b.  猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.  （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*      由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知  00.又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故当n=k+1时结论也成立.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).综上所述，为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.第150题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程))题目21．已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.答案21．解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，  ∴，命题正确.2°假设n=k时有  则  211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n而又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切  （2）下面来求数列的通项：211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以    又b0=－1，所以第151题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程))题目（21）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.答案21．解：（Ⅰ）由已知∴两式相减，得，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n即，从而，当时∴又，∴，从而     故总有，、又∵∴从而即是以为首项，2为公比的等比数列。（II）由（I）知。∵∴。从而   211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n==-===。由上  -==12              （*）当时，（*）式=0∴；当时，（*）式=－12∴当时，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n又∴即（*）从而 （或用数学归纳法：n≥3时，猜想       由于n-1>0，只要证明2n>2n+1。事实上，     1*    当n=3时，23>2×3+1     不等式成立，     2* 设n=k时（k≥3），有2k>2k+1     则  2k+1>2(2k+1)            =4k+2            =2(k+1)+1+(2k-1).∵k≥3，∴2k-1>0.从而 2k+1>2(k+1)+1+(2k-1)         >2(k+1)+1即  n=k+1时，亦有 2n>2n+1.综上1*、2*知，2n>2n+1 对n≥3，n∈N*都成立。∴n≥3时，有）211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n综上   n=1时，       n=2时，       n≥3时，第152题(2005年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程))题目17.已知｛an｝是等比数列，a1=2，a3=18；｛bn｝是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. （Ⅰ）求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）求数列｛bn｝的前n项和Sn的公式；（Ⅲ）设　　　Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，　　　Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，　　　其中n＝1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.答案17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力.解：（Ⅰ）设｛an｝的公比为q，由a3＝a1q2得q2＝＝9，q=±3.当q＝－3时，a1+a2+a3=2－6+18=14<20，这与a1+a2+a3>20矛盾，故舍去；当q＝3时，a1＋a2+a3=2+6+18=26>20，故符合题意.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n设数列｛bn｝的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1＋＝26，又b1=2，解得d=3，所以bn=3n－1.（Ⅱ）Sn=＝.（Ⅲ）b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn＝nb1+·3d=；b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10＝29，所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n，Pn－Qn=（）－（3n2+26n）=n（n－19），所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn>Qn；当n=19时，Pn＝Qn；当n≤18时，Pn＜Qn　.第153题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程))题目22.已知数列{an}中a1=1，且a2k=a2k－1+（－1）k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….（Ⅰ）求a3,a5;（Ⅱ）求{an}的通项公式.答案22.本小题主要考查数列、等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.解：（Ⅰ）a2=a1+（－1）1=0,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\na3=a2+31=3,a4=a3+（－1）2=4,a5=a4+32=13,所以a3=3,a5=13.（Ⅱ）a2k+1=a2k+3k=a2k－1+（－1）k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+（－1）k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+（－1）k－1,……a3－a1=3+（－1）.所以（a2k+1－a2k－1）+（a2k－1－a2k－3）+…+（a3－a1）=（3k+3k－1+…+3）+［（－1）k+（－1）k－1+…+（－1）］,由此得a2k+1－a1=（3k－1）+［（－1）k－1］,于是a2k+1=+（－1）k－1.a2k=a2k－1+（－1）k=+（－1）k－1－1+（－1）k=+（－1）k－1.{an}的通项公式为：当n为奇数时，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nan=+（－1）×－1;当n为偶数时，an=+（－1）×－1.第154题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅲ(新课程))题目19.数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn（n=1,2,3,…）.证明：（Ⅰ）数列{}是等比数列；（Ⅱ）Sn+1=4an.答案19.本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力.证明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+1－Sn,an+1=Sn,∴（n+2）Sn=n（Sn+1－Sn）,整理得nSn+1=2（n+1）Sn,所以=2·.故{}是以2为公比的等比数列.　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知=4·（n≥2）.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n于是Sn+1=4（n+1）·=4an（n≥2）.又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4.因此对于任意正整数n≥1，都有Sn+1=4an.总题数：9题第155题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅳ(新课程))题目22.已知函数f（x）=e－x（cosx+sinx）,将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列｛xn｝.（Ⅰ）证明数列｛f（xn）｝为等比数列;（Ⅱ）记Sn是数列｛xnf（xn）｝的前n项和,求.答案22.本小题主要考查函数的导数,三角函数的性质,等差数列与等比数列的概念和性质,以及综合运用的能力.（Ⅰ）证明：f′（x）=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）=－2e－xsinx,由f′（x）=0,即－2e－xsinx=0,解得x=n,n为整数.从而xn=n,n=1,2,3…f（xn）=（－1）n.=－e－π.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n所以数列｛f（xn）｝是公比q=－的等比数列,且首项f（x1）=q.（Ⅱ）解：Sn=x1f（x1）+x2f（x2）+…+xnf（xn）=πq（1+2q+…+nqn－1）,qSn=q（q+2q2+…+nqn）,Sn－qSn=q（1+q+…+qn－1－nqn） =q（－nqn）,从而Sn=（－nqn）.=－（1+q+…+qn－1）－（1+2q+…+nqn－1）=－－（－nqn）=－（1－qn）+.因为||=e－x＜1,n=0，所以==.第156题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程))题目211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n22. 如图,△OBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明:yn+4=1－,n∈N*；（Ⅲ）若记bn=y4n+4－y4n,n∈N*，证明:{bn}是等比数列.答案22.本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查知识的综合运用和解决问题的创新能力.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n解：（Ⅰ）因为y1=y2=y4=1,y3=,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由题意可知yn+3=.∴an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an，∴{an}为常数列.∴an=a1=2,n∈N*. （Ⅱ）将等式yn+yn+1+yn+2=2两边除以2,得yn+=1,211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n又∵yn+4=,∴yn+4=1－.（Ⅲ）∵bn+1=y4n+8－y4n+4=（1－）－（1－）=－（y4n+4－y4n）=－bn,又∵b1=y8－y4=－≠0,∴{bn}是公比为－的等比数列.第157题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))题目(22)已知a＞0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,…(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零,求A=an(将A用a表示);(Ⅱ)设bn=an－A,n=1,2,…,证明:bn+1=－;(Ⅲ)若|bn|≤,对n=1,2,…都成立,求a的取值范围.答案211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(22)本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解：(Ⅰ)由an存在,且A=an(A＞0),对an+1=a+两边取极限得.A=a+.解得A=.又A＞0,∴A=.   (Ⅱ)由an=bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+, ∴bn+1=a－A+=－+=－.即bn+1=－对n=1,2,…都成立. (Ⅲ)令|b1|≤,得|a－(a+)|≤.∴|(－a)|≤.∴－a≤1,解得a≥.现证明当a≥时,|bn|≤,对n=1,2,…都成立.(ⅰ)当n=1时结论成立(已验证).211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时结论成立,即|bk|≤,那么|bk+1|=≤×.故只需证明≤,即证A|bk+A|≥2对a≥成立.由于A==，而当a≥时，－a≤1,∴A≥2.∴|bk+A|≥A－|bk|≥2－≥1,即A|bk+A|≥2.故当a≥时，|bk+1|≤×=.即n=k+1时结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)，可知结论对一切正整数都成立.故|bn|≤对n=1,2,…都成立的a的取值范围为［，+∞).第158题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程))题目22.如图，直线l1:y=kx+1－k（k≠0,k≠±）与l2:y=x+相交于点P,直线l1与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2,过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2……这样一直作下去，可得到一系列点P1,Q1,P2,Q2,….点Pn（n=1,2,…）的横坐标构成数列｛xn｝.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（Ⅰ）证明:xn+1－1=（xn－1）,n∈N*;（Ⅱ）求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）比较2|PPn|2与4k2|PP1|2+5的大小.答案22.（Ⅰ）证明:设点Pn的坐标是（xn,yn）,由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是： （xn，xn+）,（xn+1,xn+）.由Pn+1在直线l1上，得xn+=kxn+1+1－k，所以（xn－1）=k（xn+1－1）.即xn+1－1=（xn－1）,n∈N*.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n （Ⅱ）解:由题设知x1=1－,x1－1=－≠0,又由（Ⅰ）知xn+1－1=（xn－1）,所以数列｛xn－1｝是首项为x1－1,公比为的等比数列.从而xn－1=－×（）n－1,即xn=1－2×（）n,n∈N*. （Ⅲ）解:由得点P的坐标为（1,1）.所以2|PPn|2=2（xn－1）2+2（kxn+1－k－1）2=8×（）2n+2（）2n－2,4k2|PP1|2+5=4k2［（1－－1）2+（0－1）2］+5=4k2+9.（ⅰ）当|k|＞,即k＜－或k＞时，4k2|PP1|2+5＞1+9=10，而此时0＜||＜1,所以2|PPn|2＜8×1+2=10.故2|PPn|2＜4k2|PP1|2+5.（ⅱ）当0＜|k|＜,即k∈（－,0）∪（0,）时，4k2|PP1|2+5＜1+9=10，而此时||＞1,所以2|PPn|2＞8×1+2=10.故2|PPn|2＞4k2|PP1|2+5.第159题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程))题目(22)设数列{an}满足a1=2,an+1=an+(n=1,2,…).211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n(Ⅰ)证明:an＞对一切正整数n成立；(Ⅱ)令bn＞(n=1,2,…)，判定bn与bn+1的大小，并说明理由.答案(22)(Ⅰ)证法一:当n=1时,a1=2＞,不等式成立.假设n=k时,ak＞成立,当n=k+1时,ak+12=ak2++2＞2k+3+>2(k+1)+1,∴n=k+1时,ak+1＞时成立.综上由数学归纳法可知,an＞对一切正整数成立.证法二:当n=1时,a1=2＞=,结论成立.假设n=k时结论成立,即ak＞,当n=k+1时,由函数f(x)=x+(x＞1)的单调递增性和归纳假设有ak+1=ak+＞+.因此只需证+≥.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n而这等价于(+)2≥2k+3≥0,显然成立.所以当n=k+1时,结论成立.因此,an>对一切正整数n均成立.证法三:由递推公式得an2=an－12+2+,an－12=an－22+2+,……a22=a12+2+.上述各式相加并化简得an2=a12+2(n－1)++…+＞22+2(n－1)=2n+2＞2n+1(n≥2).又n=1时,an>明显成立,故an＞(n=1,2,…). 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n    故bn+1＜bn.    所以bn+1＜bn. 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n 第160题(2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程))题目18.已知正项数列｛bn｝的前n项和Bn＝(bn＋1)2,求｛bn｝的通项公式.答案18.本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查运算能力. 解: 当n＝1时,B1＝b1,  ∴b1＝(b1＋1)2, 解得b1＝1. 当n≥2时,bn＝Bn－Bn－1　　　　　　　　　　　＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2   ＝(b－b＋2bn－2bn－1),  整理得211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n　　　　　　　　b－b－2bn－2bn－1＝0,       ∴　　　(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0,∵     bn＋bn－1>0,∴     bn－bn－1－2＝0.∴｛bn｝为首项b1＝1,公差d＝2的等差数列,∴      bn＝2(n－1)＋1＝2n－1, 即｛bn｝的通项bn＝2n－1.第161题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程))题目22.设a0为常数，且an=3n－1－2an－1（n∈N+）. （Ⅰ）证明对任意n≥1，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2na0； （Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围. 答案22.（Ⅰ）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0.等式成立；（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，即ak=［3k+（－1）k－12k］+（－1）k2ka0，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n那么ak+1=3k－2ak=3k－［3k+（－1）k－1·2k］－（－1）k2k+1a0=［3k+1+（－1）k2k+1］+（－1）k+12k+1a0，也就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N+成立. 证法二：如果设an－a3n=－2（an－1－a3n－1）， 用an=3n－1－2an－1代入，可解出a=. 所以{an－}是公比为－2，首项为a1－的等比数列， ∴an－=（1－2a0－）（－2）n－1（n∈N+）， 即an=+（－1）n2na0. （Ⅱ）解法一：由an通项公式211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\nan－an－1=+（－1）n3×2n－1a0， ∴an>an－1（n∈N+）等价于（－1）n－1（5a0－1）<（）n－2（n∈N+）.            ①（i）当n=2k－1，k=1，2，…时， ①式即为（－1）2k－2（5a0－1）<（）2k－3，即为a0<（）2k－3+.                                                      ② ②式对k=1，2，…都成立，有a0<×（）－1+=. （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－1·（5a0－1）<（）2k－2，即为a0>－×（）2k－2+.                                              ③ ③式对k=1，2，…都成立，有a0>－×（）2×1－2+=0.211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n 综上，①式对任意n∈N+成立，有0an－1（n∈N+）成立，特别取n=1，2有a1－a0=1－3a0>0，a2－a1=6a0>0， 因此00. 由an通项公式5（an－an－1）=2×3n－1+（－1）n－13×2n－1+（－1）n5×3×2n－1a0. （i）当n=2k－1，k=1，2，…时， 5（an－an－1）=2×3n－1+3×2n－1－5×3×2n－1a0>2×2n－1+3×2n－1－5×2n－1=0. （ii）当n=2k，k=1，2，…时， 211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n5（an－an－1）=2×3n－1－3×2n－1+5×3×2n－1a0>2×3n－1－3×2n－1≥0. 故a0的取值范围为（0，）.第162题(2002年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津、山西、江西卷(新课程))题目（21）已知两点M（－1，0），N（1，0），且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P坐标为（x0，y0），设θ为与的夹角，求tanθ.答案（21）本小题主要考查向量的数量积，二次曲线和等差数列等基础知识，以及综合分析和解决问题的能力.解：（Ⅰ）设P（x，y），由M（－1，0），N（1，0）得＝－＝（－1－x，－y），＝－＝（1－x，－y），＝－＝（2，0）.∴·＝2（1＋x），·＝x2＋y2－1，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n·＝2（1－x）.                                 于是，·，·，·是公差小于零的等差数列等价于即所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.    （Ⅱ）点P的坐标为（x0，y0）.·＝x02＋y02－1＝2.||·||＝＝＝2.∴cosθ=.                                              ∵0＜x0≤，∴＜cosθ≤1，0≤θ＜，sinθ＝＝，211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n第163题(2002年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津、山西、江西卷(新课程))题目（22）已知｛an｝是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…．（Ⅰ）求a3；（Ⅱ）证明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…；（Ⅲ）求｛an｝的通项公式及其前n项和Sn．答案（22）本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力.解：（Ⅰ）由题设得a3a4＝10，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10． 若a3＝1，则a4＝10，a5＝，与题设矛盾．若a3＝5，则a4＝2，a5＝，与题设矛盾．若a3＝10，则a4＝1，a5＝60，a6＝，与题设矛盾.所以a3＝2.                                                               211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司\n（Ⅱ）用数学归纳法证明：①当n＝3，a3＝a1＋2，等式成立．②假设当n＝k（k≥3）时等式成立，即ak＝ak－2＋2， 由题设ak＋1ak＝（ak－1＋2）（ak－2＋2），因为ak＝ak－2＋2≠0，所以ak＋1＝ak－1＋2，也就是说，当n＝k＋1时，等式ak＋1＝ak－1＋2成立．根据①和②，对于所有n≥3，有an＋1＝an－1＋2.                  （Ⅲ）由a2k－1＝a2（k－1）－1＋2，a1＝0，及 a2k＝a2（k－1）＋2，a2＝3得a2k－1＝2（k－1），a2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…． 即an＝n＋（－1）n，n＝1，2，3，….                                所以Sn＝211北京天梯志鸿教育科技有限责任公司